第一節 第一節 數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 壹 壹 壹
壹、 、 、 整體數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 、 整體數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 整體數學低成就學生在正確性與流暢性的表現情形 整體數學低成就學生在正確性與流暢性的表現 情形 情形 情形
本研究先藉由柯華葳(1999)基礎數學概念評量中的三則運算分測驗 探討整體數學低成就學生在正確性和流暢性的表現，再以三則運算分測 驗的正確性與流暢性表現區分為三組，分別是正常組、僅流暢差組及皆 困難組以探討不同類型的數學低成就學生在正確性與流暢性的表現，以 下以描述統計說明。由表 4-1-1 可以得知，學生在正確性(答對數/答完數)的平均數達.73，
但在流暢性(答對數/全部)的平均分數僅有.44，顯示整體學生(N=76)在三 則運算的正確性的答對率比流暢性的答對率好。
表 4-1-1 數學低成就學生在三則運算答對率統計表
統計值 正確性
(答對數/答完數)
流暢性 (答對數/全部)
M .73 .44
SD .26 .25
最小值 .20 .10 數學低成就學生
最大值 1.00 1.00
貳 貳 貳
貳、 、 、 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的表現 、 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的表現 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的表現 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的表現 情形 情形 情形
情形
由表 4-1-2 得知，依正確性與流暢性區分的三組人數分別為正常組 32 人、僅流暢差組 28 人及皆困難組 16 人，進而知道有半數以上(44 人)未 通過流暢性切截分數，而僅有 16 人未通過正確性切截分數，表示較多的 數學低成就學生在流暢性的表現有困難。
表 4-1-2 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的統計表
壹 壹 壹
最好，而在去括號須變號的表現最差。
表 4-2-2 數學低成就學生在括號概念的變異數分析摘要表
變異來源 SS df MS F P ES 組間 26.41 3 8.80 170.73*** .000 .715 組內 10.52 204 .052
括號 概念
總和 36.92 207
***p<.001
貳
貳 貳
貳、 、 、 小結 、 小結 小結 小結
綜合本節分析結果， 數學低成就學生在四個括號概念的表現有差 異，在去括號不變號的表現最好，其次是括號多餘、分配律去括號及去 括號須變號，其中去括號不變號的平均達對率高達.95，顯示數學低成就 學生在去括號不變號的概念中已具有九成以上的答對率，而數學低成就 學生在分配律去括號和去括號須變號的表現差異是較大的，有的學生可 以完全正確地表現，有的學生卻完全無法正確作答，尤其是去括號時須 要改變括號內的運算符號的表現是最差的，在去括號須變號整體平均答 對率僅有.14，顯示數學低成就學生尚未具備去括號須變號的概念。
第 第 第
第三 三 三節 三 節 節 數學低成就學生在不同括號題型之表現 節 數學低成就學生在不同括號題型之表現 數學低成就學生在不同括號題型之表現 數學低成就學生在不同括號題型之表現
為了解數學低成就學生在不同括號題型答對率的表現，並考驗在不 同括號題型表現的差異情形。先就學生在括號題型的表現情形說明，再 以數學低成就學生的括號概念為自變項，不同括號題型的答對率為依變 項，進行相依樣本單因子變異數分析考驗，最後部分為小結。
壹 壹 壹
壹、 、 、 數學低成就學生在不同括號題型的表現情形 、 數學低成就學生在不同括號題型的表現情形 數學低成就學生在不同括號題型的表現情形 數學低成就學生在不同括號題型的表現情形
本研究的不同括號題型分為數字計算題、代數計算題、數字選擇題 和代數選擇題四個題型。本研究在排除數字和代數選擇題可能猜題作答 的樣本各為 6 個及 3 個後，分別得到數字選擇題的有效樣本是 70 個學
生，代數選擇題的有效樣本是 73 個學生。以下分別以描述統計、相依樣 本單因子變異數分析呈現統計結果。
