四、 紐結
4.1 利薩如紐結(Lissajous knots)
一般在數學或科學上所討論的紐結，是指在三維空間中的封閉曲線，
不能利用剪斷後、再重新連接的方式來改變其迴圈路徑，起始點和結束點 是同一個位置[10]。在本文第二章曾討論過二維平面的「利薩如曲線」，而 本節則是探討三維空間的利薩如紐結。在此之前，須先說明兩類紐結：傅 利葉紐結(Fourier knots)與交錯紐結(alternating knots)，先給予初步介紹。
傅利葉紐結
所有的紐結都屬於所謂的「傅利葉紐結」(Fourier knots) [11]，利薩如 紐結(Lissajous knots)也不例外。我們可說：所有紐結的參數方程都來自於傅 利葉紐結的參數方程。下面列出傅利葉紐結的數學式：
n
k
k k k
m
k
k k k l
k
k k k
t w c
t z
t v b t
y
t u a t
x
1 1 1
) cos(
) (
) cos(
) (
) cos(
) (
(a,b,c,l,m,n,u,v,w,,,)：常數 (4.1)
換言之，傅利葉紐結在三維空間的三個方向軸上分別是一獨立且包含有限 個相異頻率之線性組合的振盪曲線，即有限項的cos的傅利葉級數。
交錯紐結
紐結曲線環繞時，每一個相鄰結點呈現的是依序上下交錯穿越的情 況，此即紐結表上呈現的最簡模式圖形，也是紐結表所謂的交叉數的涵義。
如下圖 4-1：
30
(a) (b)
圖 4-1 (a)非交錯紐結(b)交錯紐結
圖 4-1(a)，在其中間有兩處連續相鄰結點的交叉線，水平方向線圈皆同 時由上方通過下方的線圈。在這種情況下，就不符合交錯紐結的義涵，且 交叉數(crossing number)也隨之減少了。所謂的「knotted」是指有效的交叉；
而「unknot」或「the trivial knot」的交叉數為 0[12]。這是紐結表最主要的 分類依據，也是在判別不同紐結時的第一個基本元素。
利薩如圖形是兩垂直方向的簡諧振盪運動投影在xy平面上的二維曲線 圖形(如第二章所述)，這告訴我們所有的三維紐結可以在二維平面上投影出 利薩如曲線[10]。由此可知：不論是數學式或是環繞(交織)情況，利薩如紐 結可說是紐結類型中，最基本也最原始的一種，也可能是諸理論科學及應 用科學中許多方程或動態模式下的解。
利薩如紐結則是在每一方向軸x(t),y(t),z(t)上，各僅包含一項cos 函數的 傅利葉紐結。利薩如紐結的數學式如下[10,13]：
) cos(
) (
) cos(
) (
) cos(
) (
z z z
y y y
x x x
C t B A
t z
C t B A
t y
C t B A
t x
(4.2)
我們可以取Ax Ay Ay 1,Cz 0，因為那並不會改變利薩如紐結的拓樸性 質。所以利薩如紐結的數學式簡化如下：
31
) cos(
) (
) cos(
) (
) cos(
) (
t n t
z
t n t
y
t n t
x
z y y
x x
2 0
: ,
: , ,
t
phase frequency n
n n
y x
z y x
(4.3)
如同在二維利薩如曲線的圖形，我們必須取三個互質的頻率值，如此 可得環繞路徑及交叉數為最簡單(不重覆)的利薩如紐結。若非互質時，其紐 結圖形將與最簡整數比的紐結相同。同時，在三個投影平面
xy,yz,xz.plane
所 得到的利薩如曲線也會對應於第二章所述的同一頻率比值之曲線圖形。以 下將以(nx,ny,nz)的頻率值及x,y相位值，來分析利薩如紐結在各種不同頻 率及相位組合的圖形變化及差異。下圖 4-2 為不同(nx,ny,nz)的利薩如紐結。) 1 , 3 , 1 ( ) , ,
( n
xn
yn
z ( n
x, n
y, n
z) ( 3 , 5 , 1 )
) 1 , 3 , 2 ( ) , ,
( n
xn
yn
z ( n
x, n
y, n
z) ( 4 , 5 , 1 )
) 1 , 4 , 3 ( ) , ,
( n
xn
yn
z ( n
x, n
y, n
z) ( 4 , 9 , 1 )
圖 4-2 (x,y)(0.5,)時，不同(nx,ny,nz)所對應的利薩如紐結(xy projections)
32
如果頻率相同時，但相位x,y不同，則利薩如紐結為不同類型，如下 圖 4-3 所示：
nx, n
y, n
z 2 , 5, 9
nx, n
y, n
z 3, 5, 7
a a
b
b
圖 4-3 ( ,n nx y,nz)相同時，相位不同的利薩如紐結(xy projections) )
(a
x, y
0.8, 0.6
(a )
x, y
0.1, 0.6
; )(b (x,y)(0.7,0.1) (b ) (x,y)(0.1,0.7)
在頻率(nx,ny,nz)相同，但相位x,y組合不同時將得到不同類型的利薩如 紐結，這和二維利薩如曲線的情況相似。
此外，當頻率nx,ny與相位x,y所形成的關係式nxy nyx Cnxny或
33 n C
n x
x y
y
的值相同時，紐結在 xy 平面的投影利薩如曲線將會相同，如圖
4-4 與圖 4-5 所示，C 值依序為 0.13
x x y y
n C n
與－0.06π，其中圖 4-4(a) 為紐結分類表中的 knot 52而(b) 為 knot 74[13]。
(a) (b)
圖 4-4 (n nx, y,nz)
2, 3, 7
時，不同
x, y
的利薩如紐結(xy projections) (a)(x,y)(0.2,0.7) (b) (x,y)(0.4,1)(a) (b) (c)
圖 4-5 (n nx, y,nz)
2,5, 7
時，不同
x, y
的利薩如紐結(xy projections) (a) x 0.4,y 0.7 (b) x 0.1,y 0.05(c) x 0.48,y 0.9由圖 4-4 與圖 4-5 可以發現 C n
n x
x y
y
值相同時，紐結的環繞路徑雖不同(即
不同類型紐結)，但在 xy-平面的 2D 投影利薩如曲線卻會相同。
34
在此利用了數學軟體，呈現出不同頻率組合及相位差的利薩如紐結；
進一步地分析比較，得到利薩如紐結的幾何變化，跟二維的利薩如曲線比 較起來，情況相似卻也更顯得複雜。在 3D 的立體空間中，相位的差異對於 紐結曲線的環繞交叉情形，影響很大；當頻率組合相同時，小幅度的相位 差異及相位組合不同的變化，將造成相對應結點其不同的上下穿越的交叉 法，更何況是頻率組合不同時那更多元且複雜的差異性。近來紐結不變量 的學說及研究大量出現，即在分析歸類紐結的多樣性。本文主旨雖然著重 在利用數學計算研究紐結圖像變化，對於紐結不變量不多予討論，但可想 而知，其中必包含了紐結結構的重要內涵。