學記中提到「禁於未發之謂豫」，若以教學方法之觀點，狹義可解釋為，教 學時先提供相關知識以防學生學習時產生迷失概念。廣義來說，就是提供學生足 夠的先備知識讓學生作為學習前的預備。本研究旨在藉由比較、分析和詮釋單元 間與單元內的知識，探討和論述台灣一到十年級教科書是否有相關的先備知識讓 學生學習三角函數，也檢視鋪陳三角函數相關課題的一貫性與妥適性。並藉由英 國教材之編製順序與內容結構，給予台灣教材編製意見。希冀成果作為 98 學年 度高中課程綱要修訂之學理依據，也希望提供未來教科書撰寫趨勢之參考。依結 論與建議兩部份，分述如下。
5.1 結論
5.1.1 與三角函數相關之單元間學習內容
台灣和英國進入三角函數主題前，在數與量方面介紹了關於「角」、「三角形面 積」、「圓」和「平方和平方根」等量與測量之教材；在代數（含樣式、關係、函 數與坐標圖形）方面介紹了「未知數/未知量」、「方程式」、「函數」、「方位」、「坐 標平面」和「關係（比、比例和比值）」等教材；在圖形與幾何方面介紹了「水 平」、「垂直」、「平行」、「三角形」、「圓」、「相似形」和「畢氏定理」。
• 數與量方面
1. 台灣教材在處理「角」、「三角形面積」和「圓」等課題，時間上比英國教材 來的早，進度上比英國快，內容知識上也比英國深。
2. 英國「平方和平方根」的教材內容，比台灣教材早開始，以螺旋式的教材編 排，學生有較多反覆演練的機會直到教材引出畢氏定理課題。
• 代數方面
1. 英國教材「未知數/未知量」、「方程式」、「函數」、「方位」和「坐標平面」單 元比台灣早開始做鋪陳。使用「未知數/未知量」，「方位」和「坐標平面」等 概念都比台灣機會多。
2. 在「方程式」方面，台灣比英國注重方程式解及聯立方程解在坐標平面上的 意義。
3. 在「函數」概念方面，英國從 SMP 教材開始介紹函數的概念，在國中階段英 國比台灣教材深入，但是直到 for GCSE 的教材中仍只要求十年級學生掌握一 次，二次函數和基本的三角函數；而我國目前在十年級則要求學生了解指數、
對數函數和三角函數的概念和性質。
• 圖形與幾何方面
在幾何方面，英國對幾何的教學和推理論證的要求低於我國。我國在幾何方面的 作圖教材已經較過去簡化，對學生在三段式的論證方法上也沒有以往的要求，但 即使如此，我國的教材中仍保有某些經過嚴格證明的幾何性質。然而英國在作圖 和幾何等單元的教材呈現上，只以某些圖示或活動引導學生操作及計算，讓學生 了解作圖規則和幾何性質。
1. 台灣教材介紹「水平」、「垂直」和「平行」等概念，教材中皆以較英國實際 的操作活動，引導學生了解「水平」、「垂直」及「平行」概念。
2. 台灣教材在三角函數單元前，比英國教材早介紹多很多關於「三角形」和「圓」
的相關性質，而這些性質會在正弦、餘弦定理中加以應用。
3. 台灣和英國在相似形的教材設計都是先介紹相似多邊形，再介紹相似三角形，
英國教材螺旋式呈現相似形教材的次數也比台灣多。
4. 台灣和英國都在三角函數單元前介紹畢氏定理，但是台灣比英國早介紹畢氏 定理，台灣在國中教材和英國 SMP 和 for GCSE 教材都沒有利用畢氏定理介紹 兩點距離公式。
5.1.2 單元內主題比重
三角函數單元中各重要的主題佔了一定份量，經由研究三角函數單元內主題，並 探討教材是否對於文獻探討中所提之錯誤類型的主題，設計相關的教學活動幫助 學生具備前置經驗，研究者做出以下結論：
1. 台灣教材在三角函數單元內設計的教學主題有：「銳角三角函數」、「三角函數 的基本關係」、「簡易測量與三角函數值表」、「廣義角的三角函數」、「正弦定理 與餘弦定理」、「基本三角測量」、「三角函數的圖形」、「和角公式」、「倍角、半 角公式」、「和、差與積的互化」、「正弦餘弦函數之疊合」和「反三角函數的基 本概念」。
2. 英國教材三角函數單元內教學主題有：「銳角三角函數」、「三角函數的基本關 係（平方關係）」和「簡易測量與三角函數值表」。
3. 文獻探討歸納學生常出現的錯誤類型主題有：「角度與弧度」的轉換、「廣義 角」的概念、「正弦定理」與「餘弦定理」的應用、「三角函數之圖形問題」、「三 角函數之週期問題」、「應用問題（測量問題）」和「反三角函數」。
台灣教材在定義弧度時發生定義內容不一致的現象，須幫學生釐清觀念，若 從幾何想法為出發點弧度為圓心角的度數，若從數與量的觀點則定義一弧度為常 數
3600
2π ；對於函數性質及圖形的鋪陳時間較英國短少，但台灣和英國教材中對 於函數的週期性質都沒有在三角函數單元前提及；英國教材對於測量問題並沒有 應用正弦與餘弦定理，測量的題型則類似於台灣教材的簡易測量；英國教材三角 函數內容以銳角三角函數為主，有提到反函數的記號，但不像台灣注重定義形式 的函數對應關係，僅以計算機或查簡表的方式找出三角函數值所對應之原本銳角 度數。
5.1.3 潛在課程
