2.4 P-SV 震波模擬方法
2.4.1 解析方法
2.4.1.3 震態疊加法
震態疊加法的要義是將地層反應視為所有存在的表面波震態反應的總 和
(Takeuchi and Saito, 1972)
， 藉 由 將 在 頻 率-
空 間 頻 率 域(
空 間 頻 率(wavenumber)
與頻率及慢度有關，頻率-
空間頻率域是頻率-
慢度域的一體兩面，僅是變數的變換
)
中的singular
位置(
即表面波頻散曲線的位置)
找出，我 們便可使用殘數定理(Residue Theorem)
將頻率-
空間頻率域中的空間頻率積 分改以殘數數列(Residue Series)
表示。當有足夠數目的數列加總在一起，我 們便可得到完整的地層反應(Harvey, 1981)
。震態疊加法在起初的發展中，採用
Tomson and Haskell
方法求得pole
的位置，然而此方法在採用數值計算時，在高頻區會有精準度的問題，這 使得早期的震態疊加法僅適用於取得頻率小於
1Hz
的震波反應。對於Tomson and Haskell
方法在高頻會有精準度的問題，現已有許多處理方式可解決
(
請參閱2.1.2
節所列參考資料)
，最常為使用的是Knopoff’s Method (Knopoff, 1964
；Randall, 1967
；Schwab, 1970
；Schwab and Knopoff, 1972)
及Delta Matrices (Pestel and Leckie, 1963
；Thrower, 1965
；Dunkin, 1965
；Watson, 1970)
。如此一來即使至10000Hz
部份的pole
位置亦能準確的求出(Schwab et
al., 1984
)，使得震態疊加法模擬出的地層反應更加準確。到此，震態疊加法已將在複數空間頻率平面上積分時
pole
對地層反應 的影響考慮，然而，如圖2.21
，此圖是表示欲取得在頻率/
空間頻率域中完 整的地層的總反應時在空間頻率複數平面上的積分情形，其不僅要考慮複 數空間頻率上pole
的影響，亦應要同時考慮branch cut
、branch point
的部 分，若不考慮此二處對地層反應的影響，將會漏失掉反應初期Ｐ波或是Ｓ 波的震動，而無法獲得全部的地層反應。Harvey
於1981
年提出了震態鎖近 似法(Locked Mode Approxiation)
，避開在branch cut
的積分，而改以震態疊 加的方式處理。其作法是在極深的位置置入一極高速地層，使得原本在Reimann
面上的遺漏震態(Leaking Mode, Gilbert, 1964
；Aki and Richard, 2002)
能在空間頻率的實數軸上出現，再以震態疊加的方式計算其對地層的影 響，如此便可獲得完整的地層反應模擬(Harvey, 1981)
。在使用此方法時有 些許問題需要注意，例如需小心放置高速地層的深度，不讓其介面反射回 地表的波干擾了原本地層的反應；此外，在尋找由於使用震態鎖近似法而 鎖住的遺漏震態需要耗費極大的時間，使其極其相鄰的pole
能被精準的找出
(Wang, 1981)
，才可有較好的結果。圖 圖 圖
圖 2.2.2.2.22221111
複數空間頻率平面積分路徑示意圖複數空間頻率平面積分路徑示意圖複數空間頻率平面積分路徑示意圖複數空間頻率平面積分路徑示意圖 2.4.2 數值方法數值方法數值方法數值方法
震測資料的數值模擬目前已被廣泛的用來協助現地震測資料的解讀、
提供震測試驗訊號分析和研究試驗參數設定所需的人造震測資料，以及對 震波在非均質、非均向地層傳遞行為的瞭解。經過二、三十年的演進，目 前 已 有 許 多 不 同 的 數 值 方 法 可 供 選 用 。 除 了 廣 為 人 知 的 有 限 差 分 法
（（
（（
Alterman and Karal, 1968
；Boore, 1972
；Kelly et al., 1976
；Virieux, 1986
；Levander, 1988
；Takeuchi and Geller, 2000
；Zhang, 2004
等）））、有限元素法）（
（
（
（
Lysmer and Drake, 1972
；Schlue, 1979
；Chen, 198
4；Kay and Krebes, 1999
）））） 外，尚有擬頻譜法（pseudo-spectral method
）（（（（Gazdag, 1973
；Kosloff and Baysal, 1982
