財政政策有領導者的情況 (Stackelberg Case)

國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

令 _|A^{T C} _{− νI| = 0,} 可求得兩個特徵值 (eigenvalues) ν₁、 _ν2, 與其分別對應之特 徵向量(eigenvectors)為_{w1 = [w11 w21]}^T、 _{w2 = [w12 w22]}^T。 若體系為穩定_, 特 徵值應為一正一負, 可令 ν₂ ≤ 0 ≤ ν₁,即可求出

s^{T C}(t) = s₀ e^ν2t (TC15) 就可解出 _s^{T C}_(t)、 _λ^{T C}_(t) 之時間路徑_, 數值模擬與圖形留至第六章比較各不同情 況時再詳述。

4.4 財政政策有領導者的情況 (Stackelberg Case)

若是兩國處於資訊不對稱的情況下_, 就必須以賽局理論中的 Stackelberg 模 型來討論兩者的決策與均衡。 在 Stackelberg 理論中_, 賽局的參與者分為領導者 (leader) 與跟隨者 (follower), 領導者在作決策時可將追隨者的反應內入考量_; 也 就是說領導者可以在追隨者決定其最佳化策略後_, 再進行反應。 反之_, 跟隨者就和 同時進行賽局時所面對的情況一樣_,在作決策時無法得知領導者的反應。 因此對於 領導者而言,其最佳化的解將會有所不同。 本文首先假設H 國為追隨者,以下標1 表示其變數; F國為領導者_, 則以下標 ₂ 或 ∗ 符號表示其變數。 雖然 Stackelberg 的模型會使人覺得兩國的規模或地位似乎不太相等_, 領導國家在這個情況下會比 較佔有優勢。 但在這裡_, 我們仍將兩國假設為規模相同的兩個國家。 在這個具有領 導者的兩國模型_,可以將領導者視為美國_,具有強大的經濟力並是有獨立決策能力 的國家。 另一個可視為歐盟_, 雖然經濟規模和美國差不多_, 但其本身因為是由不同 的國家所組成之超國家組織_,對外的決策所需要的流程比起美國較為複雜_, 即便規 模與美國相當,仍不易作為國際市場上的主要政策實施的領導經濟體。 對於追隨者 H 國來說_,在Stackelberg模型中,其解最大化目標函數所需之必要條件和非合作 解時一樣。(B¸asar and G.J. Olsder, 1982)故參照_4.1節,追隨者(H國₎所面對的

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

Hamilton-Jacobi-Bellman 等式為 H₁^S = 1

2(y²+ ns²) + λ^S₁(φ1m^∗− φ1m + φ2s + φ3f^S− φ3f^∗S) (TS1) 最佳化的條件也和 4.1 節相同。

f^S = arg min

f H₁^S (TS2)

跟隨者 (H 國₎ 所面對的反應函數為 f^S = −ρ

κf^∗S − φ₃

c²λ₁− a cm − a

c ρ

κm^∗− b

cs (TS3)

其共變異數一階微分方程式 (adjoint equation, 伴隨等式₎ 為 λ˙^S₁ = θλ₁− ∂H₁^S

∂s (TS4)

整理可得

λ˙^S₁ = −ns + (θ − φ₂+b

cφ₃)λ^S₁ (TS5)

貫截條件和_4.1節_,也就是兩國財政政策非合作時_,求解非合作_Nash均衡時相同。

但對於領導者而言_, 其必須修正所面對之最適控制問題。 由於在 Stackelberg 模型中,F國必須將_H國的動態最適化考量進去_,也就是必須加入_(TS3)、_(TS5)兩 式。 求Stackelberg 微分賽局最適化問題的必要條件之方法最先是由_{Simaan and} Cruz, J.B. (1973)所提出_,以下為領導廠商追求目標式最適化所必須滿足之條件。

f₂^S = arg min H₂^S[λ^S₂, λ^S₁, s, λ^S₃, f, f^∗] (TS6) 由於追隨者已經宣佈其欲實行的政府支出 _{f (t),} 而領導國家所面對的 Hamilton-Jacobi-Bellman 等式為

S 1 _{∗2 2 S ∗}

−φ ^{∗ S} b _S

−ns]

‧

Hamilton-Jacobi-Bellman 現值等式 (TS7)。 並對其 Hamilton-Jacobi-Bellman 等式求有 極值之條件。 即可得出領導國所面對的反應函數 _(TS11)。

