次擺線、外次擺線與內次擺線…

次擺線(Trochoid)和擺線(Cycloid)最主要的差別是被觀察的特定點 P 不 是在動圓上，而是在動圓內部或外部的某一定點。下表2.1 整理出擺線與次 擺線的差異性。當定點P 在動圓內時的軌跡稱為短幅次擺線(curtate trochoid) 或收縮次擺線(contracted trochoid)；當定點 P 在動圓外時，其軌跡稱為長幅 次擺線(prolate trochoid)或外展次擺線(extended trochoid)[5]，如圖 2-10 所示。

表2.1 擺線與次擺線分類

其軌跡參數方程，不同於(2.2)式的單一個 r，而是以 a 為動圓半徑，b 為觀察點到圓心的距離來表示：

sin cos

x a b

y a b

 



  

  

(2.8) 依直線而轉 擺線 Cycloid

次擺線Trochoid 包括：短幅、長幅

依圓而轉

圓外 外擺線Epicycloid

外次擺線Epitrochoid 包括：短幅、長幅

圓內 內擺線Hypocycloid

內次擺線Hypotrochoid 包括：短幅、長幅 動圓半徑r/圓心 O

動圓的某點P

PO ＝ r PO ＜ r 、 PO ＞ r

11

(a)

(b)

(c)

圖2-10 (a)短幅次擺線 (b)擺線 (c)長幅次擺線

外次擺線及內次擺線(epitrochoid 及 hypotrochoid)則是一個移動圓沿一 定圓進行外切及內切的滾動(但無滑動)，動圓內或外某一特定點的軌跡。與 次擺線(Trochoid)相同，依觀察點 P 是在動圓內或外，又都可再分為短幅及 長幅的外次擺線或內次擺線(epitrochoid、hypotrochoid)。其參數方程類似於 外擺線、內擺線的軌跡參數方程式(2.3)與(2.4)式，差別在於式中的第二項的 r 要乘上小於或大於 1 的常數，以代表短幅或長幅的區別。外次擺線

12

(epitrochoid)及內次擺線(hypotrochoid)的參數方程表示如下[6]：

( ) cos cos

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

  

  

   

   

(2.9)

( ) cos cos

( )sin sin

R r

x R r r

r R r

y R r r

r

  

  

   

   

(2.10)

式子(2.9)與(2.10)中的 λ＜1 時為短幅，λ＞1 時為長幅。其中 R 表固定圓半 徑，r 表動圓半徑，θ 表兩圓連心線與固定圓的水平直徑此兩線之間所夾的 角度。圖2-11 與圖 2-12 為固定R r的比值為R r10時，改變不同的值，

得到變化由短幅到長幅的外次擺及內次擺的曲線圖。

0.35 0.5 0.85 1 1.3

1.5 1.8 2.5  3 5

圖2-11 R r10隨著 變化的外次擺曲線

13

 0.35 0.5  0.85 1  1.3

 1.5 1.8  2.5 3  5

圖2-12 R r10隨著 變化的內次擺曲線

接著我們固定值，研究不同R r比值情況下，內、外次擺線的曲線，圖2-13 為0.7時不同R r比值的外次擺曲線圖；圖2-14 為 1.5時，不同R r比值 的外次擺曲線圖。

R 2

r  R 3

r  R 4

r 

R 5

r  R 6

r  R 7

r 

圖2-13 0.7時不同R r比值的短幅外次擺線

14 R 2

r  R 3

r  R 4

r 

R 5

r  R 6

r  R 7

r 

圖2-14 1.5時不同R r比值的長幅外次擺線

另外，圖2-15 與圖 2-16 分別為0.7與 1.5時，不同R r比值的內次擺曲 線圖。

R 3

r  R 4

r  R 5

r 

R 6

r  R 7

r  R 8

r 

圖2-15 0.7時不同R r比值的短幅內次擺線

15 3

Rr  R 4

r  R 5

r 

R 6

r  R 7

r  R 8

r 

圖2-16 1.5時不同R r比值的長幅內次擺線

最後，不論是次擺線、外次擺線或內次擺線(trochoid、epitrochoid、

hypotrochoid)，其方程式都可以簡化成如前 2.2 節的(2.7)式，而這個式子會 與下一章節中的環面紐結有密切的關係。

) sin(

) sin(

) (

) cos(

) cos(

) (

2 2

1 1





































q n

p m

y

q n

p m

x (2.7)

