設 A,B 為樣本空間 S 的兩事件, 已知在事件 B 發生的情況下 P (B) > 0 , 事件 A 發生之機率, 以 P (A|B) = P (A∩ B)
P (B) 表之。
1. P (∅|B) = 0 2. P (B|B) = 1 3. 0 ≤ P (A|B) ≤ 1
4. P (A∩ B) = P (A|B) · P (B) = P (B|A) · P (A)
5. P (A∩ B ∩ C) = P (A ∩ B)P (C|A ∩ B) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩ B) 條件機率乘法法則: P (A ∩ B) = P (A)P (B|A)
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2)
合計機率法則: 若 A1, A2,· · · , An 是樣本空間 S 的一個分割,B 為 S 的一任意事件 則 P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) +· · · + P (An)P (B|An)
獨立事件: 設A,B 為同一樣本空間的兩事件, 若 P (A∩ B) = P (A)P (B) 則稱 A 與 B 為獨立事件。
若兩事件不是獨立稱為相依事件。
若 A,B 為獨立事件, ⇔ A’,B’ 亦為獨立事件。
1. P (A∩ B) = P (A) · P (B) 2. P (B|A) = P (B)
3. P (A|B) = P (A)
A,B,C 三事件獨立: ⇔ A,B 獨立;B,C 獨立; A,C 獨立且 P (A∩B∩C) = P (A)P (B)P (C)
⇔ A′, B′, C′亦獨立; A′, B, C 亦獨立; · · ·
注意: 若 A,B,C 三事件為兩兩獨立事件未必 A、B、C 三事件獨立。
貝士定理:
若 A1, A2,· · · , An 是樣本空間 S 的一個分割, B 為 S 的一任意事件; 則在事件 B 發生狀況下, 事件 Ak 發生的機率為
P (Ak|B) = P (Ak ∩ B)
P (B) = P (Ak)· P (B|Ak) Xn
i=1
P (Ai)· P (B|Ai)
; i = 1, 2,· · · , n
一般簡易題目可藉由樹形圖分別求出各分割事件的機率。
貝士定理是合計機率法則的逆問題。 也就是已知各種“原因 ” 機率, 而在進行隨機 試驗中A事件已發生下, 問在這種條件下, 各“原因 ”事件發生的機率是多少?
事前機率 → 新資訊 (抽樣、 研究報告、 品管) → 貝氏定理 → 事後機率
族群
無病 檢查無病 檢查有病 有病 檢查無病 檢查有病
袋中有機會均等的5紅球3白球; 每回取出一球, 則
求第3回取出白球機率, 不管球是否放回其機率均相等為 38 (且與抽球順序無關)。
若取出3回中有2白球則第二回取出白球的機率 P (W|2W 1R) , 則不管球是 否放回其條件機率均相等。
每次取出一球取3回均為白球則
( 球放回(二項式機率) ⇒ P (3W ) = (38)3 球不放回(超幾何機率) ⇒ P (3W ) = 38 · 2
7 · 1 機率不相等。 6
1. 求第 k 回抽中白球的機率, 依
每回取出後, 球放回
每回取出後, 球不放回 其機率相同。
P (· · · Wk) : P球放回 = P球不放回
順伯的窩
2. 已知前 n 回共取出 x1, x2 種顏色球(x1 + x2 = n), 求第 k 回恰為指定球的 機率, 依
每回取出後, 球放回
每回取出後, 球不放回 其機率相同。
P rob : P一次取n球 = P一次一球,球不放回 6= P一次一球,球放回
3. 求前 n 回分別取出 k1, k2,· · · , kn 所指定的顏色球, 依
