論文架構

此篇論文最主要是探討一離散非線性系統的類滑模控制，先設計出穩定的積分 型順滑面之後，接著採用 S.-D. Xu 等人所設計的類滑模控制器，此控制器不但能 達成所要求的效能，此外還具備了強健性比一般順滑模態控制更好的優點。在第 二章中，我們最主要是介紹類滑模與積分型順滑面相關之定義。在第三章中，我 們則是針對一離散非線性系統，提出如何設計穩定的積分型順滑面，也說明了 S.-D. Xu 等人所提出的兩種類滑模控制器，各別為非線性迫近控制器以及修正型 非線性迫近控制器。其中也證明當雜訊變化的不激烈時，修正型非線性迫近控制 器的類滑模帶寬比非線性迫近控制器的類滑模帶寬更小，所以修正型非線性迫近 控制器具備了更好的強健性。在第四章中，則針對離散化之後的拖車系統，探討

其固定點(fixed point)與收斂區間(domain of attraction)之估計。也將積分型順滑面 與一般的順滑面設計方式，配合兩種類滑模控制器去做比較以及分析，並將模擬 的結果與第三章的理論做個對應。最後在第五章，則是對此篇論文做一個總結以 及提供一些未來可研究之方向。

CHAPTER 2

預備知識

第一小節將談論離散型滑模控制的演進，包括各方學者所提出對於迫近條件的 改善方式。而第二小節則考量在系統中應用 Gao 所提出的離散型滑模控制，定 義出系統響應的三種模式，以及說明系統軌跡該具備的三種特性。在第三小節 中，則分別說明 Gao 與 Bartoszewicz 兩位學者對於類滑模各自的定義，也提到他 們對於類滑模帶(QSMB)的定義。最後第四小節則會說明，積分型順滑函數在連 續非線性系統與離散線性系統中各自的設計方式，以及所具備的優點為何。

2.1 離散型滑模控制(discrete-time sliding mode control)條件

最初的離散型滑模控制條件是直接修改連續型滑模(continuous-time sliding mode)存在的充要條件(sufficient and necessary condition)，

lim 0

0

<

→

s s

s

&

(2-1)

當作離散型滑模存在的充要條件。然後從(2-1)式中，可以直接推得離散型滑模條 件，如(2-2)式所示，

^s

[ ] [

^{k ⋅}

[

^sk+1

] [ ]

^−sk

]

^<0 (2-2)

不過在文獻中 Milosavljevic 提出，離散化後得到的系統，配合(2-2)式的條件難以 得到理想的順滑模態，反而呈現所謂的類滑模(quasi sliding mode)。而類滑模有 別於順滑模態，原因為離散系統只能在取樣點上做控制，在兩取樣點之間的時段 則無法作用，所以即使在此時段不探討雜訊的作用，系統軌跡也因為控制能力有 限，使得系統軌跡無法維持在順滑面上，而是在順滑面的附近移動，這種情況就 被稱做為類滑模。同時 Milosavljevic 也指出(2-2)式的條件做為離散系統的滑模條 件時，存在一些問題，如圖 2.1 所示，系統軌跡會呈現震盪發散的狀況。

圖 2.1 採用離散型滑模(2-2)式的條件時，順滑變數^s

[ ]

^{k 可能呈現之軌跡圖}

針對(2-2)式的不足，Sarpturk 等人提出以下的修正條件，

[

^k

] [ ]

^sk

而 Furuta 則是利用離散 Lyapunov function 的方式獲得一離散滑模條件，在此定 義 Lyapunov function 為

[ ] [ ] [ ]

²

(a)

(b)

圖 2.2 (2-3)式以及(2-5)式的離散型滑模條件之軌跡收斂圖

實際上，迫近條件可以分成兩個部份來探討：

(1)往順滑面迫近的方向條件。

(2)系統軌跡與順滑面之間的距離遞減條件。

為了使系統軌跡不至於發生如上述般緩慢的收斂，因此 Gao 在文獻[12]中，提 出以下迫近條件，

[

k

] (

q T

)

s

[ ]

k T

( )

s

[ ]

k

s +1 = 1− ⋅ ⋅ −ε⋅ ⋅sgn (2-7)

其中q>0，ε >0，1− Tq⋅ >0，T 為取樣時間。

在(2-7)式中，可自行選取 q 、T 和ε ，來達到所想要的收斂速度，也可以看出此 迫近條件有符合方向條件以及距離遞減條件。而 Bartoszewicz 在文獻[9]中，也提 出另一種迫近條件，

[ ]

^{k+1 =s}

[ ]

^k+1

s _d (2-8)

此迫近條件為預設有一想要的順滑變數軌跡^s_d

[ ]

