研究動機

按過去之研究，關於軸對稱薄板的外力-變位關係式，在解析解方面，僅能 處理簡單荷重分佈函數。另一方面，利用數值模式所使用之有限元素法或有限插 分法，必須先將平板問題加以劃分網格(mesh)，較缺乏效率。是以本文中，利用 軸對稱薄板所得之解析解，並藉對外力荷重分佈函數於節點間為一線性變化的基 本假設，加以推導印證。於文中，包括垂直變位(vertical translation)，翻轉(rocking) 等，進而在考慮動力模式下，引進板之慣性力，求得軸對稱彈性薄板置於彈性基 礎上的動力反應。並以三種邊界條件(boundary condition)，加以探討。

第二章 彈性基礎上環狀板於分段線性荷重之動力反應推導

2.1 概論

本章推導環狀平板置於彈性半平面之界面模式中，彈性板的動力反應分析。

亦即於運動方程式中，須考慮慣性力(inertia force)，以求軸對稱環型薄板之外力 -變位關係式。因此，引用彈性薄板置於彈性基礎上之動力模式控制方程式，並 級數(Fourier series)依角度展開得以下形式:



^

(1) 垂直擾動(Vertical excitation)，指振態 n = 0

)

(2)翻轉擾動(Rocking excitation)，指振態 n = 1

)

(1)分佈參數系統的振態疊加分析。

首先，採用分離變數法(separation of variables)，並假設變位函數的形式為 )

)

由於線性微分方程之原理(linear differential equations)，上式的完整解可由疊 加法獲得

 



則可得一含貝索函數(Bessel function)之函式



^ 佈荷重建立其對每個傅立葉展開項的荷重強度為沿徑向分段線性(Piecewise Linear)的基本假設，即

p

並進而提出一形狀函數(piecewise linear shape function)，藉以模擬。

 

(i) 內板之邊緣為固定端，則 r = b 處的變位為零。

0 )]

, (

[

W

_n

r 

_rb



(2. 35)

(ii) 內板之邊緣為固定端，則 r= b 處的轉角為零。

) 0 ,

(



 

 





b r n

r r

W 

(2. 36)

(iii) 外板之邊緣為自由端，則 r = a 處的徑向彎矩為零。

0 )

(

M

_{r ra}



(2. 37)

(iv) 外板之邊緣為自由端，則 r = a 處的剪力為零。



0

 

 



 



a r rt

r

r

Q M

V 

^{(2. 38)}

情況二:

b

a

圖 2. 環狀板內板為自由端，外板為簡支承 (i) 內板之邊緣為自由端，則 r = b 處的徑向彎矩為零。

0 )

(

M

_{r rb}



(2. 39)

(ii) 內板之邊緣為自由端，則 r = b 處的剪力為零。



0

 

 



 



b r rt

r

r

Q M

V 

^{(2. 40)}

(iii) 外板之邊緣為簡支承，則 r = a 處的徑向彎矩為零。

0 )

(

M

_{r ra}



(2. 41)

(iv) 外板之邊緣為簡支承，則 r = a 處的變位為零。

0 )]

, (

[

W

_n

r 

_ra



(2. 42)

情況三:

b

a

圖 3. 環狀板內板為固定端，外板為固定端

(i) 內板之邊緣為固定端，則 r = b 處的變位為零。

0 )]

, (

[

W

_n

r 

_rb



(2. 43)

(ii) 內板之邊緣為固定端，則 r= b 處的轉角為零。

) 0

)

)

)

)

若為不使得空解(trivial solution)，則方矩陣的行列式值必為零，至此行列式 值為零，可得頻率方程式，此為一實數系之超越函數，故利用數值方法(勘根定

由 Normal Mode Expansion Method 得知，對上式之每一個項乘以

W

_kl(

r

,



)， 並對板面作積分，因振態之振幅廣義座標，亦即正規座標(Normal Coor.)具正交 之特性，也就是說 展開項的荷重強度為沿徑向分段線性(Piecewise Linear)，整理可得

 ^{  }

p

2.4 頻率方程式求根

為了求解彈性板於自由振動下之振態，因而推導出頻率方程式，然而此數學 式為一含 bessel 函數之超越函式，可得無限多組解，是以藉數值方法求之。引用 兩種數值技巧:

(1) Bracketing Method (2) Open Method

2.4.1 Bracketing Method

本法利用函數於根的兩側，其函數值為異號之特性。因此，需要兩個初始猜 想值(initial gauss)以求根，此二值必須位於真實根之兩側，亦即涵蓋根值之範圍。

故可得以下結論

設一函數 f x ，兩個初始猜想值

 

x ，_l x _u

若 f x

 

l

^

f x

 

u

^

0 ，則



x x ，l^, u



x 區間內有奇數個根。 _u

若 f x

 

l

^

f x

 

u

^

0 ，則



x x ，l^, u



x 區間內有偶數個根或無解。 _u

以上通則，適用於大部分函數，但當函數為與自變數之軸相切，即重根 (multiple root)或為一不連續，則無法引用上述法則。

2.4.2 Open Method

於 Bracketing Method 中，其根為介於兩個初始猜想值之間，而藉不斷引用 其結論，以趨近根值。故可謂其方法具收斂性之優點。而本節之方法，係引用單 一或二個初始猜值，但無須將根值涵蓋於其範圍內。故此法有時會遠離根值，甚 而具發散特性之缺點。但此法具有 Bracketing Method 所不及的優點，也就是當 其收斂時，則收斂速度甚快。

Open Method 可概分為三種:

(1) Simple One-Point Iteration (2) The Newton-Raphson Method (3) The Secant Method

本文引用第三種，設一函數 ^{f x ，利用}

 

F.D.M 可得一次導數之近似式

    ^  

 



i -1 i

i

i -1 i

f x f x f x

x x ^{(2. 64)}

藉代入 The Newton-Raphson Method 之疊代公式中，故可得另一疊代公式

   

  

   



  



i

i+1 i

i

i i -1 i

i

i -1 i

x = x - f x f x

f x x x x f x f x

(2. 65)

而上式中須二個猜想值，但無須具 Bracketing Method 之特性。

2.4.3 應用求解

如前兩小節所述，分別具有其優缺點。是以本文藉同時引用，以擷取二者之 優點，彌補其缺點。因為頻率方程式為一具有無限多組解之超越函式，故先引用 Bracketing Method，以等間距之值作初始猜值(inital gauss)，並利用 Bracketing Method 之通則，藉以判斷於始猜值(inital gauss)間具唯一根值。而於 Bracketing Method 中，為認定是否具唯一根值，故以縮小間距加以檢測。結果，發現頻率 方程式之根值間具近似等差之特性，此一發現更助於求根之過程，可藉此將求根 之過程無因次化(Non-Dimensionize)。

接著，將 Bracketing Method 所求得約略根值，分別加減一小於間距之值，

以為 The Secant Method 之二個初始猜值(inital gauss)。藉以求頻率方程式之根 值。

求解過程中，本文利用 Bracketing Method 作為判斷區間內具唯一根值之技 巧。為避免此方法於求根過程缺乏效率，在引用 Open Method 中之 The Secant

Method，由先前之步驟，確定其具收斂性，再利用此法之優點，迅速收斂，求 得頻率方程式之根值。

第三章 實例分析(振態)

3.1 前言

根據前述軸對稱彈性薄板置於彈性基礎上，考慮其於不同邊界條件下之自然 頻率與振態。

3.2 ANSYS 介紹

隨著科技軟體的快速發展，發展出許多 CAE 計算軟體，如 ANSYS、ANSYS 的 LS-DYNA 模組、ABAQUS、MARC、ALGOR、 ADINA、ASKA 等商用軟 體。ANSYS 軟體是融合結構、流體、電場、磁場、聲場、分析於一體的大型通 用有限元素分析軟體。由世界上最大的有限元素分析軟體公司之一的美國 ANSYS 開發，它可以與多數 CAD 軟體界面結合，展現數據及數值的共享和交 換，Pro/Engineer, NASTRAN, Alogor, I-DEAS, AutoCAD 等，是現代產品設計中 的高階 CAD 工具之一。它能同時分析 MODEL 受到靜力、動力、流力及熱傳等 多重物理現象影響時之變化，所以多應用在土木、機械、航太、材料、電子、生 物、醫學工程等多種領域。其中的運算原理乃根據有限元素法(Finite element)，

因此當模型建立，並給它相關的參數設定，並加以網格化後，再來只需附加模型 的邊界條件，即可直接利用有限元素法來計算。而在 ANSYS 建構 模型的部份，

可以利用三種方式，如，利用 GUI 介面建構模型、以指令方式建構模型、以 CAD 軟體建構模型，再輸入 ANSYS 介面，來探討其動力特性。

3.2.1 ANSYS 分析步驟

軟體主要包括三個部分︰前處理，分析計算和後處理。[前處理]提供了一個 強大的實體建模及網格劃分工具，可以很方便地建 構有限元素模型；[分析計算]

包括結構分析（可進行線性分析、非線性分析和高度非線性分析）、流體動力學 分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場的耦合分析，具有靈敏度 分析 及優化分析能力；[後處理]可將計算結果以色彩顯示、梯度顯示、立體切 片顯示、透明及半透明顯示（可看到架構內部）等圖形模式顯示出 來，也可將 計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。軟體提供了 100 種以上的單元類型，

