四、 紐結
4.2.2 擺線與次擺線紐結
在 1880 年之間，由泰特(P. G. Tait)首先製成的紐結表中[12]，非零交叉 數的頭一個紐結為 knot 31，即三葉紐結(Trefoil)，正是 4.2.1 節所討論的(2,3)-環面紐結((2,3)-torus knot 圖 4-6)。近年來，學者泰勒(L. D. Taylor) [15]研究 出可利用擺線/次擺線的二維 x 及 y 的數學參數方程，再加入 z 方向的參數 式，得到如同環面紐結形式的 3D 擺線/次擺線紐結。而另外，Edward 用微 電腦創作出 18、19 世紀時許多造型特殊的紐結裝飾物件，當時是畫 2D 的 電腦圖案，其採用的數學式近似第二章(2.7)式的二維曲線擺線/次擺線簡化 參數方程，如此我們便不須利用標準的環面紐結參數方程(4.4)式，只要利 用較簡易的擺線/次擺線紐結參數方程，就可得到各式各樣的環面紐結。
我們希望可以讓擺線/次擺線紐結由二維擺線/次擺線曲線擴充而來，在 此先再列出(2.7)式的二維擺線簡化參數方程式：
) sin(
) sin(
) (
) cos(
) cos(
) (
2 2
1 1
q n
p m
y
q n
p m
x (2.7)
而泰勒在文章裡[15]所用的三維擺線/次擺線紐結參數方程式可寫成(4.7)式：
2 0
) sin(
) (
) sin(
) sin(
) (
) cos(
) cos(
) (
t s h t z
t q n t p m t y
t q n t p m t x
(p,q,s:nonzero intergers) (4.7)
透過(2.7)式和(4.7)式兩式對照後，可確認三維擺線/次擺線紐結正是利用二 維擺線擴充到 3D 立體空間所形成的環繞迴圈而得到。將擺線/次擺線紐結 參數方程(4.7)式對照上一小節中的(4.6)式(p,q)-環面紐結之線性組合的三角 函數式，可發現兩數學式的相異及相似性：(4.6)式在 x 式及 y 式中各比(4.7) 式多了dcos( pt)及dsin( pt)，且 x、y 式的末兩項的變數為(p+q)t 及(p-q)t，
這些都可用代數式及三角函數式cos 和sin的恆等式來改寫，由此我們看出
38
環面紐結和擺線/次擺線紐結之間透過數學式所顯示的關聯。
此外，擺線/次擺線紐結參數方程(4.7)式和環面紐結(4.6)式一樣，也符 合傅利葉紐結的級數式(4.1)式。以下為方便故，將僅以「擺線紐結」一詞 來通稱「擺線/次擺線紐結」，除非特別強調「次擺線」時，才採用「次擺線 紐結」一詞。
擺線紐結參數方程式(4.7)中，q 值的正負會決定環面紐結在 x-y 平面投 影的迴圈向外或向內。當q0時，環面紐結的迴圈向外(outwards) ，對應於 內擺線/內次擺線(Hypocycloid/Hypotrochoid)；當q0時，環面紐結迴圈向 內(inwards) ，對應於外擺線/外次擺線(Epicycloid/Epitrochoid)。
一般情況下，擺線紐結方程(4.7)式取 p 值> 0。若同時符合p2，
0
q (outwards)，s p q，及 1 m
n 的數學關係時，所得到的擺線紐結就是
「標準」的(p,s)-環面紐結。這個(p,s)的 p 代表的是環繞環面中心軸的環繞 圈數 p，相當於(p,q)-環面紐結的 p；而s p q的 s 代表的是環繞輪胎面的 圈數，相當於(p,q)-環面紐結的 q。
反之，若(4.7)式無法同時符合p2，q0(outwards)，s p q，及 1 m
n
的數學條件時，用 mathcad 所得到的擺線紐結將無法確定是否為標準的環 面紐結，有可能只是近似的環面紐結或一般的裝飾紐結。又若進一步在(4.7) 式再加入任意項的cos 和sin，所得到是下一章所要探討的複雜裝飾紐結。
今仿(p,q)-環面紐結一詞的用法，接下來的圖例分析將採用(p,s)擺線紐 結一詞，如下表 4-1，分別依(1)p=1 及 p≧2
、
(2)q＞0 及 q＜0、
(3)s p q成立與否、(4) 1 m
n 或 1
m
n ，並利用(4.7)式來探討(p,s)擺線紐結。[15]
39
表 4.1 (p,s)擺線紐結：其中前 8 圖為 outwards，後 4 圖為 inwards p q s
m
n 類別對照 數學參數方程 Mathcad
( xy-plane view)
1 -2 3 1.5
40
q 兩種不同的模式來呈現，數學式各為(4.8)式(4.10)式[15]，再加上標準 環面紐結的數學方法(4.11)式[14]，分(i)~(iii)三點討論：
41 應的圖例為圖 4-8(a)Righthand Trefoil，是 outwards 的內擺線形式。
(a) (b)
(a) (b)
圖4-8 三葉紐結(i)：(a) Righthand Trefoil (b) Lefthand Trefoil
(4.8)式的 p 值=1，即表 4.1 的第 1 個表格裡的圖例，本文稱之為(1,3)擺線紐 結，此時雖不符對應於標準(p,q)-環面紐結的p2的數學條件，但實際上，
紐結圖樣符合(2,3)環面紐結的類型。圖 4-8(b)Lefthand Trefoil 即表 4.1 的第 4 個表格裡的圖例，符合p2，q10，s p q，及 1
m
n 的數學條件，
此時(2,3)擺線紐結正是(2,3)環面紐結。
(ii) q0的情況：例如q 5，圖 4-9
42
) 3 sin(
35 . 0 ) (
) 5 sin(
3 . 0 ) 2 sin(
) (
) 5 cos(
3 . 0 ) 2 cos(
) (
z y x
(4.10)
圖 4-9 三葉紐結(ii)：(2,3)擺線紐結(inwards)q0
(iii) 用標準的(2,3)環面紐結數學式：(同於 4.2.1 節所述)圖 4-10
) 3 sin(
6 ) (
) 2 sin(
)) 3 cos(
6 12 ( ) (
) 2 cos(
)) 3 cos(
6 12 ( ) (
t t
z
t t
t y
t t
t x
(4.11)
我們可以得到同於(4.5)式的(4.11)式之三葉紐結如圖 4-10 所示：
圖 4-10 三葉紐結(iii)：(2,3)-環面紐結(Trefoil)
可畫出「環面紐結」的數學式不只一種，在此已討論「標準環面紐結 方程」及「擺線紐結方程」這兩類參數式。從運用數學軟體的實際作圖中 可以知道，代入係數值的微小差異，可能會得到完全不同的紐結類型；就 算是同一類別的環面紐結，也可以用不同的數學式來表現。例如前述的三 葉紐結，除了文中所使用的(i)~(iii)這三種討論分析的數學方法之外，尚可