99
課綱 數學科
自我
學習要點、 習題手冊
範圍
:
數學第二冊
數列與級數、 排列組合、 機率、 數據分析
高
一
:
班
號
學
生
:
指
導 教 師
:
鄭國順
老師
參考版本
:
南一
,
翰林
,
龍騰 版
新營高中
鄭國順 編
版本修訂
:2012
年
7
月
16
日
1
數列與級數
1
1.1
數列與數學歸納法
. . . .
1
1.2
級數
. . . .
3
2
排
列、 組合
6
2.1
邏輯、 集合與計數原理
. . . .
6
2.2
排
列與組合
. . . .
11
2.3
二項式定理
. . . .
21
3
機率
23
3.1
樣本空間與事件
. . . .
23
3.2
機率的定義與性質
. . . .
24
3.3
條件機率與貝氏定理
. . . .
27
4
數據分析
32
4.1
單變量數據分析
. . . .
32
4.2
雙變量數據分析
. . . .
39
5
習題參考答案
47
5.1
第一章
. . . .
47
5.2
第二章
. . . .
47
5.3
第三章
. . . .
49
5.4
第四章
. . . .
50
第
1
章
數列與級數
1.1 數列與數學歸納法 數列: 將一些數依序排成一列, 稱為數列。 例: a1, a2, a3,· · · , an· · · 以 < an > 表示數列的第 n 項。an 用 n 來表示稱為數 列 an 的一般項 (通項)。 由數列前幾項無法唯一決定此數列的一般項。 例:1, 2, 4 · · · 可為 < 2n−1 > 的前 三項, 也可能為 < n2 − n + 22 > 的前三項。 有限數列與無窮數列: 若一數列具有有限項稱為有限數列, 反之稱為無窮數列。 數列前 n 項和: Sn 若 Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an , 則一般項 an = Sn− Sn−1, n ≥ 2 遞迴數列與遞迴關係式: (高中主要討論一階遞迴關係式或簡單規律的遞推數列) 數列 < an > 中, 一般項可用前相鄰項 an−1, an−2,· · · 表示的一種表示關係。 具 有此種關係的數列稱為遞迴數列, 此關係式稱為遞迴關係式。 例: 公差為 d 的等差數列亦可表為 an = an−1+ d, n ≥ 2 。 公比為 r 的等比數列 亦可表為 an = ran−1, n ≥ 2 。 一階線性遞迴關係式: an = α· an−1 + f (n), n≥ 2 二階線性遞迴關係式: an = α· an−1 + β · an−2 + f (n), n ≥ 3 1. 若 an = an−1+ f (n), n ≥ 2 ⇒ 累加消去法: an = a1+ f (2) + f (3) +· · · + f (n) = a1 + n P k=2 f (k) 2. 若 an = αan−1 + k, n ≥ 2 ⇒ 變數代換消去 k: 令 bn = an + c, 代換並比 較常數,k = (α − 1)c 則 bn = αbn−1 為公比為 α 的等比數列。 an = bn − c = b1(α)n−1 − c = (a1 + c)(α)n−1 − k α− 1, n ≥ 2 費布那西(Fibonacci) 數列: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,· · · 費氏數列的遞迴關係式: n F1 = F2 = 1 Fn+1 = Fn+ Fn−1, n ≥ 2 費氏數列的一般通項: Fn = 1√ 5 h (1 + √ 5 2 )n− (1 − √ 5 2 )n i , n ∈ Z+ 數學歸納法: 設 P1, P2,· · · , Pk,· · · 為一系列的命題, 數學歸納法的三步驟: 1. 驗證 n = 1 (初始項) 時 (不一定從 n = 1 開始) , P1 成立。 2. 對任意正整數 k, 假設 n = k , 時 Pn 亦成立。 3. 證明當 n = k + 1 時 , Pn 亦成立。 則 ∀n, Pn 均成立。 精選範例例題1 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a 1 = 2, an = an−1 + n− 1, n ∈ N, n ≥ 2 求一般項 an? [Ans:: an = n 2 − n + 4 2 例題2 列出數列 {an} 的前三項, 其中 a1 = 3, an+1 = 3an+ 2 。 [Ans:3, 11, 35] 例題3 試證: 對任意正整數 n , 則 n3 + 5n 必為6的倍數。 例題4 設 n 為正整數, 則 3n+2+ 42n+1 恆為某一固定質數 p 的倍數, 試找出此質數 p 並 證明之? [Ans:p = 13] 例題5 用數學歸納法證明: 對所有的正整數 n ,4n+ 2 恆為6的倍數。 習題1-1 數列與級數 1. 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a 1 = 2, an = an−1 + 2n−1, n ∈ N, n ≥ 2 , 求一般項 an? 2. 數列 {an} 的遞迴定義式為 n a 1 = 1, an+1 = 2an + 1, n∈ N , 推測此數列一般項 an , 並用數學歸納法加以證明? 3. 求此數列, < n2 + 2n > 的第10項=? 4. 設 < an > 為一數列且前 n 項和 Sn = −3n2 + 4n 若 a1 = 1 求 a2 =?, an =? 此數列是否為等差數列? 5. 設 < an > 為一等比數列且 a4 = 24, a6 = 96 求此等比數列的首項及第九項? 6. 有一等比數列, 首項為7, 末項為448, 和為889, 求項數? 7. 用數學歸納法證明: n P k=1 k2 = n(n + 1)(2n + 1)6 8. ∀n ∈ N 求證: 4n+ 2 為3的倍數 9. ∀n ∈ N 求證: 9n+1− 8n − 9 為64的倍數 10. ∀n ∈ N 求證: 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) = n2 11. 設數列 < an > 滿足 : a1 = 2, an+1 = 23an+5 (n ∈ N ) 令 a′n = an+1−an, n≥ 2 試證: < a′n > 是以 23 為公比的等比數列。 並求出 an (以 n 表示) 12. 設數列 < an > 滿足: a1 = 5, an+1 = an + 4,∀n ∈ N, 求 an =? 13. 試證明: ∀n ∈ N, 52n+2+ 23n−1 為17的倍數 14. 設 ∀n ∈ N, f(n) = 102n − 3 · 12n + 2 求 (1)f (2) =? (2) 若 p ∈ N 且 p|f(n), ∀n ∈ N , 求 p 的最大值? 15. ⊚ 設實數 p ≥ −1 , 求證 (1 + p)n ≥ 1 + np 對每一正整數 n 均成立。(伯努利不 等式) 16. ⊚ 試證明: ∀n ∈ N, n ≥ 4 , 3n > n3 順伯的窩
1.2 級數 級數: 把一個數列中的每一項依序加起來的式子。 例: a1 + a2 + a3 + · · · + an = n P k=1 ak , 通常用符號 P 來表示數列的和。 有限級數: 有限項數列的和稱為有限級數。Sn = n P k=1 ak = a1 + a2 + a3 + · · · + an 等差與等比: 公差 d, 公比 r 1. 等差數列 一般項 a n = a1 + (n− 1) × d 前n項和 Sn = a1 + a2 n × n 2. 等比數列 ( 一般項 an = a1 × rn−1 前n項和 sn = a(1− r n) 1− r , r 6= 1 (r = 1, Sn = na1) 3. 若 a, b, c 三數成等差數列, 則等差中項 b = a + c2 。 三數可假設為 a − d, a, a + d 若 a, b, c 三數成等比數列, 則 b 為等比中項且 b2 = ac 。 三數可假設為 a r , a, ar P 的運算性質: a1+a2+· · ·+an = 級數末項P n k=級數初始項1 ak, 其中 ak 為級數一般項,k 為變數。 1. Pn k=1 (ak ± bk) = n P k=1 ak± n P k=1 bk 2. n P k=1 c = c + c + c +| {z · · · + c} n項 = nc 3. Pn k=1 cak = c n P k=1 ak 4. n P k=m+1 ak = n P k=1 ak − m P k=1 ak 5. n P k=1 (akbk) 6= n P k=1 ak n P k=1 bk 常用級數和公式: 1. n P k=1 k = 1 + 2 + 3 +· · · + n = n(n + 1)2 2. Pn k=1 k2 = 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
3. n P k=1 k3 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 = n2(n + 1)2 4 分式和: n P k=1 1 k(k + 1) = 1 1 − 1 n + 1 利用拆項對消法 1 1× 2 + 2× 31 + 3× 41 +· · · + 10× 111 = P10 k=1 1 k(k + 1) = 11( 10 P k=1 1 k − 10 P k=1 1 k + 1) = 1− 111 = 1011 1! + 2× 2! + 3 × 3! + · · · + n × n! = Pn k=1 [(k + 1)k!− k!] 精選範例 例題1 計算 P10 k=1 (2k + 3) =? [Ans:140] 例題2 下列級數用 P 的記號來表示: (a) 2 + 4 + 6 + 8 +· · · + 200 =? [Ans:100P k=1 2k] (b) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + 99 · 100 =? [Ans: 99 P k=1 k(k + 1)] (c) 1 + 3× 21+ 5× 22+ 7× 23+· · · + 99 × 249 =? [Ans:P50 k=1 (2k− 1)2k−1] (d) 11· 2 + 12· 3 + 13· 4 +· · · + 999· 10001 =? [Ans:999P k=1 1 k(k + 1)] 例題3 一等比實數列 < an >, a2 = −2, a5 = 16 , 求 10 P n=1 an 之值? [Ans:−341] 例題4 P10 k=1 (k+10)2 = 112+122+132+· · ·+· · · 202 = P20 k=1 k2−P10 k=1 k2 =? [Ans:2485] 例題5 一級數的前 n 項和為 Sn = 13n(n + 1)(n + 2) , 求此級數的一般項 an = ? [Ans:n(n + 1)] 習題1-2 級數 1. 設 < an > 是等差數列, < bn > 為等比數列, 已知 a2 = b2 = 3, a5 = b5 = 24 , 求 a7 + b7 的值? 2. 求有限級數的和: 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) +· · · + (1 + 2 + 3 + · · · + 10) =? 3. 計算出 1× 3 + 4 × 5 + 7 × 7 + 10 × 9 + · · · + 28 × 21 =? 順伯的窩
4. 求 P20 k=1 1 k(k + 1) =? 5. 求 Pn k=1 k2(n− k) =? 6. 求 Pn k=1 (1 + 2 +· · · + k) =? 7. 觀察下列 3× 3, 4 × 4 方格的數字規律: 1 2 3 1 2 2 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 3 1 2 2 2 1 1 1 1 如果在 10 × 10 的方格上, 仿上面規律填入數字, 則所填入的100個數字和為? 8. 設級數 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) + · · · , 前 n 項的總和為 Sn, 求最小正整數 n, 使 Sn ≥ 1000 9. 求下列級數和: (a) 1 × 100 + 2 × 99 + 3 × 98 + · · · + 100 × 1 = (b) 1 × 2 + 3 × 4 + 5 × 6 + · · · + (2n − 1) · 2n = 10. 已知級數 12 + 16 + 12 + · · ·1 n(n + 1)1 = 199200 求正整數 n 的值? 11. 級數 (1) + (2 + 3) + (4 + 5 + 6) + (7 + 8 + 9 + 10) +· · · , 以 an 表示第 n 個 括號內的級數和, 求 a15 及前15個括號內所有數字和? 12. 如圖: 第一個 (最大) 正方形邊長為4, 內接正方形的每個頂點距原正方形相鄰兩頂 點距離比為 1 : 3 , 依此規則, 求第5個正方形的周長為何?