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

(1987), 可以定義出一些參數方便求解。 令

∆ = w₁₂^Sw₄₁^S − w₁₁^Sw₄₂^S 得出之 _s^{T S}_(t)之路徑為

s^{T S}(t) = s₀

∆(w^S₁₂w^S₄₁e^ν2t− w^S₁₁w^S₄₂e^ν1t) (TS18) 最佳化的財政政策路徑為

f^{T S}(t) = s0κ

c²(κ − ρ)∆{w^S₄₁[( φ3κ

κ + ρ)w₂₂^S + ( φ3ρκ

κ²− ρ²)w^S₃₂− cbw^S₁₂]e^ν2t +w₄₂^S[−( φ₃κ

κ + ρ)w₂₁^S − ( φ₃ρκ

κ²− ρ²)w^S₃₁+ cbw₁₁^S]e^ν1t} (TS19) f^{∗T S}(t) = s₀κ

c²(κ − ρ)∆{w^S₄₁[(− φ₃ρ

κ + ρ)w₂₂^S + ( φ₃κ²

κ²− ρ²)w^S₃₂− cbw^S₁₂]e^ν2t +w₄₂^S[( φ₃ρ

κ + ρ)w₂₁^S − ( φ₃κ²

κ²− ρ²)w^S₃₁+ cbw₁₁^S]e^ν1t} (TS20) 除此之外亦可求得兩國產出的變化。

y^{T S}(t) = s0φ3

c∆ [w₂₂^Sw₄₁^Se^ν2t− w₂₁^Sw₄₂^Se^ν1t] (TS21) y^{∗T S}(t) = −s₀φ₃

c∆ ( κ

κ − ρ)[w^S₂₂w^S₄₁e^ν2t− w^S₂₁w^S₄₂e^ν1t] (TS22)

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

也可求出兩國因實施政策的成本折現值。

J₁^{T S} = s²₀

2∆²{[ (w₄₁^S)² θ − 2ν₂][φ²₃

c²(w₂₂^S)²+ c(w^S₁₂)²] + [ (w^S₄₂)²

θ − 2ν₁^S][φ²₃

c²(w₂₁^S)² + c(w₁₁^S)²]

− [ 2w₄₁^Sw₄₂^S θ − ν₁^S− ν₂^S][φ²₃

c²w^S₂₂w^S₂₁+ cw^S₁₂w^S₁₁]} (TS23) J₂^{T S} = s²₀

2∆²{[ (w₄₁^S)² θ − 2ν2

][( φ₃κ

c(κ − ρ))²(w^S₃₂)²+ c(w^S₁₂)²] + [ (w^S₄₂)²

θ − 2ν₁^S][( φ₃κ

a(κ − ρ))²(w₃₁^S)²+ c(w₁₁^S)²]

− [ 2w₄₁^Sw₄₂^S

θ − ν₁^S− ν₂^S][( φ₃κ

c²(κ − ρ)²w^S₃₂w^S₃₁+ cw^S₁₂w^S₁₁]} (TS24) 如此一來_,在開放循環資訊形式的兩國非貨幣同盟國模型中_,政府支出採Stackelberg 的兩國政策模型以完全被數學表示。 於第六章將會以數值模擬的方式求出特徵值 與特徵向量_, 並繪圖與其他模型比較。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

5 貨幣同盟國之兩國模型假設

5.1 貨幣同盟的兩國模型

本章主要以Dockner and R. Neck (1995)及Dockner and R. Neck (2008)中 之數學方法作為分析工具_, 並延續Engwerda et al. (2002)的模型, 進而分析兩國 在使用單一貨幣下_, 財政政策非合作、 財政政策合作及財政政策有領導者的情況 下_, 假設參數並進行數值模擬_, 以期能達到與上一章之結論比較之效果。

表_3: 使用共同貨幣的兩國模型(Currency Union Two-country Model)

y(t) = δs(t) − γr(t) + ρy^∗(t) + ηf (t) (U1) y^∗(t) = −δs(t) − γr^∗(t) + ρy(t) + ηf^∗(t) (U2)

s(t) = p^∗(t) − p(t) (U3)

r(t) = i^E(t) − ˙p(t) (U4)

r^∗(t) = i^E(t) − ˙p^∗(t) (U5)

m(t) − p(t) = κy(t) − ζi^E(t) (U6)

m^∗(t) − p^∗(t) = κy^∗(t) − ζi^E(t) (U7)

˙

p = ξy(t) (U8)

p˙^∗ = ξy^∗(t) (U9)

表 3 即為本章所設定兩貨幣同盟國之模型。 假設兩個國家在完全貨幣整合的 情況下, H國、_F 國為不存在任何政治風險的貨幣同盟會員國。 換言之_,實際上兩國 個別之貨幣已經被共同貨幣給取代_, 各國業已喪失了貨幣自主權_,由於兩國為不能 藉由增加貨幣供給量實施擴張性的貨幣政策_, 也不能藉由操控利率干擾市場以刺 激景氣。 跨國間也成立了一個貨幣發行機構取代原先的中央銀行_,此跨國貨幣發行 機構有權控制在兩地區的貨幣發行數量及名目利率。 ¹⁹ 由以上假設也可推論出兩