；Johnson, 1984
；Reshef et al., 1988a, 1988b
；Huang and Yeh, 1991
等）））、） 混合數值法（hybrid method
）（（（（Shtivelman, 1985
；Kummer, Behle & Dorau, 1987
；Ven den Burg, 1984
；Emmerich, 1992
；Moczo et al., 1997
等））））等技術。除此之外，許多合於上述數值方法概念但有不同操作上的應用變形，使得
數值模擬的成果越加豐碩。在下面三個小節中，作者將對有限差分法、有 限元素法及擬頻譜法在震波模擬使用上作回顧並簡單介紹各方法的基本概 念。
2.4.2.1 有限差分法有限差分法有限差分法有限差分法
有限差分法簡單的說便是在離散的向度上，將控制方程式及邊界狀態 中的微分項以差分式替代
(Boore, 1972)
，使得原先的微分方程式變成簡單的 四則運算式(Mocoz, Kristek and Halada, 2004)
。當我們要將有限差分法應用 至特定的控制方程式或微分方程式中時，總括來看有三個主要步驟：先(1)
建構離散的有限差分離散模型，亦即建構離散的網格，並對微分方程式導 入有限差分式。然後對導出的有限差分運算式進行(2)
有限差分離散模型的 分析，確定離散模型的收斂性、穩定性及餘尾誤差級數。最後使用計算系 統協助(3)
疊代計算(iteration)
。網格網格
網格網格系統系統系統系統(Grid)：使用有限差分法的第一步便是要先決定所採用的離散網格 系統。所謂離散網格系統的意思是說，在微分方程式中，其所定義的時間 及空間皆是連續，而為了將有限差分是導入，必須將連續的空間以及時間 向度離散，而以離散的點代替原本連續的物理量。這樣離散後的時間及空 間向度，便稱做為離散網格系統，或簡稱網格。
在 傳 統 的 有 限 差 分 法 使 用 上 ， 皆 是 採 用 均 勻 方 型 網 格
(Uniform
Rectangular Grid, Alterman and Karal, 1968
；Boore, 1972
；Kelly et al., 1976)
， 亦即其將空間離散為均勻分布的格點(
如圖2.22a
所示)
。而後為因應不同的 使 用 需 求 而 有 均 勻 三 角 形 網 格(Uniform Trigular Grid)
、 非 均 勻 網 格(non-uniform grid)
等網格系統的使用(
如圖2.22b,c,d
所示)(Moczo, 1989
；Zhang, 1997
；Pitarka, 1999)
。圖圖
圖圖 2222.22.22.22.22 有限差分法有限差分法有限差分法網格系統示意圖有限差分法網格系統示意圖網格系統示意圖網格系統示意圖
以均勻方型網格舉例，若有一個具有三變數的物理量其變數為
(x,y,t)
，x
表示空間上水平向，
y
表示空間上垂直向，t
表示時間，則在這三個量度上，其離散後的變數
x
i、y
j、t
k定義為：x i x
x
i=
0+ ∆
，for i = 0, ± 1, ± 2, … y
j y
y
j=
0+ ∆ , for j = 0, ± 1, ± 2, … t
k t
t
k=
0+ ∆ , for k = 0, 1, 2, …
(2. 105)
其中，∆x,∆y,∆t分別為在
x
方向、y
方向以及時間軸上，離散後相鄰兩點的 間距；x
0, y
0, t
0為網格中各向度上任一點的實際值。假設格點上的物理量為U(x
i,y
j,t
k)
，則可簡單表示為U
ik,j。標準有限差分式 標準有限差分式 標準有限差分式
標準有限差分式(Standard Finite Difference Approximation)：當離散網格系 統選定後，便可開始選用適當的有限差分式導入微分方程式中。習慣上，
對於一開始發展有限差方法時應用在均勻方型網格系統的有限差分式，我 們便稱其為標準有限差分式。假設有一函數
F(x)
存在有連續的一次微分式，則此微分式可以採用有限差分式
((2. 106)~((2. 108)
式進行導入：前向差分式 '( ) ( ) ( ) O(h)
後向差分式 ( )
difference approximation)
。對於更高級餘尾誤差的一次微分差分式或是更高階的微分方程的有限差分式，都可使用相同的方式獲得，在這不詳加介紹，
可逕行參考
Mitchell and Griffiths (1980)