^k ，再根據此迫近條件(2-8)使得 系統軌跡s

[ ]

k 去追蹤(tracking)s_d

[ ]

k 。因此可以根據自己的需求去設計s_d

[ ]

k ，進 而得到所想要的順滑變數軌跡^s

[ ]

^{k 。}

2.2 離散型滑模控制特性

首先考慮單輸入的連續系統，

x&= A⋅x+b⋅u (2-9)

其中x∈ℜⁿ是系統狀態向量，u∈ℜ¹是控制輸入， A 以及b都是有著適當維度的 矩陣。而要完成一個順滑模態的控制器，通常包含下列兩個步驟：

步驟 1：決定順滑函數^s

( )

^x ，使得系統軌跡在順滑面^s

( )

^{x =0上是穩定的。}

步驟 2：決定控制法則使得迫近條件ss_&<−σ⋅ s 能夠被滿足。

步驟 2 也說明不管系統狀態的初始值在哪，系統軌跡都會往順滑面的方向前進，

並且在有限的時間內到達順滑面。

順滑模態控制的系統響應，一般來說包含三種模式，各別為到達模態(Reaching Mode，RM)、順滑模態(Sliding Mode，SM)、穩態模態(Steady-state Mode，SS)，

如圖 2.3(以二階系統為例)所示:

圖 2.3 連續順滑模態控制之系統軌跡

接下來考慮單輸入的離散系統，

^x

[ ]

^{k+1 =A⋅x}

[ ]

^{k +b⋅u}

[ ]

^k (2-10)

其中x

[ ]

^k ∈ℜⁿ是系統狀態向量，u

[ ]

k ∈ℜ¹是控制輸入， A 以及b 都是有著適當維 度的矩陣。當離散滑模控制應用在系統(2-10)時，也能將整個系統響應分成到達 模態、順滑模態以及穩態模態三種。不過由於離散型的順滑模態控制特性與連續

型的有所不同，而根據 Gao 的說明，在實際的狀況下，系統軌跡在往順滑面迫 近時，很少會落在順滑面上，因此離散滑模控制系統的順滑面又稱之為理想順滑 面。所以對於離散滑模控制系統，Gao 將系統軌跡分成兩種情況來討論。

第一種是理想的系統軌跡，如圖 2.4(以二階系統為例)所示。如果希望系統軌 跡能如圖 2.4 所描述的ㄧ樣，則必須符合以下兩種條件：

(1)系統軌跡在切換的時候，它必須能夠剛好落在順滑面上。

(2)當系統軌跡在順滑面上之後，必須使得系統軌跡能夠維持在順滑面上。

但是在實際的應用中，上述的兩種條件很難達成。

圖 2.4 理想的離散順滑模態控制之系統軌跡

第二種則是實際的系統軌跡，如圖 2.5(以二階系統為例)所示。從圖 2.5 中，可 知實際系統的軌跡在切換時，很少會落在順滑面上，而是在順滑面的附近以之字 形方式移動。

圖 2.5 實際的離散順滑模態控制之系統軌跡

因此 Gao 認為離散滑模控制系統應具備以下三種特性：

特性 1：對於任意的初始值，系統軌跡將會單調地往順滑面移動，直到穿越 過順滑面。

特性 2：一但系統軌跡穿越過順滑面之後，在接下來的每個取樣時間點，它 將會不斷的來回穿越順滑面，並且在順滑面附近形成一之字形的移

動。

特性 3：這一之字形的軌跡到順滑面之間的距離將不會再增加，而是會保持 在一個明確的範圍裡。

2.3 類滑模之定義

針對單輸入離散線性系統(2-10)，Gao 提出了下列類滑模的定義：

定義 1：只要離散順滑模態控制的系統軌跡能夠滿足特性 2 和特性 3 就稱之 為類滑模(Quasi-Sliding Mode，QSM)，在特性 3 中，之字形的軌跡 到順滑面之間的大小則稱之為類滑模帶(Quasi-Sliding Mode Band，

QSMB)，並且定義如下，

^{−∆<s x}

( ) [ ]

^{k <+∆} (2-11)

其中2 為類滑模帶的寬度。 ∆

定義 2：當∆=0時，類滑模又稱之為理想類滑模(Ideal Quasi-Sliding Mode，

IQSM)。

定義 3：當系統軌跡滿足特性 1、特性 2 以及特性 3 時，可以說此離散順滑模 態控制系統滿足了迫近條件。

然而 Bartoszewicz 重新定義了類滑模的觀念，最主要不同的地方為在 Gao 原本 的定義中，系統軌跡必須具備特性 1 和特性 2。而 Bartoszewicz 則是提出系統軌 跡並不需要來回的穿越過順滑面，但是若由於雜訊的影響，使得系統軌跡穿越過 了順滑面是被允許的，因此只需讓系統軌跡與順滑面之間的距離能夠維持在一個 範圍內即可，接下來介紹新的類滑模定義：

