微積分學習策略

合適的程序也有困難。Zimmermann（1991）就指出，很多學生在解 ^ sin x dx



為複雜的部分分數法(partial fraction)，甚至三角函數法(trigonometric substitution)，而不 採用較為簡單的變數代換法(substitution rule)。

上述大部分的研究都針對學生的學習迷思與困難進行探討，只有少數針對微積分學 習策略的進行研究。前者多著墨在學生學習微積分所遭遇的困難；後者多以學習動機、

學習態度為研究重點（黃冠仁，2006；辛靜宜，2006；葉秋呈，2007），而Gagne, Yekovich, Yekovich（1993）認為把學習策略區分為領域內以及泛領域兩層面，才能深入了解學習 者對特定領域的學習策略。因此研究者認為除了泛學科的學習策略之外，可以以微積分 特有的認知策略為研究重點，進行微積分學習策略的探討。

在泛學科的學習策略方面，研究者挑選泛學科的「焦慮」、「學科價值」、「自我管理」、

「尋求幫助」等四個層面來探討其與微積分學習成效之間的關係。而認知策略方面，

Gagne（1985）將數學認知分為「理解能力」和「計算能力」兩種，前者指的是在執行 解題前所需的先備能力；後者指的是執行解題時所需的能力。研究者將認知能力分為「認 知策略」與「解題能力」兩大向度編製成量表，此處的「認知策略」與「解題能力」分 別為Gagne（1985）所提及的「理解能力」和「計算能力」，其內涵探討如下。

一. 認知策略：

數學認知的發展與心理學理論的演進息息相關。陳李綢（1999：520-525）將各學 派對數學認知的看法分為五個不同的論點，描述如下：

(1) 連結論

在Thorndike 提出的刺激－反映連結理論（stimulus-response association）

觀點中，所有的行為與知識的學習，都來自於刺激與反應連結的建立（鄭昭明，

2006）。主要將程序性的學習技巧分為練習律與效果律，前者強調練習以增強 連結知識的能力；後者強調回饋能強化刺激與正確反應的連結，削弱刺激與其 他不正確反應的連結。

(2) 完形論

完形論者並不同意Thorndike 的反覆練習論點。他們主張把數學看成一個 整體，是由每個小部份所組成的，而小部份與小部份之間的關係就是學習者應 該學習並重新知覺的知識（鄭昭明，2006）。Brownell（1979）主張「意義化學 說」（meaning theory），認為數學是有意義的學習，了解原理、原則遠比只會作 無意義的計算過程更為重要。

(3) 認知論

Piager 認為兒童的認知結構與成人的認知結構不同，因此在教授數學時，

不能以成人或數學專家的角度編制教材，應該考量兒童的思考歷程，以及配合 其認知發展水準和順序，並且給予操作具體材料的經驗，從操作中學習，使其 發展正確的思考歷程，以利未來學習較深的數學所需之抽象能力。

Bruner 尤其強調須以學生的角度編制教材，如此便能循序漸進的配合學生 認知發展程度，並不需要等待學生認知成熟，因為學習預備度（readiness）是 教出來的。而學生真正所需學習的，並不是數學課程中的片段知識，而是教材 與教材之間意義關聯的「結構」，以及可以獲得此結構與數學知識的過程。

(4) 學習階層論

Gagne 的理論採新行為學派觀點，與 Piager & Bruner 等認知心理學家的 看法有很大的不同。他認為學習數學時，應該先確定整個課程或單元所欲達成 的目標為何，接著以「工作分析」（task analysis）的方法分析要完成這些目標 所需的附屬工作（subordinate task）或子技能（subskills）是什麼。然後，以流 程圖的方式，將這些附屬工作依最合理適當的順序排列，使成為自下而上最容 易產生垂直遷移的「學習階層」。他更強調，學生在學校所學的主要是「心智 技能」，而不是「可語言化知識」（verbalizable knowledge）；即「過程」遠重要 於「成果」。

(5) 訊息處理論

主張此論點的認知心理學家強調人類「知的歷程」，包括知識的獲取、儲 存知識、以及運用知識的過程。Mayer（1980）認為數學學習是獲取知識的歷 程，而不是獲得一種新的行為；問題解決是一連串的心理運作，其目的在改變 知識的表徵，而非只是在學得新行為。因此，問題解決的教學策略應強調對認 知結構的重視，而不是只重視行為的目的；即應偏重於幫助學生了解問題的意 涵，而不是機械化的練習。

綜合上述的各個論點可知，除了「連結論」強調練習的重要性之外，其他的論點都 主張真正深入的了解概念與知識，遠比機械化的練習來的重要。除了對概念了解的重要 性之外，「認知論」更強調以學生的角度教學；「學習階層論」則重視目標的設定；「訊 息處理論」將學習重點放在了解概念的過程。而微積分的內容不只是一般中學數學強調 的計算，更具有深層的概念以及理論（辛靜宜、林珊如、葉秋呈，2005）。因此本研究 採取「訊息處理論」的論點，強調微積分的學習應重視概念理解的過程。

而除了各學派對於數學學習有不同的觀點之外，在數學理解的層次上也有不同的差 異。Skemp（1987：217-247）將數學理解分三種不同程度的理解層次，以下便就各個理 解層次融入微積分學習情境加以整理。

