四、 紐結
4.3 SU(2)紐結
用「傅利葉紐結」的簡易方程來繪製得到。而另一個具代表性的「數字 8 紐結」(the figure eight knot)也有相同的情況，其所對應的數學參數方程不只 一種。而不論是環面紐結或擺線紐結的參數式，如同利薩如紐結般，其數
44
表 4.2 SU(2)紐結， 1: 21: 5，
C C1, 2
1.5,1
， 2， 1 2 ，0 Z 01: 2
C C1, 2
~ ~ SU(2)曲線 SU(2)紐結1:5 1.5:1 0 2
1:5 1.5:1 8 2
1:5 1.5:1 4 2
1:5 1.5:1 3 2
1:5 1.5:1 2 5 2
1:5 1.5:1 2 2
45
表 4.3 SU(2)紐結，1:2 1:5，
C C1, 2
1.5,1
， 2， 1 2 ，0 Z 01: 2
C C1, 2
~ ~ SU(2)曲線 SU(2)紐結1:-5 1.5:1 0 2
1:-5 1.5:1 8 2
1:-5 1.5:1 4 2
1:-5 1.5:1 3 2
1:-5 1.5:1 2 5 2
1:-5 1.5:1 2 2
46
第五章 複雜裝飾紐結
5.1 裝飾環面紐結
標準的(p,q)-環面紐結(Torus knots)的數學式仿(4.4)式，可寫為：
)
裝飾環面紐結的一般通式有兩型，表示方法分別如下(5.2)式與(5.3)式：[14]
)
47
將(5.2)式取
p q q m r, , ,1 2 1 3,
2,5,10,5,0.35
，分別固定r1 0.6及r2 0.75， 變化r2 0.75、0.5、0.3 及r1 0.2、0.6、9 時，會出現一系列變化的裝飾環面 紐結，如下圖5-1 所呈現：75 .
2 0
r r2 0.5 r2 0.3
2 .
1 0
r r1 0.6 r1 9
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
圖5-1 裝飾環面紐結型一(5.2)式，(a), (b), and (c)：r1 0.6; (d), (e), (f)：r2 0.75。
接著將(5.2)式的r1 0.6及r2 0.75保持不變，改成變化
q q1, 2
值，其所呈 現的圖示如圖5-2 所示，這裡取(p,r1,r2,m1,r3)(2,0.6,0.75,5,0.35)。(5,10)
(5,7) (5,17)
(9,7) (9,10) (9,13)
圖5-2 裝飾環面紐結型一(5.2)式，固定r1 0.6及r2 0.75，變化(q1,q2)值
48
接著是第二型的裝飾環面紐結，採用數學式(5.3)式。同樣地，我們設 定的係數的常數值及變化值和第一類型(5.2)式時相近為：
) 5 sin(
35 . 0 ) (
)]}
10 cos(
) 5 [cos(
1 ){
2 sin(
) (
)]}
10 cos(
) 5 [cos(
1 ){
2 cos(
) (
2 1
2 1
z
r r
y
r r
x
(5.4)
第二型裝飾環面紐結的圖例如下圖5-3：
75 .
2
0
r r
2 0 . 5 r
2 0 . 3
2 .
