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的整合。 由歐盟建立的歷史也可佐證, 國與國之間之經濟合作, 在自由貿易後都想 先解決貨幣政策搭配的問題,然在總體經濟環境中,財政政策與貨幣政策為密不可 分,在貨幣政策合作下如何利用財政政策穩定經濟體系,以及使用共同貨幣下的兩 國財政政策的實施與搭配會如何被影響, 遂成本文主要探討之目標。
2.2 經濟政策之賽局
一國政府若考量到如何在未來實施總體經濟政策, 就必須以動態最適化的方法 進行, 本文將在 3.1 節詳述。 但若只以最佳控制方法考量一經濟體經濟政策的設 計,隱涵著所有政策都只出自於單一機構,並假設該機構可以完全地操控其欲制訂 之政策, 而不需考量到其他機構制訂政策所造成的影響。(Petit, 1990)
然絕大部分國家, 不只有單一政策制訂機構的存在。 以我國為例, 經濟政策的 實施單位有財政部、 中央銀行及經濟部, 實施政策影響的單位可能有工會、 產業組 織、 貿易商等等。 每個機構可能有不同的目標, 制訂決策過程也不可能相互妥協, 也就是說每個單位組織的決策都將影響最終結果。 因此,如何制訂最佳政策的無法 只以一個組織的動態最適化方法解決, 還必須將賽局理論的概念加入於不同政策 參與者的決策過程中。 而本文為分析簡化起見,將一國政府視為具有制訂政策的能 力,其所要考量的只是他國政府對於本國政府的政策會有怎樣的反應,並討論在他 國政府同時追求在 [0, T ] 內的動態最適化時, 本國政府該如何面對此決策之賽局。
2.3 財政政策之搭配
隨著最適通貨區理論之演進, 共同貨幣也透過歐元區的成立得以實現, 經濟學 家開始討論加入最適通貨區的國家財政政策搭配之問題。 總體經濟理論認為貨幣 政策與財政政策為兩項密不可分的政策工具, 故許多文獻開始探討兩國之財政政 策的合作是否能加強各國之間的經濟交流。Engwerda et al. (2002)將Turnovsky
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數線性模型論證財政政策搭配性。 於該文獻中, 其假設貨幣聯盟的國家, 中央銀行 已經被超國家的貨幣發行機構給取代, 各會員國政府喪失以貨幣政策作為政策工 具的手段後,對於總體經濟政策的思考模式將有所改變。 並分別探討對於兩國財政 政策非合作時之 Nash 均衡,及合作時如何達到最有效率之 Pareto 均衡。 本文將 繼續使用 Engwerda et al. (2002) 之二次線性兩國模型, 並加以探討若財政政策 的實行也有領導者(leader) 與跟隨者 (follower) 之分時, 對於均衡的結果將會有 何種不同。
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3 數學方法
3.1 動態最適化概述
首先, 我們先定義何謂動態最適化 (dynamic optimization) 問題。 動態最適 化不同於傳統經濟學中靜態選擇的概念, 假設一經濟體的決策都是在同一個時點。
和靜態最適化問題比較, 動態最適化問題加入了時間的因素, 也就是在探討 「一經 濟單位如何將有限資源分在一段時間內不同時點」 的問題。 數學上通常有三種方 法得以解決動態最適化的問題, 依其被應用在經濟理論的時間排序, 分別為變分 法 (calculus of variation)、 動態規劃 (dynamic programming) 及最適控制理 論 (optimal control theory)。 由於最適控制理論是將變分法加以一般化, 最適控 制理論能夠解決變分法所能解決的問題。 再者, 利用動態規劃作為數學工具時, 在 求解的過程中, 通常得面對較複雜的偏微分方程式(nonlinear partial differential
games)。 相反地,若使用最適控制理論在解決經濟問題時, 只需面對一些常微分方
程式, 求解過程相對容易。4 因此, 本文主要以 L. Pantryagon 所發明之最適控 制理論 (maximum control principle)—最大原理, 來對動態最適化問題進行求 解。 由於動態最適化所探討的是某一段時間內資源配置的問題,一段時間指的就是 [t0, t1]; t0 代表起點 (initial time), t1 代表終點 (terminal time)。 我們可以將最 適控制問題以數學形式表示, 如表 1。
表1所表示的是一個連續時間(continuous time)的最適控制問題。 除了代表 時間的變數t,一般動態最適化問題,還會利用兩組向量x = [x1(t), x2(t), · · · , xn(t)]T 與u = [u1(t), u2(t), · · · , ur(t)]T,來描繪經濟體系的隨著時間的改變。 變數xi(t)是 用來描述這個動態體系在時點 t 所處狀態的變數, 稱其為狀態變數 (state vari-ables), 而 x ∈ Rn 則稱為狀態向量, 可能由數個不同的狀態變數所組成。 另一方 面, 在時點 t , 經濟單位可以選擇或控制的變數為 ui, 故稱其為控制變數
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表 1: 動態最適化數學表示
max V [u(t)] = Z t1
t0
f (x(t), u(t), t)dt s.t. ˙x(t) = g[x(t), u(t), t]
x(t0) = x0
[t1, x(t1)] ∈ A ⊂ Rn+1 u(t) ∈ U, t ∈ [t0, t1]
trolvariables), 而 u 則稱為控制向量(control vector)。
狀態變數和控制變數最大的差異在於狀態變數之導數 ˙x(t) = [ ˙x1(t), ˙x2(t)..., ˙xn(t)]
會直接出現在動態最適化的問題中, 而控制變數的導數則沒有。 另外, 所有的狀態 變數 xt, t ∈ [t0, t1], i = 1, 2..., n 必須都是連續函數; 反之, 控制變數 uj(t), t ∈ [t0, t1], j = 1, 2..., r 則可能都不是連續函數, 而是分段連續函數。換言之, 在動態 理論中要求狀態變數或狀態向量x(t)隨時間經過的所描繪的狀態軌跡(state tra-jectory) 必須是一條連續的曲線。 然而, 控制變數 u(t) 的軌跡卻可以在某些時點 發生不連續、 跳躍的現象。 5
接者, 標的泛函數 V [u(t)] 是在動態規劃中 ,讓經濟單位選取控制軌跡使得目 標函數V [u(t)] 的值達到最大。 所謂控制軌線是指整條由控制向量 u(t) 在 [t0, t1] 之間所描繪出的曲線, 而 u(t) 本身就是一個函數或一條時徑。 V [u(t)] 為的 u(t) 函數, 並不是直接對應於 t , 數學上稱其為 t 之泛函數。
而限制式 ˙x = g[x(t), u(t), t]則描述出狀態變數是如何受到x(t), u(t)和t 的 影響。 如果一動態體系已經知道其起初時間t0 及起初狀態x(t0),只要經濟體選擇 了個特定的控制向量u(t0),就可決定狀態向量變動的方向 ˙x(t0)。 藉由操縱控制軌
5蔡攀龍(1996)[頁230]
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線就可決定狀態軌線,因此其為運動方程式。6 故可推論,當經濟單位選定了控制軌 線後, 就已決定了狀態軌線; 因此, 在任何 t ∈ [t0, t1], 當 x(t)和 u(t) 均已確定, f [x(t), u(t), t] 之值也同時確定,再經由積分目標函數, 即可得到V [u(t)]。 而動態 最適化的問題即為如何找出最適的控制變數, 使得動態體系 ˙x = f [x(t), u(t), t]
由 [t0, x(t0)] 開始, 直到 t = t1 時, V [u(t)] 達到最大。