每回取出後, 球放回 每回取出後, 球不放回 其機率未必相同。
E(X = w球個數) = E一次取n球(X) = E一次一球,球不放回(X) = E一次一球,球放回(X) = np
精選範例
例題1 擲一粒骰子一次, 若已知出現的點數為偶數, 求所擲出的點數小於5的機率? [Ans:23]
例題2 某校系入學考試分筆試與口試兩階段, 通過第一階段筆試的機率為 120 ; 若通過筆 試可繼續參加口試, 而通過口試的機率為 23 , 求通過此校系的入學機率? [Ans: 130]
例題3 甲、 乙二人射擊同一靶, 設甲、 乙射擊命中率各為 14, 1
3 , 且兩人射擊為獨立事件, 今兩人各射擊一發, 求兩人均沒命中的機率? [Ans:12]
例題4 某國小有甲、 乙、 丙三班, 男生的比率分別為 60%, 50%, 40% , 現在任選一班, 再 從此班選取一學生。 設每班被選中的機會相等, 且同一班每位學生被選中的機會也 相等; 若已知選中的是男生, 求這男生是屬於甲班的機率? [Ans:25]
例題5 投擲大小相同的兩公正骰子, 若 A 表示點數和為5的事件,B 表示點數積為5或6 的事件, 求 P (A|B) 與 P (B|A) [Ans:13;12]
例題6 奧林匹克運動會的選手都要通過事先的藥物檢定, 而這種檢定對未服用禁藥者正 確率達 99% , 對服用禁藥者被檢定出來服用禁藥的正確率只達到 95% 。 現有一 群選手已知有 90% 沒有服藥, 今從中任意抽選1人, 檢定出此人有服禁藥, 求此人 確實服用禁藥的機率? [Ans:95+995 = 95/104]
選手群
服禁藥
檢定無 檢定服藥 無服禁藥
檢定無 檢定服藥
習題3-3 條件機率與貝氏定理
1. 大學新生健檢結果, 體重超重者佔 40% , 血壓異常者佔 10% , 兩者都有者佔 8%
, 今任選一人健檢,
(a) 若已知此人體重超重, 則他血壓異常的機率為多少?
表 3-3: 不同規則抽獎的中獎問題(取球顏色問題)
(b) 若已知此人血壓異常, 則他體重超重的機率為多少?
2. 連續投擲一公正骰子兩次, 求第一次不出現6點且第二次出現5點的機率?
3. 丟一個硬幣三次, 已知3次中只出現一次正面, 求第二次丟出正面的機率?
4. 設甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5, 0.4 且各自解題互不受影 響, 問至少有一人解出此問題的機率為?
5. 某公司計畫購買某一品牌的機器 (每台機器均獨立運作), 根據過去經驗, 該品牌的 機器至少可維持6個月而不產生任何損壞的機率僅有 50% 。 現若購買3部該機器, 試問6個月後僅剩下一部機器均無損壞可工作的機率為何?
6. 已知某班有50 位學生, 其中有20 位女生, 現用簡單隨機抽樣法, 任意抽出兩位學 生, 第一位抽到女生的條件下, 問第二位抽到女生的機率為?
7. 袋中有編號為 1到9的球各一顆, 自袋中任取一球, 設 A 表示取到球號為1,5,9 的 事件,B 表示取到球號2,5,8的事件, C 表示取到球號為3,5,7的事件。 問 A、B、C 三 事件是否為獨立事件?
8. 甲、 乙、 丙三人獨立解出某問題的機率分別為 0.6, 0.5 與 0.4 , 且三人解出與否為 獨立事件, 求
(a) 三人都解出此問題的機率為多少?
(b) 至少有一人解出此問題的機率為多少?
9. 設甲、 乙兩人參加考試, 甲通過的機率為0.6, 乙通過的機率為0.7, 且兩人各自通 過與否是獨立的, 求
(a) 甲、 乙都通過的機率?
(b) 甲通過, 乙沒通過的機率?
10. 袋中有10個球其中紅球3個, 白球2個, 黃球5個。 今由袋中每次取一球 (a) 取出後, 球不放回, 連取兩次皆紅球的機率為何?
(b) 取出後, 球放回袋內, 連取兩次皆紅球的機率為何?