13. The Koch Snowflake 雪花曲線是由 K1 每個邊中三等分的第二等分向外推一正
三角形形成 K2 , 依此模式形成 K3, k4,· · · 如圖示:
(a) 試由 K1, k2, K3,· · · 找出規律, 問 K4 曲線的周長共有幾個折線段所形成?
(b) 若 K1 的邊長為1單位, 求 K4 的周長為何?
K1
K2 K3 K4 K5
圖 1-2: The Koch Snowflake 雪花曲線
14. 若將一線段四等分, 並且第二、 三等分由矩形正弦波取代如圖: 已知原線段長為1 單位, 依此規則求第四個圖中的所有線段和? 15. 若將一線段三等分, 並將第二等分挖空, 形成新圖如圖所示: 已知原線段長為1單 位, 依此規則求第五個圖中的所有線段和?
第
2
章
排列、 組合
2.1 邏輯、 集合與計數原理 敘述: 能夠具有真假的一句話, 稱為敘述。 命題: 當A,B 兩個敘述結合成“若 A 則 B”的形式, 稱為命題. 記為“A ⇒ B” 。 命題真偽(真值表): p q p⇒ q ∼ p ∼ q ∼ q ⇒∼ p pWq T T T F F T T T F F F T F F F T T T F T T F F T T T T T 等價(同義) 命題: p → q ≡∼ q →∼ p ≡∼ pWq 有相同的真或偽 充分必要條件: 如果命題“若A則 B”是正確, 則稱 A 為 B 的充分條件,B 為 A 的必 要條件。 (充分 ⇒ 必要 )。 逆命題: q → p 稱為原命題: p → q 的逆命題 。 順伯的窩否命題: ∼ p →∼ q 稱為原命題: p → q 的否定命題 。 且、 或、 非的邏輯符號: pVq : p 且 q 兩敘述均為真時才為真。 pWq : p 或 q 兩敘述有一為真則為真。 ∼ (pVq) ≡ (∼ p)W(∼ q) ∼ (pWq) ≡ (∼ p)V(∼ q) ∼ ∀ ≡ ∃ 。 ∼ ∃ ≡ ∀ 。 歸謬證明法: 命題“若 A 則 B” ≡ 命題“若∼ B則∼ A ”。 集合與元素: 集合是由滿足某些條件之事物所組成的整體, 而這些事物稱為這個集合的 元素。 用法: 元素 ∈ 集合, 集合 ⊂ 集合。(∈ :in ,⊂: include) 空集合 ∅ = { } ; A 集合= { 元素1, 元素2 ,· · · } 空集合是任何集合 A 的子集。 即 ∅ ⊂ A |A| = n(A) :A 集合的元素個數。 集合內的元素不考慮其先後順序, 也不考慮元素重複出現的次數。{3, 1, 1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3} 集合描述法: {x|元素 x 的敘述說明 } {x|x是小於30的質數} = 列舉法 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} 子集合: 若 A ⊂ B 即 ∀x ∈ A 則 x ∈ B 稱 A 是 B 的子集合。 集合相等: 若 A ⊂ B 且 B ⊂ A 則 A = B 聯集 ∪、 交集 ∩、 差集 − 、 宇集 U 、 補集 A′ = Ac、 積集合 A× B 1. 聯集: A∪ B = {x|x ∈ A或x ∈ B} 2. 交集: A∩ B = {x|x ∈ A且x ∈ B} 3. 差集: A− B = {x|x ∈ A且x /∈ B} 4. 宇集: 討論問題所涉及的集合是這個給定的集合的子集合, 此給定的集合稱為 宇集合 U 。 5. 補集: Ac = {x|x ∈ U且x /∈ A} = U − A 6. 積集合: A× B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} 笛摩根定理與文氏圖: 集合的運算 A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A∩ B)′ = A′∪ B′ (A∪ B)′ = A′∩ B′ 計數原理:
A B A∩ B A B A∩ B A B A∪ B A B A− B B A B− A 圖 2-1: 集合關係的文氏圖 1. 樹形圖分層計數法: 利用樹枝狀圖形分析, 使複雜狀況明顯化。 root sub3 sub2 sub1 child2 child1 A B 2. 列舉法: 將集合的元素一一列出, 記算其中的元素個數。 3. 一一對應原理: 設 A, B 是兩個元素個數有限個的集合, 若集合 A 與 B 之間 的元素可以建立一一對應的關係, 則這兩個集合的元素個數必相等, n(A) = n(B) 4. 加法原理: 若 A 及 B 兩步驟完成的方法各為 m,n 種方法。 且 A、B 兩步驟 不會同時完執行彼此為互斥, 則完成一事件可選擇 A 或 B 步驟來完成, 則事 件的完成方法共有 m + n 種方法。(完成一事件採取互斥的步驟 A,B,C 其一 就完成事件, 則完成事件方法有 n(A) + n(B) + n(C) 種) 5. 乘法原理: 完成 E 及 F 步驟的方法各為 m,n 種方法。 且 E、F 兩事不互相影 響, 則完成一事件需 E、F 兩步驟才能完成, 則完成事件的方法有 m × n 種方 法。(完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟才算完成此事件, 則完成 事件方法有 n(A) × n(B) × n(C) 種) 6. *高等計數方法: (a) 取捨原理 (b) 遞推關係 (c) 生成函數 (d) 鴿籠原理與 Ramsey 定理 (e) 波利亞 (Poly) 計數定理 加法原理: 若 A 及 B 兩事件完成的方法各為 m、n 種方法。 且 A、B 兩事不能同時完成為 互斥, 則完成 A 或 B 事的方法共有 m + n 種方法。(完成一事件採取互斥的步驟 A、B、C 只要其一就完成事件, 則完成事件方法有 n(A) + n(B) + n(C) 種) 乘法原理: 完成 E 及 F 事件的方法各為 m,n 種方法。 且 E、F 兩事不互相影響, 則完成 E、F 順伯的窩
兩事件的方法有 m × n 種方法。(完成一事件須採取獨立的步驟 A,B,C 全部步驟 才算完成此事件, 則完成事件方法有 n(A) × n(B) × n(C) 種)
P Q
2× (2 + 2) + 2 × 3 × 4 = 32
取捨原理 :(排容原理) 設 A,B,C 是三個有限個元素的集合, 則 n(A∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A∩ B ∩ C) 走捷徑問題: 從 A 點走到 B 點的累加法 (每一節點來自哪方向路徑數相加)。 來自左方及下方 A B 圖形著色問題: 依相鄰區域較多者依序塗色 (有些情形需討論對角區域是否同色)。 D(2) C(2) B(3) A(3) F(2) E(2) A 區 B區 C區 D區 E區 F區 影響 D 影響 D 影響 F 影響 F A B BC 同 D BE 同 F BE 異 F BC 異 D BE 同 F BE 異 F 數字號碼問題: 需注意首位數字不可排0, 數字是否可重複出現。 精選範例 例題1 設集合 A = {2, 4, a2− 2a − 3}, B = {−4, a + 1, a + 4} , 若 A ∩ B = {5} 求 A∪ B [Ans: {2, 4, 5, −4, 8}]
例題2 從1到30 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans:22個] 由1到150 的正整數中, 是2或3或5 的倍數共有幾個? [Ans: 22 × 5 個] 例題3 某校舉行親子日, 某班有35位同學, 已知父親出席者有18位, 母親出席者有 25位, 父母皆出席者有12位, 試問班上有幾位同學家長沒出席親子日? [Ans:4位] 例題4 英國溫布頓網球公開賽, 在男子單打方面有64 名選手參賽, 採單淘汰賽 (任一隊 只要輸一場比賽就被淘汰出局), 共要比賽幾場才能產生單打冠軍? [Ans:32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63 例題5 從1到120的正整數中, 與120互質的數有幾個? [Ans:32個] 例題6 展開 (a + b + c + d)(x + y)(p + q + r) 共有幾個相異項? [Ans:24] 例題7 求 360 的正因數個數有多少個? [Ans:24 個] 例題8 甲與乙兩人分別叫出一個小於10的正整數, 求此兩數乘積大於25的情形有幾種? [Ans:32種] 例題9 書架上有 3 本不同的中文書、5 本不同的英文書、4 本不同的數學書; 今某人甲欲從 書架上選取一本書共有多少種選法? 若甲改由書架上三種類型的書各取一本則共 有多少種選法? Ans: 12; 60 習題2-1 邏輯、 集合與計數原理 1. 設 A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, C = {2, 5, 8}, 求 (1)ATB =? (2)ASB = ? (3)AT(BSC) =? 2. 設 A = {2, 4, a + 1}, B = {−4, a − 2, a2 − 2a − 3}, 若 ATB = {2, 5} , 則 ASB =? 3. 若 A = {x| − 1 ≤ x ≤ 5, x ∈ R}, B = {x|x < 3, x ∈ R} , 則 ASB =? 4. 某次考試, 全班40人中, 英文及格的有23人, 數學及格的有32人, 兩科都不及格的 有5人, 則數學及格英文不及格的有? 人 5. 對於0和空集合 ∅ , 下列哪些選項是正確的? (1) 0 ⊂ {0} (2) 0 ⊂ ∅ (3) 0 ∈ ∅ (4) 0∈ {0} (5) ∅ ⊂ {0} 6. 在1到100 的正整數中, 是2的倍數但不是3的倍數者共有幾個? 7. 學校舉辦排球比賽, 每場比賽必分出勝負, 採單淘汰賽 (任一隊只要輸一場比賽就 被淘汰出局), 每一輪比賽中, 參賽隊伍盡可能配對比賽, 若該輪為奇數隊比賽, 則 將剩下的一隊輪空, 依下列參賽隊伍計算總共要比賽幾場才能產生冠軍隊伍? (1) 7隊參賽? (2) 16隊參賽? 8. 在棒球比賽中, 共有10支隊伍參賽, 比賽一定要分出勝負, 若採雙淘汰賽 (一個隊 伍輸一場仍可繼續比賽, 直到第二次輸球才退出比賽), 若從球賽開始到產生冠軍 隊伍 (全勝不敗) 共需比賽幾場? 若球賽開始到產生冠軍隊伍 (只敗1場) 共需比 賽幾場? 順伯的窩
