n 件相異物的直線排列方法有 n! = n· (n − 1) · (n − 2) · · · · 2 · 1 種 從 n 件相異物品中取 k 件排成一列的方法數 : Pkn = n!
(n− k)!
n n− 1 n− 2 · · · · · ·(n − k + 1) ⊗ ⊗ · · · ⊗
只取出K物排列, 剩下(n − k)物的排列均視為同一排列 不盡相異物的排列:
設 n 個物品可分成 k1, k2,· · · , km 個相同物品的 m 類,( k1+ k2+· · · + km = n ) , 則這 n 個物品排成一列的排列數為 n!
k1!k2!· · · km!
4相異物A、B、C、D 排列 4物中有3相同物 (A=B=C) 排列
ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ⇒ D
ABDC ACDB BADC BCDA CADB CBDA ⇒ D
ADBC ADCB BDAC BDCA CDAB CDBA ⇒ D
DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA ⇒D
共有 4! 排法 共有 4!
3! 排法
重複排列數: nk
n 類物品 (每類至少有 k 件), 中取出 k 件排成一列, 可重複選取, 則其排列數為 n· n · n · · · · n
| {z }
k個
= nk
特殊規定排列:
1. 指定位置之排列: 先排指定物後再將其他物排列。
(a) 5人中, 甲必排首位 ⇒ 甲 n− 1 n − 2 n − 3 n − 4
2. 指定相鄰位之排列: 將相鄰物視為一物, 再混入排列後、 再將相鄰物排列。
(a) 5人中的甲、 乙兩人必相鄰 ⇒
甲乙 + 其他人 99K 混合後再排列
甲乙兩人可排列
(1 + 3)!2! ⇒
3. 指定間隔排列: 將其他物先排列後, 再將間隔物插入間隔排列。
(a) 5人中的甲、 乙兩人必分隔開 ⇒
⊛ ⊛ ⊛ 99K其他人先排列
↑ ↑ ↑ ↑ 99K間隔物插入排列
⇒ 3!P24
4. ⊚環狀排列: n 件相異物的環狀排列方法有 n!n = (n − 1)!
5. 特殊規定排列 (錯排): 利用集合文氏圖運算; 錯排公式。
6. n 人中規定有k個人不可排在k個特定位置 (錯排公式):
C0k · n! − C1k · (n − 1)! + C2k(n− 2)! − · · · + (−1)kCkk(n− k)!
相異組合數: 從n件相異物品中選取 k 件的方法數 Ckn = Cnn−k = n!
k!(n− k)!
5相異物A、B、C、D、E 取出3物排列數 5物取出3物組合數 ABC ACB BAC BCA CAB CBA ⇒ {A, B, C}
ABD ADB BAD BDA DAB DBA ⇒ {A, B, D}
ABE AEB BAE BEA EAB EBA ⇒ {A, B, E}
ACD ADC CAD CDA DAC DCA ⇒ {A, C, D}
ACE AEC CAE CEA EAC ECA ⇒ {A, C, E}
ADE AED DAE DEA EAD EDA ⇒ {A, D, E}
BCD BDC CBD CDB DBC DCB ⇒ {B, C, D}
BCE BEC CBE CEB EBC ECB ⇒ {B, C, E}
BDE BED DBE DEB EBD EDB ⇒ {B, D, E}
CDE CED DCE DEC ECD EDC ⇒ {C, D, E}
共有 P35 = 5!
2! = 60 排法 共有 C35 = 5!
3!2! = 10 取法 從 n 件相異物品中取 k 件排列數 Pkn = Ckn× k!
巴斯卡組合公式: Ckn = Ckn−1+ Ckn−1−1, 1 ≤ k ≤ n − 1
從 n 個人選出 k 人的方法數可分成 [甲被選中] 和 [甲未被選中] 這兩種選取情形。
重複組合: 從 n 類相異物品中 (每類物品至少有 k 件, 可重複選取) 則選出 k 件的方 法數有 Hkn選取數類 = Ckn+k−1
將相同物 k 件, 切割成 n 份, 只要切 (n − 1) 刀分割。 重複組合數就是相當
順伯的窩
於此 k 件相同物及 (n − 1) 個分割點的排列數 = (k + n− 1)!