一、 描述統計
由表 4-3-1 可以得知，數學低成就學生在選擇題的平均答對率略高於 計算題，其中數字選擇題的表現最好(.69)，其他依序是代數選擇題(.67)、
代數計算題(.66)及數字計算題(.61)。四個題型的最大值都是 1.00，表示 有數學低成就學生能在該括號題型完全地正確表現括號概念，但在數字
貳 貳 貳
貳、 、 、 小結 、 小結 小結 小結
綜合本節分析結果，數學低成就學生的括號概念在數字題中選擇題 比計算題表現好，但在代數題中的選擇題和計算題的表現並無差異，而 代數選擇題比數字計算題的表現好，顯示數學低成就學生在選擇題的表 現都比數字計算題好，而沒有比代數計算題好。另外，因數字選擇題和 代數選擇題並無顯著差異，且數字計算題和代數計算題並無顯著差異，
顯示數學低成就學生在括號概念上不會因數字或代數表徵的不同而表現 有差異。
第 第 第
第四 四 四節 四 節 節 不同類型數學低成就學生在不同括號概念之表現 節 不同類型數學低成就學生在不同括號概念之表現 不同類型數學低成就學生在不同括號概念之表現 不同類型數學低成就學生在不同括號概念之表現
本研究依柯華葳(1999)基礎數學概念評量可將數學低成就學生區分 為三個類型，在分別排除排除可能猜題作答的樣本 4 個、2 個及 1 個後 為正常組(28 人)、僅流暢差組(26 人)及皆困難組(15 人)。為了解不同類 型數學低成就學生在不同括號題概念答對率的表現，並考驗在不同類型 學生在括號概念表現的差異情形。先就不同類型的學生在括號概念的表 現情形說明，再以不同類型的數學低成就學生的括號概念為自變項，不 同括號概念的答對率為依變項，進行混合設計二因子變異數分析，以了 解不同類型的學生與括號概念是否有交互作用，最後部分為小結。壹 壹 壹
壹、 、 、 不同類型數學低成就學生在不同括號概念表現情形 、 不同類型數學低成就學生在不同括號概念表現情形 不同類型數學低成就學生在不同括號概念表現情形 不同類型數學低成就學生在不同括號概念表現情形
一、 描述統計由表 4-4-1 可以得知，三組不同類型的數學低成就學生在括號概念的 答對率由高到低是去括號不變號>括號多餘>分配律去括號>去括號須變 號。在各項括號概念表現，各組之最大值為 1.00 表示完全答對，三組中 只有正常組有學生在四個括號概念均得滿分，而僅流暢差組則在前三個 括號概念有學生得滿分，皆困難組僅能在前二個概念有人得滿分，而在 後二個概念表現都沒有人得滿分。若就最小值.00 而言，表示該項完全不 會，三組中都有學生完全不會該概念。
表 4-4-1 不同類型低成就學生在不同括號概念答對率統計表
表 4-4-2 不同類型數學低成就學生在括號概念的變異數分析摘要表 變異來源 SS df MS F P ES
類型 .402 2 .20 3.72** .029 .101
括號概念 24.41 3 8.14 157.27*** .000 .704 類型×括號概 .273 6 .045 .88 .512 .026
組內 13.81 264
受試者間 3.57 66 .054
殘差 10.24 198 .052
總變異 38.90 275
**p<.05，***p<.001
貳 貳 貳
貳、 、 、 小結 、 小結 小結 小結
綜合本節結果分析，數學低成就學生的括號概念與不同類型學生的 表現沒有交互作用，顯示學生在不同括號概念不因不同類型學生的表現 而有不同。而學生在括號概念的表現有顯著的不同，表現最好的是去括 號不變號，其次是括號多餘、分配律去括號，表現最差的是去括號須變 號。
第 第 第
第五 五 五節 五 節 節 不同類型數學低成就學生在不同括號題型之表現 節 不同類型數學低成就學生在不同括號題型之表現 不同類型數學低成就學生在不同括號題型之表現 不同類型數學低成就學生在不同括號題型之表現
為了解不同類型數學低成就學生在不同括號題型答對率的表現，在 分別排除排除可能猜題作答的樣本後，各組人數如下表 4-5-1。並考驗在 不同類型學生在不同括號題型現的差異情形。先就不同類型的學生在括 號題型的表現情形，再以不同類型的數學低成就學生的括號概念為自變 項，不同括號題型的答對率為依變項，進行混合設計二因子變異數分析，最後部分為小結。
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壹、 、 、 不同類型低成就學生在不同括號題型的表現情形 、 不同類型低成就學生在不同括號題型的表現情形 不同類型低成就學生在不同括號題型的表現情形 不同類型低成就學生在不同括號題型的表現情形
