第 4 章 台灣與英國教材關於三角函數課題之比較與評析 35
4.3 教材中呈現的概念構圖
以下小節將圖示研究對象中所表示的三角函數概念構圖，英國 for GCSE 的教師 手冊中將各單元間的關係以一張概念圖呈現，台灣南一版小學各冊教師手冊也都 呈現以單元名稱連接成的概念關係圖，但在國中教材只出現如附錄二中所呈現的 本章教材、已學習和未學習的能力指標間之連結。台灣在高中南一版的教師手冊 呈現了單元內各主題關係的概念圖，並試圖連結學生在過去和未來所學的三角函 數相關主題。
如文獻探討所述，概念構圖能將概念與概念間、主題與主題的關係外顯，台 灣和英國教材都在教師手冊提供概念構圖，英國單元間的主題關係圖或許能給台 灣教材編製作為參考。但研究者認為更值得討論的課題為，概念構圖是否需要提 供給學生當作教材的預備或是複習使用，而不只是出現在教師手冊？還是學生應 自行建構預備知識或複習使用的概念構圖？亦或是教師適切的引導學生完成概 念構圖，並利用適當的評量方式，確定學生都了解概念圖中的主題，以確保學生 有足夠的知識和能力進入新的學習主題？上述的問題也有待未來研究者加以實 證探討。
在 4.3.1 中，可以看到 for GCSE 的教材在進入三角函數前，概念圖連結線與 三角學（第 42 和 49 單元）相連的單元分別為第 1、25、37、38、56 及 62，當然 還有許多第 42 和 49 單元前的其他單元會影響學生的學習經驗，像是第 35 單元 Gradient（斜率）。英國螺旋式地設計教材，使學生在進入三角函數單元前，還有 許多單元可以建立相關知識，但三角函數單元內討論的三角學課題卻沒有如同台 灣深入。由 4.3.2 台灣三角學的單元內構圖可以看到，學生的確在一學期內學習 了許多三角學知識，而台灣、英國教材中經由概念構圖呈現與三角函數有所關聯 的數學主題也已經在 4.1 和 4.2 節加以討論分析之。
4.3.1 英國 for GCSE 教材單元間概念構圖
1. Pythagoras’s theorem 2. Working with express 3. Mental and written calculation
4. Linear equations 5. Distributions 6. Multiples, factors and powers
7. Negative numbers
8. Changing the subject 1
40. Large and small numbers
10. Area and
perimeter 11. Fractions 1
12. Substitution
13. Percentage 1 14. Sequences 15. Unitary method
16. Volume and surface area
17. Fractions 2 18. Pie caharts
19. Brackets and equations
20. Using a calculator
21. Graphs 22. Paired data
23. Indices 24. Surveys and experiments 25. Parallel lines
and angles
26. Money problems
27. Cumulative freauency
28. Looking at expressions 29. Hankling secondary data
31. Undrstanding inequalities 30. 3-D
vision
32. Speed, distance, time
34. Finding probabilities
36. Maps and plans 35. Gradient
33. Fractions 3
37. Ratio 38. Similar shapes
39. Gradients and equations 9. Approximation
and estimation
41. Forming and solving equtions
42. The tangent function
43. Brackets and proof
44. Percentage 2
