本文架構

本文第一章為簡介，說明研究的主旨與內容。自第二章起，先介紹二 維曲線，包括有：利薩如曲線、內/外擺線、內/外次擺線。第三章則是介紹 SO(3)和 SU(2)的空間旋轉矩陣，並探討如何利用 SU(2)將三度空間中的利薩 如曲線轉換為擺線。第四章進入本文的主題之一：將第二章的二維曲線擴 充至三度空間變成「利薩如紐結」、「擺線紐結」及在紐結理論中已廣泛討 論的「環面紐結」，並探討當紐結數學式的頻率、相位不同時，紐結型態的 變化及差異。接著是利用 SU(2)畫出從利薩如紐結轉換為擺線紐結之間的過 渡紐結--SU(2)紐結。第五章是進一步將「環面紐結」、「擺線紐結」數學式 中的頻率、振幅等係數做不同的組合及變化，設計出各式各樣的「裝飾紐 結」。最後將紐結的變化圖樣與音符結合，設計出簡單的紐結音符。第六章

則是結論和未來展望。

3

第二章 利薩如曲線與次擺線曲線

2.1 利薩如曲線(Lissajous curve)

Lissajous figures 是由兩個互相垂直的正弦曲線或餘弦曲線在坐標平面 上合成的曲線；也可以說，方向互相成直角的兩振動，重疊時所形成的位 移圖形。我們可以從質點在平面上運動，其x、y 坐標隨簡諧運動而振盪的 情形來說明。Lissajous figures 的方程式可以如下表示：

) cos(

) (

cos )

(

















t B

t y

t A

t x

y

x (2.1)

其中 A、B 分別表示 x、y 方向振盪時的振幅，ω_X、ω_y為角頻率，為 x 坐標及 y 坐標之相差[3]。若考慮 ω_x=ω_y=ω₀頻率相同時，且若兩運動同相，

即=0，則可得 x A

y  B 的直線軌跡，其所呈現的振動為簡諧運動，振幅為

2

2 B

A  ，令其位移為r，則可得方程式為：r  A² B² cos₀t；若兩個運 動方向互相垂直，當=π 時，可得 x

A

yB 的直線軌跡，其所呈現的振動也

是簡諧運動，振幅為 A² B² 。所以當=0 或 π，兩個同頻率且互相垂直的 簡諧運動之重疊，其結果為同頻率之直線諧和運動(Rectilinear harmonic Motion)，如圖 2-1(a)。同樣地，考慮相同頻率 ω_x=ω_y=ω₀，若當=

2

 時，此

一沿x 軸及沿 y 軸之運動為二次運動(Quadratic Motion)，如圖 2-1(b)。此時 之方程式為：y B ₀t ) Bsin ₀t

cos( 2  



 ，與x Acos₀t合併後，可得

4

2 1

2 2

2  

B y A

x 的橢圓軌跡方程式。我們可以藉由求出質點在x=+A 處之速度來 證明=

2

 時為順時針方向。證明如下：因為x Acos₀t A，所以cos₀t 1。

因為在x=+A 處之速度方向為平行於 y 軸，其沿 y 軸之分量為 B

t B

dt dy

v_y  / ₀ cos₀ ₀ 。因為v_y為負值，故知運動方向必然向下，得 證為順時針方向。若=

2 3 2



 or

 時，可以得到同一個橢圓，但運動方向為

逆時針方向。因此，當相差=

2

 時，兩個同頻率之簡諧運動重疊之結果為

一橢圓運動(Elliptical Motion)。當 A=B 時，橢圓變為圓，而為圓周運動，

如圖2-1(c)。

0, 0

x y

    

(a)

1, 1, ^{x y}= , 20

A B     (b) (c)

, , ^{x y} 0 2

AB    

圖2-1 Special cases of Lissajous curves

另一種重要的 Lissajous figures，則是兩個不同頻率而且互相垂直之兩 個簡諧運動之重疊，即式(1)之重疊；其合成之路徑決定於角頻率之比值

y

x 

 : 及相差值。下圖2-2 為不同頻率比以及在不同相位角下，所形成的 各式各樣曲線。

5

Frequency ratio

Phase shift

(1,1)

(2,1)

(3,2)

3



2

3

0

 

2



(5,13)