16

第三章 利用 SU(2)探討利薩如曲線到擺線的 幾何轉換

3.1 SO(3)群

「正交群」(orthogonal groups)，記為 O(n)，是歐氏空間的正交變換 (orthogonal transformation)產生的群，也可說是由全體 n×n 正交矩陣(n×n orthogonal matrices)所組成的群。其中 SO(3)群是指「special 3×3 orthogonal matrices」，「special」在此強調矩陣的行列式 determinant 值必須為 1 [4]。

SO(3)的一個典型代表為「三維實空間的旋轉矩陣」，如下式表示：[7,8]





















1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

)

(  





z 

R (φ 為對固定的 Z 軸所旋轉的角度) (3.1)

可以容易檢驗得R_z()滿足正交性(內積為 0)，以及行列式值為 1。

令歐氏空間中任一個元素其坐標向量為(x ,y ,z )，用(3.1)式進行旋轉如 下：將z 軸固定，經由線性變換在 xy 座標平面上旋轉 φ 角度，將(x ,y ,z ) 轉動到新的坐標 (x ,,y z)，數學式如下：









































































z y x

z y x R z y x

z

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

)

(  





 (3.2)

圖示如下圖3-1：

17

X

Y

Z







Y 

X 

圖3-1 固定 Z 軸的 SO(3)座標旋轉

同樣地，也可以得到將x 軸及 y 軸固定，且分別旋轉 ψ 及 θ 角度時的 SO(3) 矩陣如(3.3)式：































cos sin

0

sin cos

0

0 0

1 )

x(

R















 













cos 0 sin

0 1 0

sin 0

cos )

y(

R (3.3)

正交群 SO(n)與么正群 SU(n) (3.2 節)皆有「生成元」(generator)。此乃 因其皆屬「李群」(Lie groups)。李群主要是探討連續群(continuous groups)，

群元素都具解析性(analytic)，故可用微分及解析式來產生群的生成元。依次 說明SO(2)、SO(3)的生成元。

SO(2)旋轉矩陣是在二維 xy 平面進行旋轉的線性變換矩陣，如(3.4)式：



 





 







 

cos sin

sin ) cos

(

R (3.4)

18

對R()做微分，並令φ=0 時，得到生成元₂如 (3.5) 式。式子中加入i的複 係數，是為了符合「合冪型矩陣」(Hermitian)有共軛轉置的複數域對稱矩陣 的型式，：

2

0 0 1 0

1 0 sin

cos

cos / sin

)

( 







 

 _{ } 



 





 

 



 









 



idR d _ i _ i (3.5)

將(3.4)式的 SO(2)旋轉矩陣R()用單位矩陣I₂及(3.5)式的生成元₂矩陣做 線性組合如(3.6)式：

) exp(

sin cos cos

sin

sin ) cos

( ₂  ₂  ₂







  I i i

R   

 





  (3.6) 由(3.6)式的指數式可看出₂為R()的生成元。此外，可知：矩陣的乘法相 當於角度的加法，如(3.7)式：

) (

)) (

exp(

) exp(

) exp(

) ( )

(₂ R₁  i₂₂ i₂₁  i₂ ₁₂ R ₁ ₂

R (3.7)

此時利用：當旋轉角度 0時，表示旋轉矩陣R()趨近於單位矩陣I₂，可 進一步推得小角度時的SO(2)旋轉的R()指數解析式(3.8)式：

), ( )

exp(

)

