台灣與英國三角函數課程之教科書比較

國 立 中 央 大 學

數 學 研 究 所 碩 士 論 文

台灣與英國三角函數課程之教科書比較

指導教授：單 維 彰 研 究 生：郜 錦 程

中 華 民 國 九十五 年 六 月

國立中央大學圖書館 碩博士論文電子檔授權書

(93 年 5 月最新修正版)

本授權書所授權之論文全文電子檔，為本人於國立中央大學，撰寫之 碩/博士學位論文。(以下請擇一勾選)

( )同意 (立即開放)

( )同意 (一年後開放)，原因是：

( )同意 (二年後開放)，原因是：

( ˇ )不同意，原因是：

以非專屬、無償授權國立中央大學圖書館與國家圖書館，基於推動讀 者間「資源共享、互惠合作」之理念，於回饋社會與學術研究之目的，

得不限地域、時間與次數，以紙本、微縮、光碟及其它各種方法將上 列論文收錄、重製、公開陳列、與發行，或再授權他人以各種方法重 製與利用，並得將數位化之上列論文與論文電子檔以上載網路方式，

提供讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印。

研究生簽名: 郜錦程

論文名稱: 台灣與英國三角函數課程之教科書比較

指導教授姓名： 單維彰 系所： 數 學 所

博士

碩士班

學號： 93221016

日期：民國 95 年 6 月 20 日

備註：

1. 本授權書請填寫並親筆簽名後，裝訂於各紙本論文封面後之次頁（全文電子檔內之授權 書簽名，可用電腦打字代替）。

2. 請加印一份單張之授權書，填寫並親筆簽名後，於辦理離校時交圖書館（以統一代轉寄 給國家圖書館）。

3. 讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽、下載或列印上列論文，應依著作權法相關 規定辦理。

中文摘要

本論文主要針對我國與英國一到十年級數學教材中三角函數相關主題進行 探討。分別摘錄兩國教材中與三角函數相關的數學知識要點與定義敘述，

比較兩國鋪陳三角函數相關課題異同並加以評析、詮釋。最後歸納結論與 建議，提供我國數學課程在三角函數相關主題編製發展上參考意見。

本文撰寫採用內容分析、文獻分析法與貝瑞岱的比較教育研究法進行 兩國教材內容的比較。從比較兩國數學教科書鋪陳三角函數單元的過程 中，歸納相關議題與特色，列出值得台灣觀摩與參考學習之項目。冀望這 些結論與建議能對發展中的九十八年版高中數學教材在三角函數單元之修 訂，做出實質貢獻。

關鍵字

數學領域教材比較、數學教科書、三角函數、英國教科書。

英文摘要

Abstract

The purpose of this thesis is mainly on the discussion and comparison between some mathematics subjects about trigonometry for grades 1--10 textbooks of Taiwan and England. We also indicate individual introductions of the main ideas and interpret some topics associate with trigonometric functions. Finally, we give conclusions and suggestions as references to the development of the textbooks in Taiwan.

In the comparison part, we adopted Content Analysis, Document Analysis and George Bereday's Comparative Method. In the process of comparing the relative knowledge about trigonometric functions in the textbooks of these two countries, we got to conclude some important subjects and characteristics. In this end, we made a list of suggestions that would be worthwhile for us to think about.

It is our hope that these conclusions and suggestions can make some substantial contributions to the future mathematics textbooks of senior high school in Taiwan, 2009.

keywords:

comparative mathematics education, mathematics textbook, trigonometric function, the textbook of England.

致 謝

首先謝謝單老師兩年來的指導，也感謝老師及學長姐們所提供的環境和資源，使研 究的過程順利許多。更感謝黃藿老師與詹盛如學長幫忙從英國帶回珍貴的研究資 料，同時也對黃老師與袁媛老師的口試指導致上謝意。張佩芬老師與蕭嘉璋老師曾 給過的讚美及信任也帶給我在求學過程中許多動力。

兩年來的生活，先謝謝所上所有師長、同學們與行政人員的幫助；中平、志豪 與詔智謝謝你們從大學認識以來給過我的協助；感謝梅珊、琇涵、小葵和小白不斷 地容忍我情緒不穩帶來的無理取鬧與尷尬；曾經合作研究計畫的婉珣、子倩、雅齡、

瀅惠、心怡學姊和志遠學長，謝謝你們給過我的鼓勵；在數值方面努力的雅筑學妹，

祝妳研究順利，柏成學長也希望你工作順利；帶著我找實習學校的晟鈞，相信有朝 一日你一定會成為教育界的佼佼者；美珍姐、孫姐、賴姐與金助教，謝謝各位長期 以來在行政方面的支援。

論文研究的後期，謝謝恩冉、志遠與孫姐在精神上的陪伴；宜親、佳玲與鈺芸，

謝謝妳們耐心地傾聽和對我的體諒，由衷地希望妳們的學業與研究一直順利。師大 的國中同學柏智謝謝你陪我從師大借出參考資料，政大的朋友昱君和豐瑋，謝謝你 們給我溫暖的問候，更謝謝昱君的祈福。當然也感激一群關心我的朋友、學弟妹和 學長姐，特別是常出沒在M208研究室的各位，可能沒有一一備載，我也由衷感謝。

最後感謝家人外公、媽媽、哥哥和學姊，沒有你們的呵護與照顧，相信我在求學道 路上會更加困難；天上的外婆和爸爸願與你們共享我經過努力和掙扎後得到的成 果，對於未來我也將繼續奮鬥。

目錄

第 1 章 緒論 ... 1

1.1 研究動機 ... 1

1.2 研究背景 ... 2

1.3 研究目的與問題 ... 3

1.4 研究範圍及限制... 4

1.5 名詞釋義 ... 4

第 2 章 文獻探討 ... 6

2.1 台灣和英國數學課程設計理念與目的 ... 6

2.2 三角函數的內涵演進與台灣教材目標之轉變...12

2.3 三角函數相關研究 ...19

2.4 概念構圖理論與應用 ...24

第 3 章 研究方法與實施期程 ... 27

3.1 研究對象 ...27

3.2 研究方法 ...28

3.3 研究步驟 ...33

第 4 章 台灣與英國教材關於三角函數課題之比較與評析 35 4.1 分年並列與比較...35

4.2 依數學主題比較、評析與三角函數相關內容...83

4.3 教材中呈現的概念構圖 ...92

4.4 教材中存在的潛在課程 ...97

第 5 章結論與建議 ... 102

參考文獻 ... 110

附錄 ... 113

附錄一 ... 113

附錄二 ... 118

附錄三 ... 126

圖目

圖 2-4-1 數學概念的五種表徵...25

圖 4-3-1

GCSE 教材單元間概念構圖...92

圖 4-3-2 台灣南一版三角函數教材單元內概構圖...93

圖 4-3-3 台灣南一版三角函數教材單元內概念構圖...94

表目 表 2-1-1 各個階段的學習水平...11

表 2-2-1 國中三角函數單元主題演進整理...16

表 2-3-1 國內學者實証研究所發現三角函數學習的錯誤概念類型 ..20

表 4-1-1 一年級教材內容摘要並列表 ...36

表 4-1-2 二年級教材內容摘要並列表 ...38

表 4-1-3 三年級教材內容摘要並列表 ...39

表 4-1-4 四年級教材內容摘要並列表 ...41

表 4-1-5 五年級教材內容摘要並列表 ...45

表 4-1-6 六年級教材內容摘要並列表 ...48

表 4-1-7 七年級教材內容摘要並列表 ...51

表 4-1-8 八年級教材內容摘要並列表 ...55

表 4-1-9 九年級教材內容摘要並列表 ...57

表 4-1-10 十年級教材內容摘要並列表 ...60

第 1 章 緒論

1.1 研究動機

我國曾於民國 82、83 年陸續修訂國小、國中數學課程標準，並於 85、86 學年 度分別實施國小、國中數學課程，而九年一貫的數學課程則於 90 學年度起分四 個學年度逐步實施完成，期間以九年一貫數學科暫時施行綱要作為課程依據。

