大一學生微積分學習策略與微積分學習成效之研究

國 立 交 通 大 學 數 學 研 究 所

碩 士 論 文

大一學生微積分學習策略與

微積分學習成效之研究

A Study of Calculus Learning Strategies

and Calculus Achievement of

Freshmen at University

研究生：楊嘉勝

指導教授：白啟光 博士

大一學生微積分學習策略與微積分學習成效之研究

A Study of Calculus Learning Strategies and Calculus Achievement of

Freshmen at University

研 究 生：楊嘉勝 Student：Jia-Sheng Yang

指導教授：白啟光 Advisor：Chi-Guang Pai

國 立 交 通 大 學 應 用 數 學 系

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Applied Mathematics, College of Science , National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master

in

Applied Mathematics July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

大一學生微積分學習策略與微積分學習成效之研究

研究生：楊嘉勝

指導教授：白啟光 博士

國立交通大學數學研究所

中文摘要

本研究旨在了解國立交通大學的大一學生之微積分學習策略運用情形，及其在個人 背景變項上的差異情形，並針對微積分學習策略與微積分學習成效的相關狀況進行分 析。 本研究採用問卷調查法，以「微積分學習策略量表」為研究工具，以國立交通大學 大一微積分學生為研究對象，共發出 952 份問卷，經剔除無效問卷後，得有效問卷 626 份，可用率達 74.5%；在微積分學習成效的部分，則以其 100 學年度第一學期之期末會 考成績為計算依據。本研究採描述性統計、t 檢定、單因子變異數分析、二因子變異數 分析、相關性檢定進行統計分析。 本研究之主要發現如下： 一、大一學生的微積分學習策略以「學科價值」、「尋求幫助」、「先備知識」表現最佳； 以「焦慮」、「自我管理」、「了解題意」表現最差。 二、個人背景變項在微積分學習策略上有顯著差異。 三、個人背景變項在微積分學習成效上有顯著差異。 四、個人背景變項與微積分學習成效在微積分學習策略上有交互作用。 五、微積分學習策略與微積分學習成效有顯著正相關。 六、大學入學考試數學分數與微積分學習成效有顯著正相關。 本研究最後根據研究結果，提出各項建議，供學生、教學者及未來研究之參考。 關鍵詞：微積分學習策略、微積分學習成效。

A Study of Calculus Learning Strategies and Calculus Achievement of

Freshmen at University

Student:

Jia-Sheng

Yang

Advisor: Chi-Guang Pai, Ph. D

Institute of Mathematics

National Chiao Tung University

Abstract

The purpose of this study was to explore the calculus learning strategies of freshmen at university, the diversity of background variables, and the relation between calculus learning strategies and calculus achievement.

The implement of calculus learning strategies was the questionnaire edited by myself. The sample was 952, eliminated the invalidation, the validation was 626, so the available sample was 74.5%. The calculus achievement was the final examination of the 1st semester of the academic year 2011. The statistical methods used to analyze the data were Descriptive Statistics, t-test, One-way ANOVA, Two-way ANOVA, Correlation.

The major findings are followings:

(1) The best calculus learning strategies were “worth of subject”, “finding help”, and “prior knowledge”. The worst calculus learning strategies were “anxiety” , “self-superintendence”, and “problem understanding”.

(2) The background variables had a significant impact on calculus learning strategies. (3) The background variables had a significant impact on calculus achievement. (4) There were interaction effects between the background variables and calculus

achievement concerning calculus learning strategies.

(5) There were positively connected between calculus learning strategies and calculus achievement.

(6) There were positively connected between the mathematics achievement of entrance examination of university and calculus achievement.

Finally, some suggestions for students , educators, and future research were proposed according to the results.

致 謝

轉眼間，研究生的生活將要告一段落，在這過程中，許多同學、朋友給

我幫助，許多老師的叮嚀與關心，都是我完成論文的助力。

首先，想要感謝的人，就是我的指導教授白啟光老師，在剛入學時，老

師主動向我提及有關數學教育研究的想法，讓我栽進一個自己十分感興趣

的世界；在研究的過程中，老師總是給予我相當大的研究空間，使我可以

從事自身較為關心的議題之研究。在我遇到困難時，也總是在繁忙的行政

事務中撥出時間，指引我研究的方向，給予相當多的寶貴意見。除了研究

之外，老師在為人處事上給予的機會教育，以及看待事情的角度、想法，

也是我學習的楷模。

論文的完成，承蒙明新科技大學資訊科技學系辛靜宜老師、本校教育所

吳俊育老師於百忙中撥冗審閱本論文，並在學生發表論文時提供寶貴改進

意見，使論文更趨充實與嚴謹，也加深研究的完整性。

一路走來，感謝數學所許多老師的幫忙，犧牲微積分的教學時間，供我

施測問卷；也感謝教育所的許多老師，不僅提供我從事教育研究的方法、

態度，更提供我對於教育的許多想法；還有許多同學、朋友對於研究所課

程、以及論文撰寫的幫忙。

最後，我想感謝我的父母，有他們的支持，讓我可以沒有後顧之憂的進

行研究，因此，我想把這份成果，獻給我的父母，與他們一同分享。

楊 嘉 勝 謹誌

一 百 年 七 月

目 錄

中文摘要 ... I

英文摘要 ... II

致謝 ...II

目錄 ...IV

表目錄 ...VI

圖目錄 ... VIII

第一章 緒論

第一節 研究動機... 1

第二節 研究目的... 2

第三節 名詞解釋... 3

第四節 研究限制... 4

第二章 文獻探討

第一節 學習策略... 5

第二節 數學學習策略... 13

第三節 微積分學習策略... 15

第四節 數學與微積分學習策略的相關研究... 22

第三章 研究設計與實施

第一節 研究架構... 24

第二節 研究假設... 26

第三節 研究對象... 27

第四節 研究工具... 29

第五節 資料處理與分析... 43

第四章 研究結果與討論

第一節 「大學微積分學習策略」與標準分數的比較分析 ... 44

第二節 「大學生微積分學習策略」在個人背景變項之差異分析 .... 47

第三節 微積分學習成效在個人背景變項之差異分析 ... 62

第四節 微積分學習成效分組與個人背景對

學習策略二因子交互作用分析... 65

第五節 微積分學習策略、大學入學考試分數與微積分學習 ... 70

第五章 結論與建議

第一節 結論 ... 73

第二節 建議 ... 76

參考文獻

一. 中文部分 ... 78

二. 英文部分 ... 81

附錄

大學微積分學習策略量表 ... 85

國立交通大學九十九學年度第一學期微積分會考試題... 88

表 目 錄

表 2-1-1 學習策略的分類... 7 表 2-1-2 行為觀點學習策略相關評量工具一覽表... 8 表 2-1-3 知觀點學習策略相關評量工具一覽表... 9 表 2-1-4 動機觀點學習策略相關評量工具一覽表... 10 表 2-1-5 認知-動機觀點學習策略相關評量工具一覽表... 10 表 2-3-1 理解的六大層面分述表... 18 表 2-3-2 微積分認知策略的四個層面分述表... 19 表 2-3-3 學者對數學解題的觀點摘要表... 19 表 2-3-4 數學解題與學者觀點比較表... 21 表 3-3-1 大學微積分學習策略量表樣本分配表... 27 表 3-4-1 大學微積分學習策略預試量表題目配置... 30 表 3-4-2 「泛學科的學習策略」內部一致性效標分析與相關分析摘要表.... 31 表 3-4-3 「泛學科的學習策略」因素分析摘要表... 31 表 3-4-4 「泛學科的學習策略」信度分析摘要表... 32 表 3-4-5 「認知策略」內部一致性效標分析與相關分析摘要表... 33 表 3-4-6 「認知策略」因素分析摘要表... 34 表 3-4-7 「認知策略」信度分析摘要表... 35 表 3-4-8 「解題能力」內部一致性效標分析與相關分析摘要表... 35 表 3-4-9 「解題能力」因素分析摘要表... 36 表 3-4-10 「解題能力」信度分析摘要表... 37 表 3-4-11 大學微積分學習策略正式量表之題目分配... 39 表 3-4-12 微積分會考成績次數分配表... 40 表 3-4-13 微積分會考試題項目分析表... 40 表 3-4-14 微積分會考難易度分析表... 41 表 3-4-15 微積分會考鑑別度分析表... 42 表 3-5-1 資料統計方法一覽表... 43 表 4-1-1 大學生微積分學習策略與標準分數之t檢定摘要表 ... 44 表 4-2-1 不同性別與學習策略t考驗分析摘要表... 47 表 4-2-2 不同高中就讀地區與學習策略變異數分析摘要表... 48 表 4-2-3 入學方式與學習策略變異數分析摘要表... 49 表 4-2-4 不同學院與學習策略變異數分析摘要表... 51 表 4-2-5 是否參加社團與學習策略t考驗分析摘要表... 52 表 4-2-6 非學習的電腦使用時數與學習策略變異數分析摘要表... 53 表 4-2-7 微積分學習成效與學習策略變異數分析摘要表... 55 表 4-2-8 不同變項的大一學生在微積分學習策略的差異比較結果... 57 表 4-3-1 不同背景變項在微積分學習成效的差異分析表... 62 表 4-4-1 大一微積分學生學習成效分組與個人背景變項在學習策略 上二因子交互作用分析摘要表 ... 65

