國中數學低成就學生在括號概念表現之研究
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(2) 誌 謝 論文寫作讓我真實體悟到ㄧ個學習形成自己知識的過程。首先， 我要感謝指導教授－洪儷瑜老師，對於自己能有機會接受老師的指導 感到很幸運，更要感謝老師每次討論時的費心指導，及甚至有時老師 還空出假日時間來指導，老師亦會關心我的工作與生活，讓我心中有 萬分的感謝。再者，我要感謝吳昭容教授與謝如山教授的指導，給予 了很寶貴且重要的建議，讓我在論文的撰寫方面著實受益匪淺。另外 要感謝倫睿同學，每當我有統計的問題時總是可以為我解惑。接著， 我要感謝楊梅國中夥伴的支持，不僅是在預試工作方面的協助，亦讓 我在工作無虞之下可以專心地完成論文，以及感謝這段期間給我支持 鼓勵的同學與朋友們，讓我有源源不絕的動力前進。最後，但也是最 重要的－我的爸媽和家人，總是默默的支持和關心我，謝謝你們！. 張鈺謙 中華民國 103 年 7 月.
(3) 國中數學低成就學生在括號概念表現之研究 摘. 要. 本研究目的是為了解國中數學低成就學生在括號概念的表現，先以 柯華葳(1999)基礎數學概念評量的三則運算以探討括號概念表現與正確 性與流暢性的關係，再由自編括號概念評量的「數字計算題」 、「代數計 算題」 、「數字選擇題」和「代數選擇題」四種評量方式，以蒐集學生在 「括號多餘」 、「去括號不變號」 、「分配律去括號」及「去括號須變號」 的表現，以探討數學低成就學生在不同括號概念與不同括號題型的表 現。研究對象是以桃園縣某國中七年級數學低成就學生 76 名，並依柯華 葳(1999)基礎數學概念評量三則運算的低分組分數區分為正常組、僅流 暢差組和皆困難組學生。研究統計是以變異數分析數學低成就學生在括 號概念表現的差異。數學低成就學生在括號概念表現分述如下： (1)在基礎數學概念評量三則運算的正確性優於流暢性，正確性平均 通過率超過七成，但流暢性平均通過率未達五成，且半數以上(44 名)學 生在流暢性表現有困難，而僅有 16 名學生在正確性表現有困難。 (2)括號概念的表現以去括號不變號最好，其次依序是括號多餘、分 配律去括號及去括號須變號。不同類型學生在不同括號概念表現之穩定 性有差異，正常組的括號概念答對率顯著較僅流暢差組與皆困難組高， 且僅流暢差組的概念穩定性較皆困難組好。以分配律去括號和去括號須 變號較能區分不同低成就學生在括號概念之表現。 (3)括號概念的表現在數字題與代數題的表現沒有顯著差異，但在選 擇題的表現顯著較計算題好。正常組在不同括號題型表現未達顯著，而 在僅流暢差組與皆困難組在計算題表現顯著較選擇題差，顯示括號概念 發展較差的兩組在括號概念之表現受題型影響，但正常組卻不。 本研究根據研究結果及限制，對數學低成就學生在括號概念的教學 實務及未來研究提出相關建議。 關鍵詞：正確性、流暢性、去括號、括號多餘、分配律、括號概念 I.
(4) The Performance of Parentheses Concept of Junior High Students with Low Mathematics Achievement Abstract The purpose of this study is to identify the performance of parentheses concept of junior high students with low mathematics achievement. Two methods are conducted：(1) Implementing Ko’s “Basic Math Concept Test-Three Arithmetic Operation.” to investigate the relationships between the performance of parentheses concept and accuracy and fluency. (2) Collecting students' performance information in parentheses redundant rule, expanding expression without changing the numeral sign, distributive law,and sign-changed rule by four measurements which cover number calculation,algebra calculation, multiple choice of number, and multiple choice of algebra. There are 76 students with low mathematics achievement screened by government on-line test participating in study. They are divided into three groups, both OK, poor fluency only, both poor. The data is analyzed by ANOVA to test the difference of the performance of parentheses concept of junior high students with low mathematics achievement. The major findings of the study are as follows: (1) The students' accuracy is better than fluency in three arithmetic operation based on Ko’s Basic Math Concept Test. Most students with low mathematics achievement perform well in accuracy assessment, but more than half of students perform poor in the fluency assessment. (2) The best score of performance of parentheses concept is expanding expression without changing numeral sign, then the sequential performance is parentheses redundant rule, distributive law, and sign-changed rule. There’s difference in stability of parenthese performance for the students with different groups. The group of both OK has higher right answer rate significantly than the groups of poor fluency only and both poor. II.
(5) And the group of poor fluency only performs better in stability of parenthese concept than the group of both poor. (3) There's no significant difference of parentheses performance between number questions and algebra questions. However, the performance in multiple- choices is better than in calculation. The students in group of both OK perform non-significantly different among four different parentheses. However, the groups of poor fluency only and both poor perform poorer in calculation items than in multiple -choice ones. The suggestions to mathematic remediation of junior high school and further study about learning of parentheses concept are made on the basis of the study.. Kew words：accuracy、fluency、sign-changed rule、parentheses redundant rule、distributive law、parentheses concept. III.
(6) 目. 錄. 第一章 緒論 第一節 研究動機與目的...................................................................1 第二節 研究問題與研究假設...........................................................3 第三節 名詞解釋...............................................................................5 第二章 文獻探討 第一節 數學低成就學生的學習表現...............................................7 第二節 括號概念.............................................................................11 第三章 研究方法 第一節 研究對象.............................................................................27 第二節 研究設計.............................................................................28 第三節 研究工具.............................................................................29 第四節 研究步驟.............................................................................41 第五節 資料處理與分析.................................................................42 第四章 研究結果 第一節 數學低成就學生在正確性與流暢性的表現.....................44 第二節 數學低成就學生在括號概念之表現.................................45 第三節 數學低成就學生在不同括號題型之表現.........................47 第四節 不同類型數學低成就學生在不同括號概念之表現.........49 IV.
(7) 第五節 不同類型數學低成就學生在不同括號題型之表現.........51 第五章 結果與討論 第一節 數學低成就學生在括號概念的表現情形.........................55 第二節 不同類型數學低成就學生在括號概念表現的差異.........60 第六章 結論與建議 第一節 結論.....................................................................................64 第二節 研究限制.............................................................................66 第三節 建議.....................................................................................68 參考文獻..................................................................................................71 附錄一......................................................................................................78. V.
(8) 表目錄 表 2-2-1. 97 課綱國小及國中各階段能力指標對應年級之分年細目 表..........................................................................................13. 表 2-2-2. 各版本教科書括號名詞表..................................................14. 表 2-2-3. K 版與 H 版有關括號教材設計一覽表.............................16. 表 3-3-1. 括號概念與括號題型的分配表..........................................30. 表 3-3-2. 括號概念的評量目的與題目範例對照表..........................31. 表 3-3-3. 括號題型的評量目的與題目範例對照表..........................32. 表 3-3-4. 數字與代數計算題與括號概念和運算符號對照表..........34. 表 3-3-5. 數字與代數選擇題與括號概念及運算符號對照表..........35. 表 3-3-6. 括號的錯誤情形與評量題目範例對照表..........................36. 表 3-3-7. 數字計算題與代數計算題答對人數百分比統計表 I........38. 表 3-3-8. 數字計算題與代數計算題答對人數百分比統計表 II......39. 表 4-1-1. 數學低成就學生在三則運算答對率統計表......................45. 表 4-1-2. 不同類型數學低成就學生在正確性與流暢性答對率的統 計表......................................................................................46. 表 4-2-1. 數學低成就學生在括號概念答對率的統計表..................47. 表 4-2-2. 數學低成就學生在括號概念的變異數分析摘要表..........48. 表 4-3-1. 數學低成就學生在不同括號題型答對率統計表..............49. 表 4-3-2. 數學低成就學生在括號題型的變異數分析摘要表..........49. 表 4-4-1. 不同類型低成就學生在不同括號概念答對率統計表......51. 表 4-4-2. 不同類型數學低成就學生在括號概念的變異數分析摘要 表..........................................................................................52. 表 4-5-1. 不同類型低成就學生在不同括號題型答對率統計表......53. 表 4-5-2. 不同類型數學低成就學生在各括號題型的變異數分析摘 要表......................................................................................54. VI.
(9) 表 4-5-3. 不同類型數學低成就學生在括號題型的單純主要效果摘 要表......................................................................................55. 表 5-2-1. 不同類型數學低成就學生達括號概念穩定性人數比例 表..........................................................................................62. VII.
(10) 圖目錄 圖 3-2-1. 研究架構圖..........................................................................28. VIII.