、Morton and Mayers (1994)
或Durran
(1999)
等人的著作，有詳細的推導及應用。一致性一致性
一致性一致性、、、、穩定性與收斂性分析穩定性與收斂性分析穩定性與收斂性分析穩定性與收斂性分析：在採用有限差分法的時候應要特別注意幾 點有限差分運算式的特性。首先，對於有限差分式與其所欲計算的微分式
的一致性
(consistent)
。一致性的意思是說，當離散的間距趨近於零的時候，有限差分式將會與微分式幾乎相等。大致而言，這一點是可確認的。經由 泰勒展開式得到的差分式餘尾誤差級數可很容易的證明這點，但在某些情 況下，必須要使空間間距與時間間距符合某種關係時才可成立。若一差分 式具有這樣的特性，我們稱此差分式是有條件的具有一致性
(Conditionally
Consistent)
。惟有當一致性能成立時，才可使用此有限差分式。再者需注意的是導出的差分運算式
(Finite Differece Equation)
所得到的 解是否具有穩定性。當微分方程的解具有結界(bounded
)時，差分運算式所 得到的解亦具有結界，則稱此差分運算式是穩定的；但若差分運算是所得 到的解並不具有結界，則稱其是不穩定。大致而言，我們所探求的物理現 象都是具有結界的，這點可由微分方程的解析解得知，因此我們期待使用 差分運算式所獲得的解亦是具有結界。若任意的空間與時間離散間距都可 使 差 分 運 算 式 滿 足 穩 定 性 的 要 求 ， 則 稱 此 運 算 方 程 式 是 無 條 件 穩 定(unconditionally stable)
；反之，若需使空間與時間的離散間距滿足某種關係時才可達到穩定性的要求，便稱其是有條件式的穩定
(conditionally stable)
。 若無法達到穩定性的要求，則此差分運算式所獲得的解將無法表現實際解 的行為。穩定性的分析只能對具有線性行為的微分方程進行，若針對對非 線性問題，則通常需要先使問題成為區域性線性(linerarized locally)
。最常 被使用於穩定性分析的方法是von Neumann Method
，對於此方法的說明可 參考Moczo, Kristek, and Hakada (2004)
。最 後 一 個 需 要 對 採 用 的 差 分 運 算 式 進 行 解 析 的 是 其 收 斂 性
(Convergent)
。收斂性所表示的是，當離散的間距趨近於零的時候，微分方程的解與差分運算式所得到的解會幾乎相等。在這需要做一個釐清，一致 性與收斂性所關心的是不同的兩個問題：一致性所關心的是差分式本身與 微分這動作的關係，而收斂性所關心的是由差分運算式所得到的解。對於 收斂性的分析是困難的，然而，幸運地，收斂性與一致性以及穩定性有絕 對的關係。根據
Lax equivalent theorem
，在數值架構中，當一致性與穩定性 同時滿足時，其必然亦滿足收斂性(Moczo, Kristek and Halada, 2004)
。 因此，在採用有限差分式時應當要注意一致性與穩定性的滿足條件。除此之外，採用不同的有限差分式以及網格系統，會因為不同的問題而有
其需考慮的特定問題，若僅是盲目的使用任一有限差分法於不同的問題 上，而不對其可能造成的誤差進行了解，過度信任所得到的結果，很容易 便有錯誤的使用發生。以震波模擬問題而言，在採用有限差分法時，除了 要注意滿足穩定性的條件，還應當注意因為不同網格系統而造成不同程度 的假頻散現象
(Grid Dispersion
，即在地質材料本身性質外，因為空間離散而 造成波速隨頻率變化的現象)
，亦應該要注意其整個有限差分系統(
包含控制 方程式，網格系統，以及使用的有限差分式)
所能應用的地質材料狀況(Moczo, Kristek and Halada, 2004)
。有限差分法震波模擬 有限差分法震波模擬 有限差分法震波模擬
有限差分法震波模擬：在震波數值模擬領域中，有限差分法因為在應用上 及程式撰寫上的便利性成為最為廣為使用的技術。其在震測資料模擬的研 究上，最先是由學者
Z. S. Alterman
在1968
年代導入使用。她與她的研究團 隊利用標準的有限差分法，施以不同的起始值與邊界值進行一系列震波在 均質均向的半無限域土層中傳遞的模擬（Alterman and Kornfeld, 1968
；有限差分法震波模擬：在震波數值模擬領域中，有限差分法因為在應用上 及程式撰寫上的便利性成為最為廣為使用的技術。其在震測資料模擬的研 究上，最先是由學者