用來比擬工程中的各種結構和材料。

啟動 ANSYS 後，進入軟體畫面以後，程式停留在開始平台。從（主選單）

即可進入各處理模組︰PREP7（前處理模組），SOLUTION（求解模組），POST1

（通用後處理模組），POST26（時間歷程後處理模組）。

我們可以使用一些數學軟體來求解頻率參數值，如 Mathlab、Mathematica 將結果得出，來達到輔助的效果。在本文中

若為不使得空解(trivial solution)，則矩陣的行列式值必為零，置此行列式值為零，

可得頻率方程式，將此頻率方程式套入 Mathematica，解算後即可求得頻率參數



。 1000 psi

E 

‧ 對各種板徑值，其振態 m 間具有近似等差之特性，且隨內外半徑比值越大，

特性更明顯。

‧ 利用上述特性，可對頻率參數於固定值時做無因次化(non-dimensional)過程，

亦即先求得內外徑比值為 、基礎彈性模數 之頻率參數 值，當真實內外徑比值均放大 y 倍時，僅須將無因次化之頻率參數值縮小 y 倍，當真實基礎彈性模數值均放大 z 倍時，僅須將無因次化之頻率參數值縮 小 z 倍，即為真實頻率參數值。

‧ 表 1.頻率參數值(情況一)

‧ 表 2.頻率參數值(情況二)

‧ 表 3.頻率參數值(情況三)

3.4 自然頻率

求得頻率參數後，代回 2.21 式

D K D

h 



²

4

 



可得基礎上環狀彈性板在不同邊界條件情況下之自然頻率。

頻率參數 邊界條件一

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 2.55975 6.52796 11.1115 15.6265 n=1 2.58077 6.68065 11.2171 15.7094

頻率參數 邊界條件二

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 2.15965 6.08623 10.3667 14.7691 n=1 3.57993 6.77031 10.6883 14.9595

頻率參數 邊界條件三

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 6.73396 11.1965 15.6894 20.1802 n=1 6.82961 11.2863 15.764 20.2432

) ( 1 ₃

in K  lb

)

1 0

(

 x 

x

‧ 表 4. Analytical Solution 之自然頻率(情況一)

‧ 表 5. Analytical Solution 之自然頻率(情況二)

‧ 表 6. Analytical Solution 之自然頻率(情況三)

再比對由 ANSYS 所得出之自然頻率

‧ 表 7. ANSYS 之自然頻率(情況一)

‧ 表 8. ANSYS 之自然頻率(情況二)

自然頻率 邊界條件一

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.143536 1.717983 3.925607 7.522759 n=1 1.142957 1.764859 3.994468 7.601007

自然頻率 邊界條件二

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.134328 1.593625 3.461602 6.738899 n=1 1.191181 1.793311 3.657269 6.908955

自然頻率 邊界條件三

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.781694 3.980976 7.582089 12.45574 n=1 1.812503 4.040003 7.652779 12.53300

自然頻率 邊界條件一

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.145005 1.724305 3.927228 7.517391 n=1 1.144497 1.770463 3.994675 7.593255

自然頻率 邊界條件二

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.135296 1.596834 3.460781 6.730323 n=1 1.192006 1.799006 3.66066 6.905673

‧ 表 9. ANSYS 之自然頻率(情況三)

3.5 振態

頻率參數再代回 2.34 式











 A J r A Y r A I r A K r n r

W

_n( , )



{ _{1n n}( )



_{2n n}( )



_{3n n}( )



_{4n n}( )}cos

可得基礎上環狀彈性板在不同邊界條件情況下之自由振動各個振態。以下就 三種邊界條件情況與 ANSYS 結果加以比對。角度固定為 0 度且沿徑向在不同模 態(第一、二、三、四模態)、不同 n(n=0、n=1)值。當 n=0 時所表示為沿軸對稱 彈性薄板的角度方向振態呈均值狀態；當 n=1 時所表示為沿軸對稱彈性薄板的角 度方向振態呈 cosine shape 狀態。推導結果以及 ANSYS 之結果，皆有以最大振 態處為比對基準，乘上一形狀因數(shape factor)近似相較。

自然頻率 邊界條件三

第一模態 第二模態 第三模態 第四模態

n=0 1.781701 3.974655 7.564533 12.41725 n=1 1.812201 4.032849 7.634071 12.49657

3.5.1 情況一之振態(環狀板內板為固定端，外板為自由端)

圖 4. n=0 在第一模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

圖 5. n=0 在第二模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

圖 6. n=0 在第三模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

圖 7. n=0 在第四模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

圖 8. n=1 在第一模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

圖 9. n=1 在第二模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Modeshap e

Position(in)

Analytical solution ANSYS

圖 10. n=1 在第三模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

圖 10. n=1 在第三模態下沿徑向 ANSYS 與本文推導結果振態

在文檔中 軸對稱板於彈性基礎上受任意載重之研究 (頁 15-0)