1
0
r r
1 0 . 4 r
1 0 . 6
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
圖5-3 裝飾環面紐結型二(5.3)式，(a), (b), (c)：r1 0.6; (d), (e), (f)：r2 0.75
最後，我們利用數學軟體呈現若干種造型特殊的裝飾環面紐結，其數 學式的主要架構皆與上述兩型其中之一相同，也會列出紐結圖案所對應的 數學式及係數值的變化，見圖5-4。
49
1a 1b 1c 1d
2a 2b 2c 2d
3a 3b 3c 3d
4a 4b 4c 4d
圖5-4 裝飾環面紐結(qn>p)
圖5-4 細分為四類，第一類包括 1a、1b、1c、1d 四圖，p 值皆為 2，且 qn值皆大於 p 值。同時，所有 qn值呈倍數關係。數學式如下：
50
51
52 其中2a、2b、2d 是型一(5.2)式，2c、3c、4c、4d 是型二(5.3)式。
第三類包括3a、3b、3d 三圖，這類的 qn值仍皆大於 p 值。但其 qn值
53
54 其中(a)(b)是型一(5.2)式，(c)(d)是型二(5.3)式。
5.2 裝飾擺線紐結
55
(a1) (a2) (a3) (a4)
(b1) (b2) (b3) (b4)
(c1) (c2) (c3) (c4)
圖5-6 裝飾擺線紐結
現依序列出圖5-6 各裝飾擺線紐結的數學式：
(a1)紐結數學式：
) 4 sin(
25 . 0 ) (
) 3 sin(
5 . 1 ) sin(
) (
) 3 cos(
5 . 1 ) cos(
) (
t t
z
t t
t y
t t
t x
(5.25) (a2)紐結數學式：
56 (a3) (a4)紐結和(a1) (a2)一樣，q>0 迴圈向內(inwards)，但 1
m
至於(b1)、(b2)、(b3)、(b4)這四個裝飾擺線紐結在 x、y、z 式增加了 )
57 此(b)系列紐結的特色是「複合型式」(compound patterns)。其中(b1)、(b2) 為「成對紐結」(pairs of knots, 或 knot pairs)，分成兩群組的型式；(b1)呈現 了4 個交叉數而(b2)為 6 個交叉數的成對紐結。(b3)與(b4)則進一步擴充其
「分群」的型式，稱之為「群組型紐結」(Larger Groupings of Knots)；(b3) 分為「三群」，而(b4)是分為「四群」的裝飾擺線紐結。
58 及平方結(Granny Knot and Square Knot)，見圖 5-7 [15]。
(a) (b)
圖5-7 (a)祖母結 (b)平方結
59
5.3 裝飾紐結與音符
音樂家為了表示音的高低，發明了樂譜。一般最常見的是由所謂的小 荳芽所組成的「五線譜」及由數字所組成的「數字簡譜」，此外還有中國老 祖宗所用的「減字譜」、「工尺譜」等[16]。其中「五線譜」如圖 5-8 所示：
(A)
(B)
(C)
圖5-8 五線譜
在圖5-8 中[17]，其樂譜由(A)至(C)的複雜度逐步增加，這也代表了音 樂的豐富性及多樣性的增加。本文無法呈現像圖5-8 中(B)及(C)般的複雜樂 譜，目標是設計出可以表現圖5-8(A)的簡單音符的樂譜，稱之為「紐結音 符」或「紐結樂譜」。
為了要呈現紐結音符的樂譜，必須引用「數字簡譜」的對照。數字簡 譜是用數字1、2、…7 等表示音高的簡單記譜方法。可如下圖所示[18]：
60
圖5-9 數字簡譜與音名
圖5-9 所示的是大家所熟悉的 do-re-mi-fa-sol-la-ti-do，即所謂的「大音階」
(major scale)的音程結構[19]，第一音 do 至第八音 do 構成了八度音程。在 這音階中有七個不同的音高(do 至 ti)，包含了五個全音音程及兩個半音音 程。半音(half step)是傳統西方音樂裡最小的音程；全音(whole step)的距離 是半音的兩倍。如果用鋼琴鍵盤說明，半音就是緊鄰的黑鍵與白鍵的音程。
因此在一個八度音程中共有十二個半音。如下圖5-10 及圖 5-11 所示[18]：
圖5-10 鋼琴鍵盤與升降半音