11. 某高中三年級學生中有 55% 為女生, 而男生中有 65% 住校, 女生有 75% 住校, 今任選一學生, 求 (1) 此生為住校生的機率為?(2) 若已知此生為住校生則此生為 男住校生的機率?
12. 一種檢驗某疾病的儀器, 依過去經驗得知: 患此疾病的人, 有 90% 的機率經此儀 器檢驗會呈陽性 (判斷為患有此疾病), 未患有此疾病的人, 有 5% 的機率會被誤 檢為陽性。 假設某地區有 6% 的人罹患此疾病, 從此地區任選一人接受檢驗, 求此 人檢驗結果呈現陽性的機率? 若檢驗結果呈陽性反應下, 求此人確實罹患此疾病 的機率?
13. 根據經驗知, 某電腦工廠檢驗產品中, 將良品檢驗為不良品的機率為 0.2, 將不良 品檢驗為良品的機率為 0.16 ; 又已知該產品不良品佔 5% , 良品佔 95% , 若一 件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率為?(小數點後第三位四捨 五入)
14. 甲說實話的機率為 710 , 乙說實話的機率為 9
10, 今袋中有3白球7黑球, 自袋中取 出一球, 若甲乙二人均說是白球, 則此球確為白球的機率為多少?
15. 某工廠有甲、 乙、 丙三部機器生產同一種螺絲, 其產量所佔比例為甲 25%, 乙 35%, 丙 40%, 在各機器產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙機器各佔 5%, 4%, 2% ; 今從倉 庫中任取一產品, 其為不良品, 則此產品來自甲機器生產的機率為?
16. 某次測驗中, 甲、 乙、 丙三人及格的機率分別為 25,3 4, 1
3 , 若三人應試彼此不受影 響, 求 (1) 三人全都及格的機率為?(2) 在至少有1人及格下, 3 人都及格的機率?
17. 某螢幕面板製造商有甲、 乙、 丙三個工廠, 其產量所佔比例為甲 50%, 乙 30%, 丙 20%, 在各工廠產品中, 不合格品在甲、 乙、 丙工廠各佔 1%, 2%, 3% , 求整個公 司產品不合格率? 若今從倉庫中任取一產品, 其為不良品, 則此產品來自甲工廠生 產的機率為?
18. 某公司由甲、 乙兩供應商分別提供 70%, 30% 的 LCD 螢幕, 再組裝成電視機。 若 由此公司生產的電視機中任意抽樣一件, 則此電視機的螢幕來自甲廠商的機率為?
如果提供抽樣的電視機螢幕為次級品, 而由過去資料顯示甲供應商有 3% 是次級 品, 乙供應商有 6% 是次級品; 則此抽樣的次級品來自甲供應商的機率為?
第 4 章 數據分析
4.1
單變量數據分析
單變量數據分析 : 對某一種變數(變量) 感興趣, 所做的數據資料分析。(一維數據分析) 雙變量數據分析 : 對某兩個變數(變量) 間的關係感興趣, 所做的數據資料關係分析。(二
維數據分析)
多變量數據分析 : 對多個變數(變量) 間的關係感興趣, 所做的數據資料關係分析。 (多 維數據分析)
統計圖表: 對變量所蒐集到的資料用圖表簡化成有用的資訊, 使之比數據或文字提供有 效資訊, 稱為統計圖表。
離散型數據: 統計數據資料分成連續型與離散型數據 。 變量數據無介於兩類別數據資 料之間的類型資料稱為離散型數據。
如性別、 血型、 顏色、 職業等分類的計數數據。 又分次序數據 (以1、2、3、4代表強、
中、 弱、 微) 及名目數據 (無大小次序之分的數據, 如色彩中的紅色、 藍色、 綠色、
白色等)
連續型數據: 變量數據可以有連接性、 有次序數值關係的資料, 稱為連續型數據。
如身高、 體重、 測驗成績等計量的數據。
常用的統計圖表
順伯的窩
1. 圓面積圖 (圓餅圖):
type A 24%
type B type C 12%
15%
type D 33%
other 16%
2. 長條圖:
1930 1940 1950 1960 1970 3
4 5 6 7