定義 4：當系統(2-10)受到系統不定值以及外部干擾的影響時，系統軌跡會一

直保持在順滑面附近，使得系統軌跡滿足

( )

, =

( )

−

( )

−∫

[ ( )

+

( ) ]

=0

0 0 τ τ dτ

t t

t Dx Dx ^t_t Df x, DBκ x, x

s (2-15)

這種型式的順滑函數具有兩種優點：

1. 使得順滑函數的動態軌跡維度與狀態空間的維度相等，讓系統軌跡 一開始就位在順滑面上，去除了到達模態。一般而言，而當系統軌 跡處在到達模態的狀態下，對於雜訊的不敏感性(insensitivity)較差

，導致無法確保整個系統完整響應的不敏感性，因此這樣的設計方 式，會使得系統會具有較為強健的特性。

2. 當狀態位於順滑函數上時，整個動態系統會等效於一個無干擾系 統，且可以根據不同需求來設計控制力^κ

( )

^x ，在順滑模態上增加了 一個設計的自由度。

但使用此種類型的順滑函數也相對的有一些限制條件，如必須滿足DB

( )

x,t 是 uniformly invertible，且x&

( ) ( )

t =f x,t +B

( ) ( )

x,t ut 必須是全域漸進可穩定的系統等條 件。

接下來考慮一離散線性系統，

x

[ ]

^k+1 =A⋅x

[ ]

^k +B⋅u

[ ]

^k (2-16)

其中x∈ℜⁿ是系統狀態向量，u∈ℜ^m是控制輸入，A 以及 B 都是有著適當維度 的矩陣，且系統(2-16)為一可控制的(controllable)系統。在此介紹離散積分型順滑 函數的相關定義。在文獻中，Khalid 設計出以下的離散積分型順滑函數:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

^{kk εk Ex}

[ ]

^{k k}

ε

ε Dx Dx

s

+

−

=

+

−

= 1

0

k (2-17)

其中^E=−D

(

^A−In^−BK

)

，且存在矩陣K，使得矩陣A−BK的特徵直接在單位 圓內。而(2-17)式是根據文獻[17]中所提出的連續積分型順滑函數推導得來，

( )

, =

( )

−

( )

−∫

( )

=0

0 0 τ dτ

t t

t Dx Dx ^t_t Ex x

s (2-18)

而這樣順滑函數僅具有上述的第一個優點，也因此所推導出來的離散積分型順滑 函數，也僅具有第一種優點。所以我們將在第三章中，說明如何設計(2-17)式中 新的離散積分型順滑函數，卻具有(2-15)式中連續積分型順滑函數的兩項優點，

並且將此新的順滑函數應用在離散非線性類滑模控制系統上。

CHAPTER 3

針對離散非線性系統之積分型類滑 模(Integral –Type Quasi-Sliding Mode，IQSM)控制

在本章節將依序介紹所考慮的系統動態，順滑面的選取方式以及控制器的設計 方式，其中第一小節說明所考慮的非線性系統型式，以及在設計控制器時需要考 量的假設條件。第二小節則會解說離散非線性積分型順滑面的設計方式以及所擁 有的特性優點為何。第三小節則會說明所採用的兩種類滑模控制器設計方式以及 它們的優點和針對的情形為何。第四小節則介紹針對無干擾系統，如何設計滿足 我們需求的控制器。

3.1 系統描述

考慮一離散非線性系統，如下所示：

[ ]

^{k f}

( )

^x

[ ]

^{k G}

( )

^x

[ ]

^{k u}

[ ] [ ]

^{k dk}

x +1 = + ⋅ + (3-1)

其中x

[ ]

^k ∈ℜⁿ是系統狀態向量，u

[ ]

^k ∈ℜ^m是控制輸入向量，d

[ ]

^k ∈ℜⁿ是干擾雜 訊，^f

( )

^x

[ ]

^{k 、G}

( )

^x

[ ]

^k 都是有著適當維度的平滑函數(smooth function)，此外還必 須滿足f

( )

0 =0。在此，一個向量a=

(

a1La_n

)

^T ≥0，即表示向量a中的每一個分 量a_i ≥0。

而我們的目標是希望，除了能降低雜訊對於系統的影響外，並且能根據成本函 數(cost function)來設計我們的穩定控制器，使得系統能達到良好的效能。因此對 於系統(3-1)的分析，我們擬定了下列的假設：

假設一： 存在控制力^u

[ ]

^{k ，使得x}

[ ]

^{k+1 =f}

( )

^x

[ ]

^{k +G}

( )

^x

[ ]

^{k ⋅u}

[ ]

^{k 為一個局部漸}

進可穩定的系統。

進可穩定的系統。

在文檔中 離散非線性系統積分型類滑膜控制器之設計與研究 (頁 13-0)