表 4-4-2 學習成效分組與不同學院在認知策略「了解」層面之單純 主要效果分析摘要表 ... 66 表 4-4-3 學習成效分組與電腦使用時數在認知策略的「統整與歸納」 層面之單純主要效果分析摘要表... 67 表 4-4-4 學習成效分組與電腦使用時數在解題能力的「了解題意」 層面之單純主要效果分析摘要表... 68 表 4-5-1 微積分學習策略與微積分學習成效之積差相關摘要表... 70 表 4-5-2 大學入學考試分數與微積分學習成效之積差相關摘要表... 71

圖 目 錄

第一章

緒論

第一節 研究動機

學生在修習專業科目前，需要透過修習微積分，來獲得基本知識以及分析、推理、 計算、表達的能力；才足以解決專業科目中更為複雜的問題（繆龍驥，1981）。因此微 積分對於理、工、商相關學院的大學生來說，實屬非常重要的必修課程之一。但是微積 分是學生進入大學後，馬上就接觸到的學科，而且微積分的內容相較於高中數學課程來 說，因為引入了極限的概念，使得將函數與圖形的思考方式由高中的靜態思維轉為動態 思維；不僅如此，更因為深入探討函數的性質，因此在處理程序性的問題時，其程序的 選擇也比高中數學來的多元；又因為台灣的教育多以紙筆測驗評量學生的學習成效，因 此很多人在國、高中學習數學時，常認為快速解題就是數學程度的唯一指標，而在學習 微積分時，更將其視為一堆無意義的定義、公式、或純代數符號的操弄（鄭百恩，2007）。 如此一來，久而久之，學習微積分時，便容易忽略重要的觀念與定理，導致無法理解微 積分的抽象概念，也無法將所學的定理應用在解題上。因為這些不正確的學習習慣、對 觀念的錯誤理解、公式的過度重視，常常反映在學生的成績上，造成學生對於微積分產 生恐懼，排斥學習微積分；抑或失去信心，而放棄微積分這個重要的科目。 研究者在擔任國立交通大學微積分助教的期間，遇到許多認真於微積分學習的學 生，不僅上課勤作筆記，更會利用助教值班時間詢問助教問題，但也發現其中部分學生 雖然十分用功，但是所花的心力卻與考試成績不成正比。這個現象，使研究者想要了解 在交通大學學習微積分的學生，其普遍的微積學習策略運用程度如何？成績優異與成績 不理想的學生，微積分學習策略運用的情形有什麼差別？而個人的背景差異是否會影響 微積分的學習策略？ 因此本研究將著眼於大一學生的微積分學習策略運用之情形，並期能探究出微積分 學習策略與微積分學習成效之關係。希望本研究之結果能提供修習微積分的學生，更妥 適的微積分學習策略運用，以增進其微積分學習成效。也提供微積分教師，更具體、有 效的方法來了解學生本身在微積分學習的狀況，並作為數學教育改革的參考。

第二節

研究目的

本研究的主要目的是在探討大一微積分學生在微積分學習策略及微積分學習成效 之關係，具體而言，本研究之研究目的如下： (1) 了解大一學生微積分學習策略之現況。 (2) 探討大一學生的背景變項在微積分學習策略上的差異情形。 (3) 探討大一學生的背景變項在微積分學習成效上的差異情形。 (4) 比較大一學生的背景變項與微積分學習成效在微積分學習策略上的交互作用 情形。 (5) 探討大一學生微積分學習策略與微積分學習成效的相關情形。 (6) 探討大一學生大學入學考試數學、英文分數與微積分學習成效的相關情形。 (7) 根據研究結果，針對學生、教師提出具體建議，以利學生微積分學習成效之提 昇；亦可作為其他研究者未來研究的參考。

第三節

名詞解釋

本研究旨在探討大一學生微積分學習策略與微積分學習成效之關係，為使研究變項 概念能更清楚明確，茲就研究所涉及的主要名詞，做一概念性定義和操作性定義，界定 如下：

壹、大一微積分學生

大一學生是指接受大學教育的一年級學生，年齡大約18 歲。本研究所指「大一微 積分學生」，是指參加九十九學年度大學學力測驗或指定考科考試後，以繁星、學校推 薦、個人申請、分發入學、運動績優入學的方式進入國立交通大學，修習一百學年度所 開設微積分課程的大一學生。在取得國立交通大學11 名微積分任課教師同意後，以 14 個班級，約952 名學生為對象。

貳、微積分學習策略

學習策略是指為了達到學習目標與成效，而使用的各種技巧與方法。而本研究所指 「微積分學習策略」，是根據Gagne, Yekovich, Yekovich（1993）的看法，把學習策略區 分為領域內以及泛領域兩層面。在泛領域的層面，參考洪寶蓮（1990）的看法，將其分 為「學科價值」、「焦慮」、「自我管理」、「尋求幫助」。在認知策略層面，參考Skemp（1987） 以及Grant & Jay（2008）的觀點，將其分為「先備知識」、「了解」、「詮釋與連結」、「統 整與歸納」。在解題能力層面，參考Polya（1993）的觀點，將其分為「了解題意」、「解 題策略」、「執行解題」、「檢驗工作」。並將洪寶蓮（1990）所編制的「大學生學習與讀 書策略量表」以及辛靜宜，林珊如，葉秋呈（2005）所編制的「微積分學習動機導向策 略問卷」加以修訂為「微積分學習策略量表」。

参、微積分學習成效

廣義的學習成效是指，學生在學習過程中，透過修習一定的課程及教材，所獲得的 知識及技能。而在台灣教育中，主要以學校考試成績或由學業測驗上所獲得的分數代 表。本研究所指「微積分學習成效」，為國立交通大學九十九學年度第一學期微積分會 考的成績。國立交通大學微積分教學組為了評量學生是否已學到應具備的基本能力，於 每學期課程結束時舉辦全校性會考，當年度修習微積分的所有學生均需應考。測驗時間 110 分鐘，題型為選擇及填充題，十題單一選擇題，五題多重選擇題，五題填充題，每 題5 分，總分為 100 分，每題皆不倒扣，佔學期成績百分之三十，測驗結果以原始分數 表示。

第四節 研究限制

壹、研究對象及地區方面

本研究調查的母群體係以交通大學大一修習微積分的學生為母群體，在推論範圍上 會有所限制。

貳、研究變項方面

影響微積分學習策略與微積分學習成效的變項相當多，本研究僅就個人背景變項的 性別、高中就讀地區、大學入學方式、學生所屬學院、社團參與與否、每天平均非學習 的電腦使用時數等變項加以探討，未探討其他可能影響的相關因素。

参、研究法方面

本研究採問卷調查法，研究者盡可能將受試者填答不正確的因素移除，但受試者在 填答時仍可能受到個人認知或環境等主客觀因素影響，而使研究結果有所誤差。

第二章 文獻探討

本章共分為四節：第一節，探討學習策略；第二節，探討數學學習策略；第三節， 探討微積分學習策略；第四節，探討數學與微積分學習策略的相關研究。茲分別敘述如 下：

第一節 學習策略

本節針對泛學科學習策略的意義、分類、以及內涵進行深入的探討，並整理過去相 關的研究結果。

壹、學習策略的意義

學習策略是能夠促進知識獲得、儲存、以及訊息利用的一系列過程與步驟 （Danserearu, 1985）。亦是有助於學生成功學習的有價值知識（張新仁，2006）。許多學 者對於學習策略的定義有不同的解釋，而不同的定義主要源於學習理論的不同，以下就 分為「行為學派」、「認知學派」、「人本學派」三個學派加以整理（林清山，1997）。 (1) 行為學派：重視刺激與反應增強，利用練習以強化對知識的聯結，因此將學習 策略界定為學習者行為改變的方法。例如：時間管理、重點整理技 巧等。 (2) 認知學派：強調學習者利用已有的認知結構，主動接收、保存、以及組織學習 情境中的訊息，因此將學習策略界定為獲取或應用知識的認知歷 程，其目的是為了增進學習和記憶，以及問題解決的能力。例如： 複誦、組織化、精緻化等。 (3) 人本學派：認為學習與個人的需求、動機、以及智能有關，因此其學習策略較 著重在注意力、知覺、降低焦慮以及個人成敗歸因的改變等方式。 例如：支持性策略、降低焦慮、自我調適等。 由上述可知，不同的學派就有不同的學習策略定義，且涵蓋的範圍也不盡相同。以 國外研究來說，Weinstein & Mayer（1986）與 Singer & Gerson（1979）定義學習策略的 觀點與認知學派較為接近；前者認為學習者在進行學習活動時，所採用選擇與獲得訊息 的方法，以及建構、統整、保留與遷移訊息的模式，就稱為「學習策略」。後者則認為 學習策略是學習者自發、有選擇性、有目標的學習行為，並藉此處理外在的訊息。