9. 某年級甲班有30人, 乙班有35人, 丙班有40人; 若從甲、 乙、 丙三班中挑選一人當 司儀, 則有幾種選法? 若從甲、 乙、 丙三班中各選一人代表學校參加校外比賽, 則 有幾種選法? 10. 書架上有3本不同的中文書, 有5本不同的英文書, 有6本不同的數學書, 現今想從 書架上選取一本書, 有幾種選法? 若改從書架上選取中文書, 英文書, 數學書各一 本, 共有幾種選法? 11. 在三位數中, 百位數與個位數之差的絕對值為2的數, 共有? 個 12. 一室有五門, 甲乙二人分由不同門進出此室一次, 且每人不得由同一門進出, 則其 方法有? 種 13. 求420的正因數個數與這些正因數的總和? 14. 從數字 0, 5, 6, 7, 8 中選取三個數字, (a) 數字可重複, 則可排列出多少個不同的三位數? (b) 數字不可重複, 則可排列出多少個不同的三位數? 2.2 排列與組合 直線排列數: n 件相異物的直線排列方法有 n! = n· (n − 1) · (n − 2) · · · · 2 · 1 種 從 n 件相異物品中取 k 件排成一列的方法數 : Pn k = (n− k)!n! n n− 1 n− 2 · · · · · ·(n − k + 1) ⊗ ⊗ · · · ⊗ 只取出K物排列, 剩下(n − k)物的排列均視為同一排列 不盡相異物的排列: 設 n 個物品可分成 k1, k2,· · · , km 個相同物品的 m 類,( k1+ k2+· · · + km = n ) , 則這 n 個物品排成一列的排列數為 k n! 1!k2!· · · km! 4相異物A、B、C、D 排列 4物中有3相同物 (A=B=C) 排列
ABCD ACBD BACD BCAD CABD CBAD ⇒ D ABDC ACDB BADC BCDA CADB CBDA ⇒ D ADBC ADCB BDAC BDCA CDAB CDBA ⇒ D DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA ⇒D
共有 4! 排法 共有 4! 3! 排法 重複排列數: nk n 類物品 (每類至少有 k 件), 中取出 k 件排成一列, 可重複選取, 則其排列數為 n· n · n · · · · n | {z } k個 = nk
特殊規定排列: 1. 指定位置之排列: 先排指定物後再將其他物排列。 (a) 5人中, 甲必排首位 ⇒ 甲 n− 1 n − 2 n − 3 n − 4 2. 指定相鄰位之排列: 將相鄰物視為一物, 再混入排列後、 再將相鄰物排列。 (a) 5人中的甲、 乙兩人必相鄰 ⇒ 甲乙 + 其他人 99K 混合後再排列 甲乙兩人可排列 ⇒ (1 + 3)!2! 3. 指定間隔排列: 將其他物先排列後, 再將間隔物插入間隔排列。 (a) 5人中的甲、 乙兩人必分隔開 ⇒ ⊛ ⊛ ⊛ 99K其他人先排列 ↑ ↑ ↑ ↑ 99K間隔物插入排列 ⇒ 3!P4 2 4. ⊚環狀排列: n 件相異物的環狀排列方法有 n!n = (n − 1)! 5. 特殊規定排列 (錯排): 利用集合文氏圖運算; 錯排公式。 6. n 人中規定有k個人不可排在k個特定位置 (錯排公式): Ck 0 · n! − C1k · (n − 1)! + C2k(n− 2)! − · · · + (−1)kCkk(n− k)! 相異組合數: 從n件相異物品中選取 k 件的方法數 Cn k = Cnn−k = k!(nn!− k)! 5相異物A、B、C、D、E 取出3物排列數 5物取出3物組合數
ABC ACB BAC BCA CAB CBA ⇒ {A, B, C} ABD ADB BAD BDA DAB DBA ⇒ {A, B, D} ABE AEB BAE BEA EAB EBA ⇒ {A, B, E} ACD ADC CAD CDA DAC DCA ⇒ {A, C, D} ACE AEC CAE CEA EAC ECA ⇒ {A, C, E} ADE AED DAE DEA EAD EDA ⇒ {A, D, E} BCD BDC CBD CDB DBC DCB ⇒ {B, C, D} BCE BEC CBE CEB EBC ECB ⇒ {B, C, E} BDE BED DBE DEB EBD EDB ⇒ {B, D, E} CDE CED DCE DEC ECD EDC ⇒ {C, D, E}
共有 P5 3 = 5! 2! = 60 排法 共有 C 5 3 = 5! 3!2! = 10 取法 從 n 件相異物品中取 k 件排列數 Pn k = Ckn× k! 巴斯卡組合公式: Cn k = C n−1 k + C n−1 k−1, 1 ≤ k ≤ n − 1 從 n 個人選出 k 人的方法數可分成 [甲被選中] 和 [甲未被選中] 這兩種選取情形。 重複組合: 從 n 類相異物品中 (每類物品至少有 k 件, 可重複選取) 則選出 k 件的方 法數有 Hkn選取數類 = Ckn+k−1 將相同物 k 件, 切割成 n 份, 只要切 (n − 1) 刀分割。 重複組合數就是相當 順伯的窩
於此 k 件相同物及 (n − 1) 個分割點的排列數 = (k + nk!(n− 1)!− 1)! = Ckn+k−1 非負整數解個數: x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數為 Hkn = Ckn+k−1 解應用問題時, 假設未知數, 列式後再化成非負整數解的題型。 1. 從 n 類物品 (每類個數很多) 中選取 k 個的組合數。 2. n 元一次方程式 x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數。 3. 將 k 個相同的事物全分給 n 個人的分法。 也就是在乎每類物品被取出幾個, 即第 i 類物品被取出 xi 個, 總共取出 k 個的不 同取法。 ⇒ x1 + x2 +· · · + xn = k 的非負整數解個數 相當於有 k 個1要分給 n 個未知數 ⇒ k 個1要分成 n 份, 只要 (n − 1) 個分割 記號。 1 1 1 + 1 1 + 1 + + 1 表示 3 , 2 , 1 , 0 , 1 的整數解 分組分堆組合: 從 n 個相異物分k1個給甲, 分k2個給乙, 分k3個給丙有 Ckn1C n−k1 k2 C n−k1−k2 k3 種分法 相異物的分配 1. 有6相異物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ C6 2C24C22 種相異方法。 2. 有6相異物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ C6 2C24C223!1 種相異方法。 3. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4) 件 ⇒ C6 1C15C44 種相異方法。 4. 有6相異物分3人, (1, 1, 4)⇒ C6 1C15C443!2! 種相異方法。 5. 有6相異物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ C6 1C15C442!1 種相異方法。 6. 有6相異物分甲、 乙、 丙3人, 分別 (1, 2, 3) 件,⇒ C6 1C25C33 種相異方法。 7. 有6相異物分3堆, 各 (1, 2, 3) ⇒ C6 1C25C332!1 種相異方法。 相同物的分配 1. 有6相同物平分3人, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。 2. 有6相同物平分3堆, (2, 2, 2) ⇒ (2, 2, 2) 一種相異方法。 3. 有6相同物分甲、 乙、 丙3人, 各 (1, 1, 4)⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。 4. 有6相同物分3人, (1, 1, 4)⇒ 3!2! 種相異方法。 5. 有6相同物分3堆, 各 (1, 1, 4) ⇒ (1, 1, 4) 一種相異方法。 排列組合的類型: 如表
5相異物a、b、1、2、*分給甲2件、 乙2件、 丙1件方法數 分2件、2件、1件三堆方法數 甲 乙 丙 三堆 a,b 1,2 * ⇒ {a, b}, {1, 2}, {∗} 1,2 a,b * a,1 b,2 * ⇒ {a, 1}, {b, 2}, {∗} b,2 a,1 * a,2 b,1 * ⇒ {a, 2}, {b, 1}, {∗} b,1 a,2 * a,b 2,* 1 ⇒ {a, b}, {2, ∗}, {1} 2,* a,b 1 a,* 2,b 1 ⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1} 2,b a,* 1 b,* 2,a 1 ⇒ {a, ∗}, {2, b}, {1} 2,a b,* 1 a,b 1,* 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} 1,* a,b 2 a,* 1,b 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} 1,b a,* 2 b,* 1,a 2 ⇒ {a, b}, {1, 2}, {2} a,1 b,* 2 b,* 1,2 a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} 1,2 b,* a b,1 2,* a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} 2,* b,1 a 1,* b,2 a ⇒ {b, ∗}, {1, 2}, {a} b,2 1,* a a,* 1,2 b ⇒ {a, ∗}, {1, 2}, {b} 1,2 a,* b a,1 2,* b ⇒ {a, 1}, {2, ∗}, {b} 2,* a,1 b a,2 1,* b ⇒ {a, 2}, {1, ∗}, {b} 1,*b a,2 b 共有 C5 2C23C11 = 30 種分法 共有 C25C23C11× 1 2! = 15 種分法 順伯的窩