45. Triangles and polygons
46. Simultaneous equations
47. Fractorising, solving and simplifying
48. Percentage 3
49. Sine and cosine 50. Changing the subject 2 51. Roots 52. Graphs and inequalities 53. Transformations 54. Loci and
constructions
55. Solving inequalities
56. Working with coordinates
57. Further graphs 58. Combining probabilities
59. Times series 60. Accuracy
61. Angles in circles
63. Dimensions 62. Exactly so
圖 4-3-1 for GCSE 教材單元間概念構圖（引自 for GCSE 教師手冊）
4.3.2 台灣南一版三角函數教材單元內概念構圖
已經學習的教材 本章教材 將習教材
相似三角形性質 舉例說明相似三角形的應用
銳角θ的數值三角
圖 4-3-2 台灣南一版三角函數教材單元內概念構圖（引自 南一教師手冊）
簡易三角測量 查三角函數值表
兩點距離公式 三角形外接圓的性質
平面坐標 函數概念
極坐標
和、差角公式
倍角、半角公式
和、差與積的互化
三角函數的疊
反三角函數
（定義於銳角上的）三角函數
三角函數的倒數、商數、餘角 及平方關係
已知某數值三角求其餘數值三角 求銳角數值三角
簡易三角恆等式
廣義角
廣義角的三角函數
廣義角三角函數的基本關係
三角形面積公式
正弦定理
畢氏定理與餘弦定理
解三角形問題
基本三角測量
畢氏定理
三角函數圖形
已經學習的教材 本章教材 將習教材
廣義角的三角函數
和、差角 公式
三角函數 及其圖型
弧 長 扇形面積
度與弧度
倍角、半角 公式
和差與積 的互化
正餘弦函 數之疊合
三角函數 的極大、極
小值
複數的極式
棣美弗定理
解xn =a a( ∈R)
反三角函數 的基本概念
極坐標
向量
代數方程式 圓錐曲線之 參數式
複數平面
圖 4-3-3 台灣南一版三角函數教材單元內概念構圖（引自 南一教師手冊）
4.3.3 整理自 4.3.1、4.3.2 與附錄一之概念構圖
三角函數
銳角三角函數
相似三角形
幾何圖形 比和比例 函數概念
方程式
斜率 函數圖形 函數週期
未知數
畢氏定理
兩點距離公式 三角恆等式
簡易三角測量
微積分
極坐標 極值研究 反三角函數微積分
幾何
複數幾何 解析幾何
拋體運動 波
物理
廣義角三角函數
圓
弧 弧度量 平面坐標
正弦、餘弦定理
三角形的性質
和、差角公式 圓的性質
4.4 教材中呈現的潛在課程
潛在課程也會在學生學習的過程中，影響學生學習狀況。研究者歸納潛在課程 可能的校內來源，在教材方面是以「內容」、「型式」和「作業」為主[33]。
當然還有教師教法、學校組織及教學環境等等方面所形成的潛在課程，潛在課 程可能影響學生學習數學的歷程，但是本研究以研究教科書文本為主，故將探 討的項目鎖定在教材方面的潛在課程影響三角函數教材編製與學生學習狀況之 可能性。
• 英國綱要與教材呈現的機會均等
就《中小學數學科課程綱要評估與發展研究》[10]的闡述，英國家長並不會排斥 分科能力編班，將特定科目學習較慢的學生編在一班，或是將對於某個科目性 向較強的學生編在一班，讓他們以不同的教材和不同的進度來學習。與英國教 育相當類似的新加坡和紐西蘭都這樣做，所以不應假設英國不這樣做。
以《標準》而言，前三個階段的課程標準只有一種版本，但是在第四階段 分成兩種版本：Foundation 和 Higher。國定標準要求第三階段結束時 (9 年級) 的數學能力至少達到水準 5（Level 5），而較好的學生達到水準 6。如果 9 年級 結束時的評量還不到水準 Level 5，則到了第四階段 (10,11 年級) 就要根據 Foundation 課程標準來授課；其他學生則按照 Higher 課程標準來授課。
