應用求解

二、彈性基礎上環狀板於分段線性荷重之動力反應推導

2.3 軸對稱環狀板

2.4.3 應用求解

 



i -1 i

f x f x f x

x x ^{(2. 64)}

藉代入 The Newton-Raphson Method 之疊代公式中，故可得另一疊代公式

   

  

   



  



i+1 i

i i -1 i

i -1 i

x = x - f x f x

f x x x x f x f x

(2. 65)

而上式中須二個猜想值，但無須具 Bracketing Method 之特性。

2.4.3 應用求解

如前兩小節所述，分別具有其優缺點。是以本文藉同時引用，以擷取二者之優點，彌補其缺點。因為頻率方程式為一具有無限多組解之超越函式，故先引用 Bracketing Method，以等間距之值作初始猜值(inital gauss)，並利用 Bracketing Method 之通則，藉以判斷於始猜值(inital gauss)間具唯一根值。而於 Bracketing Method 中，為認定是否具唯一根值，故以縮小間距加以檢測。結果，發現頻率方程式之根值間具近似等差之特性，此一發現更助於求根之過程，可藉此將求根之過程無因次化(Non-Dimensionize)。

接著，將 Bracketing Method 所求得約略根值，分別加減一小於間距之值，

以為 The Secant Method 之二個初始猜值(inital gauss)。藉以求頻率方程式之根值。

求解過程中，本文利用 Bracketing Method 作為判斷區間內具唯一根值之技巧。為避免此方法於求根過程缺乏效率，在引用 Open Method 中之 The Secant

Method，由先前之步驟，確定其具收斂性，再利用此法之優點，迅速收斂，求得頻率方程式之根值。

第三章實例分析(振態)

3.1 前言

根據前述軸對稱彈性薄板置於彈性基礎上，考慮其於不同邊界條件下之自然頻率與振態。

3.2 ANSYS 介紹

隨著科技軟體的快速發展，發展出許多 CAE 計算軟體，如 ANSYS、ANSYS 的 LS-DYNA 模組、ABAQUS、MARC、ALGOR、 ADINA、ASKA 等商用軟體。ANSYS 軟體是融合結構、流體、電場、磁場、聲場、分析於一體的大型通用有限元素分析軟體。由世界上最大的有限元素分析軟體公司之一的美國 ANSYS 開發，它可以與多數 CAD 軟體界面結合，展現數據及數值的共享和交換，Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I-DEAS, AutoCAD 等，是現代產品設計中的高階 CAD 工具之一。它能同時分析 MODEL 受到靜力、動力、流力及熱傳等多重物理現象影響時之變化，所以多應用在土木、機械、航太、材料、電子、生物、醫學工程等多種領域。其中的運算原理乃根據有限元素法(Finite element)，

因此當模型建立，並給它相關的參數設定，並加以網格化後，再來只需附加模型的邊界條件，即可直接利用有限元素法來計算。而在 ANSYS 建構模型的部份，

可以利用三種方式，如，利用 GUI 介面建構模型、以指令方式建構模型、以 CAD 軟體建構模型，再輸入 ANSYS 介面，來探討其動力特性。

3.2.1 ANSYS 分析步驟

軟體主要包括三個部分︰前處理，分析計算和後處理。[前處理]提供了一個強大的實體建模及網格劃分工具，可以很方便地建構有限元素模型；[分析計算]

包括結構分析（可進行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，具有靈敏度分析及優化分析能力；[後處理]可將計算結果以色彩顯示、梯度顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到架構內部）等圖形模式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。軟體提供了 100 種以上的單元類型，

用來比擬工程中的各種結構和材料。

啟動 ANSYS 後，進入軟體畫面以後，程式停留在開始平台。從（主選單）

即可進入各處理模組︰PREP7（前處理模組），SOLUTION（求解模組），POST1

（通用後處理模組），POST26（時間歷程後處理模組）。

我們可以使用一些數學軟體來求解頻率參數值，如 Mathlab、Mathematica 將結果得出，來達到輔助的效果。在本文中

若為不使得空解(trivial solution)，則矩陣的行列式值必為零，置此行列式值為零，

可得頻率方程式，將此頻率方程式套入 Mathematica，解算後即可求得頻率參數



。 1000 psi

E 

‧ 對各種板徑值，其振態 m 間具有近似等差之特性，且隨內外半徑比值越大，

特性更明顯。

‧ 利用上述特性，可對頻率參數於固定值時做無因次化(non-dimensional)過程，

亦即先求得內外徑比值為、基礎彈性模數之頻率參數值，當真實內外徑比值均放大 y 倍時，僅須將無因次化之頻率參數值縮小 y 倍，當真實基礎彈性模數值均放大 z 倍時，僅須將無因次化之頻率參數值縮小 z 倍，即為真實頻率參數值。

‧ 表 1.頻率參數值(情況一)

‧ 表 2.頻率參數值(情況二)

‧ 表 3.頻率參數值(情況三)

3.4 自然頻率

求得頻率參數後，代回 2.21 式

D K D

h 



 



可得基礎上環狀彈性板在不同邊界條件情況下之自然頻率。

頻率參數邊界條件一

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 2.55975 6.52796 11.1115 15.6265 n=1 2.58077 6.68065 11.2171 15.7094

頻率參數邊界條件二

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 2.15965 6.08623 10.3667 14.7691 n=1 3.57993 6.77031 10.6883 14.9595

頻率參數邊界條件三

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 6.73396 11.1965 15.6894 20.1802 n=1 6.82961 11.2863 15.764 20.2432

) ( 1 ₃

in K  lb

)

1 0

(

 x 

x

‧ 表 4. Analytical Solution 之自然頻率(情況一)