(11) 第一章 緒論 第一節 研究動機與目的 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域中指出除了數學知識 外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。這 三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學生數學能力的三個具體面向， 因學生數學能力的發展始於流利的基礎運算和推演、對數學概念的理 解，然後懂得利用基礎的運算能力和數學概念進行推論去解決數學問 題。抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數學語言、 清楚傳達量化、邏輯關係，括號屬於抽象符號，也是算式中的數學語言， 它代表著計算的先後順序，如：5×(3+2)。Subramaniam 和 Banerjee(2004) 認為處理括號能力是算術和代數表徵理解的重要能力，也是運算式子 (unclosed expressions)的基礎能力，而括號符號是從國小數學課程即已出 現，且括號的應用會延續到國中的數學演算，如：負數計算、多項式、 不等式及因式分解等，因此，括號的學習對於國中數學算式的演算是占 有很重要的角色。如果學生無法正確的應用括號的規則，則會阻礙在算 術與代數運算的學習，而熟練數學的運算，係指在能夠理解數學概念或 演算規則的情況下，所進行的純熟操作，這種透過理解並能將觀念與計 算結合的能力，才是演算能力(教育部，2008)。 國外學者 Gunnarsson,Hernell 和 Sönnerhed(2012)研究指出，過度強調 括號優先的教學，如在算式 5+3×2 加上括號強調乘法優先為 5+(3×2)，此 教學方式並未能有效地幫助學生從原先錯誤地使用由左到右計算順序修 正為優先原則的計算，再加上研究者於教學現場以柯華葳(1999)基礎數學 概念評量中的三則運算評量學生時，發現許多數學不好的學生都在三則 運算的表現較差，於是，研究者開始對於括號的學習產生興趣，則開始 閱讀有關括號的文獻，謝如山(2000)在括號學習層次認為國中學生在有關 括號使用的錯誤可能與國小階段的括號學習經驗有關，研究者想先了解 國小學生有關括號的學習情形，故整理了課綱在有關括號算則的能力指 1.
(12) 標和國小有關括號的單元，並且經由訪問桃園縣某國小 2 位分別在中年 級與高年級具有相當數學教學經驗的教師以了解教學現場的實務，得知 有關括號學習的教材編排上顯得較為零碎，缺乏系統性的設計，內容上 都是讓學生以計算的方式來獲得有關括號的算則，括號的教學僅強調優 先計算的使用，並著重讓學生用計算結果的相等去觀察算式的等價，而 未讓學生了解括號的使用會讓算式結構改變，但表示著相同的結果。因 此，學生在括號的學習不管是國小課程編排，還是教學或評量，都是教 導學生在括號的算術思維，缺乏讓學生在括號概念上有關係性的理解。 研究者訪問桃園縣某國中深具數學教學經驗的教師後，得知國中學 生在代數算式的學習通常都會出現有關括號的錯誤，在計算方面的錯誤 情形有(1)去括號時須變號而未變號，(2)在分配律展開括號時分配不完 整，此與研究者整理國內有關括號運算的文獻中提及學生在括號運算的 錯誤情形是一致的(郭汾派，1991、劉天民，1993、陳慶芳，1999、戴文 賓，1999、洪有情，2004、蘇聖峰，2005、李秀麗，2006、曾映程，2007、 楊榮達，2007、郭正仁，2000、簡芳怡，2000、陳瑾儀，2011)。 謝如山(2000)認為括號的意義在於簡化計算，可依括號運算方式可分 為四個用法，如：括號先算、結合律、分配律及符號改變法則，並提出 括號學習的零到五層次，在謝氏探討國小一般學童的括號法則研究得 知，大多數學生是屬於第二層次，即知道括號法則，但是會有誤用的情 形，甚少學生能達到第三層次，另外，在洪有情(2004)探討國中學生在代 數運算的研究中，依代數運算概念分成四個層次，其中包含去括號的難 易區分在不同的層次，因上述研究的對象都是探討一般學生，而目前教 育部因 12 年國民基本教育實施後，推動國民小學及國民中學補救教學實 施方案，針對學習低成就之學生進行個別化補救教學，顯示對於數學低 成就學生學習輔導的重視，因此，研究者欲以國中數學低成就學生為研 究對象，並探討其在括號概念的表現情形為何。 本研究之數學低成就學生是指數學科的學業成就明顯落後一般同 儕，在相關實徵研究指出一般學生與數學低成就學生在數感的表現、工 2.
(13) 作記憶、數學概念、計算能力有顯著差異(李亞惠，2002、黃婉祺，2006、 李後昆，2006、張雅婷，2006)。在計算能力方面，柯華葳(2005)指出數 學學習障礙學生雖能夠正確作答，但運算速度卻很慢，並指出流暢性的 困難對學生在數學的學習是有影響的，且 Haring 和 Eaton(1978)在學習階 段中也認為學生無法類化與應用學到的技能時，可能是因為在流暢性階 段出現困難的影響，而國內已有學者將速度的表現作為學生在閱讀能力 表現的預測的向度(曾世杰，2010、洪儷瑜，2010)，且國內目前甚少有研 究對於國中學生在數學流暢性表現的探討，所以研究者欲了解數學低成 就學生在括號概念的表現與流暢性的關係。 由於國中學生通常出現括號使用的錯誤情形都是從與括號有關的代 數單元中去探討，缺少直接從括號法則去探討學生在有關括號學習表 現，又Booth(1988)認為國中學生在代數學習的困難主要是受到算術中錯 誤觀念的影響，再者，考量有關括號評量文獻中甚少有計算題題型設計， 而為了增加本研究測驗的廣度，故在測驗中設計選擇題與計算題的題 型，以探討括號概念是否與計算題和選擇題的不同作答方式有關，又洪 有情(2004)指出代數運算概念層次與文字符號數量的設計有關，研究者欲 探究國中數學低成就學生在括號的表現是否與數字或代數二者不同的算 式表徵有關，且研究者認為柯華葳(1999)「基礎數學概念評量」中的三則 運算在題數有限，難以診斷不同括號表現的困難，所以研究者欲進一步 編製不同括號表現的診斷測驗，以期能針對不同括號表現困難的數學低 成就學生提供相關具體的教學建議。. 第二節 研究問題與研究假設 壹、 研究問題 根據前述研究動機，本研究主要目的在探討國中數學低成就學生在 括號得的表現為何。本研究之研究問題如下： 一、. 數學低成就學生在括號的正確性和流暢性表現為何？ 3.
(14) 二、. 數學低成就學生在不同括號概念的表現為何？. 三、. 數學低成就學生在不同括號題型的表現為何?. 四、. 不同括號表現類型的數學低成就學生在不同括號概念是否有. 差異? 五、. 不同括號表現類型的數學低成就學生在不同括號題型是否有. 差異?. 貳、 研究假設 以下將分別依據上述研究問題提出本研究之研究假設： 研究假設ㄧ 研究假設ㄧ：數學低成就學生可依基礎數學概念評量的三則運算正確性 與流暢性分為不同類型。 研究假設二： 研究假設二：數學低成就學生在自編括號概念評量中的不同括號概念(括 號多餘、去括號不變號、分配律去括號和去括號須變號)表現上有顯著差 異。 研究假設三： 研究假設三：數學低成就學生在不同括號題型(數字計算題、代數計算 題、數字選擇題及代數選擇題)表現上有顯著差異。 研究假設四： 研究假設四：不同括號表現類型(正確性與流暢性都無困難、正確性與流 暢性都有困難、僅流暢性有困難)的數學低成就學生在不同括號概念的答 對率有顯著差異。 4-1 不同括號表現類型的學生在「括號多餘」的答對率有顯著差異。 4-2 不同括號表現類型的學生在「去括號不變號」的答對率有顯著差異。 4-3 不同括號表現類型的學生在「分配律去括號」的答對率有顯著差異。 4-4 不同括號表現類型的學生在「去括號須變號」的答對率有顯著差異。 研究假設五： 研究假設五：不同括號表現類型的數學低成就學生在不同括號題型的答 對率有顯著差異。 5-1 不同括號表現類型的學生在括號「數字計算題」的答對率有顯著差異。 4.
(15) 5-2 不同括號表現類型的學生在括號「代數計算題」的答對率有顯著差異。 5-3 不同括號表現類型的學生在括號「數字選擇題」的答對率有顯著差異。 5-4 不同括號表現類型的學生在括號「代數選擇題」的答對率有顯著差異。. 第三節 名詞解釋 為了能更清楚地瞭解本研究的用語，茲將本研究涉及的幾個特定名 詞界定如下：. 壹、 數學低成就學生 數學低成就是指在數學學業的表現顯著低於同年級的同儕或其表現 未達能力所預期之水準(洪儷瑜，1995)。本研究的數學低成就學生指的是 桃園縣某國中七年級學生在數學科連續二次未通過國民小學及國民中學 補救教學方案科技化評量(以下簡稱補救教學方案科技化評量)，並排除新 生編班測驗及七年級上學期二次段考在 PR5 以下之學生，即屬於本研究 所稱的數學低成就學生。. 貳、 括號概念 括號是指將事物聚集在一起的一對符號，記為（） ，在數學算式中被 用來說明數字計算的先後順序，如：3×（4＋5） ，表示須先計算括號內的 算式 4＋5，再將括號內的結果與 3 相乘得到 27。在本研究中的括號概念 包含了括號多餘，如：(5×3)+2、去括號不變號，如：5+(3-2)、分配律去 括號，如：5×(2+3)及去括號須變號，如：5-(3-2)。. 參、 括號多餘 當使用括號時，括號內的數字必須先做，順序優於除法或乘法。當 括號的使用並未提供較多的資訊時，這樣的情況則稱為括號多餘法則， 如算式 2+(5×3)=2+5×3 (謝如山，2000)。. 肆、 分配律去括號 分配律是指將數字先加起來再乘以同一個數的結果會等於分開乘以 5.