就數學教材而言，SMP 教材依照著《標準》的內容制定，在 KS3 學段 SMP 教科書分為三個系列，分別是 T series（最淺），S series（中等）及 C series（最深），事實上英國大部分出版社所出版的 KS3 教材也都依照水準分了 三個系列。每個系列（series）分別代表著不同水準範圍，本研究選用 S series 為研究對象，主要原因是選擇一個水準平均值內的教材與台灣做對照。台灣的 綱要和教材可參考英國數學科不管是在綱要或教材上，以不平等對待不平等，
以不同的水準要求不同能力的學生，製造學習機會均等的用心，但或許台灣的 家長還不能接受這樣的理念，所以建議先由銜接教材開始著手，畢竟銜接教材 的一項重要作用就是補強各個不同程度的學生，讓他們能夠順利銜接上後其中 等教育課程。
• 能力指標間的關聯性
在台灣九年一貫的課程綱要中，我們可以整理出 N-2-17 和 2-07、N-2-19 和 S-2-08、N-3-14 和 A-3-05、N-3-15 和 S-3-03 及 N-3-16 和 S-3-06，兩兩能力指標雖 然歸類在不同的學習主題，但內容是一樣的。像是能理解長方形面積、周長與 長方體體積的公式（N-2-17 和 S-2-07），除了需要數與量的學習主題，幾何圖 形上的認知也是不可缺少的。相較於台灣以相同的能力指標內容呈現學生應學 習到的能力，英國的《標準》在結構上有一個特色是交叉索引。《標準》[E4]
的排版格式乃是將正文安排在靠內側三分之二的版面上，在靠外側的三分之一 空白處寫上註解 （Notes）和外部指標 （ATTAINMENT TARGET）。其中註解 通常是關於教學內容的闡述，指明此一項目與未來學習的關係。例如講相似三 角形的對應兩邊比值不變的時候，註解中說明這個觀念是未來學習三角函數的 前置經驗。
• 教科書外觀
台灣和英國的數學教材都有教科書本、習題習作本、教學指引或教師手冊。
值得一提的是英國小學 Elmwood Press 所出版之「Target Maths」教材為完全黑 白的講義形式，研究對象的英國小學及中學習題習作本、教學指引或教師手冊 也都是黑白單色呈現，這是與台灣教材非常不同的地方，或許顏色對於數學應 該僅止於符號上的意義而已，但小學就以如此不活潑且形式化的教科書本呈現 教材，是否會影響學生的學習狀況是值得探討的問題。不活潑的編排方式可能 讓本身對於數學感到乏味的學生更排斥學習，形式化的教材或許制式，但學習 目標與題型歸納明確，也可能是幫助學生學習的設計，畢竟年紀小或是還摸不 清楚學習方向的學生依循著明確規範，比較容易在形式化的制約過程中，確保 學習到一些基本知能，而這也是行為主義學習理論的想法。
• 符號的操弄
英國的教科書中可以看到比台灣多了一些無關數學本身的表格或符號，但這些 記號卻可能隱含了教科書編者所沒有強調的數學概念或事實，以英國正切函數 為例：
a adj
opp opposite: 角
a
的對邊adjacent: 角
a
的鄰邊a adj
opp
tan opp a= adj
英國教科書中常出現 這類符號，在正切函數八頁的單元中出現了 三次，在正、餘弦函數十四頁的單元中出現了共九次。
在三角函數單元中出現的時機為引導學生填入數字或需要給定數學記號，
這類符號本身代表了數學上轉換的過程，有點類似於函數的概念，就是給定一 個規則，輸入數字後則會產生一個輸出結果，像是英國 的例題，輸入角 的鄰邊長再乘上 0.7 可求出對邊長。
tan 35°
鄰邊長 × 0.7 對邊長
英國教材中不直接給學生推導出結論的規則，常常是先要求學生依照例示 的步驟實際操作後，教材才歸納整理出相關的文字敘述。像是上圖「 」，
教材中先請學生測量許多銳角為35 的直角三角形之對邊長。台灣的教材少有這 類符號，多由空格形式的填充題出現。這些符號的出現在認知結構中是否有助 於學生記憶編碼，將看到的符碼轉換為意碼作為長期記憶的一部份，也是值得 探討的議題；但對於研究者而言這類符號不時地出現，讓研究者認為英國教科 書編者或許正有意無意地影響學生後設認知，讓學生時常有機會在一種轉換的 過程中操作符號或規則，進而內化為學生處理數學相關問題的一種方法，然而 這類符號的操弄是台灣數學教科書中所少見的。
×0.7
°
• 數學符號的使用
英國 SMP 教科書中，教材表示運算中所使用「＋」和「－」號的習慣與研究者 的認知有很大的不同，英國教材在計算例題中呈現「