在西方音樂中，利用♯表示音符升(sharp)，用 b 表示音符降(flat)，每次 的升降都是以半音為單位。升降是一種相對的概念，升記號(♯)暗示著音符 由低往高升，表示情緒向上，變得更加激情、亢奮、high…等；反之，降記
號(b)是代表由高往低降，表示情緒往下沉，變得更低落、失望…等[17]。
61
圖5-11 音階示意圖
從圖5-9 及圖 5-10 中，我們歸納出共有 17 個不同的原音符(沒有♯或 b 的) 及升降音符。若也考慮C 和 F 的降音，及 B 和 E 的升音，即每一個音高都 有三種(原始、升、降)音符時，則共有 21 種音符。本文即是以此為出發點，
嘗試用紐結對照出21 種不同的音符。如圖 5-12：
B
bB
B
♯A
bA
A
♯G
bG
G
♯F
bF
F
♯E
bE
E
♯C
bC
C
♯D
bD
D
♯圖5-12 紐結音符
62
最後，用莫札特的「小星星」一曲，來表現紐結音符與數字簡譜的對 照：
一 閃 一 閃 亮 晶 晶 ， 滿 天 都 是 小 星 星 1 1 5 5 6 6 5 ， 4 4 3 3 2 2 1
掛 在 天 上 放 光 明 ， 好 像 許 多 小 眼 睛 5 5 4 4 3 3 2 ， 5 5 4 4 3 3 2
一 閃 一 閃 亮 晶 晶 ， 滿 天 都 是 小 星 星
1 1 5 5 6 6 5 ， 4 4 3 3 2 2 1
63
第六章 結論與未來展望
6.1 結論
在本論文中，透過第二章 2.1 節利薩如曲線(Lissajous curves)的介紹及 第四章 4.1 節利薩如紐結(Lissajous knots)的探討，可知在頻率及相位的變因 下，兩者在二維相同平面(xy、yz、xz)的曲線投影情況是相同的。但在研究 三維的利薩如紐結時，三維紐結的變化及差異情況更顯得複雜。這是因為 三維紐結多了所謂「結性」(knottedness)的交叉情況。這使得頻率及相位值 必須在符合更嚴密的數學條件關係式時，才可能得到相符性更高的紐結圖 像。
將第二章 2.2 節及 2.3 節的內外擺線及內外次擺線兩者的數學式與第四 章 4.2.2 節擺線紐結及次擺線紐結的數學式作對照，可以很明確地得知二維 的擺線及次擺線曲線可擴充到三維的擺線紐結及次擺線紐結。而經由 4.2.1 節環面紐結(Torus knots)的數學式分析，使我們確信(p,q)-環面紐結可由 4.2.2 節擺線紐結及次擺線紐結來生成。當然，這也必須在特定的數學條件下才 能達成；而且我們利用數學軟體所繪製的紐結圖樣來確認了「環面紐結」
和「擺線、次擺線紐結」兩者間的數學關聯性。至此，本文所論述的利薩 如紐結、環面紐結或擺線紐結，其數學本質最終都可以歸結到所謂的「傅 利葉紐結」。
64
第三章 3.3 節我們詳細地探討了 SU(2)如何將利薩如曲線轉換為次擺線 的數學原理，再依據「三維利薩如紐結及次擺線紐結是由二維利薩如曲線 及次擺線加上第三個(z)方向所得到」這樣的想法，在第四章 4.3 節我們利用 數學軟體繪製出對應於「SU(2)過渡曲線」的「SU(2)紐結」。綜合第二章至 第四章所有對二維曲線與三維紐結之間的數學式探討及對照，我們利用數 學軟體呈現出具體的紐結圖像。
在第五章中，跳脫了第四章的「標準環面紐結」及「擺線與次擺線紐 結」的數學式，進而繪製出「裝飾環面紐結」及「裝飾擺線紐結」。最後，
運用本文各式的紐結參數方程式加以探究後，並利用數學軟體繪製出一套 可與數字簡譜對應的「紐結音符」。
6.2 未來展望
本文在最後一章呈現了各式各樣的造型特殊的裝飾紐結圖樣，這同時
具備了視覺上及數學上的美感。最後一小節，則設計出一簡單的紐結音符。
在「數學中的美」(THE BEAUTY OF MATHEMATICS)一書中，提及：「畢 達哥拉斯學派認為世界是嚴整的宇宙，整個天體就是和諧與數。正是這個 學派，在研究音樂時最早使用了數學，這也是人們最早用數學方法研究美 的實踐。音樂、樂譜與數學同樣美[20]。」
本文利用數學計算及數學軟體的使用，具體地探究了紐結的圖像。探 究的對象為「利薩如紐結、次擺線紐結、環面紐結、SU(2)紐結及裝飾紐結」
65
等。最後，數學式的層次感，讓我們歸納並分類出裝飾紐結的特殊圖像，