(16) 相同的數後再算出兩個乘積之和。本研究將具有括號的分配律展開認為 是一個去括號的過程，故以分配律去括號稱之，且亦分為括號在前與括 號在後二種不同的組合。如算式(2+3)×5=2×5+2×3和5×(2+3)=5×2+5×3。 伍、 去括號須變號 當括號前面是是減法時，括號裡數字的符號會改變，這樣的情況則 稱為符號改變法則(謝如山，2000)，在本研究僅探討括號前面是減號的運 算，故稱之為去括號須變號(洪有情，2004)，如算式 9-(1+2)=9-1-2。. 陸、括號題型 本研究的括號題型是依不同的作答方式分為計算題和選擇題，及依 不同的題目表徵分為僅有數字的括號「數字計算題」和括號「數字選擇 題」以及含有文字符號的括號「代數計算題」和括號「代數選擇題」 。. 6.
(17) 第二章 第二章 文獻探討 第一節 數學低成就學生的學習表現 壹、 數學低成就學生的定義 李咏吟(1997)認為教室中常有被教師描述為「夠聰明而不夠用功的學 生」，且其學業成績表現水準明顯低於其學習能力所可以表現者，則藉 定為低成就學生。洪儷瑜(1995)指出低成就在英文的解釋可分為二種，一 種是成就低落(low achievement)，指的是學業表現顯著低於同年級或同年 齡常模，例如成就在群體中為最低的百分之二十；另是低成就 (underachievement)，指的是個人成就表現未達能力或潛力所預期的成就 水準，也就是學生的學業成就表現低於實際學習能力，亦有部分學者採 此標準篩選出學習困難學生(張春興，1999、何英奇、毛國楠、張景媛與 周文欽，2001)。 研究者整理國內在探究數學低成就學生之相關實徵研 究中的操作型定義，一類在指個人成就表現未達能力或潛力所預期的成 就水準中，即以回歸公式計算學生數學表現的預測分數，當學生實際分 數低於預測分數達0.5~1.5個標準差時，則視為數學低成就學生(林逸文， 2002、邱琬婷，2003、蔡文標，2002、黃于真，2005、涂瑞臻，2006、 楊招謨，2008)；一類是指學業成就表現顯著低於同年級或同年齡常模， 即數學成績表現落後全班或全校的學生(俞宗賢，2007、李虹韻，2010)， 另有排除智力低下因素者(黃婉祺，2005、江淑怡，2009、陳媛雯，2011)。 因本研究欲探討在數學成就落後一般同儕的學生在括號學習的表 現，並未探討其成就與潛力之差距，所以本研究指的數學低成就學生是 指在數學科連續二次未通過補救教學方案科技化評量，並排除新生編班 測驗及七年級上學期二次段考在百分等級五以下之學生。. 貳、 數學低成就學生的學習特徵 數學往往是多數學生避之唯恐不及的學科之一，又國中數學科低成 就的比率高於國小的比率(林建平，2010)，且許多國中數學低成就學生在 7.
(18) 回憶自己的學習經驗時，即表示在國小中年級或升上五年級開始，就無 法跟上班級的進度，使得在課堂中不是聽得似懂非懂就是發呆中度過， 從文獻中可知，數學低成就學生有別於一般同儕的學習特徵，分別是認 知能力差、學習態度消極、解題策略的誤用、缺乏後設認知能力等，在 認知能力方面，李亞惠(2002)整理國外有關數學低成就學生的研究，顯示 數學低成就學生在數學學習上的困難有數感、記憶力、理解概念、計算 能力等，以下就有關數學低成就學生的相關文獻作說明(李亞惠，2002、 黃婉祺，2006、李後昆，2006、張祐瑄，2010)： 一、 數感表現 數感包含了「了解數的基本意義」、 「比較數字大小能力」 、「了解數 字運算的結果」 、 「估算」及「合成與分解數字」 ，其中「了解數的基本意 義」包含了解數的不同表徵、位值、計數；「比較數字大小能力」分為 相對大小與絕對大小；「了解數字運算的結果」是指能用意義的方法去 連結數、數與運算和相關符號， 並且能夠利用數和運算的屬性發明策略 來執行心算；「估算」是指不需要靠紙筆計算、合理算出接近答案的特 性；「合成與分解數字」是在於了解數字的等值形式如何促進數字組合 的運算，研究結果顯示數學低成就學生在數感表現上比一般學生表現差。 二、 工作記憶 工作記憶是指在認知歷程中，對接收的訊息進行儲存和運作處理的 能力。研究顯示數學學習困難學生的工作記憶比普通學生差，當學生在 訊息儲存的維持有困難，再加上數學運算、概念理解和處理算式關係， 則會讓數學低成就學生的工作記憶有執行上的困難。李後昆(2006)指出高 工作記憶的數學低成就學生在問題表徵能力優於低工作記憶的學生，蔡 佳錚(1997)亦在研究中指出高、中數學能力學生的工作記憶優於低數學能 力的學生，顯示工作記憶具有區辨數學高低能力的作用。 三、 數學概念 由於數學低成就學生的數學概念的掌握程度不佳，無法運用數學概 念進行列式，導致數學低成就學生無法成功解題(張祐瑄，2010)，而學生 8.
(19) 是透過演算與概念之間反覆的練習與修正，建立符號數學概念，所以只 是檢驗學生的運算能力不一定能真正了解學生是否已發展正確的數學概 念，而在研究中指出高數學概念的數學低成就學生問題表徵能力優於低 數學概念學生(李後昆，2006)。 四、 計算能力 張祐瑄(2010)指出數學能力低成就的學生在算術能力的表現比一般 學生差，且算術能力不佳的學生在解數學文字題的表現亦不佳，所以算 術不佳是數學低成就學生數學不好的原因之一。但從柯華葳(1999)基礎數 學概念評量可以知道計算能力除了正確計算外，還包含了計算速度的表 現，而國內較少探討數學低成就學生在計算速度的表現，所以研究者參 考柯華崴(2005)的研究結果，得知數學學習障礙學生在數學基本概念與運 作的表現中，雖然能正確作答，但運算速度比一般學生差，即使經過多 次練習，其運算的時間卻仍沒有改善的，而當學生遇到不同題型時，其 運算時間會增加，且正確性亦會降低，表示其學習遷移的表現有困難。 所以流暢性的困難不僅會影響正確性的表現，甚至會影響學生在不同情 境下類化運用技能的表現。 Haring 和 Eaton(1978) 提 出 學 習 有 四 個 階 段 ， 依 序 是 技 能 的 獲 得 (acquisition)、流暢(proficiency)、類化(generalization)及應用(application)， 在獲得階段是指學生正確地表現出技能，但尚未能達到精確與流暢，所 以這階段的教學目標是先增進學生正確性的表現；在經熟階段是指當學 生已能精確地表現技能，但尚未能達到流暢性，所以這階段的教學目標 是要增加學生的反應速度，即流暢性；在類化階段是指學生仍未能普遍 地在不同情境表現技能，所以要讓學生能正確地分辨相似的技能，且能 在其他的情境中使用；在應用階段，要讓學生能使用習得的技能去解決 問題。我們通常重視學生學習數學過程中能正確地解題，認為當學生能 正確地回答出答案時，即表示學生已完全習得該技能，往往忽略了學生 在解題速度的表現，從Haring和Eaton(1978)提出的學習階段可知，當學 生無法類化與應用學到的技能時，可能是因為在流暢性階段出現困難的 9.
(20) 影響。 研究者於教學現場中得知國中數學低成就的學生往往在國小中年級 或高年級即開始出現數學學習會跟不上同儕，尤其是到了國中階段，數 學學習落後的情形就更嚴重了，Adelman(1994)提出個人和環境因素對數 學學習的影響是呈現連續線的概念，隨著落後時間的增加，使得學生在 成就與能力應有的預期水準日益擴大，則在數學學習上會顯著的落後一 般同儕，就如低識字能力學生識字量發展會隨著年級增加而加大與一般 學生識字量的差距，使得低識字量學生的閱讀困難出現了馬太效應 (Mathew Effect)，也就是說字彙越多的學生讀更多，而字彙越少的讀更 少，兩者的閱讀表現差距越拉越大(王瓊珠、洪儷瑜、陳秀芬，2007)。而 在閱讀領域，曾世杰(2010)分析近年來的研究中指出快速唸名(Rapid Automatized Naming)對中文閱讀是重要的因素，且中文閱讀障礙的兒童 普遍有快速念名和音韻處理的困難，且國外學者Wolf及其同事依唸名速 度分為有唸名速度困難及沒有念名速度困難的閱讀障礙(引自曾世杰， 2010)，另有國外學者Chall(1996)在識字發展階段強調流暢性或自動化(引 自洪儷瑜，2010)，且洪儷瑜(2010)在評量識字目的除了了解讀者對字形、 字音和字義聯結的正確外，如果加上計時，則可以看到識字自動化的程 度，因此，在閱讀領域已有相關研究在探討速度或流暢性對於閱讀的影 響，但國內目前甚少有研究對於國中學生在數學流暢性表現的探討。 研究者曾於教學現場對國中七年級學生進行基礎數學概念評量(柯華 葳，1999)，發現有學生能正確地計算出答案，但速度緩慢，或不僅速度 緩慢且錯誤多的情形，同時在三則運算上也出現許多的困難，因其評量 是有計時的測驗，可評量學生在三則運算正確性與流暢性的表現，所以 研究者欲基於Haring和Eaton(1978)提出的學習階段，欲了解數學低成就 學生在括號表現與正確性和流暢性表現的關係。從數學低成就學生的學 習特徵得知，其工作記憶的表現不佳是影響數學學習的因素之一，因本 研究目的是要了解數學低成就學生在括號概念的表現，研究者為避免學 生因工作記憶的困難，而無法實際評量到學生在括號概念的表現，所以 10.
