第三章 實驗設計
3.3 因子設計與變數分析
3.3.1 反應曲面法
Design Expert 來做計算。
3.3.1 反應曲面法 (Application of response surface methodology)[21]
反應曲面法的主要目的為結合統計和數學技巧來進行檢定來精確地預
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這邊的 項是來自反應 y 所觀測到的雜音或誤差值。此外，假設 為 零，則反應式可改寫為(3-3)式。由(3-3)式所建立之曲面即稱為反應曲面 (response surface)。
)
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最陡上升法或最陡下降法，為使用線性迴歸模型來快速的達到最佳值
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最陡上升法為延著最大反應變數增加之移動程序。反之，如果欲得到 其最小反應變數，則使用最陡下降法。通常，分析步伐是由工程設計之 實際情形來進行分配。最陡上升法會進行實驗直到其反應值不再增加，
再配適一個新的一階模型，持續這個程序直到達最佳點為止。通常其方 法適用於一階線性函數。
通常到達了一階之最佳點後，因為最佳點其可能為曲面，所以使用一 階來表示是較為不恰當的。因此會使用二階之多項式數學模型來適當估 計模擬成具有曲率之反應曲面圖形。二階反應曲面法之設計模型有中央 合成設計(central composite design, CCD)、BOX-Behnken 設計和混合設計 等以上之幾種設計模型。
3.3.3 中心合成設計(Central composite design, CCD)
7 5
1(+1,+1) 6
2(-1,+1)
3(-1,-1)
8
4(+1,-1) 9(0,0)
圖 3-3 二因子之中央合成設計法[21]
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如上述所提及，反應曲面法是有效預估未知系統關係的工具，在反應 曲面中，使用中心合成設計來表示成二階模型是十分有效率之設計。使 用此方法，先找出最接近的變數再模擬設計曲面。如圖 3-3 所示，一個二 變數的中心合成設計組成 2k 因子設計，而設計需要知道軸距和中心點。
在這次的研究在中心設計了五個水準的變數。在中心曲面設計數個重複 理想試驗變數。因此可以在實驗結果排除雜訊。然而，在中心點只有一 次試驗是需要靠數個有限元素模擬設計。所以預測空間是可旋轉的。使 得設計中心點間的距離為相等的，所以預測反應值的變異數在球面上為 常數。
3.3.4 Box-Behnken design (BBD)
-1 -1
-1 +1
+1
+1
圖 3-4 三因子的 Box-Behnken 設計[21]
Box 和 Behnken 發展一個有效的三個水準的設計來適當的描述二階 的反應曲面，這種設計法被稱為 Box-Behnken design (BBD)。使用 BBD 來 設計數目需要大於或等於三。它是一個球面的設計，所有的點在半徑為
2 的球面上。並且，沒有因子的在點或面點上 (如圖 3-4) 。 換句話
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說，BBD 不包含任何立方體由個別的變異數的上下限為立體的頂點。因 此，BBD 的優點就是在立方體角落的點不包含因子水準。這樣可以避免 假如立方體的頂點所代表的因子水準成本太高或製程之測試極限。所以 假若感興趣之預測反應位於末端時，應避免使用 BBD。
3.3.5 其他反應曲面設計
(1)等半徑設計(Equiradial designs)
圖 3-5 兩個變數的六角形等半徑設計[21]
等半徑設計是個特別和有趣的設計，等半徑設計考慮兩個因子。以上 所提及之設計特徵為所有的點等距於圓上之空間中和可旋轉之規則多角 形。
而中心合成設計的二因子設計可用於等效於八角型模型。k=2 可等效 於五角形和六角形 (如圖 3-5 所示)，而所有等效空間的點，也滿足前述之 等效特徵設計。
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(2) 小型的中心合成設計(Small CCD)
為了更有效的解決問題，完整的中心合成設計可以簡化為小型的中心 合成設計透過使用少量的因子。透過這樣的設計，僅需要小數目的試驗 即可得到反應曲面。對 k=2 而言，僅需要一半的因子設計，就可以表示為 全部的試驗數目了。
(3) 混和設計(Hybrid design)