民國 83 年課程標準將三角函數列入國中選修教材，先行認識三角函數基礎 知識，於高中階段加深加廣三角函數的內容。受國中學力基本測驗不考選修教 材的影響，這個單元的學習成效可能大幅降低，進而影響了高中的教學 [1]。爾 後九年一貫課程，三角函數也未列入數學綱要之中。

九年一貫數學領域正式綱要公佈施行後，我們很清楚地看到三角函數章節 完全被刪除，就連數值三角比的單元也完全不在正綱公佈的內容規定中。因 此，九年一貫課程實施後，使得升學進入高中、高職就讀的學生比以前具備較 少的三角函數相關知識。第一群在暫行綱要下學習而且完全使用九年一貫教材 為背景的學生，就是 94 學年度進入後期中等教育的新鮮人。然而值得注意的是 在三角函數單元，這群新鮮人所學習的暫行綱要與實質課程內涵，相較於以往 高中課程綱要的教材卻是沒有經過顯著剪裁的課程。

綜觀上述整體學制結構與綱要單元內銜接的憂慮，不免令人提出下列問 題：1. 對於三角函數之鋪陳，現行高中課程的編排和早期分屬在國中、高中課 程的安排，學生學習上整體成效之差別為何？2. 後期中等教育三角函數課程應 該如何鋪陳與剪裁較為適切？

為了避免學生無法順利銜接後期中等教育數學課程的問題，進而影響高等 及技職教育的人才培育，造成國家整體競爭力下滑等不良影響，政府除了發行

《樂在數學參考手冊》因應輿情反應國小學生計算能力日漸低落的呼籲外，陸 續也針對中等與後期中等教育的暫行、正式綱要之銜接和施行方面作了許多相 關研究，而本論文則鎖定「三角函數」之主題提供教學現場和課程編製作為參 考。

1.2 研究背景

1.2.1 選擇三角函數作為研究主題的原因

依據教育部指導，中正大學執行之「九年一貫數學學習領域-銜接高中課程教材 九十四學年度銜接教學說明」[2]。數學科銜接教材是銜接九年一貫暫行綱要課 程與高中課程內容落差，主題包括「乘法公式與多項式」、「因式分解」、

「平方根與立方根」、「一元二次方程式的解」、「線型函數與二次函數」、

「不等式」、「數列與級數」以及「幾何與三角函數」等八個單元。

其中「三角函數」的單元相較於其他需要銜接之單元具有其在課程編寫結 構上的顯著改變。以民國 83 年課程標準而言，三角函數列入選修教材，先行 認識三角函數基礎知識，於後期中等教育階段對於三角函數的內容更加深入，

共有兩階段學習，卻在現行綱要下於高中一階段完成學習此單元。其他需要銜 接的課程單元，多僅止於數學運算上的熟練度，少有概念認知上的根本問題。

而在現行綱要下三角函數單元的教學情況與民國 83 年課程標準相比，則是期 待現在後期中等教育的學生在較短時間內，能夠完成認知心理學中訊息處理論 的各階段訊息處理和記憶過程。

1.2.2 選用台灣教科書作為研究對象的原則

坊間經教育部審定通過的教科書相當多，有「仁林」、「康軒」、「南一」、

「龍騰」和「翰林」等出版社所發行之教科書。唯各家出版社皆有其發行的主 要對象，像是「仁林」、「康軒」以國小、國中階段的學生為主，「龍騰」、

「翰林」以國、高中階段的學生為主。「部編本」數學領域自 94 學年度起開始 逐年供書，版本尚未齊全，95 學年度國小、國中的部分將分別出版到二年級、

八年級，預計 99 學年度九個年級都有「部編本」可使用。目前南一版的教科書 為市場上少數完整有 12 年從國小到國中且具有代表性的教科書。在同一份綱要 下，分析一份結構體系較為完整的 12 年一套之教材，相信較需要考慮其他銜接 困難與轉換教材的出版教科書具有更多分析上的價值。

1.2.3 選用英國教科書作為台灣教材內容分析與比較依據的原因

1988 年英國公佈國定標準課程，此標準課程的涵蓋範圍是從 1 到 11 年級的義務 教育，包括小學六年與中學五年，其結束時間相當於我國高二。在英國教育政 策「權力下放」原則中，隱含著英國國定標準課程的特色，也就是教師於教學 上的「彰權益能」，其中一個特徵為，教師在將標準課程中規定的主題妥適教 學前提下，於教科書的選擇和教學使用上有著寬廣的空間。而在國定課程標準 中每個科目除了經資格暨課程局（QCA: Qualification and Curriculum Authority）負 責設計的教學主題，並針對不同主題設計不同層次的能力指標 。

上述英國教育政策背景和英國國定標準課程內涵與台灣的政策和現行九年 一貫課程綱要中的能力指標相仿，而英國在高年級能力指標顯得較淺。若選擇 英國教育現場有代表性的教科書，相信在分析台灣數學科教材之外能有具體的 參照對象，對於此論文研究和台灣數學科教材的編製有正面幫助的意義。

1.3 研究目的與問題

認知結構學習論中，Bruner 的發現學習論和 Ausubel 的意義學習論均強調學習 新知識時，先備知識的重要性[3]。而 Ausubel 的認知學習同化論更認為有意義 的學習必須「將新概念或新知識的學習建立在舊概念或舊知識的既有基礎之 上。」影響有意義學習的主要因素：「概念與概念間的關係」及「學習者的先 備知識」[4]。

基於上述研究動機和背景，三角函數的主題雖然沒有納入九年一貫的數學 教材中，但在後期中等教育高中部分，三角函數單元仍佔數學科教材頗重的比 例。如果，三角函數單元為高中數學課程中的重要內容，那麼在九年一貫數學 科課程綱要的前提下，學生所學習的教材是否提供了足以令學生有意義學習三 角函數的「先備知識」？因此本研究的目的如下所述：

1. 分析台灣與英國數學課程對於三角函數之先備知識及主題編排。

2. 並列陳述台灣與英國數學教材中，與三角函數課程內容相關之主題類目。進 一步詮釋三角函數與相關主題分別在台灣和英國數學教材中的一貫性、銜接 性，並期望能對數學課程中三角函數單元的編製作出建議。

1.3.2 待答問題

1. 台灣與英國教材中，哪些主題與三角函數單元有關?

2. 在進入三角函數單元前及三角函數單元內，台灣與英國各年級教材在相關主 題上的課程設計異同。

3. 評析英國教材有哪些教學活動，可以提供編製三角函數課程參考?

4. 台灣和英國教材中有哪些潛在課程會影響學生學習?

1.4 研究範圍及限制

本研究主要目的是陳述、分析並且詮釋台灣、英國的數學教科書中，三角函數 相關知識之鋪陳和差異。由於目前台灣、英國數學教科書版本眾多，以研究時 間、能力及資料蒐集是否完整之考量，所以，本研究在台灣方面以結構體系較 為完整的 12 年一套教材之版本為主研究對象，其他版本為輔研究對象。英國方 面為依據英國「國定標準數學課程綱要」所出版之教材，小學（KS1-KS2）部 份為 Elmwood Press 出版之「Target Maths」；中學（KS3）部份為劍橋大學於 2003 出版之「SMP INTERACT FOR THE MATHEMATICS FRAMEWORK」

（core）；高一（KS4）部分為「SMP INTERACT FOR GCSE MATHEMATICS」， 且此為英國廣泛使用的教科書。

1.5 名詞釋義

1.5.1 本研究中所提台灣之「課程綱要」、「教科書」名詞，依照九年一貫課 程和後期中等教育課程分述如下：

(1) 九年一貫課程國小、國中方面

由於目前 94 學年度高一學生，在九年一貫課程中學習時所使用之課程標準為民 國 89 年公佈，90 學年度起施行之九年一貫課程標準暫行綱要。本研究論文據 此緣由，所採用之「課程綱要」、「教科書」等名詞在九年一貫國小、國中方 面，是指九年一貫課程標準暫行綱要及依照九年一貫暫行綱要審定通過之教科 書。

