無干擾系統控制器設計

Chapter 3 針對離散非線性系統之積分型類滑模(IQSM)控制

3.4 無干擾系統控制器設計

= k i

i i

k k

0 2

0 0 1 2

1 L L L L L L

s (3-23)

從(3-23)式中可以推得下式，

[

^k⁺¹

] [ ] [ ]

⁼^L^k ⁻^L^k⁻¹ (3-24) 所以系統狀態必定滿足下列不等式:

s[k+1] = L[k]−L[k−1] ≤∆_L (3-25)

我們將(3-16)式與(3-25)式相比，因為∆_L <δ_L，所以這也意謂著，採用修正型非線性迫近控制器的類滑模帶寬比採用非線性迫近控制器的類滑模帶寬更小，因此也說明了修正型非線性迫近控制器具備了較好的穩健性。

3.4 無干擾系統控制器設計

針對系統(3-8)我們要如何去設計符合需求的控制器κ

( )

x 呢?對此我們提供了一種考量 LQR 問題的控制器設計方式，根據[18]中，考慮一成本函數(cost function) 如(3-26)式所示：

[ ]

[ ] [ ]

^k ^k

[ ]

J ^T

T Q x u R u

x + ⋅ ⋅

∑ ⋅ ⋅

= ^∞

2 =0

1 (3-26)

其中Q≥ R0, >0且Q∈ℜⁿ^×ⁿ,R∈ℜ^m^×^m

此時可定義 Discrete Hamiltoian function 如(3-27)式所示[19]：

( )

^x ^u ⁼^V

(

( ) ( )

^x ⁺^G ^x ^⋅^u

) ( )

⁻^V ^x ⁺

(

^x^T ^⋅^Q^⋅^x⁺^u^T ^⋅^R^⋅^u

)

H 2

, 1 (3-27)

其中^V

( )

^x ^{定義為平衡點}x⁼⁰周圍的一局部平滑正定函數(locally smooth positive definite function)。

假設五：考慮(3-8)式的系統，假設在平衡點x=0周圍存在u^*

( )

x ，使得下列不等式成立：

(

^x^,^u^*

( )

)

^≤⁰

H (3-28)

其中u^*

( )

x 為(3-29)式的解：

( )

( ) ( ) ( )⋅

( )

⋅ =⁰

∂

= ∂

∂

⋅ +

= =

R x u x u _u _u _f _x _G_x _u _x G

V T

H _*

* α α *

α (3-29)

而滿足(3-28)式和(3-29)式的解，即是最佳化問題中 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs inequality 的次佳解(suboptimal solution)。若將假設五中(3-28)式的條件改寫為只考慮等於零時，此時問題即是去尋求 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality 的解，同時也是最佳解(optimal solution)，但是這樣的解在大部分的非線性系統中，

是很難直接求得。而為什麼在連續系統中，其 Hamiltoian function 不帶有u^*

( )

x 的資訊，但在離散系統中卻有，將在註解一做個說明。

註解一：針對連續非線性系統而言，考量如何找出最佳化問題的解時，假設考慮的系統與成本函數如下：

( ) ( )

^x ^g ^x ^u

而所對應的u^*和 Hamilton-Jacobi inequality 如同下式，

( )

^x ^R ^g

( )

^x ^V

( )

所以在此將會提供如何去求出 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs inequality 的解。

如同在文獻[20]中，假設

( )

⁰

其中L_f和^G

( )

⁰ ^分別代表^f

( )

^x ^和^G

( )

^x 其泰勒展開式的一次項與常數項。因此為了

而利用上述方式所求得 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs inequality 的解，能幫我們估計出成本函數的上界，如下定理一所述。

定理一：當假設五成立，而系統軌跡也落在滿足假設五的範圍內時，加上所

將(3-42)式內所有式子相加可得(3-43)式：

[ ]

(

⁺

)

⁻

( ) [ ]

^≤ ^∑

( [ ]

^⋅ ^⋅

[ ]

⁺

[ ]

^⋅ ^⋅

[ ] )

= k i

T i i i

i V

k V

2 0

0 1

1 - x Q x u^* R u^*

x (3-43)

當^k⁺¹^→^∞^,^x

[

^k⁺¹

]

^→⁰時，(3-43)式則變成下式：

[ ]

( ) ( [ ]

ⁱ

[ ]

ⁱ

[ ]

