2.4 P-SV 震波模擬方法
2.4.2 數值方法
2.4.2.3 擬頻譜法
擬頻譜法與有限差分法是相當類似的應用方法，然而擬頻譜法的計算 效率卻高出有限差分法許多。根據
Fornberg (1987)
對有限差分法與擬頻譜法 的比較結果指出，對於相同大小的格網而言，擬頻譜法只需要使用四分之Finite Difference Method, Fornberg, 1987)
。擬頻譜法與有限差分法
0 級有限差分法便是擬頻譜法
(Fornberg, 1987)
。網格系統
1990)
、非連續性網格系統(Discontinuous Grid, Wang and Takenaka, 2001)
等皆 可視問題需求而採用。對週期性問題而言，三角函數展開式
(Trigonometric Expansions)
，透過快速 傅立葉轉換法能符合這三項要求，使其計算效率與有限差分法或有限元素 法比起大為提升(
對於非週期性問題而言，其所需考慮的尚有不連續與非週 期性的問題，三角函數展開式無法滿足上述三點要求，然此問題並不在震 波模擬的範圍中，因此不詳加描述，進一步資料可參考Fornberg (1996)
。在 這我們將提出以三角函數展開式為平滑函數，並透過離散傅立葉轉換(Discrete Fourier Transform)
獲得權重係數的擬頻譜法。假設有一物理量u是空間與時間的函數，且其存在空間一階微分及時間
對於上述離散傅立葉轉換的使用，在實際的作法中為使其更具有效率 都是以快速傅立葉轉換
(Fast Fourier Transform)
進行應用。若是對單一變數x
進行一階微分，便先對物理量u在x
方向上進行快速傅立葉轉換，將其乘上 ikx後，對x
方向進行反向快速傅立葉轉換(Inverse Fast Fourier Transform)
， 便完成以擬頻譜法近似一階微分的動作。若是對雙變數x
、z
進行二階微分，則可分次先對
x
方向進行快速傅立葉轉換後，再對z
方向進行快速傅立葉 轉換，之後將轉換後的值乘上−kxkz，再分別對x
、z
方向進行反向快速傅立 葉轉換，便完成以擬頻譜法近似二階微分的動作。其中所牽涉到的快速傅 立葉轉換，在這並不多做介紹，可逕行參考Walker (1996)
或Smith (1997)
。 一致性一致性一致性一致性、、、、穩定性與收斂性穩定性與收斂性穩定性與收斂性穩定性與收斂性：由前述已知，擬頻譜法與有限差分法有著極大 的相似性，在使用上亦與有限差分法有著相同的問題考量。根據
Lax
equivalent theorem
，當數值架構能滿足一致性與穩定性時，必亦滿足收斂性。擬頻譜法的一致性是無庸置疑的，若以極限級有限差分法看待，其自 然是滿足此一條件，因此，是否可使用擬頻譜法主要控制在穩定性滿足與 否上。通常擬頻譜法是有條件性的滿足穩定性，其穩定的條件與有限差分 法相去不大，但較有限差分法寬鬆。在此應要注意的是，即使在高級數有 限差分法皆能滿足穩定性條件的情況下，擬頻譜法有時亦會有不穩定的情
形產生
(Tadmor, 1987)
。擬頻譜法的穩定性分析較有限差分法複雜，其除了需考量非線性問題的困難外，尚需考量函數的平滑問題。對於擬頻譜法穩 定性分析的討論可進一步參閱
Fornberg (1996)
。在這要在特別提出的是，由於擬頻譜法牽涉到離散傅立葉轉換的使 用，此轉換所得到的是斬截
(truncate)
後的傅立葉展開數列，僅使用同間距格 點上的值，格點間的值沒有計算而未能使用，因而有映頻(Aliasing)
效應的 問題產生。所謂的映頻效應是說，對於兩個不同頻率的波，以相同間距的點位取值作代表而無法分辨此二者的情形，便稱為映頻效應
(
發生在空間中 的映頻效應是兩個不同波數的波)
。如圖2.16
所示，虛線是−sin(9πx)的圖形，而實線是sin( xπ )的圖形。若我們由
-1
開始每隔0.2
取一點，則可發現，對兩個波形來說都得到相同的值，使得我們要由點位上取得的值反推原三角函 數時會無法分辨，而有映頻效應的產生。