(2) 後期中等教育高中方面

現行高級中學數學課程標準為教育部於 72 學年度公佈，再於 81 學年度起進行 修訂高級中學數學課程標準。教育部於民國 84 年發布，並開放教科書的編撰，

這些教科書已於 88 學年度開始採用。教育部於 88 學年度開放全國各高級中學 之數學教科書，並且以教育部 84 年 10 月發布的高級中學數學課程標準為基 準，由「一綱一本」的單行本到「一綱多本」的多元選擇。由上所述，本研究 論文中高中部分所提到之「課程綱要」、「教科書」等相關名詞是依照教育部 84 年 10 月發布的高級中學數學課程標準定義之。

1.5.2 本研究中所提英國之「課程綱要」、「教科書」名詞

文中英國之「課程綱要」是指英國的國家課程標準，它是由主管課程、評量與 核發證書的資格暨課程局（QCA: Qualification and Curriculum Authority）負責設 計。QCA 之下設有數學課程委員會（QCA Mathematics Team），至少在最近幾 年看來是一個常設委員會，因為他們每季（term）都會公告一些背景或進度說 明，而每年公布一份調查報告。本研究採用的英國數學課程綱要版本是 1999 年 由教育部和 QCA 共同出版的《數學課程標準》，本研究論文中簡稱《標準》。

而英國「教科書」從小學 KS1 起，都是依照此《標準》編製，民間書商自由發 行，提供學校現場使用。

第 2 章 文獻探討

本章依據研究目的探討教材中三角函數相關知識內容，並檢視台灣教材在編製 三角函數相關知識的一致性和妥適性，針對相關文獻進行研究分析，以下將分 四節探討，分別為第一節「台灣和英國數學課程設計理念與目的」：探討兩國 數學課程的設計背景，掌握教學目的、目標；第二節「三角函數的內涵演進與 台灣教材目標之轉變」：藉由三角函數單元內之章節名稱及目標探討近年來三 角函數教材的變遷；第三節「三角函數相關研究」：以相關研究者的經驗、結 論和建議，使本研究能更順利進行；第四節「概念構圖理論與應用」，以一種 規則，有計畫性的概念構圖，加以連結教材中三角函數相關知識。

2.1 台灣和英國數學課程設計理念與目的

課程涵義很廣，黃政傑教授綜合整理各界對於課程的定義為：課程即教材、經 驗、目標和計畫四大類，一般認為教科書為教材的一類，是指文字或表編製設 計而成之教材。所以在研究分析教科書前，本節針對課程設計理念、台灣與英 國之數學教育精神和指導進行探討，使研究分析時更能掌握台灣與英國之教材 設計概念與發展方向。

林前部長清江先生曾宣示，國民中小學課程，要培養學生具備「帶著走的 基本能力，拋掉背不動的書包與學習繁雜的知識教材」，敘述著現今九年一貫 課程的理想和方向。九年一貫課程綱要無論在內容、形式和精神上，與過去的 課程標準均有相當大的突破，展現了不同的風貌和特色。

黃政傑教授認為課程設計有四種值得重視的理論取向：第一種取向強調知 識體系，以學科為課程設計的核心；第二種強調學生的需要、興趣和能力，稱 為學生中心；第三種強調社會取向，分成社會適應和社會重建兩種觀點；第四 種強調科技應用，主要強調客觀化和系統化的課程設計程序[5]。

黃光雄、蔡清田兩位教授[5]認為設計課程的意識形態取向有四種，即：精 粹主義取向、經驗主義取向、社會行為主義取向和科技主義取向，均強調從學 科中轉而以統整、專業、科技為中心之設計理念。

陳伯璋教授[6]認為九年一貫課程綱要的修訂乃反映了下述世紀末的時代精 神：反集權、反學科本位及反精英導向，同時認為課程發展有其理論基礎，但

絕非單一理論，尤其是經過知識再分配及權力協調的過程，他從人文主義，後 現代主義及知識社會學角度，在分析中強調「學習權」取代「教育權」、「帶 好每位學生」、提供每個人適性教育並且不放棄每位學生、對弱勢族群學習機 會的提供等，反映人文主義的訴求。又對去中心化、反權威、反體制、非連續 性、多元化的時代精神提出「差異策略」、「對抗文本」、「對抗記憶」的後 現代主義主張，及強調重「統整性」而輕「聚集性」之課程走向。

2.1.1 台灣數學教育精神和指導

台灣自民國九十年實施九年一貫數學課程，九年一貫課程總目標強調的是能力 的開拓，是要為國民的終身學習奠下基礎，以因應社會的變遷，這有別於僅是 知識的傳授。這不但沒減低數學的重要性，反而能使數學課程顧及技術層面 外，更重視與其他領域的連結，更強調解決問題，以及與他人溝通等各種能力 的培養，這些能力就是幫學生發展如何學與樂於學的基礎[7]。

九年一貫的數學課程期望學生達成下列目標：

1. 掌握數、量、形的概念與關係。

2. 培養日常所需的數學素養。

3. 發展形成數學問題與解決數學問題的能力。

4. 發展以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。

5. 培養數學的批判分析能力。

6. 培養欣賞數學的能力。

為了達成這些目標，數學課程的發展應以生活為中心，配合各階段學生的 身心與思考型態的發展歷程，提供適合學生能力與興趣的學習方式，據以發展 數學學習活動。

2.1.2 英國數學教育精神和指導 z 英國國家數學課程的推出背景

英國是數學教育改革最早的國家之一。隨著新數學運動的挫折，英國也對其數 學課程作了重大調整。比如曾於 1960 年代在世界廣為傳播的 SMP 數學教材，

如今其面貌已為之一新。多種教材目前也正在英國流行，這些教材圖文並茂，

趣味性強，各具特色，學校可自行決定使用何種教材。

儘管學生的負擔有所減輕，但是他們在學習中暴露的問題不少，例如：英 國的教育長久以來主要由私立機構提供，只有少數而且通常來自中上階層家庭 的人，才能進入極為昂貴且篩選極其嚴格的所謂文法學校接受基礎教育，而幾 乎也只有這些學校畢業的學生才有機會獲得高等教育。這使廣大教師，家長和 教育部門甚為不滿。在大眾的要求下，從 1980 年代起，在英國國內，再次進行 數學教育改革改革。1982 年，以 W.H. Cockcroft 博士為首的英國國家教學委員 會發表了題為《 Mathematics Counts 》的報告，這是英國數學教學改革的綱領 性文件。以該文件為背景，1988 年，英國實行教育改革法，成立了國家課程委 員會，對主要科目提出了改革方案，數學是其中科目之一。1989 年，經議會通 過，由英國教育科學大臣和威爾士事務大臣簽署命令，全國實行統一的國家課 程。工黨在 1997 年執政以後，以較快的步伐發佈了許多新法案或者政策白皮 書，但是改革畢竟不是革命，新政權也承續了許多傳統的作法或建議。例如著 名的狄林報告《 Dearing Report 》[E3]是在 1996 年五月受委託展開研究，為期 一年而在 1997 年七月完成，從這份厚達 1700 頁的報告可以看到工黨執政後的 教改藍圖。

z 製定英國國定數學課程目的與其指導精神

在英國國定數學課程的網頁中，並沒有具體敘述出英國國定數學課程的目的，

但根據相關二手資料的文獻，仍有整理一些關於英國國定數學課程目的與其指 導精神的紀錄。

香港與亞洲及西方各主要國家地區的數學課程比較報告中指出英國數學課 程目的如下[8]：

1. 培養數學學習及應用的積極態度 2. 培養數學應用的能力及信心

3. 培養欣賞數學的本質及過程、解釋現實世界的數學觀念、數學美及數學史 4. 培養口頭或書面交流、閱讀和理解數學的能力

5. 使學生獲得在數學、其他學科及就業時所需的數學知識、 技能及態度 6. 培養在數學發展及應用中的模型化、一般化和解釋結果的能力

7. 培養更一般性的學習及思考技能， 如決策等

8. 培養適當使用計算器和計算機的能力， 包括使用各種軟件套

9. 培養邏輯地辯論及嚴格性的理解能力 10. 使學生獲得解決各種數學問題的策略

依據英國國家課程委員會 1995 編寫出版的國家數學課程指導書中，英國制 定國定數學課程目的與指導精神分述如下[9]：

z 國定數學課程目的

1. 提升全國數學水準，使學生能掌握一定的數學知識和技能，不僅能滿足畢業 後參加各項工作的需要，而且能適應二十一世紀科學技術發展的要求，使得 兒童長成後，在下一世紀充滿競爭意識的成人世界中得以生存和發展。