(21) 在自編試題的計算題指導語以示例提示作答方式，並僅需正確地列出算 式，來降低數學低成就學生在計算題所需工作記憶的負荷，以便得知學 生在括號概念的實際表現。. 第二節 括號概念 壹、 括號概念在數學上的使用 括號在數學算式裡常扮演著關鍵的角色，括號會使運算順序改變， 而產生不同的運算結果，且括號可以讓代數式子具有結構性(Gunnarsson, Hernell&Sönnerhed, 2012；Hoch & Dreyfus, 2004；Linchevski& Livneh,1999)，亦可從日常生活語言中區分出代數語言(Freudenthal,1973, p 305)。 謝堅(2000)認為在併式計算時，人們先形成由左往右依次運算的共 識；但是當步驟愈來愈多或運算次序發生混淆時，為了要區別先算什麼， 後算什麼，才使用括號來標示先算的部份，形成先算括號部份的共識。 當問題更複雜，使用相同或不同的括號愈來愈多時，為了要減少使用括 號的次數與種類，人們發現先乘除後加減的約定可以省略的括號數最 多，所以又形成先乘除後加減的共識，來減少括號的使用。但另有學者 認為括號的使用是打破了乘除加減所建立的規則，所以先乘除後加減的 概念發展應先於知道括號內的數字要先作的概念(謝如山，2000)，因此， 二者對於括號使用的目的有著不同的解釋。學者謝如山是從學生在學習 括號使用時，能先具有先乘除後加減的概念，再藉由算式中有無括號的 不同結果來引發學生的認知衝突，強化學生建立括號內先計算的優先概 念。以 1＋7×6 為例，若學生不知道先乘除後加減的規則，會依先前的經 驗，由左而右計算，而在研究活動中出現了 43 與 48 的兩種答案，當學 生理解了先乘除後加減的概念後，為了要使算式答案是 48，可以加上括 號的符號。而學者謝堅是從學生在學習時先強調括號是算式中最優先計 算的部分，再以先乘除後加減的規約來減少算式中括號的使用，顯示因 括號功能的不同而會影響有關括號概念引入學習的方式。 11.
(22) 謝如山(2003)認為括號的意義是在於簡化運算，並依運算方式可將括 號區分四種用法為(一)規範運算的先後順序，當使用括號時，括號內的數 字必須先做，順序優於除法或乘法。當括號的使用並未提供較多的資訊 時，這樣的情況則稱為括號多餘法則，如算式 5×3＋2 和(5×3)＋2。(二) 結合律的表現，不論數字組合的順序都產生同樣的結果。(三)分配律的表 現，不使用括號時，一個數字能個別分配給其他兩個數字，及(四)形成符 號改變，當括號前面是加法或是減法時，括號裡數字的符號便會改變， 如：-(a+b)＝-a-b；-(a-b)＝-a+b ，並從謝氏研究得知學生會受到不同括 號概念法則的影響而有誤用的情形。. 貳、 括號概念在課程中的學習 一、. 括號學習在課程綱要的實施. 國小學童是在三年級學習併式紀錄，並在四年級開始用括號來分辨 情境中的先後順序，在四年級的分年細目提及「4-n-04 能在具體情境中， 解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算」與「4-a-02 能在四則混合 計算中，應用數的運算性質」 ，說明從引入併式的使用或逐次減項的運算 方法後，才帶入括號的使用，且在教育部(2008)的數學課程綱要中指出四 年級學童應教導使用括號，讓學童能知道括號中的運算要先算，並說明 四則混合計算中的約定為(1)有括號時，括號內的運算先進行；(2)當式子 中只有乘除或只有加減的運算時，由左向右逐步進行；(3)先乘除後加減。 在這個階段所學的運算除了括號內要先算的算則外，亦要運用括號的特 性來作交換律與結合律的運算性質，到了五年級在具體的情境中為了簡 化運算，而引入了分配律的運算性質，六年級則將有關括號的運算性質 應用在分數與小數的單元中。至於符號改變的運算性質在七年級時是在 理解負數特性的指標中說明相反數時引入，並以去括號稱之。因此，我 們可以知道在有關括號運算性質的學習是從國小四年級開始，而相關括 號的應用則是到國中七年級始於完備。有關括號的運算性質在國小與國 中課程對應的能力指標可參考下表 2-2-1。 12.
(23) 表 2-2-1 97 課綱國小及國中各階段能力指標對應年級之分年細目表 分年細目. 年級. (註一). 對照指標 (註二). 四年級 4-n-05. 能做整數四則混合計算(兩步驟)。. 4-a-01. 能在具體情境中，理解乘法結合律。. 4-a-02. N-2-07 A-2-03. 能在四則混合計算中，運用數的運算性質。. A-2-02 N-2-07 A-2-01. 五年級 5-n-03. 5-a-01. 能熟練整數四則混合計算。. N-3-02 A-3-01. 能在具體情境中，理解乘法對加法的分配. N-3-02. 律，並運用於簡化計算。. A-3-01. 能在具體情境中，理解先乘再除與先除再乘 5-a-02. 的結果相同，也理解連除兩數相當於除以此. A-3-01. 兩數之積。 5-a-03. 能熟練運用四則運算的性質，做整數四則混. N-3-02. 合計算。. A-3-01 七年級. 能理解負數的特性並熟練數的四則混合運 7-n-06. N-4-05 N-4-06. 算。. N-4-08 7-n-07. 7-a-01. 能熟練數的運算規則。. N-4-08 A-4-02. 能熟練符號的意義，及其代數運算。. A-4-01 A-4-02. 13.
(24) (續表 2-2-1) 7-a-02. 能用符號算式記錄生活情境中的數學問題。. A-4-04 能理解一元一次方程式及其解的意義，並能. 7-a-03. A-4-03. 由具體情境中列出一元一次方程式。. A-4-03 A-4-06 A-4-07. 7-a-06. 能理解二元一次方程式及其解的意義，並能. A-4-03. 由具體情境中列出二元一次方程式。. A-4-09. 八年級 8-n-03. 能理解根式的化簡及四則運算。. N-4-12. 8-a-01. 能熟練二次式的乘法公式。. A-4-13. 8-a-04. 能熟練多項式的加、減、乘、除四則運算。. A-4-14. 8-a-06. 能理解二次多項式因式分解的意義。. A-4-16. 註一：分年細目三碼，第一碼表示年級，分別以8、9表示八、九年級；第二碼表示 主題，以小寫字母n和a表示「數與量」和「代數」；第三碼則是流水號。 註二：能力指標三碼，第一碼表示主題，分別以字母 N 和 A 表示「數與量」和「代 數」；第二碼表示階段，分別以 2, 3, 4 表示第二(四、五年級)、三(六、七年級) 和四(八、九年級)階段；第三碼則是流水號。. 二、. 括號學習在教材上的編排. 目前坊間的教科書大多是符合謝堅(2000)提出括號的功能來作為教 材設計的脈絡，但在各版本介紹括號的單元與編排不盡相同，下表 2-2-2 為研究者以教科書 K 版、H 板和 N 版的教材中介紹括號名詞的整理。 表 2-2-2 各版本教科書括號名詞表 版本. K版. 單元. 括號名詞的介紹. 名稱 整數四. 讓學生在先算的部分作上記號，在說明數學上用. 則計算. ( )表示先算的部分。 14.
(25) H版. 先乘除 後加減. 直接在併式記錄時就引入括號表示先算的部分， 且明確說明把兩個算式合併記成的ㄧ個算式，稱 為併式。併式中先算的部分要加上括號。 先引入由左而右的計算規則，再以連減的的計算. N版. 整數. 引入有括號先算的規則，且明確的說明( )叫作括. 四則. 號，算式中先算的部分，我們習慣用括號表示， 算式中括號裡的要先算。. 由表 2-2-2 得知各版本在介紹括號的單元名稱不完全相同，K 版和 N 是以整數四則作為引入括號的單元名稱，但在 H 版是以先乘除後加減作 為引入括號的單元名稱，但三個版本在介紹括號時，都是說明括號是代 表算式中要先算的部分。研究者進一步整理各版本有關括號運算性質在 教材編排的內容，發現各版本在有關括號學習內容的設計是不大相同 的，其整理如下表 2-2-3：. 15.