Oxford & Nyikos（1989）對學習策略的定義與行為學派的觀點類似，認為學習策略 是學習者用來處理訊息時所進行的動作，而所使用的這些動作，將會讓學習者更容易獲 得知識，並且更容易應用於新的情境。

與人本學派觀點較為接近的Symons, Snyder, Cariglia-Bull, & Pressley（1989）強調 學習者主動分析、理解訊息的能力，即為學習策略。而Kardash & Amlund (1991) 則採 取廣義的看法，認為在學習環境中，學習者所有用來增加知識、有效學習的方法都稱為 「學習策略」。

國內的學者陳李绸（1988）認為學習策略是一種內在的、目標導向的認知技巧，也 是一種有系統的計畫性決策方法。林清山（1990）的定義與 Kardash & Amlund（1991） 相似，認為在學習的過程中，任何被學習者用來增進學習效能的方式，都稱為「學習策 略」。而洪寶蓮（1990）將學習策略定義為學習者用來促進知識獲得、保留、提取與統 整的學習行為與思考活動，亦即一般俗稱的「學習方法」、「學習技巧」、「讀書習慣」、「讀 書方法」；並將學習策略分成兩個面向；一個是內在心裡操作層面，包含學習者面對資 料所使用的辨別、理解、保留和蒐集等方式。另一個是外在觀察層面，包含學習者所使 用的學習技巧。 綜合上述國內外學者對學習策略的定義可知，學習策略的定義會隨著研究者的研究 對象、研究內容的不同，而有不同的定義。但總觀而論，學習策略就是，為了達到學習 目標與成效，而使用的各種技巧與方法。

貳、學習策略的分類與內涵

由上述學習策略的定義可知，不同學派對於學習策略的論點不盡相同，因此在學習 策略的分類上，亦會因為學者的論點或研究面向不同，而有不同的分類方式，整理如表 2-1-1。 表 2-1-1 學習策略的分類 學者 學習策略的分類 Gaine（1985） 認為有效的學習策略有四個層面： (1) 能夠選擇學習的資訊並專注。 (2) 有效的組織知識，以便利用。 (3) 善用學習策略。 (4) 管理個人的學習策略。

Weinstein & Mayer （1986） 將學習策略分成達成目標的七個程序： (1) 基本的演練策略，如：記憶連結、條列項目。 (2) 複雜的演練策略，如：參考資料的運用、背誦、畫記重點。 (3) 基本的精緻化策略，如：深入探究。 (4) 複雜的精緻化策略，如：摘要、註記、分析問題。 (5) 基本的組織策略，如：描述與辨別差異、利用不同觀點討論。 (6) 理解觀點的策略，如：觀察、計畫、評價、修正。 (7) 效能策略，如：保持動機、控制焦慮、運用時間。 Mckeachie（1987） 將學習策略分成三大類： (1) 認知策略，如：演練、精緻化、組織。 (2) 後設認知策略，如：計畫、監控、調節。 (3) 資源經營策略，如：時間管理、自我管理、尋求協助。 Pintrich, Smith,

Garcia, & McKeachie （1991） 將學習策略分成三大類： (1) 認知策略，如：演練、精緻化、組織。 (2) 後設認知策略，如：計畫、監控、調節。 (3) 資源經營與努力策略，如：維持動機、努力、免除焦慮。 Hoeksema（1995） 將學習策略分成兩大類： (1) 表層學習策略，如：強調短期記憶、與未統整資料。 (2) 深層學習策略，如：長時間閱讀、探究背後意義。

Warr & Allan（1998）

將學習策略分成三大類： (1) 認知策略：演練、組織、精緻化。 (2) 行為策略：人際尋助、資料尋助、實際運用。 (3) 自我調節策略：情緒控制、動機控制、理解力控制。 Schunk（2000） 將學習策略分成兩大類： (1) 一般性策略：為達成目標所使用的邏輯性思考方法。 (2) 傳達性策略：利用特殊方法學習的過程。

表2-1-1 學習策略的分類（續） 學者 學習策略的分類 Holman, Epitropaki, & Fernie（2001） 分成三個認知策略與三個行為策略： (1) 認知策略：外在工作反應、內在工作反應、複製。 (2) 行為策略：人際尋助、資料尋助、實際運用。 綜合表2-1-1 各學者對於學習策略的分類，可以將學習策略分為三個主要的面向， 描述如下： (1) 認知策略：強調理解、演練、背誦、組織、探究…等訊息處理的方法。 (2) 資源利用策略：強調尋求協助、資料尋找、資源運用…等利用資源的方法。 (3) 自我效能控管策略：強調時間管理、自我情緒管理、保持學習動機…等。 洪寶蓮（1993）綜合分析各種學習策略的自陳式量表，可以依其研究的內容與重點， 分成「行為分析」、「認知分析」、「動機分析」及「認知－動機分析」等四種觀點。 以下就分別描述此四種觀點的主張與代表性的評量工具： (1) 行為觀點（behavioral perspective）之評量工具 行為觀點的主張認為有效的學習是奠基於學習者的外顯行為與外在環境 的交互作用。因此量表的設計目的就在評量此交互作用對於學習的影響程度。 例如評估學習者的專心程度、學習習慣、時間經營、讀書地點、讀書時的生理 狀況等（張春興，2008）。以下列舉幾個具代表性的評量工具，說明如表2-1-2。 表 2-1-2 行為觀點學習策略相關評量工具一覽表 測驗名稱 年代 編製者 測驗內容 Study Habit Inventory 1941 C. G. Wrenn 共28 題。包括：閱讀與筆記技巧、注意 力、學習時問之分配與社會關係、一般工 作習慣與態度等四個分量表；以內部一致 性 係數建立信度，並採建構效度與同時 效度建立量表的效度。 Survey of Study Habits and Attitudes (SSHA) 1967 W. F. Brown W. H. Holtzman 共100 題。包括：避免拖延、工作方法、 學習習慣、教師支持、教育接納、學習態 度、學習導向等七個分量表；以重測信 度、內部一致性 係數建立信度，並採建 構效度與同時效度建立量表的效度。

表 2-1-2 行為觀點學習策略相關評量工具一覽表（續） 測驗名稱 年代 編製者 測驗內容 國中學生學習行 為問卷 1982 簡茂發 張新仁 共103 題。包括：學習方法、學習習慣和 學習態度等三個層面；此量表的內部一致 性 係數為.71 至.91，並採內容效度與同 時效度建立量表的效度。 資料來源：引自郭郁智，2000：45 (2) 認知觀點（cognitive perspective）之評量工具 認知觀點的主張認為記憶的歷程說明了學習的歷程，每個人提取訊息的方 法各有不同。量表的設計目的主要在探索學習者在記憶過程中的輸入、譯碼、 編碼、解碼、儲存、檢索、輸出等步驟（張春興，2008）。以下列舉幾個具代 表性的評量工具，說明如表2-1-3。 表 2-1- 3 知觀點學習策略相關評量工具一覽表 測驗名稱 年代 編製者 測驗內容 Study Behavior Questionnaire 1970 J. B. Biggs 共 80 題。包括：複誦、內化、組織等三 個分量表；以內部一致性 係數建立信 度，並採建構效度建立量表的效度。 The Learning Strategy Inventory 1975 D. F. Dansareau G. L. Long B. A. McDonald T. R. Atkinson 包括：自傳、學習自信、認知活動、記憶 過程、想像過程、一般閱讀技巧、閱讀彈 性、數理行為、創造力、問題解決、認知 型態、作決定、組織技巧、一般學習技巧、 學習習慣、作答技巧、作筆記、班級行為、 環境、分析及統整技巧等二十個分量表； 以內部一致性 係數建立信度。 Inventory of Learning Process 1977 R. R. Schmeck F. Ribich N. Ramanaish 共 64 題。包括：記憶事實、講求讀書方 法、精緻化過程、深入過程等四個分量 表；以內部一致性 係數建立信度，並採 建構效度建立量表的效度。 資料來源：引自郭郁智，2000：46 (3) 動機觀點（motivational perspective）之評量工具 學習動機（motivation to learn）是指學生在學習的過程中，能維持學習活 動，並促使該學習活動趨向教學目標的內在心裡歷程。而此動機又分為外在動