( iS I₂ iS O ²

R      0, (3.8)

此(3.8)式的R()指數解析式是將SO(2)旋轉矩陣R()(3.6)式中的 φ 用小角度

來取代，並用S取代生成元₂。

同理，可利用微分得 SO(3)的三個生成元S_x,S_y,S_z。將三維實空間的旋

19

20

 i 這一個線性獨立的生成元(generator)，所以 SO(2)群的次數(order)為 1。而 SO(3)群則有：



21

3.2 SU(2)群

「么正群」(unitary groups)，記為 U(n)，是由 n 維複數向量空間的么正 變換(unitary transformation)所成之群，也可說是由全體 n×n 么正矩陣(n×n unitary matrix)所組成的群[4]。

SU(2)特指「special 2×2 unitary matrices」所形成的「特殊么正群」，

「special」強調行列式為 1 的 2×2 么正矩陣。SU(2)群有三個生成元，即所 謂的「包立矩陣」(Pauli matrices) ₁、₂、₃，次數為3，有三個實連續參 數 、、 (Caley-Klein parameters )。SU(2)的一般形式為(3.16)式：[8]



 





 



 





  _{  * *}

cos sin

sin ) cos

, ,

( b a

b a e

e

e

U e _{i i}

i i







 



 ^_ ^_ (＊:conjugates 共軛) (3.16)

將(3.16)式微分，可以得到 SU(2)的三個生成元(3.17)式；及相對應的三個

U1、U₂、U₃(the elements of SU(2)) (3.18)式：



 



 0 1

1 0

1 , _



 



 

 0

0

2 i

 i , _



 





 

1 0

0 1

3 (3.17)

) 2 / exp( _{1 1}

1 ia

U  , U₂ exp(ia₂₂/2), U₃ exp(ia₃₃/2) (3.18)

總結來說，我們建立了SU(2)群與 SO(3)群之間的矩陣表示式的對應：

) ( ) ( ) ( ) 3

( R_z  R_y  R_z 

SO  SU(2)U(,,)U₃()U₂()U₃()

這代表：三維實數空間的SO(3)旋轉，可用二維複數平面的 SU(2)旋轉來表 現。旋轉過程如下：

22

(1) 利用U₃，以z軸為固定軸旋轉 角，(得x ,,y z軸)

(2) 利用U₂，以y軸為固定軸旋轉角，(得x,y,z軸)

(3) 最後用U₃，以z 軸為固定軸旋轉角。

對照SO(3)旋轉的(3.15)式矩陣乘積，SU(2)旋轉矩陣可表示成(3.19)式，

SU(2)旋轉矩陣U(,,)：

量子力學(Quantum mechanics)的哈密頓算符(Hamiltonian) Hˆ運動方程 如下(3.20)式 [9]：

23 oscillators without coupling)，方程解型如：

t

24

25

(quantum mechanics)中所謂的 spin operator，型如： ₃ ˆ_z ^2

S 、 ₂

ˆ_y  2^

S ，

則可得U₃、U₂及 3

U 、 2

U 如下：

exp( ₃/2)

ˆ

3 e ^ i

U

Sz

i





 ^{ } 、U^3 exp(i₃/2)

) 2 / exp( ₂

ˆ

2 



i e

U

Sy

i





 ^{ } 、U^2 exp(i₂/2) (3.25)

(六) 令Hˆ微分方程對應的線性變換矩陣為A^ (3.23)式，進行兩次的么正變換 如下：

*3 3 ˆ ˆ U AU

B ， *2

2 ˆ ˆ U BU

D (3.26)

其中D^ 即預期目標的對角線矩陣。

(七) 因為在第六點中利用U₃、U₂來進行基底變換的線性轉換，即

_



 







 





2 1 2

1 3

2 u

u v

U v

U ，其中 _



 





2 1

v

v 為非對角化矩陣A^ 基底下的解向量， _



 