k!(n− 1)! = Ckn+k−1
非負整數解個數:
x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數為 Hkn = Ckn+k−1 解應用問題時, 假設未知數, 列式後再化成非負整數解的題型。
1. 從 n 類物品 (每類個數很多) 中選取 k 個的組合數。
2. n 元一次方程式 x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數。
3. 將 k 個相同的事物全分給 n 個人的分法。
也就是在乎每類物品被取出幾個, 即第 i 類物品被取出 xi 個, 總共取出 k 個的不 同取法。 ⇒ x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數
相當於有 k 個1要分給 n 個未知數 ⇒ k 個1要分成 n 份, 只要 (n − 1) 個分割
記號。
1 1 1
+ 1 1
+ 1
+ + 1
表示 3 , 2 , 1 , 0 , 1 的整數解
分組分堆組合: 從 n 個相異物分k1個給甲, 分k2個給乙, 分k3個給丙有 Ckn1Ckn2−k1Ckn3−k1−k2 種分法
相異物的分配
1. 有6相異物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ C26C24C22 種相異方法。
2. 有6相異物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ C26C24C22 1
3! 種相異方法。
3. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4) 件 ⇒ C16C15C44 種相異方法。
4. 有6相異物分3人, (1, 1, 4)⇒ C16C15C443!
2! 種相異方法。
5. 有6相異物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ C16C15C44 1
2! 種相異方法。
6. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 分別 (1, 2, 3) 件,⇒ C16C25C33 種相異方法。
7. 有6相異物分3堆, 各 (1, 2, 3) ⇒ C16C25C33 1
2! 種相異方法。
相同物的分配
1. 有6相同物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。
2. 有6相同物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。
3. 有6相同物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4)⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。
4. 有6相同物分3人, (1, 1, 4)⇒ 3!2! 種相異方法。
5. 有6相同物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。
排列組合的類型: 如表
5相異物a、b、1、2、*分給甲2件、 乙2件、 丙1件方法數 分2件、2件、1件三堆方法數
表2-2: 基本計數公式一覽表
表 2-2: 計數方法的種類一覽表
物品 給法 對象 方法數
k 類相異物 任意 (可重複) 分給 n相異對象 nk
n 相異物 每人一件 m 相異對象 Pmn = Cmn × m!
n 相異物 任意 (可重複) 分給 m 相同對象 討論(a1, b1,· · · ) 有Can1 · Cbn−a1
1 · · · (a2, b2,· · · )有 Can2 · Cbn−a2
2 · · · 有任何k 個相同數目 ai = bi , 要×k!1
n 相異物 平均分給 m相同 CknCkn−k· · · × 1
m!
n相異物 (n > m) 每個一件 m 相同對象 Cmn
m相同物 全部任意分給 n相異對象 Hn種類數
m可重複選取數 = Cmn+m−1
n相同物 (n < m) 每人至多一件 m 相異對象 Cnm
n相同物 (n > m) 每人至多一件 m 相異對象 2m
m相同物 任意分給 n相同對象 討論 (a1, a2,· · · , an) 為一種情形 (b1, b2,· · · ) 為一種情形 ... 先固定 a1 再討論其後
計數方法 適用情景 排列或組合
nk n 類相異物任取出 k 個的排列數 相異—相異的重複排列 n! n 件相異物的直線排列 相異物的排列數
* n!n n 件相異物的環狀排列 *環狀排列
Pmn 從 n件相異物中選取 m件相異物排列的方法數 選取相異物的排列數 m!n! n 件物品中有m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 Cmn n 類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數 選取相異物的組合數 Hmn m 件相同物任意分給 n 類相異對象的方法數 重複組合數
順伯的窩
計數方法種類: 如表 特殊規定:
1. n 人中, 甲不可排首位, 乙不可排末位, 丙不可排第三位, 有 n!− 3(n − 1)! + 3(n− 2)! − (n − 3)! 種排法。
2. k 件相異物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 nk−3(n−1)k+ 3(n− 2)k− (n − 3)k 種分法。
3. k 件相同物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 Hkn− 3Hkn−1+ 3Hkn−2− Hkn−3 種分法。
精選範例
例題1 男性4人, 女性3人排成一列, (1) 若任意排列, 有幾種排法? (2) 若同性要排在一 起, 有幾種排法? (3) 若女性完全分開, 有幾種排法?