表2-2: 基本計數公式一覽表 數學模型 公式 備註 從n 個相異的球中任取 m 個球的方法數 1. 取出 m個球放在一堆 (無次序性) Cn m 2. 取出 m個球排成一列 (有次序性) Pn m *3. 取出m個球排成環狀(有序,無首尾之分) P n m m 4. 取出任意多個球(包含0個) 2n 從n 個相異的球放到 m個箱子的方法數 *(1). 箱子均相同(無標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱) * m P k=0 Sn k *稱作Stirling數 2. 每箱至少放入一球 (不空) Sn m 劃分 n 個元素為 m 個子集合 (沒 有空集合)的方法 數 (2). 箱子均相異 (有標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱)=任意放置 (可重複排列) P n1+n2+···+nm=n n n1,n2,n3,··· ,nm = mn 2. 第 i 個箱子放入ni 個球 n1,n2,nn3,··· ,nm = n n! 1!n2!· · · nm! 3. 每箱至少一個球 (不空) mn −Cm 1 (m−1)n+ C2m(m−2)n− Cm 3 (m− 3)n+· · · 文氏圖排容原理 從n 個相同的球放到 m個箱子的方法數 *(1). 箱子均相同(無標記) 1. 每箱的球數不限 (可空箱) * Pm(n) * Pm(n) 表示把 整數 n 劃分成不 多於 m 項的剖分 數。 2. 每箱至少放入一球 (不空) Pm(n)− Pm−1(n) (2). 箱子均相異 (有標記) 1. 每箱的球數不限(可空箱)=可重複組合 數 Hm n = n+m−1 n 相當於x1+ x2+ · · · + xm = n 的 非負整數解個數。 2. 每箱至少放入一球 (不空) Hm n−m= m−1n−1 相當於 x1+ x2+ · · · + xm = n 的 正整數解個數。
表 2-2: 計數方法的種類一覽表 物品 給法 對象 方法數 k 類相異物 任意 (可重複) 分給 n相異對象 nk n 相異物 每人一件 m 相異對象 Pn m = Cmn × m! n 相異物 任意 (可重複) 分給 m 相同對象 討論(a1, b1,· · · ) 有Can1 · C n−a1 b1 · · · (a2, b2,· · · )有 Can2 · C n−a2 b2 · · · 有任何k 個相同數目 ai = bi , 要×k!1 n 相異物 平均分給 m相同 Cn kCkn−k· · · × 1m! n相異物 (n > m) 每個一件 m 相同對象 Cn m m相同物 全部任意分給 n相異對象 Hmn種類數可重複選取數 = Cn+m−1 m n相同物 (n < m) 每人至多一件 m 相異對象 Cm n n相同物 (n > m) 每人至多一件 m 相異對象 2m m相同物 任意分給 n相同對象 討論 (a1, a2,· · · , an) 為一種情形 (b1, b2,· · · ) 為一種情形 ... 先固定 a1 再討論其後 計數方法 適用情景 排列或組合 nk n 類相異物任取出 k 個的排列數 相異—相異的重複排列 n! n 件相異物的直線排列 相異物的排列數 * n!n n 件相異物的環狀排列 *環狀排列 Pn m 從 n件相異物中選取 m件相異物排列的方法數 選取相異物的排列數 n! m! n 件物品中有m 件相同物的排列數 不盡相異物的排列數 Cn m n 類相異物任意取出 k 個相異的選取方法數 選取相異物的組合數 Hn m m 件相同物任意分給 n 類相異對象的方法數 重複組合數 順伯的窩
計數方法種類: 如表 特殊規定: 1. n 人中, 甲不可排首位, 乙不可排末位, 丙不可排第三位, 有 n!− 3(n − 1)! + 3(n− 2)! − (n − 3)! 種排法。 2. k 件相異物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 nk−3(n−1)k+ 3(n− 2)k− (n − 3)k 種分法。 3. k 件相同物任分給 n 人, 其中甲、 乙、 丙三人均至少一物, 有 Hn k − 3H n−1 k + 3Hkn−2− Hkn−3 種分法。 精選範例 例題1 男性4人, 女性3人排成一列, (1) 若任意排列, 有幾種排法? (2) 若同性要排在一 起, 有幾種排法? (3) 若女性完全分開, 有幾種排法? [Ans:(1)7! = 5040 (2) 4!3!2! = 288 (3) 4!P35 = 1440 ] 例題2 由 0, 1, 2,· · · , 9 這10個數字中, 任選3個相異數字排成三位數, 共有少種排法? Ans: 9· 9 · 8 = 648 = P10 3 − P29 例題3 一樓梯共有7級, 今有一人上樓, 若每步只能走一級或二級, 則上樓有幾種方法? [Ans: 討論 x + 2y = 7 共21 種或遞迴關係式 an = an−1+ an−2, a1 = 1, a2 = 2] 例題4 將5本不同的書分給甲, 乙, 丙三人, (1) 若全部任意分給三人, 有幾種分法? (2) 若全部給三人且甲至少得1本, 有幾種分法? (3) 若全部給三人且甲恰得1本, 有 幾種分法? (4) 若每人恰得一本書, 有幾種分法? [Ans:(1) 35 = 243 (2) 35 − 25 = 211 (3) 5· 24 = 80 (4) P5 3 = 60] 例題5 甲、 乙兩人負責7天假期到公司值班, 其中甲值班4天, 乙值班3天, 問此7天假期 值班的安排共有多少種? [Ans:(4 + 3)!4!3! ] 例題6 任意 n 邊形的對角線有幾條? [Ans:Cn 2 − n = n(n2− 3)] 例題7 從10名男生,5名女生中選出一個五人小組。 若規定男女生至少各2人, 則有多少種 選法? Ans: C10 3 C25 + C210C35 = 1650 例題8 將 6 本不同的書, 依照 (1) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各二本, 有幾種分法? (2) 裝 入 3個相同的箱子, 每箱裝 2本, 有幾種裝法? (3) 三個相同箱子分別裝入1本,1 本,4本, 有幾種裝法? [Ans:(1) C26C24C22 = 90 (2) 903! = 15 (3) C16C15C44/2! = 15] 例題9 考慮方程式 x + y + z = 20 依 (1) 方程式非負整數解個數? (2) 方程式正整數 解個數? (3) 滿足 x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4 的正整數解個數? [Ans:C203+20−1 = 231; C173+17−1 = 171; C113+11−1 = 78]
例題10 以下敘述的分法數為 H53有哪些選項? (1) 從學校體育室中的籃球, 排球, 棒球三 種球中選取5球。 (2) 三元一次方程式 a + b + c = 5 的非負整數解。 (3) 將5支 相同的筆全部分給甲, 乙, 丙三人。 (4) 不等式 x + y ≤ 5 中, x, y 的非負整數解 。 (5) 將5支不同的筆, 分裝入三個相同箱子 。 [Ans:1,2,3,4] 習題2-2 排列與組合 1. 空間中, x, y, z 坐標皆為整數, 且與原點距離為 √17 的點, 一共有? 個 2. 將下圖中的黑棋向右移動, 規定每次只能移動1格或2格, 移到最右邊一格, 共有幾 種移動方法? 3. 從1到10000的一萬個數中, 有多少個數不含數字1? 有多少個數含數字1? 4. 將甲、 乙、 丙等共6人排成一列, 若規定甲不排首位, 乙不排末位的排法有多少種? 5. 某旅社有五個房間, 今 A,B,C 三人求宿, 若每人各住一間, 則有? 種不同的分配 方式 6. 由 0, 1, 2, 3, 4 作成相異五位數, 由小排至最大, 則 23104 是排在第幾項? 7. 如圖中棋盤街道中, 從 A 到 B 走捷徑, 求下列情形各有多少種方法? A C D B (a) 任意走捷徑 (b) 經 C 點 (c) 經 C 點或 D 點 (d) 不經 C 點且不經 D 點 8. 有4男3女排成一列, 若要求男生須排在一起, 女生亦須排在一起, 則其排列法有? 種。 又若只要求男生排在一起, 則排列法有? 種。 9. 從家裡到學校會經過8個紅綠燈路口, 問路途中恰遇到5個紅燈,3個綠燈的情形有 多少種? 10. 把“庭院深深深幾許”依下列排列, 各有多少種方法? (a) 三個“深”完全相鄰 (b) 三個“深”完全不相鄰 11. 用 1, 2, 3, 4, 5 五個數字排成五位數 順伯的窩
(a) 數字可重複, 有多少不同的五位數? (b) 數字不可重複, 有多少不同的五位數? (c) 數字不可重複, 有多少不同的奇五位數? 12. 在每一多重選擇題的 5個選項中, 至少有一個選項是正確答案, 則正確答案有多少 種不同的形式? 13. 有5種不同酒及4個不同的酒杯, 每杯都要倒酒且只倒一種酒, 問共有多少種倒法? 14. 將4本不同的書全部分給甲、 乙、 丙三人, 則依照下列分法各有幾種分法? (a) 任意分 (b) 甲至少得1本 (c) 甲恰得1本 15. 已知兩組互相平行垂直的平行線段, 相交如圖 P Q (a) 共有多少個矩形? (b) 包含 P 點的矩形共有多少個? (c) 至少包含 P 或 Q 兩點之一的矩形共有多少個? 16. 公益彩券42個號碼可供任意圈選6個號碼, 而頭獎須6組號碼全中, 則頭獎號碼共 有幾種不同的號碼組成? 17. 將10個相同的球放置4個不同箱子中, 每箱球數不限, 有多少種放法? 18. 從1到10的自然數中取出5個數, 求共有幾種取法? 19. 方程式 u + v + w + x + y + z = 10 , 問共有? 組非負整數解; 有多少組正整數 解? 20. 方程式 x + y + z = 4, x ≥ −2, y ≥ −3, z ≥ −1 的整數解個數? 21. 將數字 2, 3, 5, 8, 9 依下列方法排法, 有幾種不同排法? (a) 從中任選4相異數字並排成四位數字? (b) 從中任選4數字 (可重複) 並排成四位數字? (c) 從中任選4相異數字並組成最大的四位數字? (d) 從中任選4數字 (可重複) 並組成最大的四位數字? 22. 飲料店今日販賣5種特價品,3位學生到此消費點選特價品 (a) 特價品無限量, 每人任意點選一杯, 則三人有幾種點選飲用方法?