機（extrinsic motivation）與內在動機（intrinsic motivation），前者主要探討外 在環境因素影響的程度；後者則探討內在需求影響的程度（張春興，2008）。 量表的設計目的主要在量測焦慮（anxiety）和歸因（attribution）兩層面，說明 如表2-1-4。由於動機只是學習策略的其中一部分，因此甚少研究僅以動機觀 點來評量學習者的學習策略（Weinstein, 1982）。 表 2-1-4 動機觀點學習策略相關評量工具一覽表 測驗名稱 年代 編製者 測驗層面

Suinn Test Anxiety Scale 1969 R. M. Suinn anxiety

Worry-Emotionality Scale 不詳

J. H. Morris M. A. Davis C. H. Hutchins

anxiety

The Checklist of Positive and

Negative Thoughts 1981 J. P. Galassi H. T. Frierson R. Shorer anxiety Academic Performance Attribution Scale 1982 L. Corno K. M. Collins T. Copper attribution 資料來源：引自郭宜君，1996：62 (4) 認知－動機觀點（cognitive-motivational perspective）之評量工具 認知－動機觀點的主張認為有關學習的評量應包括認知、行為與情意三向 度（Ferrell, 1983）。學習者的學習是由認知歷程與學習動機兩者互動而成，因 此單憑認知或動機並無法完整解釋學習者的學習歷程，因此Haynes（1986）認 為發展綜合性的方法統整行為、認知與動機是非常重要的。以下列舉幾個具代 表性的評量工具，說明如表2-1-5。 表 2-1-5 認知-動機觀點學習策略相關評量工具一覽表 測驗名稱 年代 編製者 測驗對 象 測驗內容 Learning and Study Strategies Inventory （LASSI） 1987 C. E. Weinstein 大學生 共77 題。包括：焦慮、態度、專心、 訊息處理、動機、時間安排、選擇 要點、自我測驗、學習輔助術、考 試策略等十個分量表；此量表之α 係數在 .68 至 .86 之間，重測信度 在 .72 至 .85 之間，採專家效度建 立量表的效度，並以南加大的880 位學生建立常模。

表2-1-5 認知-動機觀點學習策略相關評量工具一覽表（續） 測驗名稱 年代 編製者 測驗對象 測驗內容 Motivated Strategies for Learning Questionnaire （MSLQ） 1989 Pintrich Smith McKeachie 大學生 共85 題。包括：動機、認知、資 源經營等三個分量表；各分量表的 內部一致性信度在.65 至.91 之 間。 Self-Knowledge Inventory of Lifelong Learning Strategies （SKILLS） 1991 Conti Fellenz 成人 包括：後設認知、後設激勵、記憶、 批判思考與資源經營等五個向 度；此量表的折半信度為.72，經「斯 布校正」後求出信度.84，並採建構 效度與內容效度建立量表的效度。 激勵的學習 策略量表 1991 吳靜吉 程炳林 中小學生 共78 題。包括：動機、認知、資 源經營等三個分量表；此量表的內 部一致性信度在.55 至.87 之間， 再測信度在.57 至.87 之間，並採 同時效度建立量表的效度。 大學生學習與 讀書策略量表 1991 李咏吟 張德榮 洪寶蓮 大學生 共87 題。包括：態度、動機、時 間管理、焦慮、專心、訊息處理、 選擇要點、學習輔助術、自我測 驗、考試策略、解決學習困難等十 一個分量表；此量表重測信度的分 量表在.70 至.86 之間，總量表 為.85，內部一致性的分量表在.62 至.82 之間，總量表為.93，並採建 構效度與同時效度建立量表的效 度。 國中生學習與 讀書策略量表 1993 李咏吟 張德榮 陳慶福 林本喬 韓楷聖 國中生 共78 題。包括：學習的態度與動 機、專心、時間管理、訊息處理、 閱讀理解、解決學習困難的策略、 自我測驗、考試策略、焦慮等九個 分量表；此量表再測信度的分量表 在.71至.84 之間，總量表為.89，內 部一致性信度的分量表在.65 至.83 之間，總量表為.93，並採同 時效度建立量表的效度。 資料來源：引自郭郁智，2000：47-49

在學習歷程中，學習者所使用的學習策略是廣泛的，除了認知策略之外，還有動機 層面與調整策略型態，且動機不同，學習者所採用的調整策略也不相同（Wolters, 1998）。 因此，本研究也以認知-動機觀點發展學習策略量表。

第二節 數學學習策略

在探討完一般性的學習策略之後，本節針對數學學習策略的意義與內涵進行深入的 探討。

壹、數學學習策略的意義與內涵

每個學科的學習方式都不盡相同，尤其數學較其他學科抽象，在學習策略的運用 上，只有5%是屬於反覆練習與機械式的記憶；而透過深層的理解與學習則佔95%（Skemp, 1989）。雖然反覆練習能將類似的問題歸類並聯結舊有的知識，以求有系統的將訊息儲 存於長期記憶中，進而快速且正確的轉換成數學語言（Hougham, 2002）。但是Hinton （1998）認為如果數學的學習只有記憶與練習，不只效果有限，且會阻礙學生的思考能 力；真正有效的數學策略，包含演練、理解運用、組織新知、批判思考等策略。因此， 數學的學習除了記憶與演練之外，理解與探究更為重要。李鵬（2005）更進一步提出數 學學習策略包括知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三個目標領域的內容。其 中知識與技能的學習策略有觀察、實驗、操作、收集與總結、思考與結論；在過程與方 法的學習策略有：合作學習、自主學習、探究學習；在情感態度與價值觀的數學學習策 略有：主體體驗、探究體驗、反思與領悟、情感認同、價值內化、應用意識。 綜合上述學者所論，數學學習策略屬於高階層的概念，在學習新的數學概念時，有 系統且深層的理解只是學習數學的第一步，接著必須反覆練習以精熟概念理解與訓練解 題能力。簡而言之，利用各種方法，將所學的知識融會貫通，並達到運用自如的境界就 是數學的學習策略。 數學具有與其他學科不同的學習方式，使得數學的學習策略亦與其他學科有所不 同。以下便將數學學習策略特性，歸納成四個部份，敘述如下（劉興宇，2003；趙嘉琦， 2006；史建軍，2007）： (1) 綜合性和整體性 數學在許多單元都是循序漸進、互相連結的，或許每個單元學習的方式不 盡相同，但是常常需要利用學習策略將各個單元的觀念整合，因此數學的學習 策略具有綜合性。另外，正確的數學學習方式，往往是需要先建立正確的觀念， 再利用題目檢驗所學習觀念是否正確，進而熟練整個單元所習得的概念，因此 數學的學習策略是由多個步驟結合而成，但是卻又不可偏廢，故數學的學習策 略具有整體性。

(2) 調控性和選擇性 數學學習策略在學習過程中的主要作用是學習者對學習活動進行自我調 節和控制，這一特性反映了學習策略的調控性。學生在學習活動中透過學習計 劃的制定、學習方法和措施的選擇與運用、情緒的掌控、注意力的控制、學習 行為的維持與修正、學習過程和結果的評價等方式去體現（陳如敏，2009：19）。 由上述可知，數學的學習者必須掌握學習過程中的自我調控，以及選擇合 適的學習方式，因此數學學習策略具有調控性和選擇性的特點。 (3) 目標性和成效性 數學學習策略是學習者依照其學習目標，所選擇的學習方式。又因學習者 在衡量學習目標的達成過程時，必須考慮以較少的付出獲得較大成功，所以在 採取有效的學習方法時，必須以最佳效益為基本點的，因此數學的學習策略具 有目標性和成效性的特點。 (4) 外顯性和內隱性 學生在解數學問題時，可由其數學算式觀察到學生的思路歷程，但此歷程 只僅於學生選擇該方法作答的過程；並無法觀察到學生選擇程序或邏輯思考的 過程。而在學習數學的過程中，可以了解學生的學習方式，但卻無法完整的了 解其學習的盲點、概念的建構、對符號的理解。因此數學的學習策略具有內隱 的心智活動，亦有外顯的操作程序；具有外顯性和內隱性的特性。 由上述數學學習策略的特性可知，數學學習策略不同於一般的學習策略，更強調了 學習方法的多樣性、系統性，以及選擇數學解題方法的策略、修正並改進自身學習策略 的必要性。不只如此，學習數學除了運用其思考的程序之外，題目的演練也是相當重要。 而本研究的對象為數學學科中，較高層次的微積分內容，實在有必要針對其學習策略作 更深入的研究。