(26) 表 2-2-3 K 版與 H 版有關括號教材設計一覽表 教材版本 教材設計. K版. H版. 讓學童產生認知的衝突 引入括號算式 的設計. 來了解括號的使用，讓學 直接宣告用一個算式記 童察覺不同的併式記錄 錄時，先算的部分要加上 會因先算的部分不一樣 括號。 而產生相同的結果. 分配律算式 的設計. 輔以圖形表徵，且以長方 形面積讓學生察覺加乘 分配律的使用。. 讓學生覺察二種算式會 得到相同的答案外，也讓 學生比較哪一種算式比 較方便。. 說明分開減 300－111－. 數線表徵及情境題設計. 75 和合起來後再減 300－ 的方式，以併式記錄連減 (111＋75)的計算結果一 去括號算式 的設計. 和加減混合併式的問. 樣，僅說明算式中應先算 題，讓學童知道二式的結 括號內的算式，但卻未提 果相等，如： 16－(5－3) 及算式去括號時數量關. 和 16－5－3 的答案不一. 係的改變。. 樣，說明括號在後面的連 續加減，不可以任意省略 括號。. 由表 2-2-3 得知四則運算單元中有不包含括號及包含括號的算式，在 引入括號算式後有關括號的運算性質為分配律及去括號算式，但國小未 提及去括號的名詞。各版本教材在引用括號算式時，題目設計方面有的 是以情境布題，有的是以圖形表徵，解題歷程方面有的是讓學生產生認 知衝突以察覺有無括號算式的差異，有的是直接說明括號的作用，所以 童會因使用版本的不同而有不同學習括號的經驗。雖然各版本教材在題 16.
(27) 目與解題的設計不完全相同，但是主要都是以計算有括號算式及去括號 後算式的結果說明二式的相等，卻未明確地建構二式等值的關係。因此， 國小學童在學習括號概念主要是偏重以計算算式結果的方式來建立有關 括號的運算性質。 從課綱與教材的設計可以得知，國小學童在括號的學習是到了四年 級才開始接觸，但施舜玉(2010)指出學童在國小四年級前即有不同的單元 會出現隱含著括號的算則，且認為括號算則能力在課程綱要中欠缺統整 性。如課綱中三年級的分年細目說明段中提到學童在學習二位數乘以一 位數，如：32×6 的計算時，應理解其意義是 32×6 是 30×6 與 2×6 的和， 其中就有隱含了數字分解的概念，這是在日後學習分配律時所需的能 力。到了四年級時，在教導乘加併式的情境題時，如：「一打鉛筆有 12 枝，文具店有 3 打黃色鉛筆和 7 打粉紅色鉛筆，拆開來放在筆筒裡，共 有多少枝鉛筆？」，這個問題可併式記為 12×(3＋7)＝120 枝鉛筆，亦可 用二步驟併式記為 12×3＋12×7=120，但往往在乘法教學時，僅是教導正 確的直式計算步驟，並未引入分配律的算則。另外課綱在幾何方面有提 到長方形的周長公式，周長＝(長＋寬)×2 或者周長＝長×2＋寬×2，這是 在分配律尚未學到前，學生在四年級時所接觸到「合起來算」與「分開 來算」皆可得到相同結果的經驗，並指出帶分數整數倍的計算教學因分 配律尚未學習，故應留到五年級後再學習。這裡則出現了可以運用分配 律學習的單元，課綱裡的分年係目卻沒有引入分配律算則的學習，顯示 學生在尚未引入分配律的教學前即開始出現有關分配律概念的學習，而 在分配律教材的編排卻未顯現出有需要運用分配律作簡化計算的需求， 使得學生不知道如何使用或何時適合使用分配律的算則使得學生在算術 學習的過程中並未系統性地建立有關括號運算的學習。. 參、 括號概念的發展 一、. 括號學習的層次. 謝如山(2000)提出了學習括號的理論架構，區分為六個發展層次，分 17.
(28) 述如下： 第零層次：能知道先乘除後加減法則，也就是學生知道在算式中那 個部分要先算，且能知道僅含加減符號或僅含乘除符號的算式在程序上 沒有先後的運算關係，只有由左到右的運算規定，這是介紹括號之前的 起點行為，而此時學生並不知道括號的意義。 第一層次：能了解括號的意義，知道括號內的數字要先做，例如：(2+4) ×8，學生能知道 2 和 4 要先加起來後，再乘以 8，也就是學生能知道使 用括號，是要打破先乘除後加減的規定。 第二層次：能知道括號的相關法則，如結合律、分配律等，他們知 道有些情況下不用括號時符號要改變，如：5-(3-2)＝5-3+2，同時也知道 某些情況下使用括號是多餘的，如：5+(3×2)＝5+3×2，但他們會產生誤 用這些法則的現象，也就是說學生在括號多餘的算式中會誤認為是分配 律的算式，如：將 5+(3×2)誤認為是 5×3+5×2。 第三層次：能知道括號要先做的意義，在整數的情境下，應用這些 法則於適當的情況，也就是學生能知道括號相關法則的相互關係，了解 什麼時候可以用結合律、符號改變、括號多餘、分配律的情況，且不會 有誤用的情形，但在此階段尚無法知道所有的題型。 第四層次：能知道各種法則相關的題型，且能清楚的分辨不同題型 的使用情形，其中包含了算式中加減運算符號的不同及括號位置的不同。 第五層次：能使用括號於其他的運算狀況，如：分數、小數、代數 等情境，達到此層次後，才得以作好國中七年級在括號課程的準備。 在謝如山(2000)對國小學童進行有關括號學習的研究發現學童在括 號概念的相關法則中是存有表現的差異，由易到難的是括號多餘、結合 律、分配律及符號改變法則，或許多學童都能將「先乘除後加減，括號 要先算」的口訣朗朗上口，但國小學童不知道括號的意義或無法釐清不 同的括號概念，則只是在括號的運算過程作機械式的計算，則學童會出 現誤解括號概念的情況。以下就學生發展括號概念時可能會出現的錯誤 情形區分為算術與代數的說明。 18.
(29) 二、 1、. 括號概念的錯誤情形 括號在算術的表現. 國外學者 Herscovics 和 Linchevski(1994)發現七年級學生雖然能答對 8×(5＋7)的算式，但在 5＋6×10 的算式中卻有較多的計算錯誤，因此指出 學生在不含括號的算式運算會受到由左到右計算規則的影響，而可能無 法正確地使用先乘除後加減的運算規則，有國外學者因此認為在 a＋b˙ c 乘積的旁邊插入括號能協助結構感(Linchevski & Livneh ,1999)，甚至有 學者證實強調括號能促進簡單算術算式的成功率(Marchini & Papadopoulos ,2011)，但 Gunnarsson,Hernell 和 Sönnerhed(2012) 將研究對 象分為強調括號教學的實驗組和接受括號僅是先算規則教學的對照組， 研究結果顯示實驗組教學的成效在統計上比對照組要低，也就是說強調 括號的教學可能會讓學生過度依賴括號的使用，反而阻礙學生從學習由 左到右的計算策略轉換到優先法則的學習。因此，研究者認為在算式 a ＋b˙c 以括號強調乘法先算的算式為 a+(b˙c)，即以括號表示優先計算 (4×3)，學生仍無法將 9+(4×3)與 9+4×3 視為一樣的算式。這在謝如山(2000) 在括號學習層次中是稱為括號多餘法則，即學生可能在括號多餘的算式 中無法正確地作答或受到其他算則的混淆，如：學生會誤將 9+(4×3)視為 9×(4+3)一樣的算式。研究者為了解國中學生在有關括號的算術表現，整 理國內探討國中學生在整數與分數四則運算的錯誤類型之研究(劉天 民，1993、陳慶芳，1999、蘇聖峰，2005、李秀麗，2006)，有關研究是 以問卷調查、自編測驗及晤談來分析學生在四則運算的錯誤類型，相關 說明如下： (1) 受到由左到右的計算錯誤 在正負數的四則運算會不考慮優先法則，而依照由左到右的 計算順序解題，如：-5+3×(-4)=(-2)×(-4)=8 (2) 直接省略括號的錯誤 19.