2. 鼓勵學生有更多機會在實踐中學習數學。

3. 為教師提供數學教學的明確目標，同時為學生提供數學學習的有關標準。

4. 為家長提供其子女學習數學的準確的可評估的訊息，究竟可期望他們的子女 知道，理解，和做到什麼，以及他們當前可能達到什麼成就。

z 英國數學課程之指導精神 1. 數學提供感知現實世界的途徑

利用數學，人們可以交流訊息和思想，處理一系列的實際任務及解決現實生 活中的問題。

2. 數學是探索新世界的工具

數學能提供探索新的虛構世界的材料和方法，透過對數學內部的探索，新的 數學思想得以產生，現行思想得以修改和發展。

3. 數學能提供預見

在處理數學問題以及對數學本身的探索中，數學不僅能給予描述與解釋，而 且能提供預見。這就是數學的威力和滲透力，數學在國家課程中的重要地位 也在於此。

4. 數學技巧只是達到目的的手段

學習數學的技巧，諸如兩位數加法，計算三角形面積，或解方程式等等，構 成學校數學中學生功課的一大部分。它們是重要的，然而，它們僅僅是達到 目的的一種手段。在數學教學的過程中，應該讓學生了解學習數學的目的和 意義。例如，在購物時如何付錢，在測量中如何分析結果，如何丈量布料以 設計服裝，等等，從而讓學生體會到學習數學的重要性。

5. 數學是奇妙和欣喜的源泉

除了注意數學在日常生活中的重要意義外，應該使兒童有機會探索與欣賞數 學本身的架構。例如，探索數的模式，構造一個三維模型，提出一個假設，

或找出一個反例等等。這些活動，是兒童在數學方面得到全面發展的中心環 節。數學的重要性在於，它不僅僅是個教學的科目，而且也是奇妙和欣喜的 源泉。它能給與學生智力的興奮，而且能提供對數學創造力的監賞。

6. 數學的應用過程是生動的

雖然數學含有等級和次序的原素，但是在應用數學時，卻不必事先確定次 序。數學是一個由概念和關係組成的完整的網路架構，在應用中，數學成為 一個創造性活動的過程。

7. 數學的統一性和多樣性

英國國家數學課程為學校數學提供了一個公共的框架，學校能據此做出計 畫，亦能據個別學生的需要作出適當的伸縮。國家數學課程所確立的教學目 標與學習大綱，是教師製定教學計畫的基礎，也是評估學生進步的明確標 準。 必須認識到，數學本身的寬廣性，以及數學學習的個別性，因此，在數 學教學中，應該採取多樣性的風格和柔和性的特點。

z 英國數學學習目標結構

英國國家數學課程由教學主題的具體目標內容和描述評定學生能力水準兩部分 組成。《標準》將教學主題按照四個知識塊展開，分別是 Ma1：數學之運用 (using and applying mathematics)、Ma2：數與代數 (number and algebra)、Ma3：形 體、空間與測量 (shape， space and measures)及 Ma4：資料處理 (handling data)。

其中 Ma1 類似我國能力指標中的連結或解題，屬於能力或意識，而非數學本 身，所以在綱要中並沒有分階段詳述其教學內容。描述評定學生能力等級則按 照學生在知識和能力方面的發展被劃分為八個水準 (Level 1—Level 8) 的能力描 述。為了容許學童超出預期能力指標的可能，其實還有一個『特優』等級 (Exceptional Performance)，所以可以視為一共有九個水準。這九個等級貫穿 11 年國教，不論學生屬於哪個階段，都用這些水準來評量其能力。對於每個水準 的學習要求，國家數學課程作了明確規範[10]。

教學主題的具體目標內容和描述評定學生能力水準是國家數學課程的兩條 主線，在闡述教學主題時，圍繞著能力水準，按照不同的學段，對每個不同的 知識塊提出不同的具體目標內容要求；在教材中所闡述的教學目標，又是根據 學生在數學上的不同發展水準分別提出要求，二維坐標架構的形式可以作為英 國數學課程架構的一個比喻。

國家數學課程把義務教育年限分為四個關鍵學段，其中學生在每個學段的 發展水平如表 2-1-1，表中對於第四學段的學習水準，沒有作出規定，原因除了 學生應該至少已具備有通過 GCSE 的水準外，教師教學上也可體現更大的靈活 性。

表 2-1-1 各個學段的學習水平

學段 英國年級 年齡 期望學習水準 KS1 1～2 5～7 歲 至少達到水準 2 KS2 3～6 7～11 歲 至少達到水準 4 KS3 7～9 11～14 歲 至少達到水準 5/6 KS4 10～11 14～16 歲 報考 GCSE

2.1.3 對本研究的啟示

台灣數學綱要中之分段能力指標，也隱含類似《標準》之精神，其差別是台灣 數學綱要中沒有如英國《標準》中定義明確之八個水準 ( Level 1—Level 8 )，只 有敘述性的等級差別。在教育理念上，台灣與英國均分別利用規劃能力指標和 學習目標的方式，具體展現兩國數學課程目的，並使學生的學習得以循序漸 進，不至於因為難度及深廣度的安排不當而無法跟上，重視培養學生的統整與 學習能力，加強學生數學概念之理解與生活經驗的結合。因此本研究試圖以適 切的課程理論及教學設計模式，探究依據台灣與英國能力指標和學習目標設計 的課程單元，能否提供學生學習三角函數先備知識。

2.2 三角函數的內涵演進與台灣教材目標之轉變

三角學自兩千多年前開始，歷經了相當漫長的路程，但是有三項發展特別顯 著，並在基本上改變了整個課題：一個是托勒密的弦長表，使三角學成為實用 的計算科學；另一是棣美弗定理及歐拉的公式 ，使三角學與 代數及分析學互相融合，再來就是傅立葉理論的發展。

cos sin eix = x+i x

包括三角比以及三角函數的所謂「三角學」，是第二次世界大戰以前，在 日本舊制高中及舊制專門學校學習的數學課程，舊制中學及舊制高等女子學 校，不教有關內容。戰後即 1945 年之後，連初中也講授 sin 、 及 等內容 [11]；但由近期研究者洪雅齡《台灣與日本之十二年數學課程比較》研究發 現，日本跟台灣一樣，在高中以前的九年完全沒有提到 sin、cos、tan。但日本 在高一時只講三角比，也就是只探討比值，只讓學生了解 sin、cos、tan 是直角 三角形的斜邊、對邊及鄰邊所造成的比值，讓學生先有這樣的概念後再導入函 數的觀念[12]。

cos tan

美國方面，Eli Maor 提到美國「新數學」對幾何學及三角學的傷害最大。

理工科課程中最關鍵的三角學，成為「新數學」這波改革中的犧牲者；形式化 的定義及冗長的邏輯推導，打著「嚴謹」的名義，取代了對三角學的實質了 解。Eli Maor 指出一些以集合符號及語言佔據了三角學的討論，結果使一些單 純的課題，變成了含糊而無意義的形式主義。例如：一般人談論的是角的度 量，而不是角的本身；定義正弦和餘弦，是定義成「定義域在

