等機率樣本空間S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 S 。(若樣本 空間內的所有樣本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間)。
例: 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有 H26 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空 間有 62 個樣本點 (事件)。
骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者有2個樣本點, 後者只有1個樣本點; 且 (1, 1), (1, 2),· · · ,(3, 6), · · · , (6, 3),
· · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出
所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的 個數 n(S) = 62。
機率的定義(古典機率): 利用排列組合數出樣本空間的個數或數出試驗有幾種不同的結 果。
事件 A 的機率就是數出在等機率樣本空間 S 內符合 A 事件的樣本個數 n(A) 與 等機率樣本空間個數 n(S) 的比值。 即 P (A) = n(A)
n(S) (拉普拉斯的古典機率) 。
順伯的窩
, 特別是 P (∅) = 0, P (S) = 1
注意: 某一試驗可能發生的情形共有 n 種不同的事件 (樣本點), 並不意謂每一事 件 (樣本點) 發生機會均等。 只有在等機率樣本空間內每一事件(樣本點) 發生的機 會才相等。
例如: 投擲兩公正硬幣(正反面個數有3種不同的情形): 樣本空間 S′ = {兩正面、
一正一反、 兩反面} 或 S = {正正、 正反、 反正、 反反}。 S′, S 均為投擲兩硬幣正 反面結果的樣本空間, 其 中 S 才是等機率樣本空間。
而一正一反的機率為 P (A) = n(A) n(S) = 24 機率的基本性質:
1. 空事件的機率: P (∅) = 0。
2. 全部事件的機率: P (S) = 1。
3. 若 A ⊂ S , 則 0 ≤ P (A) ≤ 1。
4. 餘事件 A′的 機率: P (A′) = 1− P (A)。
5. 機率的取捨原理 (排容原理):
P (A∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A∩ B ∩ C)
6. 互斥事件的機率: 若 A∩ B = ∅ , 則 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 7. P (B) = P (A∩ B) + P (A′∩ B)
機率的應用: 事前發生機率 ⇒ 建立機率模型 ⇒ 推估或預測未來機率或模式。
例如: 常態機率函數 (常態經驗法則: 68 − 95 − 99.7)。
二項式機率分配 :P (x = k) = Cknpk(1− p)n−k 袋中有機會均等的5紅球3白球; 每回取出一球, 則
求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 38 (且與抽球順序無關)。
若取出3回中有2白球則第二回取出白球的機率 P (W|2W 1R) , 則不管球是 否放回其條件機率均相等。
每次取出一球取3回均為白球則
( 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 2
7 · 1 機率不相等。 6
1. 求第 k 回抽中白球的機率, 依
每回取出後, 球放回
每回取出後, 球不放回 其機率相同。
P (· · · Wk) : P球放回 = P球不放回
2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的 機率, 依
每回取出後, 球放回
每回取出後, 球不放回 其機率相同。
P rob : P一次取n球 = P一次一球,球不放回 6= P一次一球,球放回
3. 求前 n 回分別取出 k1, k2,· · · , kn 所指定的顏色球, 依
每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率未必相同。
E(X = w球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np
精選範例
例題1 連續投擲一公正骰子2次, 求出現點數和為5的機率? [Ans: 364 = 19] 例題2 連續投擲一枚均勻硬幣5次, 求至少有一次是正面的機率? [Ans: 3132 ] 例題3 袋中有3紅球,2黑球, 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色
(a) 取出一球, 且此球是紅色球的機率為? [Ans: 35]
(b) 取出一球放回, 再取出一球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans: 259 ]
(c) 取出一球不放回, 繼續再取出一球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans: 103 ] (d) 一次取出兩球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans:103 ]
例題4 同時擲3粒骰子, 求 A 事件3粒骰子的點數均不同的機率? 及事件 B: 恰有兩粒點 數相同的機率 ? Ans: P (A) = 59, P(B) = 5
12
例題5 已知10件產品中, 有4件式瑕疵品, 今從中取三件, 求最多只取到1件瑕疵品的機率 P (A) ? 求三件中至少有1件瑕疵品的機率 P (B)? [Ans:P (A) = 23, P (B) = 56] 例題6 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取2張牌, 則
(a) 2張中都沒有出現 A 的機率? [Ans:CC24852
2 = 188221] (b) 2張中花色都沒有出現紅心的機率?? [Ans:CC25236
2 = 105221]
(c) 2張中有出現 A 或 K 的機率? [Ans: P (A∪ K) = 22133 + 22133 − 6638 = 190663] 習題3-2 機率的定義與性質
1. 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取1張牌, 則 (a) 抽到花色是紅心的機率?
(b) 抽到號碼是 A 的機率?
(c) 抽到紅心 A 的機率?
2. 紅球20個, 白球10個, 從袋中取球:
(a) 每次取一個, 取出不放回, 共取5次, 則取出3紅球的機率為?
(b) 每次取一個, 取出後再放回去, 共取5次, 則取到3紅球的機率為?
(c) 一次取出5個, 取到3紅球的機率為?
3. 丟一個硬幣4次, 問至少出現2次正面的機率是多少?
順伯的窩
4. 一盒中有1到10個號碼的10顆球, 今由盒中取4球, 則4球之號碼中第二大數目是 7的機率為何?
5. 投擲3粒公正骰子, 問恰好有兩粒點數相同的機率為何? 又3粒骰子點數均不同的 機率?
6. 設三人玩剪刀、 石頭、 布、 猜拳遊戲一次, 問三人不分勝負的機率為何? 又其中甲 得勝的機率為何?
7. 在8人中, 任意兩人都不在同一個月分出生的機率是多少?
8. 在一試題中, 發生 A 的機率為 12 ,A 和 B 同時發生的機率為 1
12, 又 A 和 B 的 和事件為樣本空間, 求發生 B 事件的機率為何?
9. 投擲一均勻骰子60次, 恰好在第60次出現了第10個么點的機率為何?
10. 一副公正撲克牌中, 從52張牌任取5張牌, 則5張牌為同點數二張另外同點數三張 的機率為? 又若5張牌為兩對, 即 (x, x, y, y, z) 形式的機率為?
11. 已知10支籤中有3支是中獎的, 今有10人依序各抽一支, 求第3個與第4個抽籤者 都中獎的機率?
12. 甲、 乙各自寫一個二位數字, 假設每個數字出現機率相等, 求甲的數字大於乙的數 字的機率?
13. 四顆不同的球任意放入甲、 乙、 丙三個箱子, 求沒有空箱的機率?
14. 設 n 為正整數, 連續投擲一公正骰子 n 次,n 至少要多少時才會使6點至少出現1 次的機率大於 0.9999 ?(log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771)
3.3