第三節 微積分學習策略

在探討完數學學習策略之後，本節針對微積分學習策略的意義與內涵進行深入的探 討，並整理過去相關的研究結果。

壹、微積分學習策略的意義與內涵

微積分位於基礎數學與高等教育之數學的中間學科，其內容不只是一般中學數學強 調的計算，更具有深層的概念以及理論（辛靜宜、林珊如、葉秋呈，2005）。Tall（1992） 指出許多微積分的初學者，都只是片面的學習其計算部份，但卻沒能對理論的部分有深 入的瞭解。而此種過於依賴公式、偏向程序性的解題，而非觀念的理解，使得學生對於 微積分的學習屬於機械式的了解，並非相關性的理解（黃銀波，1998；謝哲仁，2002； Tall, 1993）。謝哲仁（2002）發現很多學生在求lim1 2 3 ₂ n n n     時，都會將其錯解成 2 2 2 2 1 2 3 lim ( ) n n n n n n     2 2 1 2 lim lim n_n n_n   lim ₂ 0 n n n    ，是因為過度推廣極限 加法的運算定理，忽略了其定理限制必須為有限個。 在微積分的學習中，語言表徵、代數表徵、以及幾何表徵之間的轉換也常常是學生 有困難的地方。微積分的許多觀念，都必須將此三種表徵互相轉換，並深入了解。以極 限的概念來說，學生從極限的直覺概念（語言表徵）跨越到  的形式概念（代數與 幾何表徵）是學生在微積分課程中，最常遇到的困難及感到挫折的地方（白啟光，2005）。 在語言表徵中，口語表達極限(limit)、傾向(tend to)、接近(approaches)等動態的詞語時， 常常造成其與精確的概念有所衝突（Tall, 1993）。在代數表徵中，大部分學生無法理解 有多個量詞的定義，也常常誤認極限的過程只是單純的代數計算，但事實上它伴隨了無 限的概念（Tall, 1993）。在幾何表徵中，黃銀波（1998）認為學生對函數圖形的認識不 夠，因此在學習上主要以記憶為主。由此可知，學生在學習微積分時，常常因為部分語 言、代數、幾何表徵的問題，而影響了整個微積分的觀念建構。 因為上述表徵的轉換問題，連帶影響了微積分的解題。Tall（1993）指出學生常常 無法將真實世界的問題轉換成數學式子，造成應用問題不知如何下手；面對問題，選擇 合適的程序也有困難。Zimmermann（1991）就指出，很多學生在解  sin x dx  



時，大部 分都使用[ cos ] x_，而放棄使用奇函數的觀點解題；在解 ₂3 1 x dx x 



時，也選擇採用較

為複雜的部分分數法(partial fraction)，甚至三角函數法(trigonometric substitution)，而不 採用較為簡單的變數代換法(substitution rule)。

上述大部分的研究都針對學生的學習迷思與困難進行探討，只有少數針對微積分學 習策略的進行研究。前者多著墨在學生學習微積分所遭遇的困難；後者多以學習動機、 學習態度為研究重點（黃冠仁，2006；辛靜宜，2006；葉秋呈，2007），而Gagne, Yekovich, Yekovich（1993）認為把學習策略區分為領域內以及泛領域兩層面，才能深入了解學習 者對特定領域的學習策略。因此研究者認為除了泛學科的學習策略之外，可以以微積分 特有的認知策略為研究重點，進行微積分學習策略的探討。 在泛學科的學習策略方面，研究者挑選泛學科的「焦慮」、「學科價值」、「自我管理」、 「尋求幫助」等四個層面來探討其與微積分學習成效之間的關係。而認知策略方面， Gagne（1985）將數學認知分為「理解能力」和「計算能力」兩種，前者指的是在執行 解題前所需的先備能力；後者指的是執行解題時所需的能力。研究者將認知能力分為「認 知策略」與「解題能力」兩大向度編製成量表，此處的「認知策略」與「解題能力」分 別為Gagne（1985）所提及的「理解能力」和「計算能力」，其內涵探討如下。

一. 認知策略：

數學認知的發展與心理學理論的演進息息相關。陳李綢（1999：520-525）將各學 派對數學認知的看法分為五個不同的論點，描述如下： (1) 連結論

在Thorndike 提出的刺激－反映連結理論（stimulus-response association） 觀點中，所有的行為與知識的學習，都來自於刺激與反應連結的建立（鄭昭明， 2006）。主要將程序性的學習技巧分為練習律與效果律，前者強調練習以增強 連結知識的能力；後者強調回饋能強化刺激與正確反應的連結，削弱刺激與其 他不正確反應的連結。 (2) 完形論 完形論者並不同意Thorndike 的反覆練習論點。他們主張把數學看成一個 整體，是由每個小部份所組成的，而小部份與小部份之間的關係就是學習者應 該學習並重新知覺的知識（鄭昭明，2006）。Brownell（1979）主張「意義化學 說」（meaning theory），認為數學是有意義的學習，了解原理、原則遠比只會作 無意義的計算過程更為重要。 (3) 認知論 Piager 認為兒童的認知結構與成人的認知結構不同，因此在教授數學時， 不能以成人或數學專家的角度編制教材，應該考量兒童的思考歷程，以及配合 其認知發展水準和順序，並且給予操作具體材料的經驗，從操作中學習，使其 發展正確的思考歷程，以利未來學習較深的數學所需之抽象能力。

Bruner 尤其強調須以學生的角度編制教材，如此便能循序漸進的配合學生 認知發展程度，並不需要等待學生認知成熟，因為學習預備度（readiness）是 教出來的。而學生真正所需學習的，並不是數學課程中的片段知識，而是教材 與教材之間意義關聯的「結構」，以及可以獲得此結構與數學知識的過程。 (4) 學習階層論

Gagne 的理論採新行為學派觀點，與 Piager & Bruner 等認知心理學家的 看法有很大的不同。他認為學習數學時，應該先確定整個課程或單元所欲達成 的目標為何，接著以「工作分析」（task analysis）的方法分析要完成這些目標 所需的附屬工作（subordinate task）或子技能（subskills）是什麼。然後，以流 程圖的方式，將這些附屬工作依最合理適當的順序排列，使成為自下而上最容 易產生垂直遷移的「學習階層」。他更強調，學生在學校所學的主要是「心智 技能」，而不是「可語言化知識」（verbalizable knowledge）；即「過程」遠重要 於「成果」。 (5) 訊息處理論 主張此論點的認知心理學家強調人類「知的歷程」，包括知識的獲取、儲 存知識、以及運用知識的過程。Mayer（1980）認為數學學習是獲取知識的歷 程，而不是獲得一種新的行為；問題解決是一連串的心理運作，其目的在改變 知識的表徵，而非只是在學得新行為。因此，問題解決的教學策略應強調對認 知結構的重視，而不是只重視行為的目的；即應偏重於幫助學生了解問題的意 涵，而不是機械化的練習。 綜合上述的各個論點可知，除了「連結論」強調練習的重要性之外，其他的論點都 主張真正深入的了解概念與知識，遠比機械化的練習來的重要。除了對概念了解的重要 性之外，「認知論」更強調以學生的角度教學；「學習階層論」則重視目標的設定；「訊 息處理論」將學習重點放在了解概念的過程。而微積分的內容不只是一般中學數學強調 的計算，更具有深層的概念以及理論（辛靜宜、林珊如、葉秋呈，2005）。因此本研究 採取「訊息處理論」的論點，強調微積分的學習應重視概念理解的過程。 而除了各學派對於數學學習有不同的觀點之外，在數學理解的層次上也有不同的差 異。Skemp（1987：217-247）將數學理解分三種不同程度的理解層次，以下便就各個理 解層次融入微積分學習情境加以整理。 (1) 機械式理解 能硬背公式、定理、解題過程，並應用於特定的問題，但不知道其背後的 原理。此種學生的學習目標只是要算出正確的答案，而Thorndike 的連結論所 強調的反覆練習對於數學的概念連結固然重要，但很有可能陷入機械式理解的