(b) 特價品無限量, 每人任意點選一杯, 合併填寫一張訂購單, 則訂購單上點選的 結果可能有幾種? (c) 特價品都只剩1杯, 每人點選一杯, 則三人有幾種點選飲用方法? (d) 特價品都只剩1杯, 每人點選一杯, 合併填寫一張訂購單, 則訂購單上點選的 結果可能有幾種? 23. 有6位學生到冷飲店, 那裡有八種飲料可供選擇, (a) 若每人點選一飲料, 店員拿出飲料的方法共有? 種 (b) 若每人點選一飲料, 則這些學生喝飲料有? 種不同的喝法 (c) 若每人點選一飲料, 且不可點選相同飲料, 則這些學生喝飲料有? 種不同的喝 法 (d) 若每人點選一飲料, 且不可點選相同飲料, 則店員拿出飲料的方法共有? 種 24. 有5粒相同水果, (a) 若任意分給3位學生, 有多少不同分法? (b) 若分給3位學生, 每人至少1 粒, 則有多少不同分法? (c) 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法? (d) 若任意分成3堆 (每堆都有東西), 有多少不同分法? 25. 有5本相異的書, (a) 若任意分給3位學生, 有多少不同分法? (b) 若分給3位學生, 每人至少1 本, 則有多少不同分法? (c) 若分給3位學生, 每人1 本, 則有多少不同分法? (d) 若任意分裝到3個相同的箱內, 有多少不同裝法? (e) 若任意分成3堆 (每堆都有東西), 有多少不同分法? 26. 將 9 本不同的書, 依照 (a) 分給甲, 乙, 丙三人, 每人各3本, 有幾種分法? (b) 裝入 3個相同的箱子, 每箱裝 3本, 有幾種裝法? (c) 三個相同箱子分別裝入2本,2本,5本, 有幾種裝法? 27. 正六面體的骰子, 點數分別為 1、2、3、4、5、6 六種點數 (a) 投擲同ㄧ顆骰子3次, 這三次出現的點數情形共有幾種? (b) 一次投擲相同骰子3顆, 出現點數的情形有幾種? (c) 一次投擲相同骰子3顆, 出現點數均相異的情形有幾種? (d) 一次投擲顏色不同的骰子3顆, 出現點數的情形有幾種? (e) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數為兩個2點、 一個5點的情形有幾種? (f) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數均相異的情形有幾種? (g) 一次投擲相同骰子3顆, 點數和的情形有幾種? 順伯的窩
(h) 一次投擲相同骰子3顆, 出現點數和為8情形有幾種? (i) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數和為8情形有幾種? (j) 一次投擲顏色不同骰子3顆, 出現點數和為10情形有幾種? 2.3 二項式定理 二項式定理 : 對任意正整數n, 恆有 (x + y)n = C0nxn + C1nxn−1y + C2nxn−2y2 +· · · + Cknx n−k yk +· · · + Cnny n 即 (x + y)n = Pn k=0 Cn kxn−kyk = n P k=0 Cn kxkyn−k 一些組合計算式: (x + 1)n = Cn 0xn+ C1nxn−1+ C2nxn−2+ · · · + Cknxn−k + · · · + Cnn x = 1 時, Cn 0 + C1n+ C2n+ · · · + Cnn−1+ Cnn = 2n C0n + C2n+ C4n+ · · · = Cn 1 + C3n+ C5n +· · · = 2n−1 Cn 1 + 2C2n + 3C3n+ · · · + nCnn = n· 2n−1 二項式展開式的一般項 : (前項 + 後項)n = Pn k=0 Cn n−k(前項)k· (後項)n−k 降冪排列的 k 次項為 Cn n−k(前項)k· (後項)n−k 降冪排列的 k 次項係數為 ak+1 = Cn k = (n− k)!k!n! 多項式的展開式: (a + b + c)n 一般項為 n! p!q!r!apbqcr 其中 p, q, r 為 p + q + r = n 的非負整數解 共有 Hn3 = Cnn+3−1 不同類項 巴斯卡定理 : Cn m = Cmn−1 + Cmn−1−1 從 n 人中選取 m 人的方法數可區分甲必選上 Cn−1 m−1 , 及必不選上甲 Cmn−1 兩種 方法。 1 ւ ց 1 1 ւ ց ւ ց 1 2 1 ւ ց ւ ց ւ ց 1 3 3 1 ւ ց ւ ց ւ ց ւ ց 1 4 6 4 1 二項式展開式應用 : √ n =√a2 + b = a + b. 2a − b 2 8a3 3 √ n =√a3 + b = a + b. 3a2 − b 2 9a5 求餘式 (數):
1. 同除式: f1 = g · q1 + r1, f2 = g · q2 + r2 ⇒ (f1 + f2)÷ g · · · (r1 + r2) (f1 × f2)÷ g · · · (r1 × r2) , (f1)n÷ g · · · (r1)n 2. 長除法:(被除式次數不甚高, 除式次數二次以上) 3. 綜合除法:(被除式次數不甚高, 除式次數一次) 4. 餘式定理: f (x) = g(x)q(x) + r(x), 當 g(x) = 0 (好解, 無重根時) x = α 為其解時, 則 f (α) = r(α) 5. 二項式定理求餘式: [f (x)]n = [g(x)q(x) + r(x)]n , 當 r(x) 愈簡易越好。 6. 微分應用重根定理及餘式定理: f (x) = g(x)q(x) + r(x), 當 g(x) = 0 有重 根時。 精選範例 例題1 求 (x− 2y)7 的展開式中 x4y3 項的係數? [Ans:-280] 例題2 求 (x2 + 2x + 3)3 除以 (x + 1)2 的餘式? [Ans:8] 例題3 求 (x2 + x + 1)3 展開式中的 x2 項的係數? Ans: 6 例題4 對任一正整數 n , 求 Cn 0 + 2C1n+ 4C2n+· · · + 2nCnn 的值? [Ans:3n] 例題5 求 (x− 2x)10 展開式中 x6 項的係數與常數項? Ans: a 6 = 180, a0 = −8064 例題6 求 C4 4 + C45+ · · · + C412 的值? [Ans:C513 = 1287] 習題2-3 二項式定理 1. 有關 (x − 1)10 的展開式, 下列選項何者為真?(1) 是一個10次多項式 (2) 常數 項為 1 (3) 不同類項共有11項 (4) x7 項的係數為 C10 7 (5) x8 次項的係數為 C210 2. 求 (2x − y)6 展開式中 x4y2 項的係數? 3. 求 (x + 2 x2) 15 展開式中 x6 項與 x7 項的係數? 4. 求 (x3 + x + 1)8 展開式中, x5 項的係數? 5. 求 P10 k=3 Ck 3 =? 6. 以 (x− 1)3 除 (x2 − 2x + 2)10 所得的餘式為? 7. 試證 1816− 1可 被17整除 8. 利用二項式定理求下列之值 (四捨五入取至小數點後一位): (a) (0.94)4 =? (b) (49.5)4 (c) (0.997)5 順伯的窩
9. 求 (x + 1x)10 展開式中 x4 項之係數? 10. 求 (1 + x) + (1 + x)2 +· · · + (1 + x)10 展開整理後之 x2 項係數? 11. 求 (1 + x) + (1 + x)2 +· · · + (1 + x)8 展開整理後之 x4 項係數? 12. 於 (a + b + c + d)7 的展開式中, 共有多少不同類項? 其中與 b3c4 同型項有多少 個? 又 abc2d3 項的係數為多少? 13. 求多項式 f (x) = x30 除以 (x − 1)3 的餘式? 14. 求餘式 (數): (a) 1234× 5678 ÷ 3 (b) (820− 520)÷ 3 (c) (x4+ 4x2 + x + 4)÷ (x2+ 1) (d) (x4+ 4x2 + x + 4)÷ (x − 1)(x − 2) (e) (3x3 − 4x2 + 5x− 2) ÷ (x − 2) (f) (x2− 2x + 2)10 ÷ (x − 1)3
第
3
章
機率
3.1 樣本空間與事件 試驗: 在不穩定的現象上, 求出一個結果的過程, 叫作試驗。 樣本空間: 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合, 以 S 表示。(不同的結果發生 之機會未必相等) 樣本: 樣本空間中的每一元素, 即稱為一個樣本。(每個樣本發生的機會未必相等) 事件: S 中之任一子集 A 稱事件。 互斥事件: A, B 兩事件, 若 A∩ B = ∅ , 則稱 A,B 為互斥事件。 餘事件: A 為樣本空間 S 的一事件, 則 A′ = S − A 稱為 A 的餘事件。 和事件: A, B 兩事件中 A∪ B 的事件。 積事件: A, B 兩事件中 A∩ B 的事件。 精選範例 例題1 投擲兩公正骰子, 其點數和的樣本空間個數為? [Ans: S = {2, 3, 4, , · · · , 12} 共 11個事件] 而每一種結果稱為點數和的一事件, 但每個事件發生的機會未必相等。 (點數和為2只有1種情形, 點數和為5有4種情形)例題2 投擲兩公正骰子, 其點數情形的樣本空間個數為? [Ans: S = {(1, 1), (1, 2), · · · , (1, 6), · · · , (6, 1), · · · , (6, 6)} 共36個事件] 在此36種情形稱為兩骰子點數的樣本空間 S 。 每個事件發生的機會相等。 例題3 連續投擲一枚硬幣三次, 以 A 表示出現二正面一反面的事件, 則 n(A) =? [Ans:3] 例題4 袋中有4個球, 編號為1、2、3、4 今依下列方法從袋中取球並觀察號碼, 求以下各試 驗中的樣本空間? (1) 每次取一球, 球取出後不放回, 共取兩次? (2) 同時取出兩 球 [Ans:S1 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} ;S2 = {(12), (13), (14), (23), (24), (34)} 習題3-1 樣本空間與事件 1. 連續投擲一個硬幣三次, 觀察出現正面反面情形。 若集合 A 表示三次硬幣正反面 個數的樣本空間, 集合 B 表示三次硬幣出現正反面情形的樣本空間, 則 n(A) 與 n(B) 分別為多少? 2. 一對夫妻有兩個小孩, 依小孩出生次序來觀察其性別, 問小孩性別的樣本空間? 恰 為一男一女的事件有幾個? 3. 甲、 乙兩人玩剪刀、 石頭、 布 的猜拳遊戲, 問猜一次拳的樣本空間個數有幾個? 若 猜一次拳是甲獲勝的樣本空間個數有幾個? 4. 投擲一均勻硬幣2次, 若 A 表示第一次出現正面的事件, B 表示第二次出現反面 的事件, 則 A,B 是否為互斥事件? 5. 連續投擲一公正骰子兩次, 觀察骰子出現的點數, 令 A 表示點數和為7的事件,B 表示點數6至少出現一次的事件,C 表示點數相同的事件, 分別求事件 A、B、C 的 樣本點個數? 6. 連續投擲一公正骰子三次, 觀察骰子出現的點數,A 表示點數5至少出現一次的事 件,B 表示點數和為偶數的事件, 計算 n(A) 與 n(A ∩ B) 的個數? 3.2 機率的定義與性質 等機率樣本空間S: 此試驗可能發生的所有樣本點所成的集合稱為樣本空間 S 。(若樣本 空間內的所有樣本點發生機率均等, 此時稱為等機率樣本空間)。 例: 投擲兩公正相同骰子, 則其點數有 H6 2 種不同的情形 (事件)。 其等機率樣本空 間有 62 個樣本點 (事件)。 骰子點數一個6一個3點的事件有 (3, 6), (6, 3) , 而骰子點數兩個6點的事件只有 (6, 6) , 前者有2個樣本點, 後者只有1個樣本點; 且 (1, 1), (1, 2),· · · ,(3, 6), · · · , (6, 3), · · · , (6, 6) 這些樣本點發生的機會均相等。 等機率樣本空間的個數 n(S) 就是數出 所有可能會發生且機會均相等的樣本點個數; 故投擲兩公正骰子點數的等機率樣本空間的 個數 n(S) = 62。 機率的定義(古典機率): 利用排列組合數出樣本空間的個數或數出試驗有幾種不同的結 果。 事件 A 的機率就是數出在等機率樣本空間 S 內符合 A 事件的樣本個數 n(A) 與 等機率樣本空間個數 n(S) 的比值。 即 P (A) = n(A) n(S) (拉普拉斯的古典機率) 。 順伯的窩