雖說在理論上此映頻效應會對結果產生問題，也已有數學技巧可避免 映頻的發生，然而實際使用的經驗表示，對於與時間有相依關係的問題，
映頻效應通常會有循環
(Oscillatory)
的現象，使得此映頻問題可忽略(Kreiss and Oliger, 1979)
；而對於穩態的問題(
即與時間無關的問題)
，Canuto (1988)
亦表示映頻問題影響不大。但這並非是理論上的証明，只是由應用所獲得 的現象歸結出的結果，因此在使用上還是該注意這問題所可能造成的影響。擬頻譜法震波模擬 擬頻譜法震波模擬 擬頻譜法震波模擬
擬頻譜法震波模擬：擬頻譜法最先是在
1970
年代由計算物理學家開始發展(Orszag, 1972
；Gazdag, 1973)
，直至1980
年代才由Kosloff and Baysal(1982)
開始應用在震波模擬的領域上。Kosloff and Baysal(1982)
首先將擬頻譜法應 用在二維的音波材料模型(Acustic Model)
的模擬，發現擬頻譜法較有限差分 法在計算上有效率。Johnson (1984)
接續著Kosloff and Baysal (1982)
的初步 成果，將此技術用以計算三維的音波材料模型問題，與此同時Kosloff,
Reshef and Loewenthal(1984)
累積之前的經驗，將此法使用在控制方程式更加複雜的二維彈性材料模型上，亦即我們所要處理的地層震波模擬，從此 開啟了擬頻譜法在震波模擬應用的大門。
直至今日，擬頻譜法已可應用於三維的震波傳遞模擬問題上。
Reshef et
al. (1988a, 1988b)
首先完成擬頻譜法在三維震波傳遞的應用。但由於三維問題所要處理的資料量非常龐大，即使以相對於有限差分法及有限元素法具 有高效率的擬頻譜法來進行，依舊需要花費極大的時間，而使得問題的探
討侷限在音波
(Acustic Wave)
的波傳問題上(
例如，Chen and Mcmechan, 1993
；Huang, Teng and Yeh, 1995
等)
。為解決此一問題，Reshef et al. (1988b)
提出了使用電腦平行處理技術的概念，亦很快的被應用在一維、二維的快 速模擬上(Renaut and Woo, 1992
；Sato et al., 1994,1995
；Liao and McMechan, 1993)
，直至1998
年才由Furumura, Kennett and Takenaka (1998)
將這技術落 實在三維的震波模擬，進而增進了我們處理三維問題的能力。由於擬頻譜法的良好表現，使得在計算上網格常常不需要過於細密，
然 而 這 樣 的 結 果 會 造 成 在 低 速 帶 地 區 的 部 分 資 料 細 節 遺 失
(Wang and
Takenaka, 2001)
。與有限差分法相比，在傳統的均勻方型網格系統(
如圖2.30a
所示
)
下，擬頻譜法較難以在低速帶區域進行細節資料的獲得。有鑒於此，Wang and Takenaka (2001)
為 解 決 此 一 問 題 ， 提 出 了 非 連 續 網 格 系 統( Discontinuous Grid
，如圖2.30b
所示)
。其將整各網格分成許多不同的副區塊
(Subdomain)
，對於低速帶區域便使用較細密的網格，而高速帶便使用較粗網格，使得擬頻譜法對於地質材料波速差異過大的地層亦能有效的反應 出其間差異。對於網格的使用，與有限差分法比起，在擬頻譜法使用上討
圖圖
圖圖 2222.30.30.30.30 擬頻譜法網擬頻譜法網擬頻譜法網擬頻譜法網格示意圖格示意圖格示意圖格示意圖
論的並不多。自擬頻譜法應用開始，除
Fornberg (1990a)
提出以錯置網格增 加擬頻譜法在應用上的穩定及準確性外，便也只有Wang and Takenaka (2001)
提出不同的網格使用。然而，這兩種網格基本上還是維持等間距的前提，與有限差分法或是有限元素法可因應特殊需求而對部分或局部性加密網格 或以非方形網格的多元性網格比起，擬頻譜法在網格系統使用上的彈性少 了許多。