[

]

數」，而不是以幾何學的方式，定義成三角形邊的比率或單位圓在 x 軸和y軸 上的投影。而 Edna Kramer 在《現在數學的本質與成長》一書中提到：「有些 學生認為，三角學是加了榮耀之冠的幾何學，再加上計算的苦刑」[13]。

2.2.2 三角函數教材目標之轉變

依據王煥琛、呂秋文所編著之《各國國民（初級）中學數學課程之比較研究 》 我國在 57 年實施九年國民教育，並於此年修訂國民中學暫行課程標準，可以說 這是九年國民義務教育首度實施的課程，在第三學年度的時候學生學習三角函 數，其製訂之「銳角的三角函數」單元之單元目標和過程目標如下：

z 單元目標

1. 了解三角函數的恆等關係 (1) 倒數關係

(2) 平方關係 (3) 商數關係 2. 了解恆等式的意義 3. 了解證明恆等式的方法 (1) 自一端化至他端

(2) 自兩端分別畫成同一式 4. 了解三角形的解法

(1) 直角三角形的解法

(2) 已知一角之函數值，求此角之其他函數 (3) 等腰三角形的解法

(4) 正多邊形的解法

(5) 圓內接正多邊形的周長與面積 5. 了解三角函數的變化

(1) 正弦自 0 至 1，餘弦自 1 至 0 的變化 (2) 正切自 0 遞增，餘切遞減至 0 的變化 (3) 正割自 1 遞增，餘割遞減至 1 的變化 z 過程目標

1. 基本關係與恆等式

由直角三角形的一角的三角函數值，引導學生尋找出它們的關係，使學生能 夠：

(1) 查出sin、csc的關係 (2) 查出cos、 sec 的關係 (3) 查出tan、cot的關係 (4) 知道它們倒數關係

(5) 知道倒數關係，寫出它們的變形 (6) 查出 sin、cos的關係

(7) 知道它們的商數關係

(8) 查出sin²與cos²，tan²與 1；cot²與 1 的關係 (9) 知道它們的平方關係

(10) 知道恆等式的意義 (11) 知道證明恆等式的方法 2. 三角形的解法與應用

由已知一銳角，查出銳角的某函數值，引導學生，使學生能夠：

(1) 純熟查表查出已知角之某函數值

(2) 純熟由一角的已知函數值，查出角的大小 (3) 純熟利用畢氏定理，求直角三角形的邊 (4) 知道我國古代正五邊形的近似作圖法 (5) 知道等腰三角形及其解法

(6) 知道直角三角形及其解法 (7) 知道正多邊形及其解法 (8) 知道求正多邊形的面積 3. 三角函數的變化

由三角函數值表中的各函數值，引導學生看表中的數，使學生能夠：

(1) 畫出單位圓

(2) 再畫出正弦對應的線段 (3) 查出線段變化的情況 (4) 說出正弦線段變化的範圍 (5) 畫出正切所對應的線段 (6) 查出正切線段長的變化情況 (7) 說出正切線段變化的範圍

(8) 利用(1)~(7) 相同的方法說出餘弦線段，其變化情況及其變化範圍 (9) 利用倒數關係，仿上法說出餘割、餘切、正割的變化狀況

(10) 寫出角0^°及角90^°的三角函數值表 (11) 應用(10)解有關的問題

(12) 應用三角函數變化關係，解有關問題

八十八學年度為九年一貫課程公佈前，最後一屆國中生在三年級使用編有 三角函數選修教材的部編版教科書，主題為「銳角三角函數及其簡易應用」，

分為基礎篇和應用篇兩節。其教師手冊建議之教學時數共 12 節課（每節 45 分 鐘），且其教學目標如下所述：

基礎篇

1. 知道兩直角三角形中，若有一雙銳角對應相等，則他們的「對邊：斜邊」、

「鄰邊：斜邊」、「對邊：鄰邊」的比值，也對應相等。

2. 知道任意直角△ABC（∠ =C 90^°）之三邊所成「對邊：斜邊」、「鄰邊：斜 邊」、「對邊：鄰邊」的比值都是銳角A(之度數)的函數。

3. 對於任意直角△ABC（∠ =C 90^°），能寫出：

sin A A ∠

= 的對邊

斜邊 ……稱為∠A的正弦函數 cos A

A=∠ 的鄰邊

斜邊 ……稱為∠A的餘弦函數 tan A

A A

=∠

∠

的對邊

的鄰邊 ……稱為∠A的正切函數

這三個函數的定義，並知道它們又通稱為三角函數。

4. 能求出30^°、45^°與 60^°等特別角的正弦、餘弦及正切函數值。

5. 能利用三角函數的定義證明：若∠A為一銳角，則 tan sin

cos A A

= A ………….( 商數關係 )

………( 平方關係 )

2 2

sin A+cos A=1

6. 能由三角函數的定義得知：若∠A與∠B都是銳角且 ，則

； co …( 餘角關係 )

90

A B ^°

∠ + ∠ = sinA=cosB sA=sinB

7. 若知道一銳角的某個三角函數值，能利用商高定理或三角函數關係式，求出 該銳角的其他兩個三角函數值。

應用篇

1. 能利用量角器、刻度尺等工具去畫圖與測量的方式，求任意銳角（整數度 數）的三角函數近似值。

2. 知道課本所附的三角函數值表內之數值，大多數為近似值。

3. 能根據課本所附的銳角三角函數值表，查出 1 、 、3 ，…，89 等整數度 數的三角函數值。

° 2^{° ° °}

4. 能根據課本所附的銳角三角函數值表，由某銳角 ( 整數度數 ) 的一個三角函 數值查出此銳角的角度。

5. 知道當銳角的角度變大時， sin 、ta 的函數值也變大，而 的函數值卻變 小。

n cos

6. 能分析實際測量問題的情境，找出已知與未知的條件。

7. 能將某些簡單的測量問題，轉化為三角形邊角的問題，並利用三角函數的概 念，求得其解。

z 三角函數單元主題之轉變

三角函數課程在過去修訂國中數學綱要的過程中除了上述教材目標有變化之 外，在單元主題的規劃上也有所轉變，整理如表 2-2-1：

表 2-2-1 國中三角函數單元主題演進整理 民國七十四年教育部修訂

公佈的國民中學數學課程 標準內容

民國八十三年教育部修 訂公佈的國民中學數學 課程標準內容

民國八十九年（公佈暫行 綱要前一年）國民中學數 學課程部編版公佈內容 單元主題 大幅精簡或

刪除 備註 單元主題 第三章 數值三角及其應用

3-1 銳角三角函數

3-2 三角函數的基本關係 ○ 3-3 用查表法求三角函數值 ○ 3-4 三角函數的應用

＊ 只介紹正 弦、餘弦函 數，特別角 的函數值。

＊ 不列入必 修教材中。

第一章 銳角三角函數及 其簡易應用

1-1

銳角之正弦、餘弦及正切 1-2

商數關係、平方關係及餘 角關係

資料來源 台灣南一高中教師手冊

2.2.3 三角函數銜接教材

九年一貫課程實施後，原本列入國中數學選修課程的三角函數單元已不存在，

但教育部考慮到 94 學年度進入後期中等教育的學生仍使用依據民國 84 年修訂 之高中數學課程綱要所制定的數學課程，因此委由國立中正大學數學系針對九 年一貫數學學習領域銜接高中課程教材作出銜接教學說明。中正大學數學系研 究小組對高一課程三角函數單元建議如下：

1.只處理正弦，餘弦和正切三個函數的圖形，至於餘切、正割和餘割函數的圖 形可列為參考資料。

2. 刪除反三角函數。

三角函數單元銜接的實施方式，無論是中正大學數學系研究小組所提出的 建議【方案一】完成銜接教材後再進入高一課程，或【方案二】銜接教材融入 正式課程中，都是在 94 學年度下學期每週增加一節課做為銜接補強教學[2]。