, 特別是 P (∅) = 0, P (S) = 1 注意: 某一試驗可能發生的情形共有 n 種不同的事件 (樣本點), 並不意謂每一事 件 (樣本點) 發生機會均等。 只有在等機率樣本空間內每一事件(樣本點) 發生的機 會才相等。 例如: 投擲兩公正硬幣(正反面個數有3種不同的情形): 樣本空間 S′ = {兩正面、 一正一反、 兩反面} 或 S = {正正、 正反、 反正、 反反}。 S′, S 均為投擲兩硬幣正 反面結果的樣本空間, 其 中 S 才是等機率樣本空間。 而一正一反的機率為 P (A) = n(A) n(S) = 24 機率的基本性質: 1. 空事件的機率: P (∅) = 0。 2. 全部事件的機率: P (S) = 1。 3. 若 A ⊂ S , 則 0 ≤ P (A) ≤ 1。 4. 餘事件 A′的 機率: P (A′) = 1− P (A)。 5. 機率的取捨原理 (排容原理): P (A∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A∩ B ∩ C) 6. 互斥事件的機率: 若 A∩ B = ∅ , 則 P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 7. P (B) = P (A∩ B) + P (A′∩ B) 機率的應用: 事前發生機率 ⇒ 建立機率模型 ⇒ 推估或預測未來機率或模式。 例如: 常態機率函數 (常態經驗法則: 68 − 95 − 99.7)。 二項式機率分配 :P (x = k) = Cn kpk(1− p)n−k 袋中有機會均等的5紅球3白球; 每回取出一球, 則 求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 38 (且與抽球順序無關)。 若取出3回中有2白球則第二回取出白球的機率 P (W|2W 1R) , 則不管球是 否放回其條件機率均相等。 每次取出一球取3回均為白球則 ( 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 27 · 16 機率不相等。 1. 求第 k 回抽中白球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P (· · · Wk) : P球放回 = P球不放回 2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的 機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P rob : P一次取n球 = P一次一球,球不放回 6= P一次一球,球放回
3. 求前 n 回分別取出 k1, k2,· · · , kn 所指定的顏色球, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率未必相同。 E(X = w球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 精選範例 例題1 連續投擲一公正骰子2次, 求出現點數和為5的機率? [Ans: 364 = 19] 例題2 連續投擲一枚均勻硬幣5次, 求至少有一次是正面的機率? [Ans: 3132 ] 例題3 袋中有3紅球,2黑球, 由袋中取出球 (每球機會均等) 觀察其顏色 (a) 取出一球, 且此球是紅色球的機率為? [Ans: 35] (b) 取出一球放回, 再取出一球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans: 259 ] (c) 取出一球不放回, 繼續再取出一球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans: 103 ] (d) 一次取出兩球, 此兩球均是紅色球的機率為? [Ans:103 ] 例題4 同時擲3粒骰子, 求 A 事件3粒骰子的點數均不同的機率? 及事件 B: 恰有兩粒點 數相同的機率 ? Ans: P (A) = 59, P(B) = 125 例題5 已知10件產品中, 有4件式瑕疵品, 今從中取三件, 求最多只取到1件瑕疵品的機率 P (A) ? 求三件中至少有1件瑕疵品的機率 P (B)? [Ans:P (A) = 23, P (B) = 56] 例題6 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取2張牌, 則 (a) 2張中都沒有出現 A 的機率? [Ans:C248 C52 2 = 188 221] (b) 2張中花色都沒有出現紅心的機率?? [Ans:C236 C52 2 = 105 221] (c) 2張中有出現 A 或 K 的機率? [Ans: P (A∪ K) = 22133 + 22133 − 6638 = 190663] 習題3-2 機率的定義與性質 1. 一副均勻公正撲克牌中, 從52張牌任取1張牌, 則 (a) 抽到花色是紅心的機率? (b) 抽到號碼是 A 的機率? (c) 抽到紅心 A 的機率? 2. 紅球20個, 白球10個, 從袋中取球: (a) 每次取一個, 取出不放回, 共取5次, 則取出3紅球的機率為? (b) 每次取一個, 取出後再放回去, 共取5次, 則取到3紅球的機率為? (c) 一次取出5個, 取到3紅球的機率為? 3. 丟一個硬幣4次, 問至少出現2次正面的機率是多少? 順伯的窩
4. 一盒中有1到10個號碼的10顆球, 今由盒中取4球, 則4球之號碼中第二大數目是 7的機率為何? 5. 投擲3粒公正骰子, 問恰好有兩粒點數相同的機率為何? 又3粒骰子點數均不同的 機率? 6. 設三人玩剪刀、 石頭、 布、 猜拳遊戲一次, 問三人不分勝負的機率為何? 又其中甲 得勝的機率為何? 7. 在8人中, 任意兩人都不在同一個月分出生的機率是多少? 8. 在一試題中, 發生 A 的機率為 12 ,A 和 B 同時發生的機率為 12,1 又 A 和 B 的 和事件為樣本空間, 求發生 B 事件的機率為何? 9. 投擲一均勻骰子60次, 恰好在第60次出現了第10個么點的機率為何? 10. 一副公正撲克牌中, 從52張牌任取5張牌, 則5張牌為同點數二張另外同點數三張 的機率為? 又若5張牌為兩對, 即 (x, x, y, y, z) 形式的機率為? 11. 已知10支籤中有3支是中獎的, 今有10人依序各抽一支, 求第3個與第4個抽籤者 都中獎的機率? 12. 甲、 乙各自寫一個二位數字, 假設每個數字出現機率相等, 求甲的數字大於乙的數 字的機率? 13. 四顆不同的球任意放入甲、 乙、 丙三個箱子, 求沒有空箱的機率? 14. 設 n 為正整數, 連續投擲一公正骰子 n 次,n 至少要多少時才會使6點至少出現1 次的機率大於 0.9999 ?(log 2 ≈ 0.3010, log 3 ≈ 0.4771) 3.3 條件機率與貝氏定理 條件機率: 設 A,B 為樣本空間 S 的兩事件, 已知在事件 B 發生的情況下 P (B) > 0 , 事件 A 發生之機率, 以 P (A|B) = P (AP (B)∩ B) 表之。 1. P (∅|B) = 0 2. P (B|B) = 1 3. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1
4. P (A∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
5. P (A∩ B ∩ C) = P (A ∩ B)P (C|A ∩ B) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B) 條件機率乘法法則: P (A ∩ B) = P (A)P (B|A)
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2)
合計機率法則: 若 A1, A2,· · · , An 是樣本空間 S 的一個分割,B 為 S 的一任意事件
獨立事件: 設A,B 為同一樣本空間的兩事件, 若 P (A∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B 為獨立事件。 若兩事件不是獨立稱為相依事件。 若 A,B 為獨立事件, ⇔ A’,B’ 亦為獨立事件。 1. P (A∩ B) = P (A) · P (B) 2. P (B|A) = P (B) 3. P (A|B) = P (A)
A,B,C 三事件獨立: ⇔ A,B 獨立;B,C 獨立; A,C 獨立且 P (A∩B∩C) = P (A)P (B)P (C) ⇔ A′, B′, C′亦獨立; A′, B, C 亦獨立; · · · 注意: 若 A,B,C 三事件為兩兩獨立事件未必 A、B、C 三事件獨立。 貝士定理: 若 A1, A2,· · · , An 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 S 的一任意事件; 則在事件 B 發生狀況下, 事件 Ak 發生的機率為 P (Ak|B) = P (AP (B)k ∩ B) = XnP (Ak)· P (B|Ak) i=1 P (Ai)· P (B|Ai) ; i = 1, 2,· · · , n 一般簡易題目可藉由樹形圖分別求出各分割事件的機率。 貝士定理是合計機率法則的逆問題。 也就是已知各種“原因 ” 機率, 而在進行隨機 試驗中A事件已發生下, 問在這種條件下, 各“原因 ”事件發生的機率是多少? 事前機率 → 新資訊 (抽樣、 研究報告、 品管) → 貝氏定理 → 事後機率 族群 無病 檢查無病 檢查有病 有病 檢查無病 檢查有病 袋中有機會均等的5紅球3白球; 每回取出一球, 則 求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 38 (且與抽球順序無關)。 若取出3回中有2白球則第二回取出白球的機率 P (W|2W 1R) , 則不管球是 否放回其條件機率均相等。 每次取出一球取3回均為白球則 ( 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 27 · 16 機率不相等。 1. 求第 k 回抽中白球的機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P (· · · Wk) : P球放回 = P球不放回 順伯的窩
2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的 機率, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率相同。 P rob : P一次取n球 = P一次一球,球不放回 6= P一次一球,球放回 3. 求前 n 回分別取出 k1, k2,· · · , kn 所指定的顏色球, 依 每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率未必相同。 E(X = w球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 精選範例 例題1 擲一粒骰子一次, 若已知出現的點數為偶數, 求所擲出的點數小於5的機率? [Ans:23] 例題2 某校系入學考試分筆試與口試兩階段, 通過第一階段筆試的機率為 120 ; 若通過筆 試可繼續參加口試, 而通過口試的機率為 23 , 求通過此校系的入學機率? [Ans: 130] 例題3 甲、 乙二人射擊同一靶, 設甲、 乙射擊命中率各為 14, 13 , 且兩人射擊為獨立事件, 今兩人各射擊一發, 求兩人均沒命中的機率? [Ans:12] 例題4 某國小有甲、 乙、 丙三班, 男生的比率分別為 60%, 50%, 40% , 現在任選一班, 再 從此班選取一學生。 設每班被選中的機會相等, 且同一班每位學生被選中的機會也 相等; 若已知選中的是男生, 求這男生是屬於甲班的機率? [Ans:25] 例題5 投擲大小相同的兩公正骰子, 若 A 表示點數和為5的事件,B 表示點數積為5或6 的事件, 求 P (A|B) 與 P (B|A) [Ans:1
3;12] 例題6 奧林匹克運動會的選手都要通過事先的藥物檢定, 而這種檢定對未服用禁藥者正 確率達 99% , 對服用禁藥者被檢定出來服用禁藥的正確率只達到 95% 。 現有一 群選手已知有 90% 沒有服藥, 今從中任意抽選1人, 檢定出此人有服禁藥, 求此人 確實服用禁藥的機率? [Ans:95+995 = 95/104] 選手群 服禁藥 檢定無 檢定服藥 無服禁藥 檢定無 檢定服藥 習題3-3 條件機率與貝氏定理 1. 大學新生健檢結果, 體重超重者佔 40% , 血壓異常者佔 10% , 兩者都有者佔 8% , 今任選一人健檢, (a) 若已知此人體重超重, 則他血壓異常的機率為多少?