圖2-2 Lissajous Patterns

6

2.2 擺線、外擺線與內擺線

擺線(Cycloid)是一移動的圓沿一固定直線相切而滾動時，圓周上一特定 點的軌跡[4]，如圖 2-3 所示：

p

圖2-3 擺線 Cycloid 擺線軌跡參數方程可以表示成：







cos sin













r r y

r r x

(2.2)

其中(2.2)式中 r 表動圓半徑，θ 表圓周轉的角度。

另外，外擺線及內擺線(epicycloid and hypocycloid)則是一個移動圓沿一 固定圓進行外切及內切的滾動(但無滑動)，移動圓上面圓周的某一特定點的 軌跡，分別稱為外擺線及內擺線。簡言之，外擺線就是動圓圓周上某特定 點在一固定圓外部沿圓周滾動的軌跡；而內擺線則是沿圓周內部滾動所形 成的軌跡[4]。外擺線和內擺線的軌跡參數方程分別如(2.3)式與(2.4)式：

^{( ) cos cos}

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

 

 

   

   

(2.3)

^{( ) cos cos}

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

 

 

   

   

(2.4)

7

其中R 表固定圓半徑，r 表動圓半徑，θ 表兩圓連心線與固定圓的水平直徑 此兩線之間所夾的角度。圖2-4 與圖 2-5 為改變 R 與 r 的比值所形成各式的 外擺線與內擺線曲線。

1

Rr  R 2

r  R 3

r 

R 4

r  R 5

r  R 6

r 

圖2-4 不同R r比值的外擺線

R 2

r  R 3

r  R 4

r 

R 5

r  R 6

r  R 7

r 

圖2-5 不同R r比值的內擺線

8

內擺線的參數方程式(2.4)式是用－r 取代外擺線參數式(2.3)式的 r 所得 到的。其中有幾個比較有趣的情況，例如：當R r1的外擺線時，亦稱為心 臟線ardioid，如圖 2-4 所示，其方程可簡化為：







 cos2 , 2 sin sin2 cos

2r r y r r

x    (2.5)

當R r4的內擺線時，稱為星形線astroid，如圖 2-5 所示，其方程可簡化為：



 ³

3 , cos

cos y R

R

x  (2.6)

然而R r的比值不一定要為整數，只要其比值為一有理數(即可以化成分數 形式)，亦可以形成封閉的軌跡曲線，下圖 2-6 與圖 2-7 為當R r比值為一個 最簡分數時所呈現出來的軌跡。

53

Rr  7

R 3

r  11

R 3

r  11

R 5

r  13

R 5 r 

圖2-6 R r比值為最簡分數時的外擺線

53

Rr  7

R 3

r  11

R 3

r  11

R 5

r  13

R 5 r 

圖2-7 R r比值為最簡分數時的內擺線

9

除此之外，也可以將上述外擺線及內擺線的參數方程式(2.3)及式(2.4) 同時簡化如下：

) sin(

) sin(

) (

) cos(

) cos(

) (

2 2

1 1





































q n

p m

y

q n

p m

x (2.7)

擺線、外擺與內擺線等，其最主要的幾何表現是所觀察的軌跡點，恰 落在動圓的圓周上，即恰為動圓的某切點位置。不論是外擺線或內擺線的 兩圓(動圓、固定圓)其半徑比值必須是有理數，即半徑比須為(最簡)整數比，

此時觀察點P 的軌跡才會是一封閉曲線；若為無理數比值時，曲線將呈現 無窮盡的滾動軌跡線，動點P 不能返回起始位置，則曲線是不封閉的[4, 5]，

圖2-8 與圖 2-9 是 R r比值為無理數時的外擺線與內擺線的曲線。

R 2

r  R 7

r  R 11

r  R 23

r 

圖2-8 R r比值為無理數時的外擺線

R 2

r  R 7

r  R 11

r  R 23

r 

圖2-9 R r比值為無理數時的內擺線

10

2.3 次擺線、外次擺線與內次擺線

次擺線(Trochoid)和擺線(Cycloid)最主要的差別是被觀察的特定點 P 不 是在動圓上，而是在動圓內部或外部的某一定點。下表2.1 整理出擺線與次 擺線的差異性。當定點P 在動圓內時的軌跡稱為短幅次擺線(curtate trochoid) 或收縮次擺線(contracted trochoid)；當定點 P 在動圓外時，其軌跡稱為長幅 次擺線(prolate trochoid)或外展次擺線(extended trochoid)[5]，如圖 2-10 所示。