19在歐元區的情況下為歐洲中央銀行(European Central Bank, ECB)

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

國皆已無法藉由操控貨幣供給作為政策工具_, 在浮動匯率制度下_,也無法利用匯率 升貶值作為其影響其對外貿易。 另一方面_, 假設兩國生產要素之一_—勞動 _(labor) 無法自由移動,而使得商品市場和要素市場中的調整機制較為緩慢,符合新凱因斯 學派對於經濟體系的短期觀點。

接著_, 將表 ₃ 模型中各項變數加以解釋。 其中_, 我們給予 _F 國的變數加上符 號 _∗, 除了名目利率和 _i^E_(t) 和通貨膨脹率 _p(t),˙ 其他變數皆為對數型態_, 並為時 間之函數。_y(t)為一國之實質產出_,如同前章所述_,為偏離充分就業下的產出水準_, y^∗(t) 則為另一國偏離充分就業的產出水準。_p(t) 為一國產出的平均物價_{, ˙p(t)} 為 一國之產出在一段時間內的價格變化_, 可將其視為通貨膨脹率。 _i^E_(t) 為共同貨幣 發行機構所制訂的共同名目匯率, r(t)、 r^∗(t) 則表示由名目利率和各國物價水準 相減後的實質利率。 _s(t) 為H國相對於 _F 國出口產品物價的差異_, 可視為本國商 品與外國商品的競爭程度_,也可視為兩國出口競爭程度的指標_{; f (t)}為該國因政府 支出和收入不均所造成的實質政府赤字。

本模型可出使用共同貨幣兩國的總體經濟環境_,並充分展現兩國景氣循環的相 依關係。 而為了簡化分析時的複雜度_, 假設兩國有對稱的參數_, 並忽略與兩國與世 界上其他國家的互動。 接著_, 闡述模型中數學式所代表的經濟意義。

y(t) = δs(t) − γr(t) + ρy^∗(t) + ηf (t) (U1) y^∗(t) = −δs(t) − γr^∗(t) + ρy(t) + ηf^∗(t) (U2) 式_(U1) 為顯示出共同貨幣區內之競爭的總和需求函數_,將本國實質利率、 本國政 府赤字和另一國之產出作為變數。 從 _(U1) 可得知_, 透過貿易_, 兩國藉由商品、 資 金自由地進出口, 一國之產出將會被另一國之產出給影響。 而 (U2) 式就表示 _F 國 ₍外國₎ 商品市場的總和需求函數。 由此可知_, 兩國所實施的政策將會透過國際 間的自由貿易而影響到另一國之產出。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

(U3)式為兩個國家商品出口價格的差異_,也可視為兩國家相互間貿易商品的競爭。

而實質利率的定義則是被表示在 _(U4)、 _(U5) 式。 兩國的實質利率 _r(t)、 _r^∗_(t) 分 別為跨國貨幣發行機構所訂立名目利率減掉各國之物價變化率 p(t)、 p^∗(t)。

r(t) = i^E(t) − ˙p(t) (U4)

r^∗(t) = i^E(t) − ˙p^∗(t) (U5) 於式_(U6),假設國內對於共同貨幣需求為實質產出_y(t)與名目利率_i^E_(t)的函數_, 模型中設定跨國家之貨幣發行單位能夠完全地控制共同貨幣區的名目利率_{, i}^E_(t)。 (U7) 則是另一國_(F 國₎ 的貨幣需求表示方式。

m(t) − p(t) = κy(t) − ζi^E(t) (U6) m^∗(t) − p^∗(t) = κy^∗(t) − ζi^E(t) (U7) 由於本文的主要將焦點放在財政政策上_, 因此假設此共同貨幣發行單位將名目利 率定於一固定水準_, 即_i^E_{(t) = i}^E。 而 _(U8)、 _(U9) 為短期經濟體系價格具有僵固 性的觀點_, 符合凱因斯學派之假設_, 於短期下_, 價格變動幅度會是偏離充分就業水 準之產出的函數。

˙

p = ξy(t) (U8)

p˙^∗ = ξy^∗(t) (U9)

和前一章之模型比較 _[第四章](表2), 可發現兩模型的差異在於共同貨幣區沒有名 目匯率 _e 以及各國政府訂立的名目利率 _i、 _i^∗。 由於在貨幣聯盟中_, 兩國家計部門 在從事貿易時_, 已經使用相同的貨幣作為交易的媒介_, 名目匯率當然就不存在。 而 兩國行在成立貨幣同盟後_, 原本隸屬於國家機構的央行也轉變成超國家貨幣發行 機構的分支機構_,不再擁有操控該國名目利率的權力_, 也無法利用貨幣政策來刺激 經濟。 本章所假設之簡單模型_,可以參考任兩個目前使用歐元的國家目前執行貨幣 政策的方式。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

