3.
4. 求 P20
k=1
k(k + 1)1 =?
5. 求 Pn
k=1
k2(n− k) =?
6. 求 Pn
k=1
(1 + 2 +· · · + k) =?
7. 觀察下列 3× 3, 4 × 4 方格的數字規律:
1 2 3 1 2 2 1 1 1
1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 2 2 1 1 1 1
如果在 10 × 10 的方格上, 仿上面規律填入數字, 則所填入的100個數字和為?
8. 設級數 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) + · · · , 前 n 項的總和為 Sn, 求最小正整數 n, 使 Sn ≥ 1000
9. 求下列級數和:
(a) 1 × 100 + 2 × 99 + 3 × 98 + · · · + 100 × 1 = (b) 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + · · · + (2n − 1) · 2n = 10. 已知級數 12 + 1
6 + 1
12 + · · · 1
n(n + 1) = 199200 求正整數 n 的值?
11. 級數 (1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + (7 + 8 + 9 + 10) +· · · , 以 an 表示第 n 個 括號內的級數和, 求 a15 及前15個括號內所有數字和?
12. 如圖: 第一個 (最大) 正方形邊長為4, 內接正方形的每個頂點距原正方形相鄰兩頂
點距離比為 1 : 3 , 依此規則, 求第5個正方形的周長為何?
13. The Koch Snowflake 雪花曲線是由 K1 每個邊中三等分的第二等分向外推一正 三角形形成 K2 , 依此模式形成 K3, k4,· · · 如圖示:
(a) 試由 K1, k2, K3,· · · 找出規律, 問 K4 曲線的周長共有幾個折線段所形成?
(b) 若 K1 的邊長為1單位, 求 K4 的周長為何?
(c) 若 K1 的面積為1平方單位, 求 K4 的面積為何?
K1
K2 K3 K4 K5
圖 1-2: The Koch Snowflake 雪花曲線
14. 若將一線段四等分, 並且第二、 三等分由矩形正弦波取代如圖: 已知原線段長為1 單位, 依此規則求第四個圖中的所有線段和?
15. 若將一線段三等分, 並將第二等分挖空, 形成新圖如圖所示: 已知原線段長為1單 位, 依此規則求第五個圖中的所有線段和?
第 2 章 排列、 組合
2.1
邏輯、 集合與計數原理
敘述: 能夠具有真假的一句話, 稱為敘述。
命題: 當A,B 兩個敘述結合成“若 A 則 B”的形式, 稱為命題. 記為“A ⇒ B” 。 命題真偽(真值表):
p q p⇒ q ∼ p ∼ q ∼ q ⇒∼ p pW q
T T T F F T T
T F F F T F F
F T T T F T T
F F T T T T T
等價(同義) 命題: p → q ≡∼ q →∼ p ≡∼ pWq 有相同的真或偽
充分必要條件: 如果命題“若A則 B”是正確, 則稱 A 為 B 的充分條件,B 為 A 的必 要條件。 (充分 ⇒ 必要 )。
逆命題: q → p 稱為原命題: p → q 的逆命題 。
順伯的窩
否命題: ∼ p →∼ q 稱為原命題: p → q 的否定命題 。 且、 或、 非的邏輯符號:
pVq : p 且 q 兩敘述均為真時才為真。
pWq : p 或 q 兩敘述有一為真則為真。
∼ (pVq) ≡ (∼ p)W(∼ q)
∼ (pWq) ≡ (∼ p)V(∼ q)
∼ ∀ ≡ ∃ 。 ∼ ∃ ≡ ∀ 。
歸謬證明法: 命題“若 A 則 B” ≡ 命題“若∼ B則∼ A ”。
集合與元素: 集合是由滿足某些條件之事物所組成的整體, 而這些事物稱為這個集合的 元素。
用法: 元素 ∈ 集合, 集合 ⊂ 集合。(∈ :in ,⊂: include) 空集合 ∅ = { } ; A 集合= { 元素1, 元素2 ,· · · } 空集合是任何集合 A 的子集。 即 ∅ ⊂ A
|A| = n(A) :A 集合的元素個數。
集合內的元素不考慮其先後順序, 也不考慮元素重複出現的次數。{3, 1, 1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3}
集合描述法: {x|元素 x 的敘述說明 }
{x|x是小於30的質數} = 列舉法 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
子集合:若 A ⊂ B 即 ∀x ∈ A 則 x ∈ B 稱 A 是 B 的子集合。
集合相等: 若 A ⊂ B 且 B ⊂ A 則 A = B
聯集 ∪、 交集 ∩、 差集 − 、 宇集 U 、 補集 A′ = Ac、 積集合 A× B 1. 聯集: A∪ B = {x|x ∈ A或x ∈ B}
2. 交集: A∩ B = {x|x ∈ A且x ∈ B}
3. 差集: A− B = {x|x ∈ A且x /∈ B}