表2.1 擺線與次擺線分類

其軌跡參數方程，不同於(2.2)式的單一個 r，而是以 a 為動圓半徑，b 為觀察點到圓心的距離來表示：

sin cos

x a b

y a b

 



  

  

(2.8) 依直線而轉 擺線 Cycloid

次擺線Trochoid 包括：短幅、長幅

依圓而轉

圓外 外擺線Epicycloid

外次擺線Epitrochoid 包括：短幅、長幅

圓內 內擺線Hypocycloid

內次擺線Hypotrochoid 包括：短幅、長幅 動圓半徑r/圓心 O

動圓的某點P

PO ＝ r PO ＜ r 、 PO ＞ r

11

(a)

(b)

(c)

圖2-10 (a)短幅次擺線 (b)擺線 (c)長幅次擺線

外次擺線及內次擺線(epitrochoid 及 hypotrochoid)則是一個移動圓沿一 定圓進行外切及內切的滾動(但無滑動)，動圓內或外某一特定點的軌跡。與 次擺線(Trochoid)相同，依觀察點 P 是在動圓內或外，又都可再分為短幅及 長幅的外次擺線或內次擺線(epitrochoid、hypotrochoid)。其參數方程類似於 外擺線、內擺線的軌跡參數方程式(2.3)與(2.4)式，差別在於式中的第二項的 r 要乘上小於或大於 1 的常數，以代表短幅或長幅的區別。外次擺線

12

(epitrochoid)及內次擺線(hypotrochoid)的參數方程表示如下[6]：

( ) cos cos

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

  

  

   

   

(2.9)

( ) cos cos

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

  

  

   

   

(2.10)

式子(2.9)與(2.10)中的 λ＜1 時為短幅，λ＞1 時為長幅。其中 R 表固定圓半 徑，r 表動圓半徑，θ 表兩圓連心線與固定圓的水平直徑此兩線之間所夾的 角度。圖2-11 與圖 2-12 為固定R r的比值為R r10時，改變不同的值，

得到變化由短幅到長幅的外次擺及內次擺的曲線圖。

0.35 0.5 0.85 1 1.3

1.5 1.8 2.5  3 5

圖2-11 R r10隨著 變化的外次擺曲線

13

 0.35 0.5  0.85 1  1.3

 1.5 1.8  2.5 3  5

圖2-12 R r10隨著 變化的內次擺曲線

接著我們固定值，研究不同R r比值情況下，內、外次擺線的曲線，圖2-13 為0.7時不同R r比值的外次擺曲線圖；圖2-14 為 1.5時，不同R r比值 的外次擺曲線圖。

R 2

r  R 3

r  R 4

r 

R 5

r  R 6

r  R 7

r 

圖2-13 0.7時不同R r比值的短幅外次擺線

14 R 2

r  R 3

r  R 4

r 

R 5

r  R 6

r  R 7

r 

圖2-14 1.5時不同R r比值的長幅外次擺線

另外，圖2-15 與圖 2-16 分別為0.7與 1.5時，不同R r比值的內次擺曲 線圖。

R 3

r  R 4

r  R 5

r 

R 6

r  R 7

r  R 8

r 

圖2-15 0.7時不同R r比值的短幅內次擺線

15 3

Rr  R 4

r  R 5

r 

R 6

r  R 7

r  R 8

r 

圖2-16 1.5時不同R r比值的長幅內次擺線

最後，不論是次擺線、外次擺線或內次擺線(trochoid、epitrochoid、

hypotrochoid)，其方程式都可以簡化成如前 2.2 節的(2.7)式，而這個式子會 與下一章節中的環面紐結有密切的關係。

) sin(

) sin(

) (

) cos(

) cos(

) (

2 2

1 1





































q n

p m

y

q n

p m

x (2.7)

16

第三章 利用 SU(2)探討利薩如曲線到擺線的 幾何轉換

3.1 SO(3)群

「正交群」(orthogonal groups)，記為 O(n)，是歐氏空間的正交變換 (orthogonal transformation)產生的群，也可說是由全體 n×n 正交矩陣(n×n orthogonal matrices)所組成的群。其中 SO(3)群是指「special 3×3 orthogonal matrices」，「special」在此強調矩陣的行列式 determinant 值必須為 1 [4]。