危機。又微積分屬於需要深層理解的學科，因此連結論較不適用於微積分的學 習。 (2) 因果式理解 知道數學概念的原理，並能自行推論、推廣。此種學生的學習目標是要建 立整體的概念結構，並了解其中相互的關聯。而微積分的學習可以藉由因果式 的理解，將概念重新組織，並強化觀念的理解。 (3) 邏輯式理解 能夠老練的以數學化符號、術語，搭配邏輯推理規則，進行形式化的數學 概念證明或推演。此種學生的學習目標與因果式理解相似，但是此種理解不只 是建立整體的概念結構；更重要的是，對於符號的意義與操弄亦合乎邏輯。亦 即此種理解能將符號系統與概念結構作有意義且合乎邏輯的連結。而在前述微 積分的學習困難，不難發現學習者很容易對於數學符號產生混淆，進而產生錯 誤的觀念建構。因此邏輯式的理解是學習微積分真正的理解方式。

Grant & Jay（2008）進一步指出「理解」是有意義的推論，也是具有可遷移的能力， 並將其分成六大層面，敘述如表2-3-1。 表 2-3-1 理解的六大層面分述表 層面 內涵 能說明 透過通則和原理，對於現象、事實、資料等提出可辯解的有系統的敘述； 作出有洞見的連結，並提出闡明性的舉例或例證。 能詮釋 講述有意義的故事；提供適當的翻譯；對概念或事件提出能揭示歷史或 個人層面的說明；使所理解的對象擬人化，或者可透過圖像、軼事、類 比、模式而使其易於說明。 能應用 在多元、真實的情境中，有效利用及採用已知的知能。能「活用」學科。 有觀點 能透過批判的眼光和聽力看出、聽出觀點；能照見全局。 能有同理心 在其他人可能覺得怪異、異類或看似不合理之處發現價值；根據之前的 直接經驗能敏感的覺知。 有自知之明 表現後設認知的覺察力；覺知個人的風格、偏見、心理投射，以及能同 時形塑或阻礙個人理解的心智習性；察覺我們未能理解的事物；省思學 習和經驗的意義。 由表2-3-1 可知，此六大層面的理解可視為將 Skemp（1987）的邏輯式理解再加以 切割並且作廣泛的延伸，以合乎各學科的理解。研究者參考此六大層面，並以「訊息處 理論」的觀點，配合邏輯式理解的內涵，整理出適合「微積分」的認知策略模式。將其 分成「先備知識」、「了解」、「詮釋與連結」、「統整」四個層面，敘述如表2-3-2：

表 2-3-2 微積分認知策略的四個層面分述表 層面 內涵 先備知識 學生具備學習微積分的前置知識。如：函數概念、計算能力。 了解 對於知識能夠以舉例或例證的方式解釋，而不單單只是背誦。 詮釋與連結 對於知識有更深層的了解，除了以舉例的方式解釋之外，更能經過組織 化的過程，以自己的話語表達；並能將其與已知的知識作連結。 統整 能將眾多新的知識，以自己的方式整理、歸納，並做全盤性的了解。

二. 解題能力

雖然美國數學督導協會（National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM）將 解題定義為「利用已學過的知識去處理新的或未知情境的歷程」，但是數學解題並不只 是簡單的利用先前所習得的知識，它也是一個獲得知識、產生學習的過程（Gagne, 1965）。 楊瑞智（1994）將解題能力分為「知識的表現」與「解題的表現」；前者指的是解 題者擁有解決問題的學科知識，而後者指的是解題者能夠運用已知的學科知識，以程序 性的方式，如：四則運算、代數、幾何等，解決問題。鄭昭明（2006）則將解題的方法 分為兩類，一類是「算則解題法」（algorithm），是指運用特定的規則就能將問題解決； 另一類是「策略解題法」（heuristics），是由過去的解題經驗累積而成的解題方法。黃敏 晃（1991）指出解題能力就是解決問題的能力，也就是將學過的知識和技能融會貫通知 後，將其應用在新的情境或問題上。此能力屬於較高層次的認知活動，涉及數學技能、 概念和程序（陳淑均，2007）。而 Chi & Glaser（1985）強調解題初期，必須先以解題者 所擁有的領域相關知識為基礎，建構初步的問題表徵。此表徵的完整性和連貫性決定了 後續思考的效率與正確性。另外，解題者對解題過程的監控，以及對於解答的回顧也是 成功解題的關鍵之一（黃銀波，1998）。以下便將學者對數學解題策略提出的歷程整理 如表2-3-3。 表 2-3-3 學者對數學解題的觀點摘要表 學者 解題策略 內涵 了解問題 將題目再讀一次，將問題轉化成自己的語言，並試著找出關 鍵詞語以及重要的訊息。 Charles & Lester （1984） 解決問題 (1) 嘗試 (a) 寫出符合題目敘述的等式。 (b) 找出符合問題的建模。 (2) 尋找有幫助的工具 (a) 畫圖、製作表格。 (b) 將問題衍伸，或者簡化問題。

表2-3-3 學者對數學解題的觀點摘要表（續） 學者 解題策略 內涵 回答問題 (1) 所有條件是否都使用了。 (2) 過程是否都合乎邏輯。 (2) 評估答案是否合理。 問題轉譯 將問題的每一個陳述句轉譯為內在表徵。在轉譯的過程中， 必須了解句子的意義，亦即需要有「語言知識」。 問題整合 將問題的每個陳述句整合成連貫一致的問題表徵。這種問題 整合歷程需要能夠認識問題的類型，亦即需要有「基模知識」。 解題計畫 及監控 能想出及監控解題計畫。這種解題計畫歷程需要用到捷思法 （heuristics）知識，亦即「策略知識」。 Mayer （1987） 解題執行 能運用算則來解題。正確及自動化的執行算數及代數程序是 根據「程序性知識」。 看清問題 必須充分了解題目的已知數、未知數，確定題目所給的條件 用處。 擬定計畫 (1) 尋找類似經驗： (a) 尋找跟題目相關的定理或觀念。 (b) 思考是否有遇過類似的問題。 (c) 找出已知數與未知數的關係。 (2) 無類似經驗，找輔助工具： (a) 回到定義解題。 (b) 將題目敘述轉換成自己熟悉的語句。 (c) 先解決類似、較簡單的問題，再回到問題本身。 (d) 思考是否有更容易解決問題的方法。 (e) 是否在整個解題的想法中，有使用到所有已知條件。 執行計畫 (1) 實現擬定的計畫。 (2) 針對每個步驟，是否可確定其合理性。 Polya （1993） 驗算 (1) 對於答案是否可檢驗其合理性。 (2) 能否用別的方法導出相同結果。 (3) 能否將結果用於其他問題。 綜合由表 2-3-3 所述的各學者提出的數學解題歷程，可將數學解題各個步驟歸類， 並分為「了解題意」、「解題策略」、「執行解題」、「檢驗工作」四個階段，其內涵敘述如 下（陳淑均，2007）。 (1) 「了解題意」：閱讀題目、重組資料。 (2) 「解題策略」：運用數學相關知識、數學架構、畫圖、簡化問題、發現關係。 (3) 「執行解題」：歸納推理、嘗試計算。 (4) 「檢驗工作」：檢核、將結論推理至其他類似問題。

表 2-3-4 數學解題與學者觀點比較表 研究者採用觀點 Charles & Lester

（1984） Mayer（1987） Polya（1993） 問題整合 了解題意 了解問題 問題轉譯 看清問題 解題策略 解題計畫及監控 擬定計畫 執行解題 解決問題 解題執行 執行計畫 檢驗工作 回答問題 解題計畫及監控 驗算 此一解題歷程的分類與表2-3-3 各學者分類的比較如表 2-3-4。許多研究指出，很多 學生雖然會執行解題策略，但是當真正遇到解題情境時，卻常常不知該用何種策略解決 問題（Schoenfeld, 1992）。因此，以此四階段的解題歷程分類方式編制量表，用以檢核 學習者的解題能力，進而了解學生是在哪個解題環節出了問題。

