第三章 有限元素分析
3.1 挫屈分析方法
挫屈為當一個結構承受負載時，由平衡狀態轉至不平衡狀態的過程，
此時結構的負載增量為零，但卻存在位移量。若負載持續增加，最終將導 致結構的破壞。
挫屈分析流程主要可分為兩個步驟，第一步為線性挫屈分析，第二步
為非線性分析。圖 3.1 為線性挫屈分析與非線性分析的示意圖，其中，線性 挫屈分析主要假設結構中不存在缺陷，在挫屈發生之前，負載與位移呈線 性關係，藉由特徵值問題(Eigenvalue problem)計算結構的臨界挫屈負載 (Critical buckling load)與挫屈變形模態(Buckling mode shape)。圖中之分歧點 所對應之負載即為臨界挫屈負載，此點代表的意義為曲線平衡路徑的分歧 位置。由於曲線只考慮為線性關係，因此臨界挫屈負載通常高於實際情況 的挫屈負載值。在非線性分析的部分，分析中考慮結構的幾何大變形與結 構本身存在之缺陷，因此所得之挫屈負載值會低於線性挫屈分析之結果。
圖中之極限點即代表在非線性分析過程中存在之最大負載。
3.1.1 線性挫屈分析
本小節將簡單介紹線性挫屈分析的原理與計算過程。線性挫屈分析的 假設為在挫屈發生前結構的負載與位移呈線性關係。在有限元素法中，結 構的剛度矩陣包含兩個部份，如(3.1)式所示
K K0 K (3.1)其中，
K 為結構的剛度矩陣，
K0 為結構的線性剛度矩陣，
K 為應力剛度 矩陣。線性剛度矩陣描述元素的剛度，但不受位移場與應力場的影響；而 應力剛度矩陣則與位移場與應力場有關。此外，挫屈的定義為當結構到達臨界負載，此時負載不再增加，但結
構卻有微小的位移量( dU
)，即表示結構發生挫屈行為。根據定義的描述，在有限元素法中可表示為
) 0( K0 K dU (3.2)
接著，對結構施加一個參考負載(
F ref )有其對應之應力剛度矩陣，在此 將它稱為參考應力剛度矩陣(
K ref )。因此依據負載的不同，(3.2)式中的應 力剛度矩陣與參考應力剛度矩陣存在以下的關係
K
K ref (3.3)將(3.3)式代入(3.2)式中，可得
) 0( K0
K ref dU (3.4)(3.4)式即為標準的特徵值問題，其中
dU 為特徵向量，代表挫屈後的挫屈模 態；為特徵值，代表臨界負載係數。透過臨界負載係數乘上參考負載即可 求得臨界挫屈負載
F cr
F ref (3.5)藉由線性挫屈分析可快速求得結構之挫屈負載與挫屈模態，但由於不 考慮結構本身存在之缺陷，因此所得之臨界挫屈負載與實際情形有較大的
誤差，且線性挫屈分析無法求得結構挫屈時的應力或應變狀態，因此需再 進一步進行非線性分析。
3.1.2 非線性分析
為了得到準確的挫屈負載以及完整的挫屈發生過程，需透過非線性分 析逐步求解。在非線性分析中，將同時考慮結構的幾何大變形與結構本身 之缺陷，並使用牛頓拉福森法(Newton-Raphson approach)，經由逐步疊代收 斂結果得到挫屈發生過程中應力與應變狀態的改變。
本研究使用有限元素套裝軟體 ANSYS 進行模擬分析，非線性分析流程 圖如圖 3.2 所示。其中，由於完美的結構不會發生挫屈，需藉由微小的缺陷 觸發其挫屈行為，而在模型中加入缺陷的方法為利用線性挫屈分析中求得 之挫屈模態，導入至原始的模型中，依據挫屈模態形狀的不同，模型節點 將產生一個微小的偏移量，藉以觸發挫屈行為的產生。在有限元素套裝軟 體 ANSYS 中，求取結構挫屈模態的方法為 Block Lanczos 特徵演算法。本 研究將以挫屈的第一變形模態作為缺陷之依據，缺陷(r)的定義為
f max
t
r
e (3.6)其中，emax 為模型中節點的最大偏移量，tf 為表層之厚度，r 為缺陷，代表 表層厚度的百分比，r 為正值時，表示結構朝含脫層側的表層方向翹屈；反
圖如圖 3.3 所示。接著，以含有缺陷之模型進行非線性分析，分析過程中考 慮結構的幾何大變形，以位移控制的方式，將位移切割為有限步數循序增 加，經由逐步疊代收斂後完成求解過程。
藉由非線性的分析結果，可得到模型挫屈負載與應變關係，而挫屈負 載的判斷則與實驗之方法相同，為當表層表面中心區域的應變值從原本的 壓縮應變發生轉折，朝拉伸應變方向發展時，此時最大壓縮應變值發生時 刻即為結構發生挫屈行為，並定義此時負載為挫屈負載。透過改變導入模 型中的缺陷量，將改變模型之負載與應變關係曲線，本研究將以分析結果 之負載與應變曲線和實驗結果進行比較，得到[(0/90)2]S 和[(0/90)3]S 之三明 治結構中不同脫層長度所對應之缺陷大小。因此，不同脫層長度的模型將 有其特定之缺陷大小，接著，將以此缺陷所得之分析結果進行破壞強度的 預估。