Chapter 4 應用範例模擬之比較與分析
4.3 收斂區間與可估計上界區間之估計
在此針對拖車系統(4-4)(不考慮干擾雜訊的時候)，類滑模控制器(i.e.，非線性 迫近控制器以及修正型非線性迫近控制器)的設計如下式:
[ ] ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) [ ]
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛ ⋅
⋅
⋅ +
−
=
− −
− −
− T k
k
u Im R G xTQvG x R G x TQvF x s
1 1 1
1
tan 1
l
η (4-11)
其中因為沒有干擾雜訊，所以系統狀態會一直保持在順滑面上，因此s
[ ]
k =0。但不同的Q 會得到不同的d Q ，因此所得到的v u
[ ]
k 也相對不同，考量在上一節中 採取的第一種Q 所得到的d Q 帶入(4-11)式中，可得到下式， v[ ]
k =tan−1(
1.1567⋅f11−0.70724⋅f22+0.81881⋅f33)
u (4-12)
其中
-10
s 時之收斂區間估計，因此要先知道拖車系統(4-4)在原點的Lyapunov function，而(4-10)式即是拖車系統在原點的Lyapunov function，
其中
此 Lyapunov function 的變化為
[ ] [ ] [ ]
現在找到一個open ball
{
3 2 3.9774}
1= ∈ℜ <r =
E x x (4-15)
使得∆V[k]在E1內是負定的。因此可以找到此收斂區間的估計為
Ωc =
{
x∈ℜ3 V[k]≤c}
(4-16)其中c=34.276<λmin
( )
Qv ⋅r2現在知道了降階系統(4-13)的收斂區間估計Ω ，如圖4.11所示c 。
-5 5 0
-5
0
5 -3
-2 -1 0 1 2 3
x2[k](rad) x1[k](rad)
x 3[k](m)
(0,0,0)
圖4.11 拖車系統在順滑變數s[k]=0時之整個狀態空間的收斂區間估計
同樣的想要找出滿足(3-28)式的範圍大小，也是利用一樣的方式，找到一個open ball
{
3 2 1.3454}
2 = ∈ℜ <r=
E x x (4-15)
使得在E2內H
(
x,u*( )
x)
≤0是成立的。因此可以找到此可估計上界區間的為( ( ) )
{
∈ℜ3 ≤0}
=
Ωh x H x,u* x (4-16)
現在知道了降階系統(4-13)的可估計上界區間Ω ，如圖4.12所示h 。
-2
-1
0
1
2
-2 -1
0 1
2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
x1[k](rad) x2[k](rad)
x 3[k](m)
圖4.12 拖車系統在整個狀態空間的可估計成本函數上界區間
由(3-28)式和(4-14)式我們可發現，Ω 為h Ω 所包覆，因此只要初始點落在c Ωh 內，除了保證能估計出成本函數的上界，也能保證狀態能收斂到平衡點。在上一 小節的模擬結果中，我們也能看到這樣的現象。接下來我們將Ω 投影在h x1−x2平 面、x1− 平面以及x3 x2 − 平面上，我們可以得到圖4.13、圖4.14以及圖4.15x3 。
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
x1[k](rad) x 2[k](rad)
圖4.13 可估計上界區間Ω 投影在h x1−x2平面之圖形
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
x1[k](rad) x 3[k](m)
圖4.14 可估計上界區間Ω 投影在h x1− 平面之圖形 x3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.4
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
x2[k](rad) x 3[k](m)
圖4.15 可估計上界區間Ω 投影在h x2 − 平面之圖形 x3
對於拖車系統(不考慮雜訊時)的類滑模控制，其初始值設為
[
6 6 3]
T(在Ω 以c 外) ，我們可以得到模擬結果如圖 4.16 和圖 4.17 所示，其中非線性迫近控制器 的模擬圖被標記為 IQSMC，從圖 4.16 和圖 4.17 中，可以得知當初始值在收斂區 間的估計Ω 以外時，系統狀態的確不會收歛而是跑到圖 4.11 中的一個固定點。c 所以只要得知此類滑模控制系統的收斂區間後，當初始值落在收斂區間外時，可 先採用另一控制法則，使得系統軌跡先進入到收斂區間內，接著再採用類滑模控 制器去控制系統以達到所希望的效能。目前類滑模控制器的設計以及收斂區間的估計都是針對拖車系統在不考慮干 擾雜訊的時候，但類滑模控制器最主要的就是要展現其穩健性，因此在下ㄧ小節 中，將會針對拖車系統在干擾雜訊的影響之下，去分析比較積分型順滑面和一般 線性降階型順滑面，分別使用非線性迫近控制器和修正型非線性迫近控制器的效 能。
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -4
-2 0 2 4x 10-15
k
s
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-2 0 2 4 6
k
u
IQSMC IQSMC
圖4.16 初始值不在Ω 內且無雜訊時，控制器c u[k]與順滑變數s[k]之軌跡圖
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-10 0 10
k
x1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 5 10
k
x2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
2 4 6
k
x3
IQSMC IQSMC IQSMC
圖4.17 初始值不在Ω 內且無雜訊時，拖車系統狀態c x