ⁱ

[ ]

ⁱ

)

T =

∑ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

≥ ^∞

2 =0

0 1 x Q x u^* R u^*

x (3-44) 此時V

( )

[ ]

0 即成本函數之上界。

CHAPTER 4 4.1 拖車系統(trailer-truck model)

圖 4.1 呈現出整個拖車系統的架構，我們可以推得拖車連續的動態如下所示:

圖4.1 拖車示圖

在拖車系統(4-1)中，參數之意義如下:

_l:卡車(truck)的長度 L:掛車(trailer)的長度 η:倒車移動的速度各狀態之意義如下:

^x₀

( )

^t ^{:卡車的角度}

^x₁

( )

^t :卡車和掛車的角度差 ^x2

( )

^t :掛車的角度

x₃

( )

t :掛車後端的垂直位置

^x₄

( )

^t :掛車後端的水平位置

[ ] [ ] ( [ ] ) ( ) [ ]

(upper bound)。

[ ] [ ]

這兩種順滑面設計方式，我們比較其收斂時間( x ≤0.01)以及成本函數( J )。

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

QSMC IQSMC QSMC IQSMC

圖4.4 當不考慮雜訊時，控制器u[k]與順滑變數s[k]之軌跡圖

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.1 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.2 0.4

QSMC IQSMC QSMC IQSMC QSMC IQSMC

圖4.5 當不考慮雜訊時，拖車系統狀態x

[ ]

^k 之軌跡圖

第三種情況：

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.2

-0.1 0 0.1 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

QSMC IQSMC QSMC IQSMC

圖4.8 當不考慮雜訊時，控制器u[k]與順滑變數s[k]之軌跡圖

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.1 0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.2 0.4

QSMC IQSMC

圖4.9 當不考慮雜訊時，拖車系統狀態x

[ ]

^k 之軌跡圖

從第一種情況和第三種情況，我們可以發現不管是何種順滑面設計方式，其成本函數都小於^V

( )

[ ]

⁰ ^，但Q 的不同，使得各自的成本函數不一定優於對方，造d

成這種現象的原因，為設計所需要的控制力 κ

( )

x 時，並非從 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality所得到的解，只有從Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality得到的解，才能使成本函數達到最好，但在第三章裡也曾說明，並非所有的非線性系統都可以容易求得Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality的解，所以只能退而求其次，求取其Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs inequality的解，所以得到的控制力κ

( )

x 並非最好的控制力，但是這樣的控制力至少能讓我們估計出成本函數的上界為多少。另外，從第二種情況和第四種情況，我們可以得知在針對 LQR型的成本函數設計控制力與順滑面時，由於積分型順滑面並不需要做降階的動作(如從3維空間降階轉換到2維空間設計順滑面)，而一般線性降階型順滑面則是在順滑面上對成本函數去設計相對應的控制力，因此能針對的系統和成本函數會比積分型順滑面的限制會來得多，而從表4.3和表4.5中，積分型順滑面其成本函數表現比一般線性降階型順滑面為佳。

4.3 收斂區間與可估計上界區間之估計

在此針對拖車系統(4-4)(不考慮干擾雜訊的時候)，類滑模控制器(i.e.，非線性迫近控制器以及修正型非線性迫近控制器)的設計如下式:

[ ] ( ( ) ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{[ ]}

_⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ ⋅

⋅

⋅ +

−

− −

− T k

u I_m R G x^TQ_vG x R G x ^TQ_vF x s

1 1 1

tan 1

η (4-11)

其中因為沒有干擾雜訊，所以系統狀態會一直保持在順滑面上，因此^s

[ ]

^k ⁼⁰^。

但不同的Q 會得到不同的_d Q ，因此所得到的_v ^u

[ ]

^k 也相對不同，考量在上一節中採取的第一種Q 所得到的_d Q 帶入(4-11)式中，可得到下式， _v

[ ]

^k ⁼^tan⁻¹

(

¹^.¹⁵⁶⁷^⋅^f11⁻⁰^.⁷⁰⁷²⁴^⋅^f22⁺⁰^.⁸¹⁸⁸¹^⋅^f33

)

u (4-12)

其中

-10

s 時之收斂區間估計，因此要先知道拖車系統(4-4)在原點的Lyapunov function，而(4-10)式即是拖車系統在原點的Lyapunov function，