(30) 在計算分配律算式時會有分配不完整或直接去括號的情形， 如：-2×[7+(-3)]=-2×7+(-3)、. 2 1 3 2 1 3 − − ×6 = − − × 6 。 3 2 4 3 2 4. (3) 去括號未改變符號的錯誤 在去括號時會不考慮括號前後的運算情形，在括號前面是負 號時，應該變號的算式而未變號，如： 2 − 1 − 3 = 2 − 1 − 3 ，且有 3 2. 4. 3. 2. 4. 研究指出 7+(-8+27)的答對率比 4-(-6+35)的題型高(陳慶芳， 1999)。 國外學者 Linchevski 和 Livneh(1999)認為學生計算 31＋4＋6 時，會 被鼓勵先計算 4＋6，則寫成 31＋(4＋6)，若學生過度應用這計算方式到 31－4＋6 時，則會寫成 31－(4＋6)，這個現象被稱為分離的運算程序 (detachment)。研究者認為分離的運算程序錯誤情形或許可以說明學童在 去括號時沒有變號的錯誤，如：因 27-5+3 會視為 27-(5+3)，反之，學童 在 27-(5+3)去括號計算時則受到分離的影響而沒有變號，這可能是學童 認為加減的先後順序不影響結果，且認為括號只是表示哪個先算時，學 童就很可能會受到由左而右的計算觀念或是在算式中選擇較好計算的部 分先算，如：認為先做 27-5 再加 3 和先做 5+3 再和 27 相減是一樣的意 思，或認為 27-5+3 中，5+3 較容易計算而先算。又這樣的分離運算程序 錯誤會影響到代數的解題，如：4＋n−2＋5 可能會錯誤地被認為是 4＋ n−7。因此，Linchevski 和 Livneh(1999) 指出學生在代數結構的困難是因 為缺乏算術結構的概念，且早期的計算經驗會影響算式結構的學習。 另外在陳慶芳(1999)提出算式中括號的位置不同，而學生在算術使用 的計算方式也會不同，在括號前面有數字時，學生傾向於括號內先計算 的策略，如： 4-(-6+35)=4-29，而括號前面沒有數字時，則傾向於符號 法則的策略，如：-(-9+23)=9-23，因此括號的位置不同會造成學生不同 20.
(31) 的反應，研究指出可能是學生對於符號的詮釋不同有關。 2、. 括號在代數的表現. 洪有情(2004)在代數測驗中發現國中生有一半以上的學生無法處理 有括號的分配律問題，研究者整理國內的實徵研究(郭汾派，1991、戴文 賓，1999、郭正仁，2000、簡芳怡，2000、洪有情，2004、曾映程，2007、 楊榮達，2007、陳瑾儀，2011)來了解國中學生在代數單元中的括號概念 可能會出現的錯誤類型，各研究蒐集資料的方式有自編問卷、自編試題 測驗以及晤談的方式了解學生在代數算式的表現，研究對象是以普通生 為主，研究指出學生不清楚括號的意義，當在文字符號題目中有括號的 題目時，會不知如何化簡，或認為有括號、無括號的情況是相同的。其 中有關括號概念的錯誤類型說明如下： (1) 分配律去括號的錯誤 在分配律去括號的過程會出現的錯誤情形有括號外的數字 只和括號內的第一項相乘，忽略第二項，如：3x＋4(x-1)會化 簡錯誤為 3x+4x-1。 (2) 去括號須變號的錯誤 在括號外的數字是負數而化簡時括號內未隨著變號，如： (x-3)-4(2+3x)會化簡錯誤為(x-3)-8+12x，以及去括號時卻沒變 號，只有將括號直接去掉的錯誤 100-(x-3)＝100-x-3，又或者 認為運算都是由左算到右，不必括號。 從有關代數的研究中，在多項式、方程式、因式分解和不等式的式 子化簡過程會應用到含有括號的算式，從七年級到八年級的學生都會出 現去括號的化簡錯誤，如學生不知道分配律的意義，在代數的化簡過程 就會容易產生錯誤(楊榮達，2007)，也有國內研究者認為括號使用的錯誤 是受到整數和分數四則運算的錯誤運算概念的影響(郭正仁，2000)，另外 在簡芳怡（2000）在有關因式分解的研究發現有無括號會影響解題的答 21.
(32) 對率，如 5 x 2 − 10 x 的答對率比 −(x + 1) − 3(x + 1) 2 高，且發現許多學生遇到有括 號的題目時，無法先觀察括號裡的算式，認為可能與一般的教學中強調 括號要先處理有關。 研究者歸納國中學生在算術與代數的括號概念出現的錯誤類型有 1. 在強調乘法優先的括號多餘法則會干擾在一般乘法優先法則的操作， 如：不認為 2+(2×3)和 2+2×3 是一樣的或可能會受到其他括號算則的混 淆，如：分配律。2.分配律去括號會出現分配不完整的錯誤，抑或是不 知道括號的意義而直接去括號。3.括號前面是負號時，去括號化簡未能 作正確的變號，而是直接去括號，可能認為有無括號都不影響結果。 3、. 有關括號算則錯誤的可能原因. Booth(1988)認為代數錯誤的產生主要是由於學生錯誤的算術觀點， 而不是代數的錯誤概念，學童在學習算術時，找到數字答案是活動的重 點，但是在代數學習是始於程序、關係與一般化、簡化的形式表達，代 數是廣義的算術關係和程序的概念，因此不正確的算術概念會造成日後 代數學習的困難，以下就括號算則錯誤的可能原因作二點說明： (1) 受到算式的表面結構影響 Subramaniam 和 Banerjee(2004)認為處理括號能力是算術和代數表徵 理解的重要能力，也是運算式子(unclosed expressions)的基礎能力，而學 生在運算代數式的錯誤通常是處理算術式時所重複犯的錯誤，這是因為 許多學生沒有算術式的結構感去判斷相同運算的式子，如：學生會錯誤 地認為算式 685-492+947 和 947-492+685 的計算順序不同，所以計算結 果也不同，同時也反映在有括號的算式的判斷，如：不認為 423+236-423+236 和 423+236-(423+236)是不相等的。因學童在辨識算式 時，會以二個算式有相同的數字、運算符號和運算順序的表面結構作為 判斷二式是否相等的依據又或者是受到算式中哪一部分比較容易計算而 影響到學童在計算時所使用的策略，所以許多學童會僅從式子的表面結 構觀察，而忽略括號在式子裡扮演的角色。因此，學生在判斷分配律的 22.
(33) 算則時，往往會受限於式子的表面結構，易因規則不同或數字和符號的 排列不同而不認為等號二邊的式子相同(張欽斐，2003、施舜玉，2010)。 (2) 等號概念受到算術思維的影響 Kieran(1992)指出學生若能利用運算律將原式轉換為其它因等量而等 價的算式，表示學生掌握了此數學物件之系統結構。系統結構是指對數 學物件中各元素間的關係和其運算性質的掌握，亦即能使用各種關係及 性質，將原式轉化為其它因等量而等價的算式，如學生能辨識算式2 ×6 ＋3 與3＋2 ×6 是因等量而存在等價關係。如學生在判斷分配律的算則 時，會受到符號操作或運算規則的影響，無法從形式上去分辨「合」到 「分」的算式是否相等，而是習慣性地以括號先算的方式，從算式的答 案一樣才認為等號成立，使得學生無法主動建構二式的等價關係(張欽 斐，2003、施舜玉，2010)，由此可知，國小學童容易以等號是運算符號 的概念來解釋等號，也就是要把答案算出來，若國小學童無法建立等號 的關係概念來理解等號二邊的算式，如：雙側等式，則會影響到國中階 段在代數單元的學習(謝宜玲，2002、陳紀恩，2012)。 國中在代數式去括號的過程是強調算式運算關係的變化，所以去括號 的能力在國中代數的計算過程則顯得重要，但在國小學習四則混合運算 時，是視括號為優先計算的符號，而分配律中括號使用是從式子的拆解 與合成以觀察算式的關係，且去括號須變號是因為算式中的括號是異於 由左到右的計算順序，所以需要重新評估數量改變的關係。從國小階段 的課程與教材的設計可以得知括號是以優先計算作為學生的學習目標， 且在分配律的單元亦是讓學童經由算式計算的結果來學習不同的做法而 有相同的結果，期間並未讓學生對於等號二邊的算式建構等價的關係， 所以括號先算的算術思維可能影響後來用括號表達算術關係及代數關係 的錯誤，因此即使算術精熟的學生雖能執行括號的算術程序，但若不瞭 解括號使用的意義，即學生沒有理解算則形成的原因而直接套用，就無 法產生關連性的理解。 23.
(34) 肆、 括號概念的評量 從國內有關括號評量的研究中(柯華葳，1999、洪有情，2004、陳嘉 皇，2010、張欽斐，2003、謝如山，2000)，可依測驗題型、作答方式及 評量內容做說明，在測驗題型方面包含了裸題和文字題的設計，雖然謝 如山(2000)是以文字題的設計以探討學童在括號概念的表現，但張欽斐 (2003)指出學生能在問題的情境脈絡下，知覺數學物件操作的先後順序， 並以括號來表示運算順序，但學生卻無法將此能力連結至計算形式化的 數學算式，又陳嘉皇(2010)研究指出結合文字說明時，學生需要更多的認 知資源來整合問題中相關的線索，而較易出現錯誤；在作答方式方面包 含了單選、多重選擇、是非題、實作及訪談的方式，在單選與是非是要 評量辨識與判斷的能力，在多重選擇是要了解學生解題歷程或分析解題 的認知層次，實作是要用語言和實物來描述問題或結合生活情境以了解 學生表現算式的能力，訪談則是了解學生在解題的認知歷程。 最後，在評量內容方面，有單純評量有關括號的概念(柯華葳，1999、 陳嘉皇，2010、張欽斐，2003、謝如山，2000)及在代數題中評量去括號 的操作(洪有情，2004)，在單純評量有關括號的概念包含了數的合成與分 解、結合律、括號多餘、分配律、符號改變法則，在去括號的操作包含 了去括號不變號、分配律去括號及去括號須變號，洪有情(2004)進一步依 文字符號的數量、題目結構難易和去括號變號需求的差異將學生代數運 算概念的發展分成四個層次，每一個層次包含了難易度的區別及數學特 性，其中層次 1 包含(1)數與文字符號或文字符號與文字符號做運算(不含 括號)，(2)去括號不需變號(不需分配律)，(3)題目結構簡單；層次 2 包含 (1)含二個文字符號的乘法文字題。(2)去括號需變號；層次 3 包含(1)含二 個文字符號的除法文字題。(2)分配律去括號；層次 4 包含(1)三個文字符 號的關係式。(2)文字符號當作變數或文字符號代換。(3)題目結構複雜, 有干擾性。 從上述文獻可知以裸題題型較能單純地了解學生是否具有形式化的 24.
