整數四則的教材分析

一、整數四則運算概念

四則運算主要源自問題情境的需求和解題時的意義為簡化四則運算繁複的 過程，以便快速獲得結果。人們基於先運算部分先記的習慣，而形成由最左往右 依序運算的約定；但當解題步驟越來越多，或運算次序產生混淆，無法完成由左 而右依序運算時，為了區分先算什麼，後算什麼，就開始使用括號來表示先算的 部分；然而，當問題的併式更複雜，需要更多的括號來表示時，為了減少括號的 使用次數，人們發現先乘除後加減的約定可省略的括號又更多，因此又有了先乘 除後加減的約定，來省略式子中括號的數量（謝堅，2000）。

二、整數四則運算規則

在國小的四則運算文字題，如果依照運算步驟可分為「單一步驟文字題」、「二 步驟文字題」、「多步驟文字題」，而多步驟運算概念比單一步驟及二步驟還要困 難，為了使算式更加簡便，以便處理更深入的問題，所以將二個以上的運算式併 記成一個式子，就需要規則來制訂。其規則如下：（康軒文教事業股份有限公司，

2009）

（一）當一個算式中只有加法和減法（或是只有乘法和除法）時，即單純一個 運算符號或是一步驟，我們稱「單步驟」問題，也就是由左往右算，因 為數學書寫都是由左邊寫到右邊，所約定的即是由左往右算。

（二）當式子中有乘除運算和加減運算混合時，我們約定先算乘除，再算加減 部份。會有這個約定原因是乘法是「連加」概念，除法是「連減」概念，

然而乘除法又是加減法的上位概念，因而乘除法比加減法更有優先權。

（三）當式子中有加減運算混合，為了想先處理加減運算問題，或是部分加減

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問題或乘除問題，一定要先處理後面的運算時，這時候需要加一個符號 來區分，來打破先乘除後加減，以及由左至右的運算限制。我們就把這 個符號用括號來表示。

（四）當式子中有加減乘除運算及括號時，我們約定括號內的式子要先算，然 後乘除比加減先算，最後才由左至右運算。

由以上的規則，研究者歸納出學童解整數四則運算文字題的步驟為：

1.在產生併式時，人們先形成了由左向右依次運算的共識。

2.當步驟愈多的時候，為了區別先算什麼，再算什麼，才用括號來標示先算 的部分，因而形成先算括號部分的共識（括號內先算 由左到右）。

3.當問題更複雜時，使用的括號數愈多時，由於日常生活中，先乘（除）後 加（減）的情境會比先加（減）後乘（除）的情境多很多，如果要減少括 號的使用次數，當然優先省略了使用頻率較多的情形，也就是省略乘、除 部分的括號；換句話說，就是形成先乘除後加減的共識，可以最經濟的使 用括號，無法省略掉的括號仍然是需要優先處理的部分（括號內先算 先 乘除後加減 由左到右）。

4.因為等號是等價關係，滿足了遞移性，最後利用等號一步一步的完成四則 混合算式。

三、整數四則的教材分析

依據民國97年教育部公佈的國民中小學九年一貫課程綱要，將數學內容分為 數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。研究者整理了有關整數四 則運算的分年細目如下：

第一階段二年級學童能在具體情境中，解決兩步驟問題（加與減，不含併式）

(2-n-09)。從日常生活的問題情境中，引入兩步驟問題，應將各個步驟分開列式且 記錄下來，在二年級時不處理併式的問題。舉例說明：「有輛公車上有25位乘客，

到站時，從前門下去8位乘客，後門上來3位乘客，車上現在有幾位乘客？」讓學 童先讀懂題意，再練習解決問題，先處理25－8＝17，再做17＋3＝20。在二年級

的另一分年細目也是解決兩步驟問題，只是多了乘法的步驟（加、減與乘，不含 併式） (2-n-10)，例：「一盒麻糬有8粒，買了3盒又5粒，總共有多少粒麻糬？」

一開始讓學童先讀懂題意，再分段解決問題，先算3盒有幾粒(8×3＝24)，再加上5 粒(24＋5＝29)，總共有29粒。

第二階段三年級能用併式記錄加減兩步驟的問題(3-n-03)，此為綱要第一次出 現併式之學習，三年級只要處理最簡單的加減兩步驟問題，讓學童學習將兩步驟 的算式記為一個加減混合的算式，並加以計算。學童在二年級時已能將具體情境 的問題列成兩個算式，到了三年級時，開始學習併式，針對題意直接寫出一個式 子，並解出答案。例：「爸爸身上有500元，去提款機領了3000元，請朋友吃飯花 了1650元，爸爸還剩下多少元？」算式直接列出一個式子，500＋3000－1650＝

1850，爸爸剩下1850元。另一個是學童能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、

減與除，不含併式）(3-n-07)，繼續二年級的能力指標進行兩步驟的解題，只是多 了除法，包含了除法的兩步驟問題，必須要特別小心餘數的處理。例：「一大桶 牛奶300公升，用掉了70公升後，5公升裝一瓶，全部裝完需要幾個瓶子？」先算 用去70公升的牛奶剩多少，再算需要幾個瓶子，算式為300－70＝230，再用230÷

5＝46，需要46個瓶子。另外一個是學童能在具體情境中，解決兩步驟問題（連 乘，不含併式）(3-n-08)；舉例說明：「一盒布丁有3個，每8盒裝一箱，6箱共有多 少個布丁？」讓學童先算出每箱布丁有3×8＝24個布丁，那6箱布丁共有24×6＝144 個布丁。

第二階段四年級學童能熟練整數加、減直式計算及較大位數的乘、除直式 計算，是四年級的重要教學目標。學童能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學 習併式的記法與計算(4-n-04)，併式在解題過程雖非必要，但可作為日後代數學習 的前置經驗，並也可以讓學童理解四則混合計算的應用，在本細目中，應引用括 號的使用，讓學童知道括號中的運算應該要先計算。例如：「一桶軟糖有100顆，

小如每天吃6顆，一星期後，還剩下多少顆軟糖？」問題的解法可以列成一星期

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共吃了6×7＝42顆，一桶共100顆軟糖，吃了42顆後還剩下100－42＝58顆軟糖。

可併式記成100－(6×7)＝58。另一個分年細目為學童能作整數四則混合計算（兩 步驟），在初步學習整數四則混合計算時，其約定如下：1.有括號時，括號內的運 算先進行。2.當式子中只有乘除或是只有加減的運算時，由左向右逐步進行。3.

先乘除後加減。且在整數四則混合運算，除法應該能整除。

第三階段五年級學童能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算

(5-n-02)，本細目要求學童能做三步驟應用問題，並儘量用併式方式來思考與運 算，例如：「三人出外旅遊，共花住宿費2400元，飲食費1300元，汽油費1250元，

若三人一起分攤旅費，問每人平均分攤多少元？」讓學童能用併式列出算式來，

可列出(2400＋1300＋1250)÷3＝1650，所以每人平均分攤1650元。另外也讓學童 能熟練整數四則混合計算(5-n-03)，這是小學對於整數四則混合計算的總結細目，

學童應能熟悉各種混合計算的約定，也希望在練習中能利用整數四則運算性質來 簡化計算，加深學童對整數四則混合運算的熟悉度。此整數四則運算的性質是指 加法、乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律，所以本研究也是針對五 年級的教學課程，讓學童能有正確概念，能利用所學，熟練應用在四則運算的能 力中。