其中

此 Lyapunov function 的變化為

[ ] [ ] [ ]

現在找到一個open ball

{

³ ₂ ^3.9774

}

1= ∈ℜ <r =

E x x (4-15)

使得∆V[k]在E₁內是負定的。因此可以找到此收斂區間的估計為

Ωc =

{

x∈ℜ³ ^V[k]≤^c

}

(4-16)

其中^c=³⁴.²⁷⁶<λ_min

( )

Q_v ⋅^r²

現在知道了降階系統(4-13)的收斂區間估計Ω ，如圖4.11所示_c 。

-5 5 0

-5

5 -3

-2 -1 0 1 2 3

x₂[k](rad) x₁[k](rad)

x 3[k](m)

(0,0,0)

圖4.11 拖車系統在順滑變數s[k]=0時之整個狀態空間的收斂區間估計

同樣的想要找出滿足(3-28)式的範圍大小，也是利用一樣的方式，找到一個open ball

{

³ ₂ ^1.3454

}

2 = ∈ℜ <r=

E x x (4-15)

使得在E₂內^H

(

^x^,^u^*

( )

)

^≤⁰是成立的。因此可以找到此可估計上界區間的為

( ( ) )

{

^∈^ℜ³ ^≤⁰

}

Ω_h x H x,u^* x (4-16)

現在知道了降階系統(4-13)的可估計上界區間Ω ，如圖4.12所示_h 。

-2

-1

-2 -1

0 1

2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x1[k](rad) x₂[k](rad)

x 3[k](m)

圖4.12 拖車系統在整個狀態空間的可估計成本函數上界區間

由(3-28)式和(4-14)式我們可發現，Ω 為_h Ω 所包覆，因此只要初始點落在_c Ω_h 內，除了保證能估計出成本函數的上界，也能保證狀態能收斂到平衡點。在上一小節的模擬結果中，我們也能看到這樣的現象。接下來我們將Ω 投影在_h x₁−x₂平面、x₁− 平面以及x₃ x₂ − 平面上，我們可以得到圖4.13、圖4.14以及圖4.15x₃ 。

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x1[k](rad) x 2[k](rad)

圖4.13 可估計上界區間Ω 投影在_h x₁−x₂平面之圖形

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

x1[k](rad) x 3[k](m)

圖4.14 可估計上界區間Ω 投影在_h x₁− 平面之圖形 x₃

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -0.4

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

x2[k](rad) x 3[k](m)

圖4.15 可估計上界區間Ω 投影在_h x₂ − 平面之圖形 x₃

對於拖車系統(不考慮雜訊時)的類滑模控制，其初始值設為

[

⁶⁶³

]

^T^(在Ω 以_c 外) ，我們可以得到模擬結果如圖 4.16 和圖 4.17 所示，其中非線性迫近控制器的模擬圖被標記為 IQSMC，從圖 4.16 和圖 4.17 中，可以得知當初始值在收斂區間的估計Ω 以外時，系統狀態的確不會收歛而是跑到圖 4.11 中的一個固定點。_c 所以只要得知此類滑模控制系統的收斂區間後，當初始值落在收斂區間外時，可先採用另一控制法則，使得系統軌跡先進入到收斂區間內，接著再採用類滑模控制器去控制系統以達到所希望的效能。

目前類滑模控制器的設計以及收斂區間的估計都是針對拖車系統在不考慮干擾雜訊的時候，但類滑模控制器最主要的就是要展現其穩健性，因此在下ㄧ小節中，將會針對拖車系統在干擾雜訊的影響之下，去分析比較積分型順滑面和一般線性降階型順滑面，分別使用非線性迫近控制器和修正型非線性迫近控制器的效能。

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -4

-2 0 2 4x 10^-15

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-2 0 2 4 6

IQSMC IQSMC

圖4.16 初始值不在Ω 內且無雜訊時，控制器_c u[k]與順滑變數s[k]之軌跡圖

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-10 0 10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 5 10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