2 1

u

u 為對

角線矩陣D^ 基底下的解向量。

因此可得其逆轉換如：



 



 



 





2 2 1 3 *

* 2 1

u U u v U

v (3.27)

則U U*2  U^

*3 即是將「利薩如曲線」轉換成「次擺線」的SU(2)矩陣 U，其 詳細計算過程於附錄一討論。

透過附錄一及(3.27)式，可得哈密頓算符 (Hamiltonian) Hˆ運動方程

26

27



^0,2

 

8^,2

 

4^,2





3^,2

 

²5^,2

 

2^,2



圖3-3  _{1 2}  1 5時不同所對應的各式SU(2)曲線

透過圖3-2 與 3-3 可以發現，當 ^₂，^ ^₂時候曲線將完整的由利薩如 曲線轉換成次擺線，因此可以透過SU(2)的方法同時改變



C C1, 2



，將利薩如 曲線轉換成不同型式的擺線或次擺線，其對應圖如下圖3-4 其₁/₂ 1/2：

1: 2 1:1

C C 

1: 2 1:1.5 C C 

1: 2 1.5 :1 C C 

圖3-4 ₁/₂ 1/2時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖 ₁, ₂

28

同樣的，圖3-5 和圖 3-6，分別為₁/₂ 1/3和₁/₂ 3/7的結果。

1: 2 1:1

C C 

1: 2 1:1.5 C C 

1: 2 1.5 :1 C C 

圖3-5 ₁/₂ 1/3時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖 ₁, ₂

1: 2 1:1

C C 

1: 2 1:1.5 C C 

1: 2 1.5 :1 C C 

圖3-6 ₁/₂ 3/7時不同C C 比值時 SU(2)轉換前後圖₁, ₂

29

第四章 紐結

4.1 利薩如紐結(Lissajous knots)

一般在數學或科學上所討論的紐結，是指在三維空間中的封閉曲線，

不能利用剪斷後、再重新連接的方式來改變其迴圈路徑，起始點和結束點 是同一個位置[10]。在本文第二章曾討論過二維平面的「利薩如曲線」，而 本節則是探討三維空間的利薩如紐結。在此之前，須先說明兩類紐結：傅 利葉紐結(Fourier knots)與交錯紐結(alternating knots)，先給予初步介紹。

傅利葉紐結

所有的紐結都屬於所謂的「傅利葉紐結」(Fourier knots) [11]，利薩如 紐結(Lissajous knots)也不例外。我們可說：所有紐結的參數方程都來自於傅 利葉紐結的參數方程。下面列出傅利葉紐結的數學式：

























n

k

k k k

m

k

k k k l

k

k k k

t w c

t z

t v b t

y

t u a t

x

1 1 1

) cos(

) (

) cos(

) (

) cos(

) (







(a,b,c,l,m,n,u,v,w,,,)：常數 (4.1)

換言之，傅利葉紐結在三維空間的三個方向軸上分別是一獨立且包含有限 個相異頻率之線性組合的振盪曲線，即有限項的cos的傅利葉級數。

交錯紐結

紐結曲線環繞時，每一個相鄰結點呈現的是依序上下交錯穿越的情 況，此即紐結表上呈現的最簡模式圖形，也是紐結表所謂的交叉數的涵義。

如下圖 4-1：

30

(a) (b)

圖 4-1 (a)非交錯紐結(b)交錯紐結

圖 4-1(a)，在其中間有兩處連續相鄰結點的交叉線，水平方向線圈皆同 時由上方通過下方的線圈。在這種情況下，就不符合交錯紐結的義涵，且 交叉數(crossing number)也隨之減少了。所謂的「knotted」是指有效的交叉；