一、 描述統計由表 4-5-1 可以得知，正常組的答對率最高的是代數計算題，最差的 是數字計算題；在僅流暢差組的答對率最高的是代數選擇題，最低的是 數字計算題；在皆困難組的答對率最高的是數字選擇題，最低的是代數 計算題。正常組和僅流暢差組是數字計算題答對率最低，皆困難組是代 數計算題答對率最低。前二組在數字計算題的最小值是.00，表示二組皆 有人無法在數字計算題正確的去括號列式。
表 4-5-1 不同類型低成就學生在不同括號題型答對率統計表
統計值 數字計算 代數計算 數字選擇 代數選擇
M .68 .74 .70 .71
(N) (32) (32) (29) (30)
SD .19 .13 .17 .15
最小值 .00 .20 .40 .40 正常組
最大值 1.00 1.00 1.00 1.00
M .57 .66 .66 .67
(N) (28) (28) (26) (27)
SD .25 .15 .16 .15
最小值 .00 .30 .35 .25 僅流暢差組
最大值 .80 .80 .90 .85
M .59 .55 .69 .61
(N) (16) (16) (15) (16)
SD .17 .15 .17 .18
最小值 .30 .30 .35 .40 皆困難組
最大值 .80 .80 1.00 1.00
二、 不同類型數學低成就學生在括號題型的差異考驗
由表 4-5-2 可以得知，不同類型的學生與括號題型的交互作用達顯著
差異(F(6,198) =2.29,p<.05)，效果值是.065，屬於低度關聯強度，在統計上
顯示不同的括號題型的表現會因不同類型數學低成就學生的表現而有所 不同，但在實際的解釋量較低。
表 4-5-2 不同類型數學低成就學生在各括號題型的變異數分析摘要表 變異來源 SS df MS F P ES
類型 .44 2 .22 2.93 .061 .081
括號題型 .18 3 .06 4.15** .007 .059 類型×括號題 .20 6 .03 2.29** .037 .065
組內 7.82 264
受試者間 4.98 66 .08
殘差 2.83 198 .01
總變異 8.64 275
**p<.05
由表 4-5-3 可以得知，不同類型的學生在括號題型的答對率有交互作 用，顯示學生在不同括號題型的答對率中，僅流暢差組和皆困難組在括 號題型中的平均答對率有顯著差異(F(3,198) =5.30,p<.05、
(3,198) 5.50, .05
F = p< )，但在正常組則未有顯著差異，以 LSD 進行事後比較
得知，僅流暢差組在括號題型的答對率表現是數字選擇題和代數選擇題 顯著高於數字計算題，皆困難組在括號題型的答對率表現是數字選擇題 顯著高於數字計算題和代數計算題。從不同題型來分析不同類型的學生 在答對率的表現，顯示不同類型學生的括號概念在代數計算題的答對率 有顯著差異(F(2,264) =.147,p<.05)，以 LSD 進行事後比較得知，三組學生在 代數計算題的答對率表現是正常組和僅流暢差組顯著高於皆困難組。
表 4-5-3 不同類型數學低成就學生在括號題型的單純主要效果摘要表 單純主要效果 SS df MS F 事後比較
括號題型(相依因子)
正常組 .05 3 .015 1.5
僅流暢差組 .16 3 .053 5.30**
數字選擇題、代數選 擇題>數字計算題 皆困難組 .16 3 .055 5.50**
數字選擇題>數字計 算題、代數計算題
誤差(殘差) 2.83 198 .01
類型(獨立因子)
數字計算題 .20 2 .098 3.27**
代數計算題 .30 2 .147 4.90** 正常組、僅流暢差組
>皆困難組
數字選擇題 .03 2 .015 .50 代數選擇題 .11 2 .057 1.90
誤差(殘差) 7.82 264 .03
F.95(3,198)=2.60 F.95(2,264)=3.00
貳
貳 貳
貳、 、 、 小結 、 小結 小結 小結
綜合本節結果分析，不同類型的數學低成就學生與不同括號題型的 表現會有交互作用，表示不同的括號題型會因不同類型學生的表現有所 不同，從單純主要效果的事後比較得知，在僅流暢差組的括號題型表現 是數字選擇題和代數選擇題的表現明顯比數字計算題好，在皆困難組的 括號題型表現是數字選擇題明顯比數字計算題和代數計算題好，顯示二 組在選擇題中辨識括號概念的表現比在計算題中列出去括號算式的表現 好。