4. 宇集: 討論問題所涉及的集合是這個給定的集合的子集合, 此給定的集合稱為 宇集合 U 。
5. 補集: Ac = {x|x ∈ U且x /∈ A} = U − A 6. 積集合: A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
笛摩根定理與文氏圖: 集合的運算
A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A∩ B)′ = A′∪ B′
(A∪ B)′ = A′∩ B′ 計數原理:
A B A∩ B
A B
A∩ B
A B
A∪ B
A B
A− B
B A
B− A
圖 2-1: 集合關係的文氏圖
1. 樹形圖分層計數法: 利用樹枝狀圖形分析, 使複雜狀況明顯化。
root
sub3 sub2 sub1
child2 child1
A B
2. 列舉法: 將集合的元素一一列出, 記算其中的元素個數。
3. 一一對應原理: 設 A, B 是兩個元素個數有限個的集合, 若集合 A 與 B 之間 的元素可以建立一一對應的關係, 則這兩個集合的元素個數必相等, n(A) = n(B)
4. 加法原理: 若 A 及 B 兩步驟完成的方法各為 m,n 種方法。 且 A、B 兩步驟 不會同時完執行彼此為互斥, 則完成一事件可選擇 A 或 B 步驟來完成, 則事 件的完成方法共有 m + n 種方法。(完成一事件採取互斥的步驟 A,B,C 其一 就完成事件, 則完成事件方法有 n(A) + n(B) + n(C) 種)
5. 乘法原理: 完成 E 及 F 步驟的方法各為 m,n 種方法。 且 E、F 兩事不互相影 響, 則完成一事件需 E、F 兩步驟才能完成, 則完成事件的方法有 m × n 種方 法。(完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟才算完成此事件, 則完成 事件方法有 n(A) × n(B) × n(C) 種)
6. *高等計數方法:
(a) 取捨原理 (b) 遞推關係 (c) 生成函數
(d) 鴿籠原理與 Ramsey 定理 (e) 波利亞 (Poly) 計數定理 加法原理:
若 A 及 B 兩事件完成的方法各為 m、n 種方法。 且 A、B 兩事不能同時完成為 互斥, 則完成 A 或 B 事的方法共有 m + n 種方法。(完成一事件採取互斥的步驟 A、B、C 只要其一就完成事件, 則完成事件方法有 n(A) + n(B) + n(C) 種) 乘法原理:
完成 E 及 F 事件的方法各為 m,n 種方法。 且 E、F 兩事不互相影響, 則完成 E、F
順伯的窩
兩事件的方法有 m × n 種方法。(完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟 才算完成此事件, 則完成事件方法有 n(A) × n(B) × n(C) 種)
P Q
2× (2 + 2) + 2 × 3 × 4 = 32 取捨原理 :(排容原理) 設 A,B,C 是三個有限個元素的集合, 則
n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A∩ B ∩ C)
走捷徑問題: 從 A 點走到 B 點的累加法 (每一節點來自哪方向路徑數相加)。
來自左方及下方
A
B
圖形著色問題
:依相鄰區域較多者依序塗色
(有些情形需討論對角區域是否同色
)。
D(2) C(2)
B(3) A(3)
F(2)
E(2) A
區
B區
C區
D區
E區
F區
影響 D 影響 D
影響 F
影響 F
A B
BC
同
DBE
同
F BE異
F BC異
DBE
同
F BE異
F數字號碼問題
:需注意首位數字不可排
0,數字是否可重複出現。
精選範例
例題1 設集合 A = {2, 4, a2− 2a − 3}, B = {−4, a + 1, a + 4} , 若 A ∩ B = {5} 求 A∪ B [Ans: {2, 4, 5, −4, 8}]
例題2 從1到30 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans:22個]
由1到150 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans: 22 × 5 個]
例題3 某校舉行親子日, 某班有35位同學, 已知父親出席者有18位, 母親出席者有 25位, 父母皆出席者有12位, 試問班上有幾位同學家長沒出席親子日? [Ans:4位]
例題4 英國溫布頓網球公開賽, 在男子單打方面有64 名選手參賽, 採單淘汰賽 (任一隊 只要輸一場比賽就被淘汰出局), 共要比賽幾場才能產生單打冠軍? [Ans:32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63
例題5 從1到120的正整數中, 與120互質的數有幾個? [Ans:32個]
例題6 展開 (a + b + c + d)(x + y)(p + q + r) 共有幾個相異項? [Ans:24]
例題7 求 360 的正因數個數有多少個? [Ans:24 個]
例題8 甲與乙兩人分別叫出一個小於10的正整數, 求此兩數乘積大於25的情形有幾種?