而「unknot」或「the trivial knot」的交叉數為 0[12]。這是紐結表最主要的 分類依據，也是在判別不同紐結時的第一個基本元素。

利薩如圖形是兩垂直方向的簡諧振盪運動投影在xy平面上的二維曲線 圖形(如第二章所述)，這告訴我們所有的三維紐結可以在二維平面上投影出 利薩如曲線[10]。由此可知：不論是數學式或是環繞(交織)情況，利薩如紐 結可說是紐結類型中，最基本也最原始的一種，也可能是諸理論科學及應 用科學中許多方程或動態模式下的解。

利薩如紐結則是在每一方向軸x(t),y(t),z(t)上，各僅包含一項cos 函數的 傅利葉紐結。利薩如紐結的數學式如下[10,13]：

) cos(

) (

) cos(

) (

) cos(

) (

z z z

y y y

x x x

C t B A

t z

C t B A

t y

C t B A

t x













(4.2)

我們可以取A_x  A_y  A_y 1,C_z 0，因為那並不會改變利薩如紐結的拓樸性 質。所以利薩如紐結的數學式簡化如下：

31

) cos(

) (

) cos(

) (

) cos(

) (

t n t

z

t n t

y

t n t

x

z y y

x x

































 





2 0

: ,

: , ,

t

phase frequency n

n n

y x

z y x

(4.3)

如同在二維利薩如曲線的圖形，我們必須取三個互質的頻率值，如此 可得環繞路徑及交叉數為最簡單(不重覆)的利薩如紐結。若非互質時，其紐 結圖形將與最簡整數比的紐結相同。同時，在三個投影平面



xy,yz,xz.plane



所 得到的利薩如曲線也會對應於第二章所述的同一頻率比值之曲線圖形。以 下將以(n_x,n_y,n_z)的頻率值及_x,_y相位值，來分析利薩如紐結在各種不同頻 率及相位組合的圖形變化及差異。下圖 4-2 為不同(n_x,n_y,n_z)的利薩如紐結。

) 1 , 3 , 1 ( ) , ,

( n

_x

n

_y

n

_z

 ( n

_x

, n

_y

, n

_z

)  ( 3 , 5 , 1 )

) 1 , 3 , 2 ( ) , ,

( n

_x

n

_y

n

_z

 ( n

_x

, n

_y

, n

_z

)  ( 4 , 5 , 1 )

) 1 , 4 , 3 ( ) , ,

( n

_x

n

_y

n

_z

 ( n

_x

, n

_y

, n

_z

)  ( 4 , 9 , 1 )

圖 4-2 (_x,_y)(0.5,)時，不同(n_x,n_y,n_z)所對應的利薩如紐結(xy projections)

32

如果頻率相同時，但相位_x,_y不同，則利薩如紐結為不同類型，如下 圖 4-3 所示：

 ⁿ

^x

^{, n}

^y

^{, n}

^z

 ^{  2 , 5, 9 }

 ⁿ

^x

^{, n}

^y

^{, n}

^z

 ^{  3, 5, 7 }

  ^a   ^{a }

  ^{b }

  ^b

圖 4-3 ( ,n n_{x y},n_z)相同時，相位不同的利薩如紐結(xy projections) )

(a



 x^, y





^

^{0.8, 0.6}

^

(a )



 x^, y





^

^{0.1, 0.6}

^

; )

(b (_x,_y)(0.7,0.1) (b ) (_x,_y)(0.1,0.7)

在頻率(n_x,n_y,n_z)相同，但相位_x,_y組合不同時將得到不同類型的利薩如 紐結，這和二維利薩如曲線的情況相似。

此外，當頻率n_x,n_y與相位_x,_y所形成的關係式n_x_y n_y_x Cn_xn_y或

33 n C

n _x

x y

y  

 的值相同時，紐結在 xy 平面的投影利薩如曲線將會相同，如圖

4-4 與圖 4-5 所示，C 值依序為   0.13

x x y y

n C n 

與－0.06π，其中圖 4-4(a) 為紐結分類表中的 knot 52而(b) 為 knot 74[13]。

(a) (b)