也因而引發了「紐結音符」的設計圖像。這或許正是數學的抽像美及抽象 力量的本質，也或許可以成為日後我們深入研究數學與紐結的主題及方 向。更進一步地，或許可以將紐結圖像的設計廣泛應用在科學或商業，甚 或教育活動上。當然，這須要更多的數學內涵及相關數學軟體在質與量兩 者上更高度的提升。
66
附錄一 SU(2) unitary transformation：
量子力學(Quantum mechanics)的哈密頓算符(Hamiltonian) Hˆ 運動方程 如下(3.20) [9]：
如此可得哈密頓算符(Hamiltonian) Hˆ 運動方程(3.20)式的解：
71
參考文獻
[1] K. Devlin, 譯洪萬生、洪贊天、蘇意雯、英家銘, “The Language of Mathematic:Making the Invisibile Vbisible,” 商周出版,台灣 (2011).
[2] R. Courant, H. Robbin, and I. Stewart, 譯 容 士 毅 , “What Is Mathematics,” 左岸文化事業有限公司,台灣 (2011).
[3] 谷超豪, “數學辭典,” 建宏出版社,台灣 (1995).
[4] 幼獅數學大辭典編輯小組, “幼獅數學大辭典,” 幼獅文化事業公司 (1982).
[5] B.H.斯米諾爾夫,譯孫念增, “高等數學教程第一卷,” 商務印書館,台 灣 (1976).
[6] 繆龍驥, “實用數學手冊,” 財團法人徐氏基金會,台灣 (1992).
[7] 周鴻案,“從利沙球圖形到擺線間的幾何轉換,” 交大理學院碩士在 職專班應用科技組碩士論文,民 98 (2009).
[8] G. B. Arfken and H. J. Weber, “Mathcmatical Methods for Physicists,”
Elsevier, sixth edition, New York (2005).
[9] Y. F. Chen, “Geometry of classical periodic orbits and quantum coherent states in coupled oscillators with SU(2) transformations,” Phys. Rev. A 83, 032124 (2011).
[10] K. Agle and R. Trapp, “Ropelength and Lissajous Diagrams,” (2009).
[11] A. Stasiak, V. Katritch, and L. H. Kauffman, “Ideal knots,” World Scientific, Singapore (1998).
[12] A. stoimenow, “Tait’s Conjectures and Odd Crossing Number
72
Amphicheiral Knots,” Amer. Math. Soc. 45, 285 (2008).
[13] M. G. V. Bogle, J. E. Hearst, V. F. R. Jones, and L. Stoilov, “Lissajous knots,”J. Knot Theory and Its Ramifications 3, 121 (1994).
[14] L. D. Taylor, “Decorative Knot Patterns ,” VisMath. 13 (2011).
[15] L. D. Taylor, “Decorative Knotting Using Trigonometric Para- metrizations,” VisMath. 11 (2009).
[16] 譚琇文, “中國音樂簡史,”大陸書店,民國 94 年(2005).
[17] http://rickmidi.blogspot.com/2010/06/blog-post.html [18] http://blog.guitar.com.tw/basic-music-theory
[19] Roger Kamien,譯者王美珠等, “音樂認識與欣賞, ”美商麥格羅希爾 國際股份有限公司台灣分公司,台灣 (2002).
[20] 吳振奎、吳旻, “數學中的美,”哈爾濱工業大學出版社,哈爾濱市, (2011).