銜接教材附錄中列出「集合的概念」、「平面幾何的基本性質」與「三角 函數的基本概念」三個單元，來協助同學們順利銜接高中課程的學習。

這份教材除了提供給高中做為銜接教學的參考依據之外，研究小組也希望提供 給同學們自我學習[2]。

銜接教材建議的附件三以介紹三角函數的基本概念為主要架構，沒有指導 性質的教學目標，共以四個範例、三個類題練習和五題家庭作業呈現。這些範 例和習題內容其實與九年一貫課程實施前一版的國編版三角函數選修教材內容 雷同。例如：

【範例 3】分別求出45°角的六個三角函數值。

【解】 如右圖，直角三角形三邊長的比例為 AC:BC:AB=1:1: 2。

45°

45°

A C

B

1 2 1

所以

2 2 2 1 斜邊

45 的對邊

sin °=∠ = = =

AB BC

A ；

2 2 2 1 斜邊

45 的鄰邊

cos °=∠ = = =

AB AC

A ；

₁ 1 1 的鄰邊

45 的對邊

tan = = =

∠

=∠

° AC

BC A

A ；

₁ 1 1 的對邊

45 的鄰邊

cot = = =

∠

=∠

° BC

AC A

A ；

₂

1 2 的鄰邊

45 斜邊

sec = = =

=∠

°

AC AB A

；

₂

1 2 的對邊

45 斜邊

csc = = =

=∠

°

BC AB

A 。

【類題練習 2】完成下表：

∠A sinA cosA tanA cotA secA cscA 30 °

60 °

【範例 3】和【類題練習 2】皆是藉由銳角三角函數之定義求出30 、45 與 等特別角的正弦、餘弦及正切函數值，若學生能適當利用三角函數的倒數關 係則餘切、正割和餘割函數也容易求出，不過九年一貫課程實施前一版的國編 版三角函數選修教材教學目標不強調學生對於餘切、正割和餘割函數的理解。

° °

60^°

2.2.4 對於本研究的啟示

三角函數單元無論在課程目標、教學目標和實際的教材內容上，隨著過去國中 數學課程綱要幾次修訂或改變，皆不斷精簡或刪除。但根據過去三角函數單元 的課程目標、教學目標和實際的教材內容以及三角函數銜接教材，都可歸納出 三角函數單元的核心重點，例如六個三角函數值 sine、cosine、tangent、

cotangent、secant 和 cosecant 的定義。而這些核心重點知識的建立，都需要其他 相關數學單元的鋪陳。像是八十八年部編版三角函數單元的基礎篇中，第一條 教學目標：知道兩直角三角形中，若有一雙銳角對應相等，則他們的「對邊：

斜邊」、「鄰邊：斜邊」、「對邊：鄰邊」的比值，也對應相等。就需要學生 知道「銳角」、「直角三角形」、「比值」和「相似形」的知識。本研究將依 據 Eli Maor 對於三角學知識的批判與建議，在分析三角學及其先備知識時，注 意台灣和英國在教材內容編製上，是否對於一些單純的課題，以含糊而無意義 的形式化過程呈現，並試圖詮釋台灣和英國編製相關教材內容的教學切入點，

期望分析結果，對於三角函數單元編製有具體建議。

2.3 三角函數相關研究

國內對於三角函數課程已有一些相關的碩士研究論文，主要可分為兩大類，一 類是利用測驗、問卷調查或質性訪談的方式，探討或診斷學生學習三角函數錯 誤類型的研究；另一類主要是針對三角函數教學方法進行研究，以一些電腦輔 助工具，如 GSP 或網路化數學學習教導學生學習或複習三角函數，以下將分兩 小節探討其研究成果。

2.3.1 三角函數錯誤類型研究 z 三角函數錯誤類型

研究者賴潔芳整理《 高中學生三角函數概念學習錯誤類型研究 》後指出學生在 三角函數概念學習的錯誤類型分為三類：(一) 定義的理解不清：三角函數與反 三角函數的定義混淆、函數與反函數合成的誤用、角度單位換算有問題、三角 函數值相等的概念不清楚、函數週期的定義概念不清楚、同界角的認識不清 楚、三角函數的平方關係不清楚；(二) 代數性質的誤用：乘法性質的誤用、誤 認三角函數具有線性性質、三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的正負不會判 斷、三角函數的遞增與遞減不清楚、三角函數的疊合性不清楚。(三) 圖形的認 識不清：三角形三邊長性質的誤用、三角函數的圖形與平移認識不清、三角函 數圖形的對稱概念不清、三角函數的週期與振幅性質認識不清[14]。

簡志明 (2004) 在《 高一學生銳角及廣義角三角函數基本概念應用運算錯誤 類型之研究 》中提出，學生在「銳角三角函數」運算的錯誤類型主要為：對定 義瞭解不清楚、角度與邊長的對應關係為片斷性的認知、無理數運算過程出 錯、解聯立方程式產生錯誤、對恆等式轉換不熟悉而產生誤用、代數觀念薄 弱，無法作答、沒有記憶 30^°-60^°-90^° 三角形的三角函數值以及運算不完整。

學生在「廣義角三角函數」運算的錯誤類型主要為：對同界角、廣義角定 義不清楚、角度的範圍無法用不等式表示、各象限角的三角函數值正負判斷錯 誤、角度轉換錯誤、三角函數方程式不會分解、象限角的三角函數值為錯誤 值、不會查閱三角函數值表及運算不完整。