圖 4-4 ⁽n nx^, y^,nz⁾



^{2, 3, 7}



時，不同



 x^, y



的利薩如紐結(xy projections) (a)(_x,_y)(0.2,0.7) (b) (_x,_y)(0.4,1)

(a) (b) (c)

圖 4-5 ⁽n nx^, y^,nz⁾



^{2,5, 7}



時，不同



^{ x, y}



的利薩如紐結(xy projections) (a) _x 0.4,_y 0.7 (b) _x 0.1,_y 0.05(c) _x 0.48,_y 0.9

由圖 4-4 與圖 4-5 可以發現 C n

n _x

x y

y  

 值相同時，紐結的環繞路徑雖不同(即

不同類型紐結)，但在 xy-平面的 2D 投影利薩如曲線卻會相同。

34

在此利用了數學軟體，呈現出不同頻率組合及相位差的利薩如紐結；

進一步地分析比較，得到利薩如紐結的幾何變化，跟二維的利薩如曲線比 較起來，情況相似卻也更顯得複雜。在 3D 的立體空間中，相位的差異對於 紐結曲線的環繞交叉情形，影響很大；當頻率組合相同時，小幅度的相位 差異及相位組合不同的變化，將造成相對應結點其不同的上下穿越的交叉 法，更何況是頻率組合不同時那更多元且複雜的差異性。近來紐結不變量 的學說及研究大量出現，即在分析歸類紐結的多樣性。本文主旨雖然著重 在利用數學計算研究紐結圖像變化，對於紐結不變量不多予討論，但可想 而知，其中必包含了紐結結構的重要內涵。

4.2 環面紐結

4.2.1 (p.q)-環面紐結

標準的(p,q)-環面紐結(Torus knots)是沿著輪胎表面環繞的紐結，其數學 參數式表示如下(4.4)式[14]：

) sin(

) (

) sin(

)) cos(

( ) (

) cos(

)) cos(

( ) (

qt a t z

pt qt

a d t y

pt qt

a d t x











(4.4)

其中 a 表示輪胎內徑；d 為環面中心軸至輪胎內徑上圓心的距離；p 是 繞環面中心對稱軸的圈數，最後 q 是繞輪胎面的圈數。例如我們所熟知的 (2,3)-環面紐結正是所謂的三葉紐結，其數學參數方程為：

) 3 sin(

) (

) 2 sin(

)) 3 cos(

( ) (

) 2 cos(

)) 3 cos(

( ) (

t a t z

t t

a d t y

t t

a d t x











where d>a>0 (4.5)

透過(4.5)式可以得到三葉紐結如圖 4-6。除此之外，圖 4-7 呈現更多的環面 紐結：

35

圖 4-6 (2,3)-環面紐結(Trefoil)

(2,3) (2,5) (2,7)

(3,4) (3,5) (3,8)

(5,8) (5,13) (13,23)

圖 4-7 (p.q)-環面紐結 (xy-plane view)

36

37

4.2.2 擺線與次擺線紐結

在 1880 年之間，由泰特(P. G. Tait)首先製成的紐結表中[12]，非零交叉 數的頭一個紐結為 knot 3₁，即三葉紐結(Trefoil)，正是 4.2.1 節所討論的(2,3)-環面紐結((2,3)-torus knot 圖 4-6)。近年來，學者泰勒(L. D. Taylor) [15]研究 出可利用擺線/次擺線的二維 x 及 y 的數學參數方程，再加入 z 方向的參數

在 1880 年之間，由泰特(P. G. Tait)首先製成的紐結表中[12]，非零交叉 數的頭一個紐結為 knot 3₁，即三葉紐結(Trefoil)，正是 4.2.1 節所討論的(2,3)-環面紐結((2,3)-torus knot 圖 4-6)。近年來，學者泰勒(L. D. Taylor) [15]研究 出可利用擺線/次擺線的二維 x 及 y 的數學參數方程，再加入 z 方向的參數

在文檔中 利用數學計算研究紐結圖像 (頁 19-0)