第四節 數學與微積分學習策略的相關研究

數學學習策略以及微積分學習策略的相關研究中，會針對研究對象的背景資料來了 解其間的差異性或相關性，本研究也依據研究目的來探討相關研究中－性別、就讀高中 地區、大學入學方式、大學所屬學院、參加社團與否、每天平均非學習的電腦使用時數、 數學學習成就等變項在數學或微積分學習策略中的情形，茲分述如下： (1) 性別 Hilton 和 Berglund（1974）發現七歲以前的男、女生在數學能力的表現上 並無顯著差異，但隨年齡的增長，差異的情形也愈大。但是整理部份文獻發現， 國小階段的學生，其數學學習策略的的運用情形大部分都是女生優於男生（黃 量意，2007；陳如敏，2009；洪茂原，2009），而國中的學生就無顯著差異（林 宛瑩，2008；姚如芬，1993）。在高中數學學習上，女生有較高的學習焦慮（陳 怡君，1994）。大學生的數學學習策略運用為女生優於男生（Wadsworth, Husman, Duggan, & Pennington, 2007）。但是微積分學習策略的研究中，性別變項有顯 著差異的層面皆為男生優於女生（黃冠仁，2006；葉秋呈，2007）。Eleanor & Carol（1974）指出男生的解題能力優於女生；但有些學者研究發現，男女生在 數學解題能力的表現沒有顯著差異（鄭秀真，1998）。顯示性別在數學學習策 略的運用情形，並沒有統一的研究結果。 (2) 就讀高中地區 陳如敏（2009）以及黃量意（2007）發現居住地區不同會造成學習策略與 學習成就的不同。而大學學生來自台灣各地，是否因為高中就讀地區不同，而 影響微積分學習策略的運用，是研究者想要了解的。 (3) 大學入學方式 余秋芬（2004）以推薦徵選、申請入學與考試分發三種不同入學方式的學 生進行研究，在不同系別之間，發現經由考試分發入學的理、工學院學生，其 必修科目成績優於以推薦徵選與申請入學方式進入大學的學生。但也有研究指 出推甄生之學業成績優於聯考入學者（陳一如、李弘斌，2000；李文益，2004）。 而對於大學入學方式是否影響微積分學習策略的運用，並沒有找到相關的文獻 資料。 (4) 大學所屬學院 黃冠仁（2006）對於大學生微積分學習態度的研究發現，理學院及工學院 的學生微積分學習態度皆優於醫學院的學生。葉秋呈（2007）發現工學院學生 在內在動機、學科價值、自我期望、自我控制、理解、後設認知等層面優於商

學院學生。而交通大學除了人文社會學院以及客家文化學院的學生不需修習微 積分外，其他學院學生都需修習微積分。因此可以利用此機會探討，學院的不 同是否會造成微積分學習策略的不同。而學習策略的不同往往也造成學習成就 的不同，潘尚怡（2008）以探討大一微積分的平時表現與總結性評量之間的關 係發現，工學院學生在小考成績方面優於理學院與地科學院學生；而會考成績 方面，上學期為理學院優於工學院與地科學院，下學期為工學院優於理學院與 地科學院。 (5) 參加社團與否 葉秋呈（2007）根據教學經驗指出，交男女朋友的學生較易分心，以及打 工學生平時複習學業的時間比較少；但是利用模糊理論的統計結果並未發現其 在微積分學習策略有顯著低分。 (6) 每天平均非學習的電腦使用時數 黃冠仁（2006）研究大學生每周平均上網時間與學習策略的關係發現，學 生不同的上網時間對微積分學習態度並沒有顯著差異。而研究者考慮學生可能 利用上網進行學習，因此將上網時間改為非學習的電腦使用時數，探討是否影 響微積分學習策略。 (7) 微積分學習成就 若把學習成就分為高數學成就組、中數學成就組、低數學成就組，部分研 究顯示高數學成就組的學習動機與學習策略各層面都優於低數學成就組（辛靜 宜、葉秋呈，2006；丁慕玉，2008；黃冠仁，2006）。但也有研究顯示只有部 分的學習策略層面達到高數學成就組優於低數學成就組（Wadsworth et al., 2007）。 而在數學學習策略與學習成就的相關性方面，部分研究顯示兩者呈現正相 關（陳如敏，2009；黃量意，2007；林宛瑩，2008）。但亦有研究顯示預備選 擇社會組的高一學生在學習態度與學習成就間的相關未達顯著（姚如芬， 1993）；學習策略中的自我測驗變項與期末成績呈現負相關（Wadsworth et al., 2007）；「數學焦慮」和「數學學業成就」呈中度負相關（黃量意，2007）。 另外，在大學入學考試成績方面，柳賢（1993）指出大學入學考試的數學 科成績與大一微積分學習成就測驗成績有顯著正相關。也有研究指出學測的英 文成績與入學後的微積分學習是相關的（梁仁馨，2009）。而在大學入學方式 方面，余秋芬（2004）以推薦徵選、申請入學與考試分發三種不同入學方式的 學生進行研究，發現推薦徵選與申請入學方式進入大學的學生，其學測成績與 學習績效並無顯著相關。

第三章 研究設計與實施

本研究旨在探討大一微積分學生的背景變項、大學微積分學習策略各變項與微積分 學習成效之間的關係。本章根據前述的研究動機、目的及相關文獻探討的結果，將本章 分為五節，說明如下：第一節為研究架構；第二節為研究假設；第三節為研究對象；第 四節為研究工具；第五節為資料處理與分析。

第一節 研究架構

依研究目的及文獻探討結果，研究者發現學習者的不同背景變項與微積分學習策略 與微積分學習成效可能有關聯。雖然影響微積分學習成效的因素很多，但本研究強調的 是微積分學習策略對微積分學習成效的影響。其主要目的是要探討不同背景變項的大一 微積分學生其微積分學習策略運用與微積分學習成效之間的關係以及差異情形。 因此根據以上的研究動機、目的、以及文獻探討結果，本研究認為學生的微積分學 習策略，會影響學生的微積分學習成效。此外，研究者也認為不同的背景變項在微積分 學習策略的運用上會有所不同，因此針對研究中所欲探討的變項及其相關性，製程研究 架構圖，如圖3-1-1 所示。

D D C B A 個人背景變項 1. 性別 2. 就讀高中地區 3. 大學入學方式 4. 大學所屬學院 5. 參加社團與否 6. 每天平均非學習 的電腦使用時數 7. 微積分學習成效分組 大學入學成績 1. 學測英文級分 2. 學測數學級分 3. 指考數學甲分數 4. 指考數學乙分數 5. 指考英文分數 大學微積分學習策略 1. 焦慮 2. 學科價值 3. 自我管理 4. 尋求幫助 5. 認知策略 (1) 先備知識 (2) 了解 (3) 詮釋與連結 (4) 統整與歸納 6. 解題能力 (1) 了解題意 (2) 解題策略 (3) 執行解題 (4) 檢驗工作 微積分學習成效 圖 3-1-1 研究架構圖 A：分析不同背景變項的大一微積分學生在微積分學習策略的各變項之差異情形。 B：分析不同背景變項的大一微積分學生在微積分學習成效的差異情形。 C：分析不同的微積分學習成效分組與不同背景變項對其學習策略之差異情形。 D：了解大一微積分學生的學習策略與大學入學成績、微積分學習成效之間的關係程度。

第二節 研究假設

根據本研究的研究目的與研究架構，提出研究假設如下： 假設1：不同背景變項在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-1：不同性別在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-2：就讀高中地區不同在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-3：不同大學入學方式在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-4：不同的大學學院在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-5：參加社團與否在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-6：平均非學習的電腦使用時數不同在微積分學習策略上有顯著差異。 假設1-7：不同微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著差異。 假設2：不同背景變項在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-1：不同性別在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-2：就讀高中地區不同在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-3：不同大學入學方式在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-4：不同的大學學院在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-5：參加社團與否在微積分學習成效上有顯著差異。 假設2-6：平均非學習的電腦使用時數不同在微積分學習成效上有顯著差異。 假設3：背景變項與微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著交作用。 假設3-1：性別與微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著交互作用。 假設3-2：就讀高中地區與微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著交 互作用。 假設3-3：不同大學入學方式與不同微積分學習成效分組在微積分學習策略上 有顯著交互作用。 假設3-4：學院與微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著交互作用。 假設3-5：參加社團與否與微積分學習成效分組在微積分學習策略上有顯著交 互作用。 假設3-6：平均非學習的電腦使用時數與微積分學習成效分組在微積分學習策 略上有顯著交互作用。 假設4：微積分學習策略與微積分學習成效有顯著正相關。 假設5：微積分學習策略與大學入學的英、數成績有顯著正相關。