2 4 6

IQSMC IQSMC IQSMC

圖4.17 初始值不在Ω 內且無雜訊時，拖車系統狀態_c x

[ ]

k 之軌跡圖

4.4 當考慮干擾雜訊時，拖車系統使用積分型順滑面和一般

表 4.6 第一種情況考量雜訊時，收斂至 x ≤0.12的時間、成本函數和誤差總合

收斂至 x ≤0.12的時間 J 誤差總和

積分型順滑面 12.5 秒 6.0368 2.7427

一般線性降階型順滑面

28.5 秒 7.9737 4.3843

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

QSMC IQSMC QSMC IQSMC

圖4.18 第一種情況考慮雜訊時，控制器u[k]與順滑變數s[k]之軌跡圖

0 50 100 150 200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

從圖4.18到圖4.21中，可發現由於雜訊的影響，所以系統狀態都有呈現出震盪的現象，然而可以很清楚的得知，採用積分型順滑面的設計方式，不管是配合非線性迫近控制器，還是修正型非線性迫近控制器，其狀態震盪的振幅明顯都比一般線性降階型順滑面設計方式小，但順滑變數和使用的控制力振幅大小卻差不多。而從表4.7和表4.6，可得知採用積分型順滑面的設計方式，除了收斂速度較快，但誤差總合卻不一定較低，不過這是由於取樣時間不夠長，因積分型順滑面設計方式將導致狀態振幅較小，在一定時間過後其誤差總合一定會優於一般線性降階型順滑面設計方式。而在第二種情況時，積分型順滑面其成本函數並無優於一般線性降階型順滑面，從圖4.20中，雖然我們可看見這兩種設計方式的控制力曲線很接近，但實際上積分型順滑面的控制力些微較大，因此造成成本函數較大，但如同4.2小節末所討論的，當考量更一般的系統或成本函數時，積分型順滑面對於次佳解的求取則能做更完整的考量。

CHAPTER 5 結論與未來研究方向

5.1 結論

在此論文中，我們將 W.-J. Cao 所提出的積分型順滑面的設計方式從連續非線性系統推廣到了離散非線性系統，並且結合了 S.-D. Xu 等人應用於非線性系統中的類滑模控制器。而針對離散非線性系統所設計的積分型順滑面，在第三章中我們證明其與在連續非線性系統的積分型順滑面一樣，能使得系統更加強健，同時也能根據成本函數對控制力加以設計，不過也由於 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality 的解並不容易求出，使得所設計的控制力並不能使成本函數達到最好的狀況，但如果應用於能求解出 Discrete Hamilton-Jacobi-Issacs equality 的系統，此時就能使成本函數達到最好。除此之外，由於 S.-D. Xu 使用一般線性降階型順滑面所針對的系統需要做降階的動作，所採取的方式是在平衡點上對系統做線性化動作，進而找出其順滑面，再利用最佳化理論去設計在順滑面上所採用的控制器，但是在設計上所考量的成本函數中，其狀態變數的維度也隨著減少，因此會降低其應用範圍，而若採取積分型順滑面的設計方式就不具有這樣的問題了。而在第四章中，提到在考量雜訊的情況下，從圖 4.19 和圖 4.21 中可以佐證我們所提及的積分型順滑面的好處，其強健性確實會比一般線性降階型順滑面來得較佳。

5.2 未來研究方向

1. 當積分型類滑模穩定控制系統的初始值在所估計的收斂區間外時，可能會使得系統狀態收斂至其它固定點，所以當初始值落在收斂區間外時，我們可先用另一控制法則，使得系統軌跡先進入到收斂區間內，接著再採用積分型類滑模穩定控制器去控制系統。

2. 在文獻[16]中，W.-J. Cao 等人曾探討當系統存在不滿足匹配條件的雜訊時，如何分析在不同的情況下系統軌跡會如何移動。而 F. Castanos 等人也 在文獻[22]中，提及如何設計 D 能使得不滿足契合條件的雜訊對系統的影 響達到最小。這些都是針對連續非線性系統所做的探討，去研究這理論與

在文檔中離散非線性系統積分型類滑膜控制器之設計與研究 (頁 34-0)

Chapter 3 針對離散非線性系統之積分型類滑模(IQSM)控制

3.4 無干擾系統控制器設計

[

] [ ] [ ]

3.4 無干擾系統控制器設計

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) ( )

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[ ] )

[

]

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( ) ( [ ]

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)

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CHAPTER 4

4.1 拖車系統(trailer-truck model)

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] [ ] ( [ ] ) ( ) [ ]

[ ] [ ]

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( )

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( )

4.3 收斂區間與可估計上界區間之估計

[ ] ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

)

[ ] [ ] [ ]

{

}

{

}

( )

[ ] ( ( ) ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{[ ]}