表 3-3: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題) 取球方式 (抽獎) 一次取一球,取出不放回,共取n球(n 人依序抽獎) 一次取一球, 取出放回, 共取 n 球 (n 人依序抽獎) 第i位抽中獎品機率 第i位抽中機率p1 = p2 =· · · = pn 第i位抽中機率 p1 = p2 =· · · = pn 中獎機率與次序無關 每 回 為 條 件 機 率 受 到 前 人抽中及沒抽中的 影 響(每 人 是 否 中獎為相依事件) 每回均為獨立事件(二項式機率) 若已知第k位中獎與否 ⇒ 改變後人中 獎機率 若已知第k位中獎與否 ⇒ 不改變後人 中獎機率 n(球) 人無序結果發 生的機率 如同一次取出 n 球所發生事件的機率 取出 n 球無序結果發生機率為二項式 機率 Cn k(p) k(1− p)n−k 例題說明: 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 樣本空間為3R2W(3紅球2白球) 取出兩球均為紅球的 機率 P (R1∩R2) = P (R1)P (R2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ R2) = P (R1)P (R2) = C2 2( 3 5) 2 = 9 25 (獨立事件) 第一球為 R, 第二球 為W 的機率 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2|R1) = 3 5× 2 4 = 3 10 P (R1 ∩ W2) = P (R1)P (W2) = 3 5 × 2 5 = 6 25 無 序 結 果:2 球為 1R1W的機率 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)p(W2|R1) + P (W1)P (R2|W1) = 3 5· 2 4+ 2 5· 3 4 = 3 5 P (1R1W ) = P (R1 ∩ W2) + P (W1 ∩ R2) = P (R1)P (W2) + P (W1)P (R2) = C12( 3 5)( 2 5) = 12 25 與 一 次 取 出 兩 球 為 1R1W 的 機 率 C3 1C12 C5 2 = 3 5 相同 條件機率: 已知第一球為 R 則 第二球為 R 的機率 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) = 2 4 P (R2|R1) = P (R1∩ R2) P (R1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 第 一 球 為W則 第二球為 R 的機率 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) = 3 4 P (R2|W1) = P (W1∩ R2) P (W1) 獨立 = P (R2) = 3 5 已 知 取 出 3 球為 2R1W, 則第3球為 R機率 P (R3|2R1B) = = 1R1W排列 (2R1W排列) = 2! 3!/2! = 2 3 P (R3|2R1B) 獨立 = P (R3) S:2R1B = P (R3) = 2 3 期望值 (n 人中獎個 數) 取出n球R球期望值 E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np 順伯的窩
(b) 若已知此人血壓異常, 則他體重超重的機率為多少? 2. 連續投擲一公正骰子兩次, 求第一次不出現6點且第二次出現5點的機率? 3. 丟一個硬幣三次, 已知3次中只出現一次正面, 求第二次丟出正面的機率? 4. 設甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5, 0.4 且各自解題互不受影 響, 問至少有一人解出此問題的機率為? 5. 某公司計畫購買某一品牌的機器 (每台機器均獨立運作), 根據過去經驗, 該品牌的 機器至少可維持6個月而不產生任何損壞的機率僅有 50% 。 現若購買3部該機器, 試問6個月後僅剩下一部機器均無損壞可工作的機率為何? 6. 已知某班有50 位學生, 其中有20 位女生, 現用簡單隨機抽樣法, 任意抽出兩位學 生, 第一位抽到女生的條件下, 問第二位抽到女生的機率為? 7. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,5,9 的 事件,B 表示取到球號2,5,8的事件, C 表示取到球號為3,5,7的事件。 問 A、B、C 三 事件是否為獨立事件? 8. 甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5 與 0.4 , 且三人解出與否為 獨立事件, 求 (a) 三人都解出此問題的機率為多少? (b) 至少有一人解出此問題的機率為多少? 9. 設甲、 乙兩人參加考試, 甲通過的機率為0.6, 乙通過的機率為0.7, 且兩人各自通 過與否是獨立的, 求 (a) 甲、 乙都通過的機率? (b) 甲通過, 乙沒通過的機率? 10. 袋中有10個球其中紅球3個, 白球2個, 黃球5個。 今由袋中每次取一球 (a) 取出後, 球不放回, 連取兩次皆紅球的機率為何? (b) 取出後, 球放回袋內, 連取兩次皆紅球的機率為何? 11. 某高中三年級學生中有 55% 為女生, 而男生中有 65% 住校, 女生有 75% 住校, 今任選一學生, 求 (1) 此生為住校生的機率為?(2) 若已知此生為住校生則此生為 男住校生的機率? 12. 一種檢驗某疾病的儀器, 依過去經驗得知: 患此疾病的人, 有 90% 的機率經此儀 器檢驗會呈陽性 (判斷為患有此疾病), 未患有此疾病的人, 有 5% 的機率會被誤 檢為陽性。 假設某地區有 6% 的人罹患此疾病, 從此地區任選一人接受檢驗, 求此 人檢驗結果呈現陽性的機率? 若檢驗結果呈陽性反應下, 求此人確實罹患此疾病 的機率? 13. 根據經驗知, 某電腦工廠檢驗產品中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.2, 將不良 品檢驗為良品的機率為 0.16 ; 又已知該產品不良品佔 5% , 良品佔 95% , 若一 件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率為?(小數點後第三位四捨 五入)
14. 甲說實話的機率為 710 , 乙說實話的機率為 9 10, 今袋中有3白球7黑球, 自袋中取 出一球, 若甲乙二人均說是白球, 則此球確為白球的機率為多少? 15. 某工廠有甲、 乙、 丙三部機器生產同一種螺絲, 其產量所佔比例為甲 25%, 乙 35%, 丙 40%, 在各機器產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙機器各佔 5%, 4%, 2% ; 今從倉 庫中任取一產品, 其為不良品, 則此產品來自甲機器生產的機率為? 16. 某次測驗中, 甲、 乙、 丙三人及格的機率分別為 25,34, 13 , 若三人應試彼此不受影 響, 求 (1) 三人全都及格的機率為?(2) 在至少有1人及格下, 3 人都及格的機率? 17. 某螢幕面板製造商有甲、 乙、 丙三個工廠, 其產量所佔比例為甲 50%, 乙 30%, 丙 20%, 在各工廠產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙工廠各佔 1%, 2%, 3% , 求整個公 司產品不合格率? 若今從倉庫中任取一產品, 其為不良品, 則此產品來自甲工廠生 產的機率為? 18. 某公司由甲、 乙兩供應商分別提供 70%, 30% 的 LCD 螢幕, 再組裝成電視機。 若 由此公司生產的電視機中任意抽樣一件, 則此電視機的螢幕來自甲廠商的機率為? 如果提供抽樣的電視機螢幕為次級品, 而由過去資料顯示甲供應商有 3% 是次級 品, 乙供應商有 6% 是次級品; 則此抽樣的次級品來自甲供應商的機率為?