·107
Population
Far Near
3. 折線圖: 次數分配折線圖或相對累積次數分配折線圖 0 20 40 60 80
0 200 400 600 800 1,000
Discarding unbounded coords
4. 直方圖:
成績
0-59 60-69 70-79 80-89 90-100
百 分 比 %
10 20 30 40 50 60
5. 盒鬚圖:
Me
Q1 Q3
¯ x
IQR
Box and Whisker Plot
集中趨勢量數: 用一數值來表示這一群數集中趨勢。
一般常見的集中趨勢量數有算術平均數、 中位數、 眾數、 幾何平均數等。
算術平均數(Mean) µ : (簡單, 易算, 靈敏)(易受極端值影響) µ = 1n(x1 + x2 +· · · + xn) = 1n
Pn i=1
xi
中位數(Median) Me: (感應不靈敏)
至少有一半的數值大於或等於中位數, 而且至少有一半的數值小於或等於中位數。
將資料由小至大排列如: x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ · · · ≤ x(n)
若 n = 2k + 1 為奇數筆數據, 則中位數 Me = x(k+1) , 即中間項的數據。
若 n = 2k 為偶數筆數據, 則中位數 Me = 12(x(k)+ x(k+1))。
加權平均數: 將各數據分別乘以權數, 再將乘積的總和除以權數總和, 所得之商。
眾數(Mode) Mo : 一群數值中出現次數最多的數值。(次數分配無顯著集中時沒有代表 性)
幾何平均數: √n x1x2· · · xn
分組資料的集中趨勢量的計算方式:
量數 未分組 分組
普通法 簡捷法
平均數X 1n Pn
i=1
Xi 1
n Pk j=1
xjfj X = A + h· 1n Pk j=1
djfj 其中dj = xi−A
h
中位數Me n為奇數Me= x(k+1) *** Lme+
n
2 − F−1
fme· hme
n為偶數Me = 12(x(k)+ x(k+1))
眾數Mo 出現次數最多的數值 ***插值, 比率法
順伯的窩
資料與平( 均數, 中位數, 眾數三者關係:
平均數 : 機率分配圖的重心位置(槓桿的支撐點)。
中位數 : 將機率分配圖左右等分面積。
眾數 : 機率分配圖的最高點位置。
對稱的單峰分配 (資料直方圖以中間為高峰且左右對稱) : X = Me = Mo
左偏分配 (資料直方圖左端值次數分配拖的較長): X < Me < Mo
右偏分配 (資料直方圖右端值次數分配拖的較長): Mo < Me < X
²³¤¤¥
¼Æ¦ì§¡
¼Æ¼Æ
¥¤¤²³
§¡¦ì¼Æ
¼Æ¼Æ
¥k°¾ ¥ª°¾
圖 4-1: 偏斜分布的平均數、 中位數與眾數三者間的關係
離散趨勢的統計量: 全距、 四分位差、 標準差等。
離差: 一群數值, 除了考慮集中趨勢外, 另一重點是分散的程度, 就是離差。
一般常用測量離散程度的量數有全距、 四分位差、 變異數與標準差等。
全距R: 將資料 xi 排序
x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ · · · ≤ x(n), 全距R = X(n)− X(1)
四分位差: Q.D. = Q3 − Q1 有些書定義 Q.D. = Q3 − Q1 第三四分位數 Q3− 第一分位差 Q1 2
例: 未分組 (有多種算法) n=11 , 則 Me = Q2 = Xn+1
2 = X6, Q1 = 5+12 = X3, Q3 = X6+3 = X9
已分組: 原則上可按照比例求 Q3 = X75% = X3n
4 , Q1 = X25% = Xn4 離均差 : xi− x , 所以 P(xi− x) = 0
變異數 : 離均差平方和的平均
變異數 : 離均差平方和的平均