SO(3)的一個典型代表為「三維實空間的旋轉矩陣」，如下式表示：[7,8]





















1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

)

(  





z 

R (φ 為對固定的 Z 軸所旋轉的角度) (3.1)

可以容易檢驗得R_z()滿足正交性(內積為 0)，以及行列式值為 1。

令歐氏空間中任一個元素其坐標向量為(x ,y ,z )，用(3.1)式進行旋轉如 下：將z 軸固定，經由線性變換在 xy 座標平面上旋轉 φ 角度，將(x ,y ,z ) 轉動到新的坐標 (x ,,y z)，數學式如下：









































































z y x

z y x R z y x

z

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

)

(  





 (3.2)

圖示如下圖3-1：

17

X

Y

Z







Y 

X 

圖3-1 固定 Z 軸的 SO(3)座標旋轉

同樣地，也可以得到將x 軸及 y 軸固定，且分別旋轉 ψ 及 θ 角度時的 SO(3) 矩陣如(3.3)式：































cos sin

0

sin cos

0

0 0

1 )

x(

R















 













cos 0 sin

0 1 0

sin 0

cos )

y(

R (3.3)

正交群 SO(n)與么正群 SU(n) (3.2 節)皆有「生成元」(generator)。此乃 因其皆屬「李群」(Lie groups)。李群主要是探討連續群(continuous groups)，

群元素都具解析性(analytic)，故可用微分及解析式來產生群的生成元。依次 說明SO(2)、SO(3)的生成元。

SO(2)旋轉矩陣是在二維 xy 平面進行旋轉的線性變換矩陣，如(3.4)式：



 





 







 

cos sin

sin ) cos

(

R (3.4)

18

對R()做微分，並令φ=0 時，得到生成元₂如 (3.5) 式。式子中加入i的複 係數，是為了符合「合冪型矩陣」(Hermitian)有共軛轉置的複數域對稱矩陣 的型式，：

2

0 0 1 0

1 0 sin

cos

cos / sin

)

( 







 

 _{ } 



 





 

 



 









 



idR d _ i _ i (3.5)

將(3.4)式的 SO(2)旋轉矩陣R()用單位矩陣I₂及(3.5)式的生成元₂矩陣做 線性組合如(3.6)式：

) exp(

sin cos cos

sin

sin ) cos

( ₂  ₂  ₂







  I i i

R   

 





  (3.6) 由(3.6)式的指數式可看出₂為R()的生成元。此外，可知：矩陣的乘法相 當於角度的加法，如(3.7)式：

) (

)) (

exp(

) exp(

) exp(

) ( )

(₂ R₁  i₂₂ i₂₁  i₂ ₁₂ R ₁ ₂

R (3.7)

此時利用：當旋轉角度 0時，表示旋轉矩陣R()趨近於單位矩陣I₂，可 進一步推得小角度時的SO(2)旋轉的R()指數解析式(3.8)式：

), ( )

exp(

)

( iS I₂ iS O ²

R      0, (3.8)

此(3.8)式的R()指數解析式是將SO(2)旋轉矩陣R()(3.6)式中的 φ 用小角度

來取代，並用S取代生成元₂。

同理，可利用微分得 SO(3)的三個生成元S_x,S_y,S_z。將三維實空間的旋

19

20

 i 這一個線性獨立的生成元(generator)，所以 SO(2)群的次數(order)為 1。而 SO(3)群則有：



21

3.2 SU(2)群

「么正群」(unitary groups)，記為 U(n)，是由 n 維複數向量空間的么正 變換(unitary transformation)所成之群，也可說是由全體 n×n 么正矩陣(n×n unitary matrix)所組成的群[4]。

SU(2)特指「special 2×2 unitary matrices」所形成的「特殊么正群」，

「special」強調行列式為 1 的 2×2 么正矩陣。SU(2)群有三個生成元，即所 謂的「包立矩陣」(Pauli matrices) ₁、₂、₃，次數為3，有三個實連續參 數 、、 (Caley-Klein parameters )。SU(2)的一般形式為(3.16)式：[8]



 





 



 





  _{  * *}

cos sin

sin ) cos

, ,

( b a

b a e

e

e

U e _{i i}

i i







 