混合設計是具有創造力的點子，混和設計使用了 k-1 因子的中心合成 設計來創造中心對稱的空間設計，這空間中包含了 kth 的因子。它是經濟 的和可旋轉的(或近似可旋轉)來表示因子 k=3,4,6 和 7。
3.4 有限元素設計法 ( Finite element method, FEM)
在 此 以 一 維 軸 向 來 舉 例 ， 先 將 一 維 軸 向 的 元 素 分 割 成 兩 個 元 素 ( element )，分割後則會有三個節點 ( node )，如圖所示。而分割之後的圖 形則成了由元素和節點所組成的離散系統 ( discrete system )，稱此離散的 元素和節點所構成的區域為網格 ( mesh )。如圖 3-6
圖 3-6 一維軸向的有限元素網格[22]
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再帶入邊界條件與求解各節點之位移(node displacement)，即可求解 各節點之作用力與應力。如圖 3-7。
(1) 疊代法 (Fixed- point iteration method or successive substitution)
疊代是使用一個初始估計值出發來找尋其近似解。其求解步驟如圖 3-8 所示。假設要求的節點其方程式為 g(X)，首先將 X0代入方程式中，即 得到 X1 = g(X0)等，依次來逼近求得最接近節點 X 的值，其方程式為(3-12) 式
Xn+1 = g(Xn) (3-12)
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3.5 模擬材料之元素特性與性質
由 ANSYS 這套軟體中的 help 可得知可使用之元素有許多種類，但由 於本研究之模型大多為四邊形和為了較為可靠之可靠度，因此在本研究 中 2D 模型選擇 plane 42。這是由於 plane 42 具有 4 個節點，且 plane 42 的 邊界條件( boundary condition )為軸對稱。而 3D 模型則選擇 Solid 45，這是 因為 Solid 45 為一個三維八節點的元素，它具有 UX、UY 和 UZ 三個方向
3.6.1 接觸蝕刻停止層 (Contact etching stop layer, CESL)
從文獻中可得知可利用不同的 SiH,、氮氣(N)、氦氣(He)氣體流量 比、沉積壓力與電漿功率等可以得到具有張力(tensile)或壓力(compressive) 的氮化矽膜。
在本研究中是使用(3-16)式與(3-17)式，即可推算出 CESL 其應力值對 應之其溫度變化，求出楊氏係數、熱膨脹係數及波松比。其中 L 為長度，
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3.6.2 矽鍺合金 (SiGe alloy)
研究指出，兩種材料的晶格常數不要差別太大，磊晶層的厚度不要超 過某個臨界值，則可以得到晶格匹配的異質界面，且會在生長的磊晶層 發生彈性形變，而產生了張力或壓縮的應變，如圖 3-11(b)所示。應變異 質接面的不匹配應變層生長模式稱為假晶生長。這種假晶生長模式無法 穩定的無限生長，當磊晶層厚度超過臨界值時，使其彈性能量累積到一 定時，應變能量會透過接面附近的錯位缺陷而釋放出來，使得應變層恢 復為完全鬆弛的無應變層。如圖 3-11(c)所示。
由於矽與鍺之晶體結構都是鑽石型結構，所以可以以任意的比例融合 形成 Si1-xGex 合金材料。而矽鍺合晶的晶格常數 a(X)與鍺的組成有關，X 為矽鍺合金中 Ge 的組成(混晶比)，大小為 0<X<1。利用表面矽原子到底 部較大的鍺(Ge)原子拉伸而產生應變，如圖 3.12 和 3.13。而矽鍺的比例會 影響應力值大小，鍺濃度愈大應力值也愈大。
(a)兩種不同的晶格常數 (b)應變接面 (c)鬆弛接面
圖 3-11 應變異質接面的磊晶生長與鬆弛示意圖[6]
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圖 3-12 應變矽在矽鍺層上應變的表現 (拉力) [5]
圖 3-13 左圖為矽(Si)，右圖為矽與鍺(Ge)的混晶比 [1]
為了模擬矽和鍺，因為晶格大小不匹配所造成應變產生，因此在本研 究中使用參考 K. N. Chiang 教授所 2005 年發表之文獻[24]。文獻中提到了 利用虛擬之熱膨脹係數來模擬矽與鍺在晶格常數不匹配下所造成之應 變。
si
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由於兩個材料的晶格大小不匹配，所以我們利用計算之後得到其晶格 不匹配約為 0.4173，再將得到的晶格不匹配的常數乘上鍺所佔的比例即為 其虛擬之熱膨脹係數。