‧ 表 5. Analytical Solution 之自然頻率(情況二)

‧ 表 6. Analytical Solution 之自然頻率(情況三)

再比對由 ANSYS 所得出之自然頻率

‧ 表 7. ANSYS 之自然頻率(情況一)

‧ 表 8. ANSYS 之自然頻率(情況二)

自然頻率邊界條件一

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.143536 1.717983 3.925607 7.522759 n=1 1.142957 1.764859 3.994468 7.601007

自然頻率邊界條件二

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.134328 1.593625 3.461602 6.738899 n=1 1.191181 1.793311 3.657269 6.908955

自然頻率邊界條件三

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.781694 3.980976 7.582089 12.45574 n=1 1.812503 4.040003 7.652779 12.53300

自然頻率邊界條件一

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.145005 1.724305 3.927228 7.517391 n=1 1.144497 1.770463 3.994675 7.593255

自然頻率邊界條件二

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.135296 1.596834 3.460781 6.730323 n=1 1.192006 1.799006 3.66066 6.905673

‧ 表 9. ANSYS 之自然頻率(情況三)

3.5 振態

頻率參數再代回 2.34 式





 A J r A Y r A I r A K r n r

W

_n( , )



{ ₁_n _n( )



₂_n _n( )



₃_n _n( )



₄_n _n( )}cos

可得基礎上環狀彈性板在不同邊界條件情況下之自由振動各個振態。以下就三種邊界條件情況與 ANSYS 結果加以比對。角度固定為 0 度且沿徑向在不同模態(第一、二、三、四模態)、不同 n(n=0、n=1)值。當 n=0 時所表示為沿軸對稱彈性薄板的角度方向振態呈均值狀態；當 n=1 時所表示為沿軸對稱彈性薄板的角度方向振態呈 cosine shape 狀態。推導結果以及 ANSYS 之結果，皆有以最大振態處為比對基準，乘上一形狀因數(shape factor)近似相較。

自然頻率邊界條件三

第一模態第二模態第三模態第四模態

n=0 1.781701 3.974655 7.564533 12.41725 n=1 1.812201 4.032849 7.634071 12.49657

Analytical solution ANSYS

Analytical solution ANSYS

Analytical solution ANSYS

第四章實例分析(變位)

1000 psi

E 

4.2.1 均佈荷重

當外力荷重沿徑向方向為均佈荷重如圖 28 所示時：

1.邊界條件情況一之變位如圖 29~30 所示，由圖中吾人可知板的變形形狀物理意義符合邊界條件所給定之，簡化後即與材料力學二維狀態內板邊緣固定外板邊緣自由相似，內板變位為零逐步至外板變位達最大值。由圖中吾人也可知由 ANSYS 求出之結果，與本文推導之 n=0 接近等值。且當外力頻率時有此情形，當頻率為亦可觀察相似之結果。

2.邊界條件情況二之變位如圖 31~32 所示，由圖中吾人可知板的變形形狀物理意義符合邊界條件所給定之，簡化後即與材料力學二維狀態內板邊緣自由外板邊緣固定相似，內板變位達最大值逐步至外板變位為零。由圖中吾人也可知由 ANSYS 求出之結果，與本文推導之 n=0 接近等值。且當外力頻率時有此情形，當頻率為亦可觀察相似之結果。

3.邊界條件情況三之變位如圖 33~34 所示，由圖中吾人可知板的變形形狀物理意義符合邊界條件所給定之，簡化後即與材料力學二維狀態內板逼緣固定外板邊緣固定相似，內板變位為零逐步至板中央處變位達最大值，再逐步至外板處變位為零。由圖中吾人也可知由 ANSYS 求出之結果，與本文推導之 n=0 接近等值。

且當外力頻率時有此情形，當頻率為亦可觀察相似之結果。

圖 28. 均佈荷重示意圖

a b

5 rad

 

4.2.2 線性遞減荷重

當外力荷重沿徑向方向為線性遞減荷重如圖 35 所示時：

1.邊界條件情況一之變位如圖 36~37 所示，由圖中吾人可知板的變形形狀物理意義符合邊界條件所給定之，簡化後即與材料力學二維狀態內板邊緣固定外板邊緣自由相似，但考慮荷重情況及彈性基礎，內板變位為零逐步至板中央處變位達最大值，再逐步遞減至外板。由圖中吾人也可知由 ANSYS 求出之結果，與本文推導之 n=0 接近等值。且當外力頻率時有此情形，當頻率為

可觀察相似之結果。

2.邊界條件情況二之變位如圖 38~39 所示，由圖中吾人可知板的變形形狀物理意義符合邊界條件所給定之，簡化後即與材料力學二維狀態內板邊緣自由外板

在文檔中軸對稱板於彈性基礎上受任意載重之研究 (頁 33-0)

二、 彈性基礎上環狀板於分段線性荷重之動力反應推導

2.3 軸對稱環狀板

2.4.3 應用求解

 



   

  

   



  



2.4.3 應用求解

第三章 實例分析(振態)

3.1 前言

3.2 ANSYS 介紹

3.2.1 ANSYS 分析步驟



E 

3.4 自然頻率

D K D

h 



 



in K  lb

 x 

x

3.5 振態











 A J r A Y r A I r A K r n r

W









3.5.1 情況一之振態(環狀板內板為固定端，外板為自由端)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

3.5.2 情況二之振態(環狀板內板為自由端，外板為簡支承)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

3.5.3 情況三之振態(環狀板內板為固定端，外板為固定端)

M odesh ape

Position(in)

Modeshap e

Position(in)

Modeshap e

二、彈性基礎上環狀板於分段線性荷重之動力反應推導

第三章實例分析(振態)

第四章實例分析(變位)