 ^_ ^_ (＊:conjugates 共軛) (3.16)

將(3.16)式微分，可以得到 SU(2)的三個生成元(3.17)式；及相對應的三個

U1、U₂、U₃(the elements of SU(2)) (3.18)式：



 



 0 1

1 0

1 , _



 



 

 0

0

2 i

 i , _



 





 

1 0

0 1

3 (3.17)

) 2 / exp( _{1 1}

1 ia

U  , U₂ exp(ia₂₂/2), U₃ exp(ia₃₃/2) (3.18)

總結來說，我們建立了SU(2)群與 SO(3)群之間的矩陣表示式的對應：

) ( ) ( ) ( ) 3

( R_z  R_y  R_z 

SO  SU(2)U(,,)U₃()U₂()U₃()

這代表：三維實數空間的SO(3)旋轉，可用二維複數平面的 SU(2)旋轉來表 現。旋轉過程如下：

22

(1) 利用U₃，以z軸為固定軸旋轉 角，(得x ,,y z軸)

(2) 利用U₂，以y軸為固定軸旋轉角，(得x,y,z軸)

(3) 最後用U₃，以z 軸為固定軸旋轉角。

對照SO(3)旋轉的(3.15)式矩陣乘積，SU(2)旋轉矩陣可表示成(3.19)式，

SU(2)旋轉矩陣U(,,)：

量子力學(Quantum mechanics)的哈密頓算符(Hamiltonian) Hˆ運動方程 如下(3.20)式 [9]：

23 oscillators without coupling)，方程解型如：

t

24

25

(quantum mechanics)中所謂的 spin operator，型如： ₃ ˆ_z ^2

S 、 ₂

ˆ_y  2^

S ，

則可得U₃、U₂及 3

U 、 2

U 如下：

exp( ₃/2)

ˆ

3 e ^ i

U

Sz

i





 ^{ } 、U^3 exp(i₃/2)

) 2 / exp( ₂

ˆ

2 



i e

U

Sy

i





 ^{ } 、U^2 exp(i₂/2) (3.25)

(六) 令Hˆ微分方程對應的線性變換矩陣為A^ (3.23)式，進行兩次的么正變換 如下：

*3 3 ˆ ˆ U AU

B ， *2

2 ˆ ˆ U BU

D (3.26)

其中D^ 即預期目標的對角線矩陣。

(七) 因為在第六點中利用U₃、U₂來進行基底變換的線性轉換，即

_



 







 





2 1 2

1 3

2 u

u v

U v

U ，其中 _



 





2 1

v

v 為非對角化矩陣A^ 基底下的解向量， _



 





2 1

u

u 為對

角線矩陣D^ 基底下的解向量。

因此可得其逆轉換如：



 



 



 





2 2 1 3 *

* 2 1

u U u v U

v (3.27)

則U U*2  U^

*3 即是將「利薩如曲線」轉換成「次擺線」的SU(2)矩陣 U，其 詳細計算過程於附錄一討論。

透過附錄一及(3.27)式，可得哈密頓算符 (Hamiltonian) Hˆ運動方程

26

27



^0,2

 

8^,2

 

4^,2





3^,2

 

²5^,2

 

2^,2



圖3-3  _{1 2}  1 5時不同所對應的各式SU(2)曲線

透過圖3-2 與 3-3 可以發現，當 ^₂，^ ^₂時候曲線將完整的由利薩如 曲線轉換成次擺線，因此可以透過SU(2)的方法同時改變



C C1, 2



，將利薩如 曲線轉換成不同型式的擺線或次擺線，其對應圖如下圖3-4 其₁/₂ 1/2：

1: 2 1:1

C C 

1: 2 1:1.5 C C 

1: 2 1.5 :1 C C 

圖3-4 ₁/₂ 1/2時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖 ₁, ₂

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同樣的，圖3-5 和圖 3-6，分別為₁/₂ 1/3和₁/₂ 3/7的結果。

1: 2 1:1

C C 

1: 2 1:1.5 C C 

1: 2 1.5 :1 C C 

圖3-5 ₁/₂ 1/3時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖 ₁, ₂

圖3-5 ₁/₂ 1/3時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖 ₁, ₂

在文檔中 利用數學計算研究紐結圖像 (頁 11-0)