結合了_(U1) 至 _(U9)的數學式_, 我們可以得到以下兩條方程式 _(U10)、_(U11) 來描述兩國的競爭關係。 由式 _(U10)及_(U11)可發現_,不論是_H 國或是_F 國_,該 國之總產出會受到貨幣發行機構所控制之名目利率為 i^E(t)、 兩國財政政策 f (t)、 f^∗(t) 及兩國產品或國家相對競爭力 _s(t) 的影響。

y(t) = af (t) + ρ

κaf^∗(t) + bs(t) − ci^E(t) (U10) y^∗(t) = ρ

κaf (t) + af^∗(t) − bs(t) − ci^E(t) (U11) 其中

a = ηκ

κ²− ρ², b = δ

κ + ρ, c = γ

κ − ρ, κ = 1 − γξ

標準化i^E(t) = 0, 再將式 (U10) 與(U11) 代回式 (U8)與 (U9), 就可得出兩個 描述物價變化的方程式,將兩國之物價相減_, 即可得到描述兩國政策競爭的一階線 性微分的動態方程式。 ²⁰

˙s(t) = φ1f^∗(t) − φ1f (t) + φ2s(t) (U12) 其中

φ₁ = − ξη

κ + ρ, φ₂ = − 2δξ κ + ρ

接著_,在求解動態最適化問題時_,我們還必須設定兩國政府目標函數及其 Hamilton-Jacobi-Bellman 等式。 如同前章所述_, 兩國政府的目標函數_, 即實施財政政策所 造成的跨期成本會被狀態變數用動方程式給限制。²¹ 為使分析容易_, 將兩國政策 制訂者的動態策略互動簡化為線性二次微分賽局 (linear quadratic differential games)。

依照Engwerda et al. (2002)文中指出, 政府支出增加雖可將該國經濟體的產 出提高_, 但同時也會造成物價 _p˙ 、 產出 _y 的波動, 故一般分析總體經濟政策時_, 將

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

物價和產出的波動視為實施經濟政策時帶來的成本為典型的設定_, 而兩國政府則 尋求最小化未來成本的損失。 本文從另一角度分析_, 認為實施經濟政策後_, 經濟體 系因通貨膨脹率 p˙ 、 實質產出 y 波動所造成的成本, 最後都將影響該國貨品之實 質競爭力 s。 例如_,該國之通貨膨脹率 _p˙上升_,將會造成實質出口商品競爭力 _s 的 下降。 而出口競爭力 _s 的波動_, 將會帶給該國在貿易上額外之成本。 故本文假設貨 幣同盟國_H 國與_F 國皆想以其財政政策刺激經濟_, 同時也想避免因物價 _p˙ 上升 、 產出_y波動而造成出口商品競爭力 _s 的下降。 將 _H國、_F 國之目標函數_J^h 、 _J^f 設定為_(U13)、_(U14) 的形式。_H國的目標式以 _J1 表示_{, F}國的目標式以 _J2 及符 號 _∗ 表示。²²

J₁⁰ = 1 2

Z ∞ 0

e^−θt[αy²(t) + β ˙p²(t) + σs²(t)]dt (U13) J₂⁰ = 1

2 Z ∞

0

e^−θt[αy^∗2(t) + β ˙p^∗2(t) + σs²(t)]dt (U14) 其中 α, β, σ > 0。 令折現率則為 θ 的情況下, 假設兩國將會在未來追求其目標函 數的最適化, 即追求跨期成本函數折現值的最小化。

目標式為該國國內的產出偏離充分就業時的水準_y, 通貨膨脹率 _p˙ 的函數_, 而 兩國政府皆希望實施政策工具時_, 能最小化未來因景氣波動所產生的成本的折現 值。 又因實質匯率可視為兩國出口財貨之實質競爭力_{, s}因實施經濟政策而波動將 會影響該國進出口貿易甚鉅。²³ 模型中假設兩國政府都希望能維持穩定的實質匯 率_s,使其經常帳不會因為實施政策而劇烈波動_,並保持其出口產品的實質競爭力。

由模型中(U8) , (U9)兩式可知_, 在符合凱因斯學派的假設之下_, 各國的短期物 價變動 p˙ 為偏離充分就業水準產出 y 的函數, 故可將目標式簡化為以下兩式, 而

由模型中(U8) , (U9)兩式可知_, 在符合凱因斯學派的假設之下_, 各國的短期物 價變動 p˙ 為偏離充分就業水準產出 y 的函數, 故可將目標式簡化為以下兩式, 而

在文檔中 以微分賽局論兩國財政政策之競合 - 政大學術集成 (頁 32-44)