表 2-3-1 國內學者實証研究所發現三角函數學習的錯誤的概念類型

單元內容 錯誤概念類型

廣義角

1. 圖形錯覺，由圖形誤導廣義角度數。

2. 誤認一圈等於 180 度，對於一圈 360 度做不當推論。

3. 對於旋轉量的認知沒有深刻的體認，難以想像大於 360 度的角 度。

4. 有向角方向錯誤或忽略始邊、終邊這些本質屬性所賦予廣義角 的意義，將角度所涵蓋的象限當成有向角性質符號的判定依 據。

5. 學生對於同界角的概念非常模糊，傾向以幾何圖形判斷法。

6. 角度的單位換算有問題。

銳角 三角函數

1. 定義的理解不清楚。

2. 三角形三邊長性質的誤用。

3. 三角形邊角關係先備知識不足，對於圖形中呈現的直角三角形 一律當成所認知的特別角角度的三角形。

廣義 三角函數

1. 定義的理解不清楚。

2. 各三角函數值範圍錯誤。

3. 代數性質的誤用：乘法性質的誤用、誤認三角函數具有線性性 質、三角函數的奇偶性質錯誤、三角函數的正負不會判斷。

4. 廣義三角函數的求值解題策略偏愛使用代數記憶公式，但不是 很符合概念地學習公式，導致不能很正確地用運公式。

5. 對於定義操作步驟的程序性知識亦不夠熟稔，求值時，易忽略 有向線段的性質符號，或是邊長的比例錯誤。

6. 對於同界角三角函數，少從同界角的方向去判斷其值相等。

7. 對於廣義三角函數定義的圖解步驟，步驟執行技巧不夠熟練，

缺乏完整的程序性知識。

8. 對於三角函數的概念性知識不夠完備，自行綜合歸納，作過度 的推論類化。

三角函數 的圖形 三角函數

的圖形

1. 函數週期的定義概念不清楚。

2. 三角函數的遞增與遞減不清楚。

3. 三角函數的圖形與平移認識、對稱性概念、三角函數的週期與 振幅性質認識不清。

（引自 余酈惠）

z 學習三角函數概念的困難處

學生在學習銳角及廣義三角函數的基本概念時的學習困難有下列各項[15]：

1. 預備知識的不足無法貫通 2. 計算過程感覺繁雜，產生困難 3. 對於文字符號不能清楚掌握

4. 銳角擴展至廣義角三角函數時，難以銜接 5. 無法仔細認清題目的各項條件而加以連接 6. 代數觀念沒有落實

7. 在日常生活中，少有實際應用相關題目，以致學習時較為抽象吃力 8. 邏輯推理觀念不足，無法逐步思考

z 學生學習三角函數概念錯誤的之成因

陳忠雄 (2003) 指出學生在三角函數概念學習的錯誤之成因如下：(一) 未能達成

「概念的獲得」的錯誤概念原因有：三角函數與反三角函數定義的概念缺乏、

三角函數的定義域與值域概念缺乏、反三角函數的定義域與值域概念缺乏、角 度的單位換算不清楚、同界角的概念缺乏、函數週期的定義概念缺乏。(二) 未 能達成「概念的同化」的錯誤概念原因有：乘法性質的誤用、函數與反函數合 成的誤用、三角形三邊長性質的誤用、三角函數遞增與遞減性概念缺乏、三角 函數的平方關係的概念缺乏、誤以為三角函數具有線性性質、三角函數的正負 判斷錯誤、三角函數的奇偶性概念缺乏、三角函數的疊合性概念缺乏、三角函 數圖形與平移概念缺乏、三角函數圖形的對稱性概念缺乏及三角函數的週期與 振幅的概念缺乏[16]。

整體而言，研究者賴潔芳 (2003) 歸納，學生在三角函數學習產生錯誤的主 要原因為 (一) 思維經驗的負遷移及典型的視覺心像影響；(二) 因概念不清楚未

能獲得新知識或同化後而產生錯誤；(三) 對定義的不了解；(四) 函數圖形的變 化性質不了解。

2.3.2 三角函數教學方法研究 z 融入數學史於三角函數教材

研究者陳建丞 ( 2002 ) 於《 融入數學史教學對高一學生數學學習成效─以「和 角公式」單元為例 》[16]發現「融入數學史的教學」雖未能比「傳統式教學」

更能提升學生數學學習成就，但是卻無負面的影響。「融入數學史的教學」的 實驗組學生在數學學習態度呈正向的改變，並且達到顯著；實驗組學生與對照 組學生在數學學習態度量表前後測的變異數分析上，也達到顯著差異。研究者 從學生繳交的數學史心得報告中發現，學生很喜歡這些數學史資料，它帶給學 生相當大的衝擊與感動，不只在對數學的認知，更在學習興趣上和引發動機上 有相當大的幫助，但對學習成就較低之同學幫助不大。研究者從學生填寫的融 入數學史教學感受量表與問卷中發現：學生對數學史融入教學都十分肯定，有 助於學生學習的融會貫通。但在教材的設計不應太多而造成學生學習上的壓 力；課程的難度要衡量學生的程度，避免太難而造成學生無力閱讀。研究者並 發現，數學史融入教學增加了學生邏輯思考的機會，也讓學生對數學的概念更 加清晰。

z 科技輔具融入三角函數的教學

余酈惠 ( 2003 ) 在《 高雄市高職學生運用 GSP 軟體學習三角函數成效之研究 》 [17]發現，學生在三角函數的學習成就上，運用 GSP 軟體學習三角函數的實驗 組與沒有運用 GSP 軟體學習三角函數控制組在學習成效上並無顯著差異。低分 群學生在三角函數的學習成就上，運用 GSP 軟體學習三角函數的實驗組顯著優 於控制組。GSP 輔助學習對於基本概念或抽象概念的建立有顯著的成效，GSP 輔助學習可促進學生對課程的理解並加深對課程的印象，有效提昇學生學習興 趣，運用 GSP 軟體學習三角函數的學生對使用 GSP 輔助學習持正向肯定的態 度。將高職三角函數課程融入 GSP 軟體來輔助學習，以 GSP 輔助學習引發學習 興趣，促進概念的建立與釐清，利用傳統學習訓練數學運算技能的學習方式值 得推廣。

z 網路課程複習三角函數單元

此網路課程的教學平台為設在中山大學，網址為 http://ds.ks12.edu.tw

研究者吳英孝 (2004)《 網路化數學學習之成效研究-以高中三角函數複習為例 》 [18]發現，網路學習確實可以幫助學生作有效學習；而由研究者吳英孝觀察受試 者之學習歷程，發現閱讀時間的長短與學習成效有顯著正向相關。由態度問卷 發現學生普遍認為網路學習是增進學習效果的；並且認為 Flash 教材中一步一步 的學習過程對於改善迷思概念有幫助。使用此網路平台學習的自然組學生學習 效果顯著，但社會組不顯著；社會組學生閱讀時間對學習成效有顯著正向相 關，但自然組不顯著。

2.3.3 對本研究的啟示

學生學習三角函數認知錯誤類型和探討認知錯誤類型的成因之研究論文，皆描 述了學生學習三角函數時的困難處。在課程與教學的觀點下，造成學生對於三 角函數知識內容產生迷思概念或學習困難的原因，除了教學方法可能不適合之 外，教材內容在銜接組織與編製結構上的缺失也是可能影響因素之一。因此本 研究將以探討教科書文本的方式，輔以英國教材為參考對象，詮釋鋪陳三角函 數相關知識的教材內容、分析輔助學習三角函數之工具，如：電算器或網路之 使用及相關教學法，提出可供三角函數單元教材編製之意見。

2.4 概念構圖理論與應用

本研究之研究目的為探討三角函數相關課題之主題編排及詮釋三角函數分別在 台灣與英國數學課程中的連結。而概念圖是將概念以整合、階層方式表現其間 相互關係的工具，將概念間的關係以圖形表示，描繪其知識結構；概念與概念 以標籤線連結且概念間有其從屬關係與相互關係[19]。由於概念圖對於本研究 可以更具體地圖示呈現出所探討之三角函數相關知識間的連結關係，故本節將 從「概念圖相關學理」和「概念圖在課程發展上的應用」兩個方向探討概念 圖。

概念繪圖是用來深入於敘述架構之概念意義的圖示設計。概念繪圖法是一 種圖示法的敘述技巧，經由概念繪圖法，可獲得一個概念圖。將「概念繪圖」

的觀念應用於教學中，無論在課程設的設計、組織及內容方面，概念繪圖的應 用是一種強而有力的教學工具。教師可藉由學生繪出的概念圖，了解學生的認 知結構，並指出學生的錯誤概念。近年來國內外教育界逐漸採用概念繪圖的評 量方式，以了解教師教學效率與學生學習情形[20]。

2.4.1 概念圖之相關學理

基於 Ausubel 所提出的同化理論，概念圖使概念間的關係外顯，可當作進一步 學習的前導組織，所以有助於促進有意義的學習[21]。在概念圖中所描述的知 識是脈絡相依的，不同的概念圖中的相同概念是依照其在圖中相對的上位概 念、連結語的差異與個別概念間的安排等而傳達著不同的意義。

概念圖各有其特殊性，他們透過有效命題描繪出某一領域中的關鍵概念，

然而也反映出構圖者的經驗與知識，這樣的特徵使概念圖特別有助於舉例說明 情境脈絡如何影響知識結構與知識如何應用的方式，如本文之 4.3.3 節。因為概 念彼此之間相互連結的網路圖形，得以說明意義與理解整合的本質，而使得知 識能夠動態呈現。

學生在學習過程中建立數學概念，除概念構圖可以掌握學習內容間的關係 外，在學習主題內教師也可提供適當的數學模型概念圖以輔助學生學習，研究 者 Lesh、Post 和 Behr 討論了概念的五種表徵[22]，如圖 2-4-1，分別為「圖

像」、「操作模型」、「書面符號」、「現實生活情境」和「口述語言」，研 究者 Lesh、Post 和 Behr 指出這五種表徵間及其內部的轉換可幫助形成新的概 念。