(1) 機械式理解

能硬背公式、定理、解題過程，並應用於特定的問題，但不知道其背後的 原理。此種學生的學習目標只是要算出正確的答案，而Thorndike 的連結論所 強調的反覆練習對於數學的概念連結固然重要，但很有可能陷入機械式理解的

危機。又微積分屬於需要深層理解的學科，因此連結論較不適用於微積分的學 習。

(2) 因果式理解

知道數學概念的原理，並能自行推論、推廣。此種學生的學習目標是要建 立整體的概念結構，並了解其中相互的關聯。而微積分的學習可以藉由因果式 的理解，將概念重新組織，並強化觀念的理解。

(3) 邏輯式理解

能夠老練的以數學化符號、術語，搭配邏輯推理規則，進行形式化的數學 概念證明或推演。此種學生的學習目標與因果式理解相似，但是此種理解不只 是建立整體的概念結構；更重要的是，對於符號的意義與操弄亦合乎邏輯。亦 即此種理解能將符號系統與概念結構作有意義且合乎邏輯的連結。而在前述微 積分的學習困難，不難發現學習者很容易對於數學符號產生混淆，進而產生錯 誤的觀念建構。因此邏輯式的理解是學習微積分真正的理解方式。

Grant & Jay（2008）進一步指出「理解」是有意義的推論，也是具有可遷移的能力，

並將其分成六大層面，敘述如表2-3-1。

表 2-3-1 理解的六大層面分述表

層面 內涵

能說明 透過通則和原理，對於現象、事實、資料等提出可辯解的有系統的敘述；

作出有洞見的連結，並提出闡明性的舉例或例證。

能詮釋

講述有意義的故事；提供適當的翻譯；對概念或事件提出能揭示歷史或 個人層面的說明；使所理解的對象擬人化，或者可透過圖像、軼事、類 比、模式而使其易於說明。

能應用 在多元、真實的情境中，有效利用及採用已知的知能。能「活用」學科。

有觀點 能透過批判的眼光和聽力看出、聽出觀點；能照見全局。

能有同理心 在其他人可能覺得怪異、異類或看似不合理之處發現價值；根據之前的 直接經驗能敏感的覺知。

有自知之明

表現後設認知的覺察力；覺知個人的風格、偏見、心理投射，以及能同 時形塑或阻礙個人理解的心智習性；察覺我們未能理解的事物；省思學 習和經驗的意義。

由表2-3-1 可知，此六大層面的理解可視為將 Skemp（1987）的邏輯式理解再加以 切割並且作廣泛的延伸，以合乎各學科的理解。研究者參考此六大層面，並以「訊息處 理論」的觀點，配合邏輯式理解的內涵，整理出適合「微積分」的認知策略模式。將其 分成「先備知識」、「了解」、「詮釋與連結」、「統整」四個層面，敘述如表2-3-2：

表 2-3-2 微積分認知策略的四個層面分述表

層面 內涵

先備知識 學生具備學習微積分的前置知識。如：函數概念、計算能力。

了解 對於知識能夠以舉例或例證的方式解釋，而不單單只是背誦。

詮釋與連結 對於知識有更深層的了解，除了以舉例的方式解釋之外，更能經過組織 化的過程，以自己的話語表達；並能將其與已知的知識作連結。

統整 能將眾多新的知識，以自己的方式整理、歸納，並做全盤性的了解。

二. 解題能力

雖然美國數學督導協會（National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM）將 解題定義為「利用已學過的知識去處理新的或未知情境的歷程」，但是數學解題並不只 是簡單的利用先前所習得的知識，它也是一個獲得知識、產生學習的過程（Gagne, 1965）。

楊瑞智（1994）將解題能力分為「知識的表現」與「解題的表現」；前者指的是解 題者擁有解決問題的學科知識，而後者指的是解題者能夠運用已知的學科知識，以程序 性的方式，如：四則運算、代數、幾何等，解決問題。鄭昭明（2006）則將解題的方法 分為兩類，一類是「算則解題法」（algorithm），是指運用特定的規則就能將問題解決；

另一類是「策略解題法」（heuristics），是由過去的解題經驗累積而成的解題方法。黃敏 晃（1991）指出解題能力就是解決問題的能力，也就是將學過的知識和技能融會貫通知 後，將其應用在新的情境或問題上。此能力屬於較高層次的認知活動，涉及數學技能、

概念和程序（陳淑均，2007）。而 Chi & Glaser（1985）強調解題初期，必須先以解題者 所擁有的領域相關知識為基礎，建構初步的問題表徵。此表徵的完整性和連貫性決定了 後續思考的效率與正確性。另外，解題者對解題過程的監控，以及對於解答的回顧也是 成功解題的關鍵之一（黃銀波，1998）。以下便將學者對數學解題策略提出的歷程整理

概念和程序（陳淑均，2007）。而 Chi & Glaser（1985）強調解題初期，必須先以解題者 所擁有的領域相關知識為基礎，建構初步的問題表徵。此表徵的完整性和連貫性決定了 後續思考的效率與正確性。另外，解題者對解題過程的監控，以及對於解答的回顧也是 成功解題的關鍵之一（黃銀波，1998）。以下便將學者對數學解題策略提出的歷程整理