[Ans:32種]
例題9 書架上有 3 本不同的中文書、5 本不同的英文書、4 本不同的數學書; 今某人甲欲從 書架上選取一本書共有多少種選法? 若甲改由書架上三種類型的書各取一本則共 有多少種選法? Ans: 12; 60
習題2-1 邏輯、 集合與計數原理
1. 設 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 5, 8}, 求 (1)ATB =? (2)ASB =
? (3)AT(BSC) =?
2. 設 A = {2, 4, a + 1}, B = {−4, a − 2, a2 − 2a − 3}, 若 ATB = {2, 5} , 則 ASB =?
3. 若 A = {x| − 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}, B = {x|x < 3, x ∈ R} , 則 ASB =?
4. 某次考試, 全班40人中, 英文及格的有23人, 數學及格的有32人, 兩科都不及格的 有5人, 則數學及格英文不及格的有? 人
5. 對於0和空集合 ∅ , 下列哪些選項是正確的? (1) 0 ⊂ {0} (2) 0 ⊂ ∅ (3) 0 ∈ ∅ (4) 0∈ {0} (5) ∅ ⊂ {0}
6. 在1到100 的正整數中, 是2的倍數但不是3的倍數者共有幾個?
7. 學校舉辦排球比賽, 每場比賽必分出勝負, 採單淘汰賽 (任一隊只要輸一場比賽就 被淘汰出局), 每一輪比賽中, 參賽隊伍盡可能配對比賽, 若該輪為奇數隊比賽, 則 將剩下的一隊輪空, 依下列參賽隊伍計算總共要比賽幾場才能產生冠軍隊伍? (1) 7隊參賽? (2) 16隊參賽?
8. 在棒球比賽中, 共有10支隊伍參賽, 比賽一定要分出勝負, 若採雙淘汰賽 (一個隊 伍輸一場仍可繼續比賽, 直到第二次輸球才退出比賽), 若從球賽開始到產生冠軍 隊伍 (全勝不敗) 共需比賽幾場? 若球賽開始到產生冠軍隊伍 (只敗1場) 共需比 賽幾場?
順伯的窩
9. 某年級甲班有30人, 乙班有35人, 丙班有40人; 若從甲、 乙、 丙三班中挑選一人當 司儀, 則有幾種選法? 若從甲、 乙、 丙三班中各選一人代表學校參加校外比賽, 則 有幾種選法?
10. 書架上有3本不同的中文書, 有5本不同的英文書, 有6本不同的數學書, 現今想從 書架上選取一本書, 有幾種選法? 若改從書架上選取中文書, 英文書, 數學書各一 本, 共有幾種選法?
11. 在三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為2的數, 共有? 個
12. 一室有五門, 甲乙二人分由不同門進出此室一次, 且每人不得由同一門進出, 則其 方法有? 種
13. 求420的正因數個數與這些正因數的總和?
14. 從數字 0, 5, 6, 7, 8 中選取三個數字,
(a) 數字可重複, 則可排列出多少個不同的三位數?
(b) 數字不可重複, 則可排列出多少個不同的三位數?
2.2