[Ans:(1)7! = 5040 (2) 4!3!2! = 288 (3) 4!P35 = 1440 ]
例題2 由 0, 1, 2,· · · , 9 這10個數字中, 任選3個相異數字排成三位數, 共有少種排法?
Ans: 9· 9 · 8 = 648 = P310 − P29
例題3 一樓梯共有7級, 今有一人上樓, 若每步只能走一級或二級, 則上樓有幾種方法?
[Ans: 討論 x + 2y = 7 共21 種或遞迴關係式 an = an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2]
例題4 將5本不同的書分給甲, 乙, 丙三人, (1) 若全部任意分給三人, 有幾種分法? (2) 若全部給三人且甲至少得1本, 有幾種分法? (3) 若全部給三人且甲恰得1本, 有 幾種分法? (4) 若每人恰得一本書, 有幾種分法?
[Ans:(1) 35 = 243 (2) 35 − 25 = 211 (3) 5· 24 = 80 (4) P35 = 60]
例題5 甲、 乙兩人負責7天假期到公司值班, 其中甲值班4天, 乙值班3天, 問此7天假期 值班的安排共有多少種? [Ans:(4 + 3)!
4!3! ]
例題6 任意 n 邊形的對角線有幾條? [Ans:C2n− n = n(n − 3) 2 ]
例題7 從10名男生,5名女生中選出一個五人小組。 若規定男女生至少各2人, 則有多少種 選法? Ans: C310C25 + C210C35 = 1650
例題8 將 6 本不同的書, 依照 (1) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各二本, 有幾種分法? (2) 裝 入 3個相同的箱子, 每箱裝 2本, 有幾種裝法? (3) 三個相同箱子分別裝入1本,1 本,4本, 有幾種裝法?
[Ans:(1) C26C24C22 = 90 (2) 903! = 15 (3) C16C15C44/2! = 15]
例題9 考慮方程式 x + y + z = 20 依 (1) 方程式非負整數解個數? (2) 方程式正整數 解個數? (3) 滿足 x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4 的正整數解個數? [Ans:C203+20−1 = 231; C173+17−1 = 171; C113+11−1 = 78]
例題10 以下敘述的分法數為 H53有哪些選項? (1) 從學校體育室中的籃球, 排球, 棒球三 種球中選取5球。 (2) 三元一次方程式 a + b + c = 5 的非負整數解。 (3) 將5支 相同的筆全部分給甲, 乙, 丙三人。 (4) 不等式 x + y ≤ 5 中, x, y 的非負整數解
。 (5) 將5支不同的筆, 分裝入三個相同箱子 。 [Ans:1,2,3,4]
習題2-2 排列與組合 1. 空間中, x, y, z 坐標皆為整數, 且與原點距離為 √
17 的點, 一共有? 個
2. 將下圖中的黑棋向右移動, 規定每次只能移動1格或2格, 移到最右邊一格, 共有幾 種移動方法?
3. 從1到10000的一萬個數中, 有多少個數不含數字1? 有多少個數含數字1?
4. 將甲、 乙、 丙等共6人排成一列, 若規定甲不排首位, 乙不排末位的排法有多少種?
5. 某旅社有五個房間, 今 A,B,C 三人求宿, 若每人各住一間, 則有? 種不同的分配 方式
6. 由 0, 1, 2, 3, 4 作成相異五位數, 由小排至最大, 則 23104 是排在第幾項?
7. 如圖中棋盤街道中, 從 A 到 B 走捷徑, 求下列情形各有多少種方法?
A
C D
B
(a) 任意走捷徑 (b) 經 C 點
(c) 經 C 點或 D 點
(d) 不經 C 點且不經 D 點
8. 有4男3女排成一列, 若要求男生須排在一起, 女生亦須排在一起, 則其排列法有?
種。 又若只要求男生排在一起, 則排列法有? 種。
9. 從家裡到學校會經過8個紅綠燈路口, 問路途中恰遇到5個紅燈,3個綠燈的情形有 多少種?
10. 把“庭院深深深幾許”依下列排列, 各有多少種方法?