第
4
章
數據分析
4.1 單變量數據分析 單變量數據分析 : 對某一種變數(變量) 感興趣, 所做的數據資料分析。(一維數據分析) 雙變量數據分析 : 對某兩個變數(變量) 間的關係感興趣, 所做的數據資料關係分析。(二 維數據分析) 多變量數據分析 : 對多個變數(變量) 間的關係感興趣, 所做的數據資料關係分析。 (多 維數據分析) 統計圖表: 對變量所蒐集到的資料用圖表簡化成有用的資訊, 使之比數據或文字提供有 效資訊, 稱為統計圖表。 離散型數據: 統計數據資料分成連續型與離散型數據 。 變量數據無介於兩類別數據資 料之間的類型資料稱為離散型數據。 如性別、 血型、 顏色、 職業等分類的計數數據。 又分次序數據 (以1、2、3、4代表強、 中、 弱、 微) 及名目數據 (無大小次序之分的數據, 如色彩中的紅色、 藍色、 綠色、 白色等) 連續型數據: 變量數據可以有連接性、 有次序數值關係的資料, 稱為連續型數據。 如身高、 體重、 測驗成績等計量的數據。 常用的統計圖表 順伯的窩1. 圓面積圖 (圓餅圖): type A 24% type B 12% type C 15% type D 33% other 16% 2. 長條圖: 1930 1940 1950 1960 1970 3 4 5 6 7 ·107 P op u la ti on Far Near 3. 折線圖: 次數分配折線圖或相對累積次數分配折線圖 0 20 40 60 80 0 200 400 600 800 1,000
Discarding unbounded coords
4. 直方圖: 成績 0-59 60-69 70-79 80-89 90-100 百 分 比 % 10 20 30 40 50 60 5. 盒鬚圖:
Me
Q1 Q3
¯ x
IQR
Box and Whisker Plot
集中趨勢量數: 用一數值來表示這一群數集中趨勢。 一般常見的集中趨勢量數有算術平均數、 中位數、 眾數、 幾何平均數等。 算術平均數(Mean) µ : (簡單, 易算, 靈敏)(易受極端值影響) µ = 1n(x1 + x2 +· · · + xn) = 1n n P i=1 xi 中位數(Median) Me: (感應不靈敏) 至少有一半的數值大於或等於中位數, 而且至少有一半的數值小於或等於中位數。 將資料由小至大排列如: x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ · · · ≤ x(n) 若 n = 2k + 1 為奇數筆數據, 則中位數 Me = x(k+1) , 即中間項的數據。 若 n = 2k 為偶數筆數據, 則中位數 Me = 12(x(k)+ x(k+1))。 加權平均數: 將各數據分別乘以權數, 再將乘積的總和除以權數總和, 所得之商。 眾數(Mode) Mo : 一群數值中出現次數最多的數值。(次數分配無顯著集中時沒有代表 性) 幾何平均數: √n x 1x2· · · xn 分組資料的集中趨勢量的計算方式: 量數 未分組 分組 普通法 簡捷法 平均數X 1n n P i=1 Xi n1 k P j=1 xjfj X = A + h· 1n k P j=1 djfj 其中dj = xi−Ah 中位數Me n為奇數Me= x(k+1) *** Lme+ n 2 − F−1 fme· hme n為偶數Me = 12(x(k)+ x(k+1)) 眾數Mo 出現次數最多的數值 ***插值, 比率法 順伯的窩
資料與平均數, 中位數, 眾數三者關係: ( 平均數 : 機率分配圖的重心位置(槓桿的支撐點)。 中位數 : 將機率分配圖左右等分面積。 眾數 : 機率分配圖的最高點位置。 對稱的單峰分配 (資料直方圖以中間為高峰且左右對稱) : X = Me = Mo 左偏分配 (資料直方圖左端值次數分配拖的較長): X < Me < Mo 右偏分配 (資料直方圖右端值次數分配拖的較長): Mo < Me < X ²³¤¤¥ ¼Æ¦ì§¡ ¼Æ¼Æ ¥¤¤²³ §¡¦ì¼Æ ¼Æ¼Æ ¥k°¾ ¥ª°¾ 圖 4-1: 偏斜分布的平均數、 中位數與眾數三者間的關係 離散趨勢的統計量: 全距、 四分位差、 標準差等。 離差: 一群數值, 除了考慮集中趨勢外, 另一重點是分散的程度, 就是離差。 一般常用測量離散程度的量數有全距、 四分位差、 變異數與標準差等。 全距R: 將資料 xi 排序 x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ · · · ≤ x(n), 全距R = X(n)− X(1) 四分位差: Q.D. = Q3 − Q1 有些書定義 Q.D. = Q3 − Q1 2 第三四分位數 Q3− 第一分位差 Q1 例: 未分組 (有多種算法) n=11 , 則 Me = Q2 = Xn+1 2 = X6, Q1 = 5+1 2 = X3, Q3 = X6+3 = X9 已分組: 原則上可按照比例求 Q3 = X75% = X3n 4 , Q1 = X25% = X n 4 離均差 : xi− x , 所以 P(xi− x) = 0 變異數 : 離均差平方和的平均 1. 母群體: 母群體的算術平均數為 µ , 則變異數為 σ2 = 1N N P i=1 (xi − µ)2 σ = 1N ( N P i=1 x2i)− µ2 2. 樣本: 若樣本資料的算術平均數為 x , 則變異數為 S2 = n− 11 n P i=1 (xi − x)2 未分組: S2 = 1 n− 1[ n P x2 i − nX 2 ]
已分組: S2 = n n− 1[ 1n k P i=1 fid2i − ( P fidi n ) 2]h2, 其中 d i = mih− A 標準差: 變異數的平方根 1. 母群體: 母群體的標準差為 σ = s 1 N N P i=1 (xi− µ)2 = s 1 N N P i=1 (xi)2 − µ2 = s 1 N N P i=1 (xi − A)2− (A − µ)2 , A 為 µ 的近似估計值。 2. 樣本: 樣本資料的標準差為 S = s 1 n− 1 n P i=1 (xi − x)2 = v u u u t N X i=1 (xi)2 − nX 2 n− 1 = v u u u t N X i=1 (xi − A)2 − n(A − X)2 n− 1 , A 為 X 的近似估計值。 (母群體的資料取得有其限制或困難, 故採取抽樣樣本的平均值, 標準差資訊 來推估原母群體的平均值及標準差; 為了使樣本資料值推估原母體保持不偏, 必須有所修正調整, 因此分母為 n − 1 而非取 n ) 標準差的意義: 計算資料與算術平均數的平均距離, 用以表明整個資料的離散情形。 值愈小, 表示 各資料數值較接近, 變動範圍小, 集中趨勢量數也較具代表性。 變異係數C.V.: 比較母群體變動性的大小, 係數值愈小其變動性愈小。 C.V. = S X × 100% 若我們了解機率模型則只要掌握 平均值與 標準差 就可知道資料結構關係。 對同一群資料而言: 標準差 ≥ 平均絕對離差 ≥ 四分位差 。 即 Sx ≥ 1n P|Xi− X| ≥ 12(Q3 − Q1) 資料呈單峰對稱 (或微偏): Q3− Q1 ≈ 43S , 平均絕對離差 n1 P|Xi − x| ≈ 45S 資料的線性平移: 兩群資料Xi, Yi; 若Yi = aXi+ b 則 1. 算術平均數: Y = aX + b = aX + b
2. 中位數 :Me(Y ) = Me(aX + b) = aMe(X)+ b
3. 全距: RY = |a|RX 4. 四分位差: Q.D.Y = |a|Q.D.X 5. 標準差: SY = SaX+b = |a|SX 數據標準化: 將數據線性變換成平均數為0, 標準差為1的新數據。 zi = xi− µ σ 稱為標 準分數或 z 分數。 可用來比較不同變數間資料的排序高低。 順伯的窩
表 4-1: 各種差異量數的比較 量數 (統計量) 優點 缺點 特殊使用場合 標準差S 定義明確, 感應靈敏,適 合運算, 受抽樣方法變 動影響小 不易計算, 易受極端值 影響 大都會用到(資料 差異的衡量大小) 四分位差 Q.D. 定義明確, 簡單易懂,計 算容易, 不受極端值影 響 不適合運算, 感應不靈 敏, 較易受抽樣方法變 動影響 順序資料 全距 R 簡單易懂, 計算容易 不適合運算, 感應不靈 敏, 較易受抽樣方法變 動影響小 常 用 於 品 質 管 制 時 *變異係數 C.V. = s x 比較不同群組時或 在 同 態 下 但 其, 平 均 數 相 差 太 大 時 標準化Z 分數 zi = xiσ− µ |Z| 分數愈大表該筆資 料愈遠離中心 必需知道變數的算術平 均數及標準差才能計算 Z分數 可 用 在 不 同變 數 間 的 資 料 排 序 比 較情形 精選範例 例題1 5位學生的數學成績如右:79, 67, 61, 70, 73 求平均數 µ , 離差平方和 Sxx, 變異數 σ2, 標準差 σ ? [Ans:µ = 70, Sxx = 180, σ2 = 36, σ = 6] 例題2 男生隊伍 8 隊員年齡為 14, 14, 16, 16, 16, 17, 17, 18 。 女生隊伍 10 隊員的年齡為 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 60, 62 分別求男生隊員與女生隊員年齡的四分位距? [Ans:IQR1 = 17− 15 = 2, IQR2 = 6− 4 = 2] 例題3 小溥的期中考數學成績為91分, 而全班的平均分數為75分, 標準差為8分。 而小溥 期末考數學成績為88分, 班上的平均分數為73分, 標準差為5分。 求小溥兩次考試 數學成績標準化的 z 分數? 就全班成績來觀察, 小溥數學成績到底是進步還是退 步呢? [Ans:z1 = 2, z2 = 3 ; 成績進步] 例題4 某籃球隊有10名隊員, 其身高分別為 182,185,186,186,183,175,196,188,186,183 公分, 求此球隊隊員身高的平均數與標準差? [Ans: 平均數 µ = 185 公分, 標準 差為σ = 5 公分] 例題5 某班50名學生的期中考數學成績, 中位數74分, 算術平均數75.2分。 後來發現某 生成績應為 86 分誤登記為76 分, 試問班級的中位數, 算術平均數, 標準差應否更 正? 若該更正, 則變大還是變小? Ans: 中位數不變, µ = 75.4 變大, σ 增大。 例題6 某測驗, 甲、 乙兩班數學成績如下表所示, 求甲、 乙兩班的算術平均數及標準差? [Ans: (1)X甲 = 67, S甲 = 13; X乙 = 68.5, S乙 = 14.2] 例題7 某公司調查其名下各分公司員工的薪水, 得算術平均數為30000元, 標準差為4000 元。 為激勵員工, 公司提出兩個調薪方案: 甲方案: 每人加薪5000元。 乙方案: 每人
