括號概念

壹 壹

壹、 、 、 括號概念在數學上的使用 、 括號概念在數學上的使用 括號概念在數學上的使用 括號概念在數學上的使用

括號在數學算式裡常扮演著關鍵的角色，括號會使運算順序改變，

而產生不同的運算結果，且括號可以讓代數式子具有結構性(Gunnarsson, Hernell&Sönnerhed, 2012；Hoch & Dreyfus, 2004；Linchevski&

Livneh,1999)，亦可從日常生活語言中區分出代數語言(Freudenthal,1973, p 305)。

謝堅(2000)認為在併式計算時，人們先形成由左往右依次運算的共 識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發生混淆時，為了要區別先算什麼，

後算什麼，才使用括號來標示先算的部份，形成先算括號部份的共識。

當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時，為了要減少使用括 號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號數最 多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用。但另有學者 認為括號的使用是打破了乘除加減所建立的規則，所以先乘除後加減的 概念發展應先於知道括號內的數字要先作的概念(謝如山，2000)，因此，

二者對於括號使用的目的有著不同的解釋。學者謝如山是從學生在學習 括號使用時，能先具有先乘除後加減的概念，再藉由算式中有無括號的 不同結果來引發學生的認知衝突，強化學生建立括號內先計算的優先概 念。以 1＋7×6 為例，若學生不知道先乘除後加減的規則，會依先前的經 驗，由左而右計算，而在研究活動中出現了 43 與 48 的兩種答案，當學 生理解了先乘除後加減的概念後，為了要使算式答案是 48，可以加上括 號的符號。而學者謝堅是從學生在學習時先強調括號是算式中最優先計 算的部分，再以先乘除後加減的規約來減少算式中括號的使用，顯示因 括號功能的不同而會影響有關括號概念引入學習的方式。

謝如山(2003)認為括號的意義是在於簡化運算，並依運算方式可將括 號區分四種用法為(一)規範運算的先後順序，當使用括號時，括號內的數 字必須先做，順序優於除法或乘法。當括號的使用並未提供較多的資訊 時，這樣的情況則稱為括號多餘法則，如算式 5×3＋2 和(5×3)＋2。(二) 結合律的表現，不論數字組合的順序都產生同樣的結果。(三)分配律的表 現，不使用括號時，一個數字能個別分配給其他兩個數字，及(四)形成符 號改變，當括號前面是加法或是減法時，括號裡數字的符號便會改變，

如：-(a+b)＝-a-b；-(a-b)＝-a+b ，並從謝氏研究得知學生會受到不同括 號概念法則的影響而有誤用的情形。

貳 貳 貳

貳、 、 、 括號概念在課程中的學習 、 括號概念在課程中的學習 括號概念在課程中的學習 括號概念在課程中的學習

國小學童是在三年級學習併式紀錄，並在四年級開始用括號來分辨 情境中的先後順序，在四年級的分年細目提及「4-n-04 能在具體情境中，

解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算」與「4-a-02 能在四則混合 計算中，應用數的運算性質」，說明從引入併式的使用或逐次減項的運算 方法後，才帶入括號的使用，且在教育部(2008)的數學課程綱要中指出四 年級學童應教導使用括號，讓學童能知道括號中的運算要先算，並說明 四則混合計算中的約定為(1)有括號時，括號內的運算先進行；(2)當式子 中只有乘除或只有加減的運算時，由左向右逐步進行；(3)先乘除後加減。

在這個階段所學的運算除了括號內要先算的算則外，亦要運用括號的特 性來作交換律與結合律的運算性質，到了五年級在具體的情境中為了簡 化運算，而引入了分配律的運算性質，六年級則將有關括號的運算性質 應用在分數與小數的單元中。至於符號改變的運算性質在七年級時是在 理解負數特性的指標中說明相反數時引入，並以去括號稱之。因此，我 們可以知道在有關括號運算性質的學習是從國小四年級開始，而相關括 號的應用則是到國中七年級始於完備。有關括號的運算性質在國小與國 中課程對應的能力指標可參考下表 2-2-1。

表 2-2-1 97 課綱國小及國中各階段能力指標對應年級之分年細目表

(續表 2-2-1)

H 版 先乘除 後加減

直接在併式記錄時就引入括號表示先算的部分，

且明確說明把兩個算式合併記成的ㄧ個算式，稱 為併式。併式中先算的部分要加上括號。

N 版 整數

四則

先引入由左而右的計算規則，再以連減的的計算 引入有括號先算的規則，且明確的說明( )叫作括 號，算式中先算的部分，我們習慣用括號表示，

算式中括號裡的要先算。

由表 2-2-2 得知各版本在介紹括號的單元名稱不完全相同，K 版和 N 是以整數四則作為引入括號的單元名稱，但在 H 版是以先乘除後加減作 為引入括號的單元名稱，但三個版本在介紹括號時，都是說明括號是代 表算式中要先算的部分。研究者進一步整理各版本有關括號運算性質在 教材編排的內容，發現各版本在有關括號學習內容的設計是不大相同 的，其整理如下表 2-2-3：