圖像

操作模型 書面符號

現實生活情境 口述語言

圖 2-4-1 數學概念的五種表徵

2.4.2 概念圖在課程發展上的應用

研究者 Lloyd 認為一本教科書，在設計上應該是提供的概念總數較少，且都 能針對每個所提供的概念提出更進一步詳實且精緻的補充說明者，才是一份好 教材，因為這些精心設計及補充說明能夠提供更多複雜的概念聯結關係，可促 進學習和幫助回憶。在科學和數學教育的課程改革中，已經從背誦公式和強調 演算技巧的機械式學習，轉變到強調以學科主題結構為主的學習。因此，課程 設計與發展應以學科主題知識為核心，圍繞此核心，進而開發出結構嚴謹精 良、概念補充說明詳實精緻，及強調有意義學習的課程知識。

有鑑於此，學者 Posner & Rudnitsky 以及 Novak & Gowin，建議把概念構圖 當成是課程發展過程的一部份。他們把課程計劃分成三個待解的問題領域，分 別是：目標、理由和方法。目標是指，要學習的是什麼？理由是指，為什麼要 學習它？方法：如何學習又該如何改善學習？然後，再根據這些議題，應用概 念構圖去嘗試回答或解決它們。而有另一批學者 Starr & Krajcik 等人，則強調

「概念圖的修改」在課程發展中的重要性；也就是在任何課程領域中的概念圖 發展過程，都是一種動態、互動和具有挑戰性的過程，隨著概念圖不斷地被修 改，可以立即引發注意和發展概念間的聯結關係[23]。

2.4.3 對於本研究之啟示

對於概念之間的聯結和銜接性，概念構圖提供了一個有架構的思考模式，相信 對於本研究和教材設計者，會有正面的影響。研究中將探討三角函數相關知識 在教科書上呈現的表徵，也期望以一種有系統概念構圖呈現與三角函數知識相 關之主題或內容間的關聯性。

第 3 章 研究方法與實施期程

本研究主要目的是從台灣、英國的數學教科書中，陳述、比較、分析並且詮釋

「三角函數的先備知識」之舖陳和差異。基於研究主題、特性和研究目的，本 研究選用內容分析法、比較教育研究法和文獻探討進行研究。本章內容依序為 研究對象、研究方法及研究步驟。

3.1 研究對象

本研究之研究對象為關於「三角函數」概念之教材內容。所選用的教科書分別 為台灣和英國的課本，分述如下：

1. 台灣教材研究對象為根據民國 90 年訂定之「九年一貫暫行課程標準」所發行 之教科書，以南一版為主，其他出版社的版本做參考用之。

2. 英國教材研究對象為依據英國「國定標準數學課程綱要」所出版之教材，國 小（KS1-KS2）部分為 Elmwood Press 出版之「Target Maths」；國中（KS3）

部份為劍橋大學於 2003 出版之「SMP INTERACT FOR THE MATHEMATICS FRAMEWORK」（core）；高一（KS4）部分為「SMP INTERACT FOR GCSE MATHEMATICS」，且此為英國廣泛使用的教科書[8]，在本研究論文中，英國 小學（KS1、KS2）、中學（KS3）及高中（KS4 for GCSE）之數學教科用書將 分別簡稱為「Target Math」、「SMP」及「for GCSE」。

劍橋大學依照《標準》制定的 KS3 SMP 教科書分為三個系列，分別是 T series（最淺），S series（中等）及 C series（最深）。本研究所選用的是 S series [E2]。S series 分為三本，研究中將分別稱為 7S、8S 和 9S，適用的對象分 別為一年級，二年級和三年級的英國中學生。

關於 S series 介紹如下：

7S 強化並且複習英國國定數學能力指標 level 4 的內容、主要學習 level 5 的內 容、先備一些 level 6 的延伸內容。

8S 完成並且深化 level 5 的內容、主要學習 level 5 的內容。

9S 複習一些 level 5 的內容、完成並且深化 level 6 的內容、先備一些 level 7 的 延伸內容 [E3]。

3.2 研究方法

3.2.1 選用之研究方法

• 內容分析法

本文以後設論述的內容分析法分析教科書文本為主，輔以語意學的方法認識教 科書發展背景協助研究。一般教科書評鑑規則可分為四大屬性，就是內容、教 學、實體、行政（出版特性）等四屬性[24]。本文將就內容屬性的部分，也就 是理論基礎、目標、範圍和順序、主題選擇、知識正確性和時效性、潛在課程 等，作出描述、分析和詮釋。其他三個屬性也將視研究中之所需適切論述。針 對教科書內容特性進評估，主要仍以三角函數的相關知識對教科書進行特定性 的分析。

• 比較教育研究法

本研究採用 George Z. F Beredy 的比較教育研究法。系統性地閱讀我國與英國教 科書單元內容的描述，進而針對兩國的數學科三角函數之相關單元進行單元內 的解釋，並就三角函數相關知識的連結進行數學課程中單元間分析。本論文依 年級將台灣與英國的數學科教科書內容進行並列摘錄，從中針對有關三角函數 內容與其先備知識的概念鋪陳，深入探討比較之。

• 文獻探討

本研究蒐集相關之一手或二手資料，尤其在教科書方面，除了所探討研究對象 之教材版本，也參考其他版本教材，並依據相關課程與教學理論，以便提出更 具體的分析內容和佐證資料。像是 4.3 節及附錄中提出的概念構圖，皆是參考 自其他版本之教師手冊，也幫助研究者確立了與三角函數知識相關的數學主 題，提供了 1.3.2 節中的第一個待答問題的解答。

3.2.2 選用研究方法之探討

由於本研究之對象為教科書，一般研究者皆以內容分析法執行類似的研究，而 關於內容分析法的研究相當多，使用內容分析法的研究更比比皆是，故本節將 對內容分析法作重點描述，然後摘述研究者挑選之數學教育論文在相關研究法 上使用情形。

• 內容分析的意義

傳統上教科書分析最常用內容分析法[25]。內容分析也稱為資訊分析或文獻分 析。內容分析是客觀、系統及量化敘述明顯的傳播內容的一種研究方法。在許 多領域的研究，常需要透過文獻獲得資料，因此內容分析研究法便有其價值與 採用的必要，該研究法與史學家使用的歷史研究法類似，惟後者以探討較遙遠 的過去的紀錄為主，而內容分析主要在解釋某特定時間某現象的狀態，或在某 段期間內該現象的發展情形[26]。

內容分析在方法上是注重客觀、系統及量化的一種研究方法。在範圍上，不僅 分析傳播內容的信息，而且分析整個的傳播過程。在價值上，不只針對傳播內 容做敘述性的解說，而且推論傳播內容對於整個傳播過程所發生的影響。

• 內容分析的方法[25]

1. 以「量」為取向的內容分析法

首先必須決定分析的目標或項目，並依據所決定的目標或項目，將資料內容系 統化的分類與數量化的統計。量化內容量化時所採用的標準分類，較常用的分 析單位有：字、主題、人物、項目、時間與空間等。

2. 以「質」為取向的內容分析法 (1) 後設論述的方法

後設論述是作者對教科書論述的論述，是作者有意的或無意的介入論述之中，

以引導讀者，而不僅告訴讀者某些內容。

後設論述可以使作者向讀者宣布內容最迷人的地方，改變主題，指出重要 的理念，注意讀者的存在，表明對一件事情的態度，協助讀者了解教科書的內 容，及作者的觀點。後設論述可以協助讀者重組原作者的撰寫計畫，使讀者對 教科書的內容、目標、結構、組織、話題、形式等先有一種心理準備，引起對 教科書的興趣和注意，進而更了解教科書的基本論述。

後設論述不像以「量」為取向的傳統內容分析法，它不重視內容出現的次 數，而是強調構成基本論述的基礎，並探討課程的環境脈絡。後設論述也不僅 重視教科書內容本身，即基本論述的分析，而且強調深入探討影響基本論述的 因素或基礎，由此了解課程的整體脈絡。

(2) 語意學的方法