第三節 研究對象

本研究採問卷調查法，以便利取樣抽取交通大學99 學年度第一學期修習微積分(一) 的應屆大一本籍生為研究對象。 在與該學期微積分各班老師溝通後，共有11 位老師願意在所教授的 14 個班級協助 施測。並在期末會考前一個月內，老師同意的時間前往班上進行施測，所施測的問卷為 「大學微積分學習策略量表」，旨在了解學生該學期學習微積分的學習策略。為減少施 測過程的誤差，均由研究者自己到施測班級進行施測，並在施測結束後立即收回，施測 時間大約10~15 分鐘。共發出 952 份問卷，回收問卷 840 份，扣除任意填答與漏答者、 以及大二以上學生與外籍生，剩餘有效問卷為626 份，可用率 74.5%。其樣本分布狀況 如表3-3-1。 表 3-3-1 大學微積分學習策略量表樣本分配表 項目 類別 次數 百分比 1. 男生 441 70.4 2. 女生 185 29.6 性別 總和 626 100.0 1. 北部 352 56.2 2. 中部 131 20.9 3. 南部 128 20.4 4. 東部 13 2.1 5. 離島 _{2 0.3} 高中就讀地區 總和 626 100.0 1. 推甄申請 274 43.8 2. 繁星 61 9.7 3. 考試分發 282 45.0 4. 運動績優 5 0.8 5. 四技二專 4 0.6 大學入學方式 總和 626 100.0 1. 1 小時以下 11 1.8 2. 1-3 小時 258 41.2 3. 3-5 小時 258 41.2 4. 5 小時以上 99 15.8 每天非學習的電腦使用 時數 總和 626 100.0

表3-3-1 大學微積分學習策略量表樣本分配表（續） 項目 類別 次數 百分比 1. 電機學院 122 19.5 2. 資訊學院 111 17.7 3. 工學院 147 23.5 4. 理學院 101 16.1 5. 生物科技學院 22 3.5 6. 管理學院 110 17.6 7. 光電學院 9 1.4 8. 人文社會學院 1 0.2 9. 客家文化學院 3 0.5 學院別 總和 626 100.0 1. 有參加社團 447 71.4 2. 無參加社團 179 28.6 參加社團與否 總和 626 100.0 1. 高分組 168 26.8 2. 中分組 293 46.8 3. 低分組 160 25.6 4. 缺考 5 0.8 微積分學習成效分組 總和 626 100.0

第四節 研究工具

本研究所使用的工具包括：學生基本資料、大學微積分學習策略量表。茲將各研究 工具說明如下：

壹、學生基本資料

研究者將學生基本資料分為「個人基本資料」以及「大學入學資訊與微積分學習成 效」兩部份，分述如下： (一) 個人基本資料： 此個人基本資料為研究者自編，旨在收集受訪者的個人基本資料。其內容 包括：性別、就讀的高中地區、大學所屬學院、參加社團與否、每天平均非學 習的電腦使用時數。 (二) 大學入學資訊與微積分學習成效 此資料為交通大學所提供，包含學生大學入學方式、學測與指考的數學與 英文成績、以及九十九學年度第一學期微積分會考成績。研究者將微積分會考 成績作為微積分學習成效，並將此分數依27%、46%、27%比例分為高分組、 中分組、低分組。

貳、大學微積分學習策略量表

一. 預試量表編制 研究者根據洪寶蓮（1990）所編制的「大學生學習與讀書策略量表」為主，參考辛 靜宜等人（2005）所編制的「微積分學習動機導向策略問卷」，修改成適合檢測大學微 積分學習策略的量表，並加入「認知策略」以及「解題能力」的模式，遂將此定名為「大 學微積分學習策略預試量表」。此量表分為三個部份，第一部份是受試者的基本資料； 第二部分是泛學科的學習策略，包含：「焦慮」、「學科價值」、「自我管理」、「尋求幫助」。 第三部份是針對數學領域專有的學習策略，包含：「認知策略」、「解題能力」；其中認知 策略包含：「先備知識」、「了解」、「詮釋與連結」、「統整與歸納」，而解題能力包含：「了 解題意」、「解題策略」、「執行解題」、「檢驗工作」。 大學微積分學習策略預試量表採正負向題目混合的方式編制；共有32 題正向題與 23 題反向題。另外增編 1 題測謊題(第 13 題)，與第 5 題為相同的題目，若受試者在此 兩題的作答分數差異超過1，即將此樣本刪除，用以篩檢樣本的品質。

本問卷採用Likert Scale 的五點量尺，以 1 代表非常不符合；2 代表不符合；3 代表 部分符合；4 代表符合；5 代表非常符合。答 1 者給 1 分，答 2 者給 2 分，以此類推。 反向題的記分則相反，答1 者給 5 分，答 2 者給 4 分，以此類推。其各層面題目分配如 表3-4-1。 表 3-4-1 大學微積分學習策略預試量表題目配置 分量表 題數 預試題號 學科價值 6 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 20 焦慮 4 2* , 6* , 10* , 14* 自我管理 5 3* , 7* , 11 , 15 , 18* 尋求幫助 5 4 , 8 , 12* , 16 , 19 先備知識 4 21* , 25* , 29* , 33* 了解 5 22 , 26* , 30* , 34 , 37* 詮釋與連結 5 23 , 27 , 31 , 35 , 38 認知策略 統整與歸納 5 24 , 28 , 32 , 36 , 39 了解題意 4 41* , 45* , 49* , 53 解題策略 5 40 , 42 , 46 , 50* , 54* 執行解題 4 43* , 47 , 51* , 55* 解題能力 檢驗工作 4 44 , 48 , 52 , 56 合計 56 [註]：註記*者，為反向題。 二. 選題程序 本研究預試量表完成並施測後，將漏答、同一答案連續填答超過10 次、以及規律 性做答者刪除，共取得 631 份問卷，並將在第5 題與第 13 題的作答分數差異超過 1 的 樣本刪除，共刪除5 位樣本後，將剩餘的 626 份有效問卷進行「泛學科的學習策略」、「認 知策略」、「解題能力」三部份的選題程序，描述如下： (一) 「泛學科的學習策略」的選題程序 (1) 內部一致性效標分析 在有效問卷中，取量表中第1 題到第 20 題總分最高與最低的各 27%為極 端組，進行平均數差異檢定，如表3-4-2。數據顯示，t 檢定皆達.05 顯著水準， 此階段所有題目皆達選題標準，故全部保留。 (2) 相關分析 以相關分析法計算第1 題到第 20 題各題項與其總分之積差(Pearson)相 關，如表3-4-2。數據顯示，相關係數低於 0.3 或未達顯著水準的題目有第 6、 8、9、19 題，將其予以刪除。

表 3-4-2 「泛學科的學習策略」內部一致性效標分析與相關分析摘要表 題號 T 值 相關(r) 保留(O)或 刪除(X) 題號 T 值 相關(r) 保留(O)或 刪除(X) 1 12.392*** 0.473*** O 11 9.703*** 0.424*** O 2 12.510*** 0.496*** O 12 13.396*** 0.561*** O 3 9.792*** 0.460*** O 14 13.419*** 0.538*** O 4 10.260*** 0.442*** O 15 10.867*** 0.485*** O 5 15.930*** 0.582*** O 16 10.586*** 0.487*** O 6 5.641*** 0.286*** X 17 14.080*** 0.541*** O 7 11.758*** 0.514*** O 18 7.776*** 0.358*** O 8 3.512*** 0.214*** X 19 4.610*** 0.229*** X 9 3.547*** 0.155*** X 20 11.153*** 0.456*** O 10 8.506*** 0.379*** O ***p.001 表 3-4-3 「泛學科的學習策略」因素分析摘要表 因素負荷量 預試量表題號與題目 因素一 因素二 因素三 因素四 10. 即使我已經把微積分考試的內容都準備好了， 但是我仍感到非常焦慮。 .806 14. 面對微積分考試時，我會覺得非常慌張。 .792 2. 每次微積分考試時，我都會擔心考不好。 .714 1. 我認為微積分的學習對我是有用處的。 .852 20. 我覺得我的專業領域會用到微積分， 所以應該學好微積分。 .738 17. 我覺得微積分的學習，有助於提升我解決問題 的能力。 .701 7. 準備微積分的考試時，我常常臨時抱佛腳。 .711 11. 我會在我自己安排的時間內，複習完我所設定 的範圍。 .615 3. 我很少利用做練習題，來幫助自己學習。 .543 16. 我會與同學討論不會作的習題。 .789 4. 學習微積分，遇到有不懂的地方，我會請教別人。 .628 12. 我遇到不懂的微積分內容時，我常常放著不管。 .405 可解釋的總變異量(%) 15.911 15.310 11.633 10.743 累積總變異量(%) 15.911 31.221 42.854 53.597