表 2-2-3 K 版與 H 版有關括號教材設計一覽表

說明分開減 300－111－

75 和合起來後再減 300－

目與解題的設計不完全相同，但是主要都是以計算有括號算式及去括號 後算式的結果說明二式的相等，卻未明確地建構二式等值的關係。因此，

國小學童在學習括號概念主要是偏重以計算算式結果的方式來建立有關 括號的運算性質。

從課綱與教材的設計可以得知，國小學童在括號的學習是到了四年 級才開始接觸，但施舜玉(2010)指出學童在國小四年級前即有不同的單元 會出現隱含著括號的算則，且認為括號算則能力在課程綱要中欠缺統整 性。如課綱中三年級的分年細目說明段中提到學童在學習二位數乘以一 位數，如：32×6 的計算時，應理解其意義是 32×6 是 30×6 與 2×6 的和，

其中就有隱含了數字分解的概念，這是在日後學習分配律時所需的能 力。到了四年級時，在教導乘加併式的情境題時，如：「一打鉛筆有 12 枝，文具店有 3 打黃色鉛筆和 7 打粉紅色鉛筆，拆開來放在筆筒裡，共 有多少枝鉛筆？」，這個問題可併式記為 12×(3＋7)＝120 枝鉛筆，亦可 用二步驟併式記為 12×3＋12×7=120，但往往在乘法教學時，僅是教導正 確的直式計算步驟，並未引入分配律的算則。另外課綱在幾何方面有提 到長方形的周長公式，周長＝(長＋寬)×2 或者周長＝長×2＋寬×2，這是 在分配律尚未學到前，學生在四年級時所接觸到「合起來算」與「分開 來算」皆可得到相同結果的經驗，並指出帶分數整數倍的計算教學因分 配律尚未學習，故應留到五年級後再學習。這裡則出現了可以運用分配 律學習的單元，課綱裡的分年係目卻沒有引入分配律算則的學習，顯示 學生在尚未引入分配律的教學前即開始出現有關分配律概念的學習，而 在分配律教材的編排卻未顯現出有需要運用分配律作簡化計算的需求，

使得學生不知道如何使用或何時適合使用分配律的算則使得學生在算術 學習的過程中並未系統性地建立有關括號運算的學習。

參 參 參

參、 、 、 括號概念的發展 、 括號概念的發展 括號概念的發展 括號概念的發展

謝如山(2000)提出了學習括號的理論架構，區分為六個發展層次，分

述如下：

第零層次：能知道先乘除後加減法則，也就是學生知道在算式中那 個部分要先算，且能知道僅含加減符號或僅含乘除符號的算式在程序上 沒有先後的運算關係，只有由左到右的運算規定，這是介紹括號之前的 起點行為，而此時學生並不知道括號的意義。

第一層次：能了解括號的意義，知道括號內的數字要先做，例如：(2+4)

×8，學生能知道 2 和 4 要先加起來後，再乘以 8，也就是學生能知道使 用括號，是要打破先乘除後加減的規定。

第二層次：能知道括號的相關法則，如結合律、分配律等，他們知 道有些情況下不用括號時符號要改變，如：5-(3-2)＝5-3+2，同時也知道 某些情況下使用括號是多餘的，如：5+(3×2)＝5+3×2，但他們會產生誤 用這些法則的現象，也就是說學生在括號多餘的算式中會誤認為是分配 律的算式，如：將 5+(3×2)誤認為是 5×3+5×2。

第三層次：能知道括號要先做的意義，在整數的情境下，應用這些 法則於適當的情況，也就是學生能知道括號相關法則的相互關係，了解 什麼時候可以用結合律、符號改變、括號多餘、分配律的情況，且不會 有誤用的情形，但在此階段尚無法知道所有的題型。

第四層次：能知道各種法則相關的題型，且能清楚的分辨不同題型 的使用情形，其中包含了算式中加減運算符號的不同及括號位置的不同。

第五層次：能使用括號於其他的運算狀況，如：分數、小數、代數 等情境，達到此層次後，才得以作好國中七年級在括號課程的準備。

在謝如山(2000)對國小學童進行有關括號學習的研究發現學童在括 號概念的相關法則中是存有表現的差異，由易到難的是括號多餘、結合 律、分配律及符號改變法則，或許多學童都能將「先乘除後加減，括號 要先算」的口訣朗朗上口，但國小學童不知道括號的意義或無法釐清不 同的括號概念，則只是在括號的運算過程作機械式的計算，則學童會出 現誤解括號概念的情況。以下就學生發展括號概念時可能會出現的錯誤 情形區分為算術與代數的說明。

二、 括號概念的錯誤情形 1

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1、、、 、 括號在算術的表現

國外學者 Herscovics 和 Linchevski(1994)發現七年級學生雖然能答對 8×(5＋7)的算式，但在 5＋6×10 的算式中卻有較多的計算錯誤，因此指出 學生在不含括號的算式運算會受到由左到右計算規則的影響，而可能無 法正確地使用先乘除後加減的運算規則，有國外學者因此認為在 a＋b˙

c 乘積的旁邊插入括號能協助結構感(Linchevski & Livneh ,1999)，甚至有

c 乘積的旁邊插入括號能協助結構感(Linchevski & Livneh ,1999)，甚至有