在本研究中設定矽鍺合金材料為線性，由楊氏係數之設定可設為鍺與 矽所佔之合金比例相加，即可得到在不同鍺濃度之矽鍺合金的楊氏係 數。而參數設定如 下式(3-18)所示。波松比則是和矽採用同樣的數值 0.302。
Si1-xGex熱膨脹係數: 0.04173*X
Si1-xGex楊氏係數:169.2*(1-X)+108*X GPa (3-18) Si1-xGex波松比:0.302
3.7 建立有限元素模型[23]
建立有限元素模型有兩種方法，第一種是直接建立節點(node)及元素 (element)，但這種方法只適用於簡單的模型。另外一種是先建立實體模型 再產生網格(mesh)，本研究是使用第二種方法。
而不管 2D 與 3D 之網格化方法有，第一種由電腦產生的 free mesh (或 auto mesh) ， 另 一 種 則 是 透 過 手 動 設 定 mesh 數 來 建 立 網 格 化 ， 稱 為 mapped mesh。ANSYS 三維實體網格化的方法，映射網格是使用六面體元 素所構成，而自由網格是使用四面體 (三角錐) 元素所構成的。 優劣比 較圖如表 3.2 所示。而為了有效率的運算，因此本研究使用 mapped mesh。
而文獻中有提到在模擬半導體元件中，選取不同的節點位置其應力值 也會有所改變。[25]圖 3-14 為本研究所建立的半導體元件之有限元素模型。
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表 3-2 比較 3D 自由網格和 3D 映射網格的優缺點[24]
3D 自由網格 (3D free mesh)
3D 映射網格 (3D mapped mesh)
產生之元素外型 三角錐之四面體元素 六面體元素
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圖 3-14 建立有限元素模型
3.8 設定邊界條件[23]
邊界條件的設定有兩種方法:
(1) 設定在模型上，例如:點、線、面、體積上。
(2) 設定在有限元素的模型上，例如:節點和元素。
第一種方法的優點為重新網格化時，不用重新設定邊界條件。當我們 在設定邊界條件時，會有一個三角形的符號出現，此三角形表示節點之 自由度被固定住。而在本研究中，先設定 x=0 和 z=0 皆為對稱面，且沿著 x=0 的 x 方向位移為零，同樣的 z=0，z 方向其位移也為零。
接著，我們設定 x 與 z 方向的相對位移為零，所以將 y=0 上的節點的 垂直位移為零。
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3.9 半導體模型之驗證
本研究中的模型以文獻為基底，如圖 3-15 所示，源/汲極的地方使用 25 %的矽鍺合金。在上層蓋了一層具有應力的 CESL。接著，驗證本研究 的所建立的模型是否與文獻中的趨勢相似。在有限元素中，2D 的模型表 示其厚度為無窮大[22]，所以當我們的 3D 模型其元件通道厚度 (channel width) 越大時，其應力值應該會與 2D 之趨勢吻合。圖 3-16 為模擬文獻之 實驗結果，從圖 3-16 中可明顯得到本研究之模擬結果與文獻中之趨勢為 一致的，即表示本研究之設定模擬參數條件與文獻結果吻合。
圖 3-15 文獻中模擬 PMOS 建造出 3D 模型 [16]
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圖 3-16 模擬驗證文獻中於 2D 與 3D 之半導體模型 在不同之元件通道厚度下的應力值 [16]
在本研究中，從文獻可得知隨著半導體元件尺寸之微縮，是故使得顯 影技術愈顯得重要[26]，圖 3-18 為半導體元件顯影之示意圖。從圖 3-18 中可得知其半導體元件間之閘極為相連而非分開的。且由文獻可得知 STI(於本研究所使用的為二氧化矽)之楊式係數較閘極(於本研究所使用的 為多晶矽)之楊式係數小，故其材質較為軟。因此當突出之閘極寬度愈來 愈長時，會向下而對元件通道產生應力影響，進而影響載子的遷移率。
因此本研究為了討論其延伸之閘極寬度對半導體元件之影響，故在此 使用 ANSYS 之有限元素分析軟體來模擬其於不同條件下之半導體元件通 道其應力分佈值。本實驗設計之半導體模型其示意圖如圖 3-19 所示，而
因此本研究為了討論其延伸之閘極寬度對半導體元件之影響，故在此 使用 ANSYS 之有限元素分析軟體來模擬其於不同條件下之半導體元件通 道其應力分佈值。本實驗設計之半導體模型其示意圖如圖 3-19 所示，而