台灣和英國教材都在學生比較不常接觸或注意的綱要中，編製著影響學生學習教 材的指標規範。在教科書外觀和形式、教材中的符號和內容結構也都可能有意無 意的影響學生學習效果。
5.2 建議
本研究選擇台灣和英國之其中一種教材進行分析，研究結論雖不可任意推論至其 他教材上，但仍期望能提供編製教材之課程設計者與未來研究者一些意見。
5.2.1 編製教材之課程設計者
• 留意各單元與三角函數的關聯性
1. 數與量方面：平方與平方根單元，可增加平方和平方根的計算練習，可如同 能力指標 N-1-1 的設計，在九年一貫第三階段能力指標中補充，能初步掌握非 負整數數詞序列的規律，並能以具體的量、聲音、圖像、數字，進行說、讀、
聽、寫、做的活動，表徵 1 到 30 以內整數的平方及 1000 以內完全平方數的平 方根計算。弧度與角度單位的轉換關係可在進入三角函數單元之前，加強學生 對於計算上的熟練度。
2. 代數方面：在九年一貫第二階段尾聲，可配合語文領域提前引入未知數的記 號；中學階段可利用台灣教材在方程式的編寫，提前引入函數的概念，包括對 於函數週期的數感，而九年一貫教材內容關於方程式的單元若加以論述也可以 如同英國教材介紹函數的基礎知識。
3. 圖形與幾何方面：除了可參考相關的幾何認知發展理論，如 Van Hiele 理論，
以便掌握學生對於幾何思維層次輔助教學，對於三角函數相關的重要幾何性 質， 如：三角形中線、平分線等性質及圓與三角形的關係，都可在三角函數 教學前多加複習。
• 調整單元內主題比重、順序
經由研究結果可發現，同樣在十年級英國三角函數教材內容的主題數比台灣少了 許多，或許英國對於幾何性質上的基礎知識沒有台灣教材來的完整是主要原因，
但台灣對於函數性質的教材論述時間卻也比英國短少了許多，台灣教材可考慮，
刪除一些形式化定義的內容，如同文獻探討中 Eli Maor 指出一些以集合符號及語 言佔據了三角學的討論，而反三角函數主題就是需要學生記憶許多定義域與值域 的範圍。課程設計者可適當的剪裁教材，建議教材可將重心先放在，三角學在幾 何測量重要應用，讓三角函數單元主題以測量上的用途呈現，爾後教材再呈現三 角函數於分析上的理論與用途。
研究同時也發現，英國教導學生三角學的部分無論是前一版（2000，屠耀華 等譯） SMP 之教材，或是研究對象 for GCSE 的教材，都是先教導學生認知並應 用正切函數，而學生學習正切函數之前，教材則編製有直線方程式斜率的計算，
斜率的計算形式則與計算三角比正切值相類似。編製三角函數教材可考慮將教材 已經提出的某些主題及其形式加以連結，讓學生感受到主題間的關係。
• 分段實施三角函數單元內容
由英國教材可以發現，在十年級呈現的三角函數內容以三角比及其他基本的三角 學的概念為主。目前台灣教材在十年級的三角函數單元內容，知識內容上顯得比 英國多且深，雖然相關知識都有在十年級前加以鋪陳，但還是顯得不足。像是三 角恆等式的部份需要用到比例的代數性質（和比、分比性質），但台灣在教導三 角函數單元前的教材中已不深入的觸及此類代數性質。因此未來台灣教材設計三 角函數單元，除了配合小學、中學教材相關知識內容，再參考與台灣相同年級的 英國十年級教材內容，適當的切割主題後，至少可分為兩階段完成三角函數的內 容。
• 三角函數銜接教材
課程設計者應注意已使用九年一貫教材卻仍未使用新的高中數學正式綱要教材 的後期中等教育學生，研究者在銜接進入三角函數教材提供以下意見：
1. 銜接教材之時間：銜接三角函數單元應至少分為兩個時間點，函數的概念應 在學生進入高一前施以相關的補充教材，本研究發現英國教材在編製三角函數 課題前已有許多與函數相關的單元；三角比的教材可與進入廣義角三角函數的 教學時間點切開，形成另一個銜接教材的教學時間點，讓教材有機會螺旋式的 幫助學生熟練相關定義。
2. 銜接教材之主題：
代數方面應重視「函數教材」，函數概念是 94 學年度進入後期中等教育的學生 在認知上比較薄弱的一環，研究發現九年一貫的教材對於函數教材的設計並不 強調。圖形與幾何方面應複習「三角形」和「圓」的性質，台灣教材進入三角 函數後會深入的介紹正弦與餘弦定理，故「三角形」和「圓」的性質和關係應 加強論述。
• 潛在課程的編製
教材中善意但不制式或不規範性地使用一些符號或程序，可能影響學生建立學習 的後設認知或是記憶知識的方式。課程設計者在教材中，可考慮參考英國教材一 般使用相關符號，並加強學習內容於教材結構上的層次感。而為了讓學生更能了 解教材的銜接性，課程設計者也可妥切地在單元的開始如同英國編製有複習之前 學習內容的學習目標和內容，或在單元尾聲引入概念構圖，構圖可能不為正式教 材的一部份，但卻也會影響學生對於教材單元間銜接上的認知，為一種形式的潛 在課程。唯潛在課程的設計須請課程編製者更加注意相關的設計哲學。