(a) 三個“深”完全相鄰 (b) 三個“深”完全不相鄰
11. 用 1, 2, 3, 4, 5 五個數字排成五位數
順伯的窩
(a) 數字可重複, 有多少不同的五位數?
(b) 數字不可重複, 有多少不同的五位數?
(c) 數字不可重複, 有多少不同的奇五位數?
12. 在每一多重選擇題的 5個選項中, 至少有一個選項是正確答案, 則正確答案有多少 種不同的形式?
13. 有5種不同酒及4個不同的酒杯, 每杯都要倒酒且只倒一種酒, 問共有多少種倒法?
14. 將4本不同的書全部分給甲、 乙、 丙三人, 則依照下列分法各有幾種分法?
(a) 任意分
(b) 甲至少得1本 (c) 甲恰得1本
15. 已知兩組互相平行垂直的平行線段, 相交如圖
P Q
(a) 共有多少個矩形?
(b) 包含 P 點的矩形共有多少個?
(c) 至少包含 P 或 Q 兩點之一的矩形共有多少個?
16. 公益彩券42個號碼可供任意圈選6個號碼, 而頭獎須6組號碼全中, 則頭獎號碼共 有幾種不同的號碼組成?
17. 將10個相同的球放置4個不同箱子中, 每箱球數不限, 有多少種放法?
18. 從1到10的自然數中取出5個數, 求共有幾種取法?
19. 方程式 u + v + w + x + y + z = 10 , 問共有? 組非負整數解; 有多少組正整數 解?
20. 方程式 x + y + z = 4, x ≥ −2, y ≥ −3, z ≥ −1 的整數解個數?
21. 將數字 2, 3, 5, 8, 9 依下列方法排法, 有幾種不同排法?
(a) 從中任選4相異數字並排成四位數字?
(b) 從中任選4數字 (可重複) 並排成四位數字?
(c) 從中任選4相異數字並組成最大的四位數字?
(d) 從中任選4數字 (可重複) 並組成最大的四位數字?
22. 飲料店今日販賣5種特價品,3位學生到此消費點選特價品
(a) 特價品無限量, 每人任意點選一杯, 則三人有幾種點選飲用方法?
(b) 特價品無限量, 每人任意點選一杯, 合併填寫一張訂購單, 則訂購單上點選的 結果可能有幾種?
(c) 特價品都只剩1杯, 每人點選一杯, 則三人有幾種點選飲用方法?
(d) 特價品都只剩1杯, 每人點選一杯, 合併填寫一張訂購單, 則訂購單上點選的 結果可能有幾種?
23. 有6位學生到冷飲店, 那裡有八種飲料可供選擇,
(a) 若每人點選一飲料, 店員拿出飲料的方法共有? 種
(b) 若每人點選一飲料, 則這些學生喝飲料有? 種不同的喝法
(c) 若每人點選一飲料, 且不可點選相同飲料, 則這些學生喝飲料有? 種不同的喝 法
(d) 若每人點選一飲料, 且不可點選相同飲料, 則店員拿出飲料的方法共有? 種 24. 有5粒相同水果,
(a) 若任意分給3位學生, 有多少不同分法?
(b) 若分給3位學生, 每人至少1 粒, 則有多少不同分法?
(c) 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法?
(d) 若任意分成3堆 (每堆都有東西), 有多少不同分法?
25. 有5本相異的書,
(a) 若任意分給3位學生, 有多少不同分法?
(b) 若分給3位學生, 每人至少1 本, 則有多少不同分法?
(c) 若分給3位學生, 每人1 本, 則有多少不同分法?
(d) 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法?
(e) 若任意分成3堆 (每堆都有東西), 有多少不同分法?
26. 將 9 本不同的書, 依照
(a) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各3本, 有幾種分法?
(b) 裝入 3個相同的箱子, 每箱裝 3本, 有幾種裝法?
(c) 三個相同箱子分別裝入2本,2本,5本, 有幾種裝法?
27. 正六面體的骰子, 點數分別為 1、2、3、4、5、6 六種點數
(a) 投擲同ㄧ顆骰子3次, 這三次出現的點數情形共有幾種?
(b) 一次投擲相同骰子3顆, 出現點數的情形有幾種?
(b) 一次投擲相同骰子3顆, 出現點數的情形有幾種?