(35) 括號概念，在作答方面可由單選命題以了解學生在去括號算式的辨識能 力，但在評量括號算式表現的能力缺少以計算題的題型作探討，而在評 量內容可依去括號變號需求的差異區分出去括號不變號與去括號須變號 的不同括號概念，及依文字符號的數量設計僅有數字算式與有文字符號 算式的不同表徵題目。. 伍、 小結 括號在數學上是代表先算的部分，而學者謝如山(2000)認為括號的意 義是簡化運算，但在課程中，從括號的介紹到括號算則的應用較偏重於 括號優先計算為主的教學，因此，學生在括號概念的學習層次僅停留在 能知道有關括號的算則，但會有誤用的情形，並從括號概念發展所產生 的括號錯誤情形與相關括號評量結果可知，學生在學習括號概念的過程 中，忽略了學生在算術式基礎能力的表現，像是辨識算術式結構的能力， 或者是等號二邊等價關係的建立，如：100-(20+30) =100-20-30 以及 20× (20+1)=20×20+20×1。 因此，研究者欲依據柯華葳(1999)基礎數學概念評量的三則運算及相 關文獻整理，自行編製有關括號概念的測驗，因本研究欲了解學生在去 括號算式的辨識能力，故本研究依據柯華葳(1999)三則運算在選擇題的設 計亦採三個選項，單選作答，其次是因謝如山(2000)是設計括號相關的應 用題來了解學生對括號的認識與使用，而研究者欲了解數學低成就學生 在括號表現的情形，為避免文字情境問題的干擾，僅單純地了解學生是 否具有形式化的括號概念，故只選裸題的算式，以及考慮謝氏在結合律 的分類定義較廣，擔心其與本研究中的去括號不變號表現產生混淆，且 研究者欲以柯華葳(1999)基礎數學概念評量中的三則運算為研究設計的 依據，故未納入結合律在括號的分類。又鑑於洪有情(2004)在代數概念有 關去括號題目的設計以二個文字符號呈現且須完整的化簡答案，故為降 低數學低成就學生在工作記憶的負荷，以及考量文獻中提到學生在括號 的學習層次，故選擇題設計以一個文字符號 x 表示，並以能正確地辨識 25.
(36) 去括號的算式為評量目標。最後，因文獻中有關評量括號算式表現的能 力缺少以計算題的題型作探討，所以為了增加測驗的廣度，研究者在題 型上除了選擇題的設計外，亦加入了計算題，並在計算題設計加入指導 語的示例，並以能正確地寫出去括號的算式為評量目標，不須完整計算 或化簡答案。總之，本研究在括號表現上綜合了謝如山(1999)與洪有情 (2004)二位學者對括號概念的主張，將括號概念分為括號多餘、去括號不 變號、分配律去括號到去括號須變號。. 26.
(37) 第三章 研究方法 本章研究方法共分五節說明，茲將研究對象、研究設計、研究工具、 研究步驟以及資料處理與分析等分別說明如下。. 第一節 研究對象 壹、 樣本選取標準 本研究是以桃園縣某國中 103 學年度在數學領域連續二次未通過補 救教學方案科技化評量數學科之七年級學生為篩選對象有 108 名學生， 為避免智力因素之影響，故排除國中新生編班測驗成績在全年級後百分 之五且在七年級上學期二次定期評量在全年級後百分之五之學生，排除 後共計 76 名學生。. 貳、 樣本分組標準 依選取標準篩選出的研究對象於 103 年 4 月中旬進行「基礎數學概 念評量」(柯華葳，1999)之三則運算，區分出「正確性與流暢性都無困難」 、 「僅流暢性有困難」 、「正確性與流暢性都有困難」等三種不同括號表現 類型的數學低成就學生。 本研究不同括號表現類型之數學低成就學生的篩選說明如下： 一、 正確性與流暢性都無困難(正常組)：在「基礎數學概念評量」 之三則運算在固定時間內答對的比例(答對/全部)及在能做到 的題目中答對比例(答對/答完)皆高於低分組的分數。 二、 僅流暢性有困難(僅流暢差組)：在「基礎數學概念評量」之三 則運算在固定時間內答對的比例(答對/全部)低於低分組的分 數，但在能做到的題目中答對比例(答對/答完)是高於低分組的 分數。 三、 正確性與流暢性都有困難(皆困難組)：在「基礎數學概念評量」 之三則運算在固定時間內答對的比例(答對/全部)及在能做到 的題目中答對比例(答對/答完)皆低於低分組的分數。 27.
(38) 第二節 研究設計 本研究以國中七年級數學低成就學生為研究對象，欲探討不同括號 表現類型的數學低成就學生在括號概念及括號題型的表現情形。在前三 個研究問題採調查研究設計，以柯華葳(1999)「基礎數學概念評量」的三 則運算篩選出不同括號表現類型的數學低成就學生，再以研究者自編「括 號概念評量」分析括號概念和括號題型的答題情形。後二個研究問題採 靜態組間設計，進一步了解不同括號表現類型的學生在括號概念及括號 題型的表現是否不同。本研究架構如下圖3-2-1：. 依變項 1. 括號概念 (1) 括號多餘. 自變項. (2) 去括號不變號 (3) 分配律去括號. 數學低成就學生. (4) 去括號須變號. 1. 正常組. 2. 括號題型. 2. 僅流暢差組. (1) 數字計算題 (2) 代數計算題. 3. 皆困難組. (3) 數字選擇題 (4) 代數選擇題. 圖3-2-1 研究架構圖. 28.
(39) 第三節 研究工具 壹、 篩選工具 一、 國民小學及國民中學補救教學方案科技化評量 本評量的試卷內容是依據國教署公布之基本學習內容編製試題，主 要測驗學生前一學年所習得之學習內容，若當年度測驗不合格者，可選 擇進行逐年下修測驗，其測驗模式是以標準參照方式進行學生篩選和成 長測驗。 二、 基礎數學概念評量 本測驗是由柯華葳(1999)編製，共有12個分測驗，本研究為了解學生 在括號概念的表現，故僅採用高年級版的三則運算分測驗，該測驗三則 運算共10題，主要是評量學生能否在時間內正確地從選項中辨識出去括 號後的算式。由於此測驗為限時測驗，得分計算分兩種：(1)每個分測驗 答對數與全部題數的比例(答對/全部)，這表示在固定時間內答對的比 例，可稱為流暢性或速度；(2)每個分測驗答對數與答完題數的比例(答對 /答完)，可稱為正確性。本研究同時採計其高年級版三則運算分測驗在低 分組的平均通過率分別為0.42(答對/全部)和0.42(答對/答完)。本評量效標 關聯效度是以學校的數學成績為效標，與本測驗答對/答完的成績求相 關，六年級相關係數為0.498，達顯著差異(p＜.01)。建構效度為各年級間 及各年級在高、低分組的分測驗上表現有明顯差異，故此測驗可以分辨 不同數學能力的學生。 本研究的數學低成就學生在三則運算分測驗中，分別在答對數與全 部題數比例及答對數與答完題數比例都高於0.42則稱為「正確性與流暢 性都無困難」者；若二者分別都低於0.42者則稱為「正確性與流暢性都 有困難」者；若在答對數與全部題數比例及答對數高於0.42，但答對數 與答完題數比例低於0.42，則稱為「僅流暢性有困難」者。. 29.
(40) 貳、 主要評量工具 一、. 評量設計架構. 依據有關括號的相關文獻，研究者綜合學者謝如山(2000)和洪有情 (2004)提出括號概念的層次，並參考柯華葳(1999)編製「基礎數學概念評 量」的題目設計自編「括號概念評量」 ，欲藉不同題型的設計來評量數學 低成就學生的括號概念，題型設計包含了計算題和選擇題，各題型可區 分數字與代數不同表徵的題目，故評量架構分為四種不同括號的題型， 分別是括號的「數字計算題」、 「代數計算題」、 「數字選擇題」和「代數 選擇題」，有關題目與括號題型的分配如表 3-3-1。 表 3-3-1 括號概念與括號題型的分配表 括號概念 括號多餘 括號題型. 去括號 不變號. 分配律 分配律 去括號 去括號 (括號在前) (括號在後). 去括號 須變號. 數字計算題 3. 5. 4. 10. 9. 6. 2. 8. 1. 7. 3 、 代數選擇題 14 (題號). 6 、 21. 5 、 20 、 22. 4 、 11 、 13. 10 、 18. 7 、 12. 2 、 15. 9 、 17. 1 、 19. 8 、 16. 代數計算題 (題號) 數字選擇題. 註：本測驗選擇題的第 4 題與第 20 題為偵錯題。. 二、 1、. 評量目的 括號概念設計的評量目的分四種，與其相對之編製問題如 下表 3-3-2. 30.
(41) 表 3-3-2 括號概念的評量目的與題目範例對照表 主題. 評量目標 能分辨括號的使用與原計. 括號多餘. 算的順序相同時，則可以. 編製題目範例 15-(3×4)= (15-3)×4 15-3×4. 直接去括號。. 15×3-15×4 3× ×(2＋ ＋6)= 分配律去括號 (括號在後). 3×2+3×6 能依括號在不同的位置分 辨乘法對加或減法的分配. 分配律去括號. 3×2＋6 (3×2)＋6 (8-5)×6=. 律。. 8×6-5×6. (括號在前). 8-5×6 8×6-5 14+(9+1)=. 去括號. 能知道括號前面為加號. 14×9+14×1. 不變號. 時，去括號時應不變號。. 14+9-1 14+9+1 18-(6+3) =. 去括號. 能知道括號前面為減號. 18-6+3. 須變號. 時，去括號時須變號。. 18-6-3 (18-6)+3. 2、. 括號題型分不同評量目的與其對應之編製問題如下表 3-3-3. 31.
(42) 表 3-3-3 括號題型的評量目的與題目範例對照表 主題. 題目. 評量目標. 數量. 編製題目範例. 評估學生能正確操作去括號的 數字計算題. 10. 能力，為避免學生易將括號內的 18-(5+3) 數字先算，在指導語中有例子示 =18-5-3 範去括號的列式。 評估學生能在含有括號的式子 裡，運用不同的括號概念正確地. 代數計算題. 10. 化簡式子，為避免學生易將括號 內的數字先算，在指導語中有例. 18-(5x+3) =18-5x-3. 子示範去括號的列式。 評估學生能正確地辨認出去括 號後的算式，並了解學生在括號 數字選擇題. 22. 概念是否會產生混淆，其中有 2 題是偵錯題，避免學生以猜測方. 3×(2＋6)= 3×2+3×6 3×2＋6 (3×2)＋6. 式作答 評估學生在括號內的算式以含. 有文字符號的式子表徵時，能否 4×(3x+7)= 代數選擇題. 22. 正確地辨認出去括號後的算式. 4×3x+4×7. 及在括號概念是否會產生混. 4×3x+7. 淆，其中有 2 題是偵錯題，避免. (4×3x)+7. 學生以猜測方式作答。. 32.
(43) 三、. 評量編製內容. 為考量數學低成就學生的學習特徵，避免因數字過大而影響學生在 括號題型的操作，故在括號算式的結果皆以不超過二位數為原則。本評 量主要是探討數學低成就學生在括號概念的表現情形以及受到錯誤去括 號概念影響的情形。其中括號「數字計算題」與「代數計算題」分別是 評量學生在含有括號的算式中作去括號與化簡式子的操作能力；括號的 「數字選擇題」和「代數選擇題」是評量學生能正確選出去括號後算式 的區辨能力。且避免學生在計算題易用括號先算的方式計算其值，故在 數字計算題及代數計算題皆有以例題說明作答方式，以利觀察學生在去 括號列式的操作能力。 每個括號題型皆包括「括號多餘」、 「去括號不變號」、 「分配律去括 號」以及「去括號須變號」等四個不同的括號概念，每個題型包含加法、 減法和乘法的運算符號，又在分配律去括號概念會因括號位置的不同而 區分括號在前與括號在後的區分，有關括號概念與括號題型的編排請見 表 3-3-4~3-3-5。. 33.
(44) 表 3-3-4 數字與代數計算題與括號概念和運算符號對照表 括號. 括號. 題型. 概念. 題目. 括號. 括號. 題型. 概念. 題目. 括號. 8+(4×3)=. 括號. 8+(4x×3)=. 多餘. 22-(6×2)=. 多餘. 22-(6x×2)=. 數. 去括號. 18+(9+1)=. 代. 去括號. 18+(9x+1)=. 字. 不變號. 9+(6-3)=. 數. 不變號. 9+(6x-3)=. (3+5)×8=. 計. 計. (3x+5)×8=. 算. 分配律. 3×(2+8)=. 算. 分配律. 3×(2x+8)=. 題. 去括號. (8-5)×6=. 題. 去括號. (8x-5)×6=. 2×(7-6) =. 2×(7x-6) =. 去括號. 18-(5+3) =. 去括號. 18-(5x+3) =. 須變號. 19-(9-5) =. 須變號. 19-(9x-5) =. 34.
(45) 表 3-3-5 數字與代數選擇題與括號概念及運算符號對照表 括號. 括號. 題型. 概念. 題目. 括號. 括號. 題型. 概念. 9+(4×3)=. 題目 10+(5x×4)=. 括號. 5+(5×9)=. 括號. 6+(6x×10)=. 多餘. 20-(6×2)=. 多餘. 21-(7x×3)=. 17-(7×2)=. 16-(6x×1)=. 14+(9+1)=. 15+(10x+2)=. 去括號. 16+(7+2). 去括號. 18+(9x+4)=. 不變號. 9+(6-3)=. 不變號. 11+(8x-5)=. 數. 18+(10-5)=. 代. 19+(11x-6)=. 字. (9+3)×8=. 數. (8x+2)×7=. 計. (4+6)×9=. 計. (7x+9)×12=. 算. 3×(2+6)=. 算. 4×(3x+7)=. 分配律. 7×(6+3)=. 題. 去括號. (8-5)×6=. 題. 分配律. 8×(7x+4)=. 去括號. (9x-6)×7=. (12-2)×3=. (13x-3)×4=. 12×(7-6) =. 11×(6x-5) =. 9×(8-1) =. 12×(11x-4) =. 18-(6+3) =. 19-(7x+4) =. 去括號. 12-(3+4)=. 去括號. 10-(x+2)=. 須變號. 14-(9-5) =. 須變號. 15-(10x-6) =. 11-(10-5) =. 14-(13x-8) =. 35.
(46) 四、. 在括號表現的錯誤情形. 依據參考文獻所提出學生在括號運算時可能出現去括號的錯誤概念 與本評量對應的題目作一說明，請見表 3-3-6。 表 3-3-6 括號的錯誤情形與評量題目範例對照表 主題. 編製題目範例. 括號的錯誤情形. 15-(3×4)= 括號多餘. (15-3)×4. 1.受到由左而右計算的影響。. 15-3×4. 2.受到分配律影響。. 15×3-15×4 3× ×(2＋ ＋6)= 分配律去括號. 3×2+3×6. 1.認為括號有無不影響結果。. (括號在後). 3×2＋6. 2.受到由左而右計算的影響。. (3×2)＋6 (8-5)×6= 分配律去括號 (括號在前). 8×6-5×6. 1.認為括號有無不影響結果。. 8-5×6. 2.分配不完整。. 8×6-5 14+(9+1)= 去括號不變號. 14×9+14×1. 1.受到分配律影響。. 14+9-1. 2.受到去括號須變號影響。. 14+9+1 18-(6+3) = 去括號須變號. 18-6+3. 1. 認為括號有無不影響結果。. 18-6-3. 2. 受到由左而右計算的影響。. (18-6)+3. 36.
(47) 五、. 預試階段. 為瞭解自編括號概念評量的可行性，本研究於評量編製完畢後，先 以桃園縣某國中七年級學業成就屬中等之學生進行預試，以團體測驗進 行，並記錄學生對括號概念評量作答的反應情形，並參考校內數學科具 有教學經驗之教師與指導教授的建議作為評量預試的調整依據。關於預 試階段之受試者、時間地點、施測方式、計分、以及預試後修正說明如 下。 1、. 第一次預試： (1) 受試者：預試對象是選取桃園縣某國中七年級各二個班 級中數學學期成績屬中等者，共 20 名學生。 (2) 施測時間：於 103 年 3 月下旬。 (3) 施測方式：採團體測驗，依序施測數字計算題、數字選 擇題、代數計算題及代數選擇題。 (4) 計分：依據研究者在括號概念的分類方式，將統計學生 在各題型中括號概念的答對率。數字計算題及代數計算 題須正確作答才算答對，答對率計算方式為答對題數/全 部題數(10 題)，數字選擇題及代數選擇題則須選擇正確 答案才算答對，答對率計算方式為答對題數/全部題數(20 題)。 (5) 預試後修正： I.. 數字計算題：學生大多能正確地作答，答對率達 90% 以上，但學生都是以括號先算的方式計算答案，而無 法觀察學生去括號列式的能力。因此為提示學生以去 括號的方式列式作答，故在指導語部分標示例子說 明，如：9+(3-1)=9+3-1。. II. 代數計算題：有 8 名學生答對率達 100%，4 名學生 答題答對率達 80%以上，有 8 名學生的答對率在 50% 以下，其中有 6 名學生答對率是 0%，從學生作答反 37.
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