• 沒有找到結果。

國小五年級學童整數四則運算文字題解題歷程之研究

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "國小五年級學童整數四則運算文字題解題歷程之研究"

Copied!
84
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授:胡豐榮 博士

國小五年級學童整數四則運算

文字題解題歷程之研究

研究生:詹麗雯 撰

中 華 民 國 一 ○ 二 年 六 月

(2)

謝 誌

這時候的我,心中有著無限的喜悅,回想起剛踏入研究所生涯,轉眼間已經 過了兩年,還好有許多人的協助與陪伴,論文終於順利完成! 首先,我最感謝指導教授胡豐榮老師的耐心指導,總是不斷的給予我鼓勵, 不斷的提供我研究方向,在繁忙之際仍不厭其煩地教導我論文研究方法,提供寶 貴的建議,使論文內容更加完整。同時,還要感謝口試委員許天維教授和辛俊德 教授,在百忙之中撥冗費心的審閱論文,並提出寶貴的意見及建議,讓我的論文 能更加完善。 再來,我要感謝系上所有教過我的老師,認真謹慎的治學精神及諄諄善誘 下,獲益匪淺,讓我開拓知識的另一個視野。也要謝謝研究所同學巧瑩、美娟、 秀容、君玲、家瑋、奕萱、慧如及其他同學的互相勉勵,在我的學習遇到瓶頸時, 給了我許多建議及協助,因為有你們的陪伴,讓我在碩士生涯中,一點也不孤單; 尤其巧瑩總是時時督促我的進度,一起研究、奮鬥的日子雖然辛苦但也令人懷 念,真是太感謝妳啦!除此之外,也謝謝任教學校諸多同事的協助與鼓勵,勛楷 積極督促我考研究所,在讀書期間三不五時請他幫忙,總是耐心教導,讓我獲益 良多,謝謝你們的鞭策與鼓勵,我的論文才能如期完成。 最後更要感謝家人的支持與鼓勵,尤其我的爸媽,照顧我的小寶貝冠鑫,替 我減輕了負擔,讓我可以專心於課業上;而寶貝女兒冠男,她的天真可愛,是我 努力時的最大動力,讓我有充足的精神去應付論文寫作;還有感謝公婆的照顧與 體諒,以及我最親愛的老公,謝謝你的包容和支持,你是我最大的後盾,讓我無 後顧之憂的完成學業。 要感謝的人太多了,這份榮耀與喜悅和你們一起共享,並致上無限感激! 詹 麗 雯 謹誌 民國 一百零二 年 六 月

(3)

I

摘 要

本研究主要在探討國小五年級學童整數四則運算文字題解題歷程表現及錯 誤類型。採研究者自編之「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」為施測工具, 以臺中市一所國小,六個班級共 163 位一百零一學年度五年級學童為研究對象, 施測資料採量化統計分析,並從學童的晤談中瞭解學童的解題表現及錯誤類型。 研究結果可歸納如下: 一、受試學童在四則運算文字題解題歷程各概念的表現,以「加、減兩步驟」 的答題表現較佳;其他依序為「加(減)、乘兩步驟」、「加(減)、除兩 步驟」;而「乘、除兩步驟」的答題表現較差。 二、受試學童在四則運算文字題解題歷程各步驟的表現,以「問題轉譯」及 「問題整合」步驟的表現較佳,其次是「解題計畫與監控」步驟;再來 「解題執行」步驟的表現較差。 三、「高分組」的學童在整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各步驟的得分 均優於「中分組」及「低分組」學童。 四、受測學童在各解題步驟的解題表現均呈現顯著相關。 五、錯誤類型:計算錯誤、算式表徵不完整、不懂運用括號區分計算次序、 看錯題目的數值、使用關鍵字解題錯誤、語意理解能力不足、缺乏數學 知識與概念、隨意變更解題目標、忽略已知訊息及錯用資訊、四則運算 規則運用錯誤、任意使用運算符號。 關鍵字:整數四則運算、文字題、解題歷程

(4)

Fifth Graders’ Solving Process in Solving Integer Word

Problems within The Four Fundamental Operations

Abstract

This research focused on the discussion of fifth grade students’ performances and types of errors in the process of solving integer word problems within the four fundamental operations. The study employed the "Performance Test of Arithmetic Operations in Solving Integer Word Problems" designed by the author to examine the performances of 163 fifth-graders from six classes at an elementary school in Taichung City during the 2012 academic year. The test results were translated into quantitative data analysis, and the problem-solving performance and types of errors were surveyed through interviews with students.

The finding summary was as below:

1.Regarding the concepts in arithmetic word problem solving process, target students performed in order from the best to the worst were “addition followed by subtraction”,“addition/subtraction followed by multiplication”, “addition/subtraction followed by division”, “subtraction followed by division”.

2.Regarding the procedures in arithmetic word problem solving process, students performed the best at "problem translation" and "problem integration", worse at "solution planning and monitoring," and the worst at "solution execution."

3.Students with the best overall performance also had higher scores in every procedure in the problem solving process than students whose performances ranked in the middle group and the lower group.

4.The performances of target students in every procedure of the problem solving process were all statistically significant.

(5)

III

ignorance of the order of operations and the usage of parentheses, misreading the numbers in problems, misusing keywords in problems, incompetence in text reading, lack of mathematical knowledge and concepts, misunderstanding questions, neglect or misuse of provided information, false usage of the rules of the four arithmetic operations, false usage of mathematical symbols.

(6)

目 錄

第一章 緒論

第一節 研究動機………1 第二節 研究目的與待答問題………3 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究範圍與限制………4

第二章 文獻探討

第一節 數學解題歷程與文字題的相關理論………5 第二節 整數四則的教材分析 ………15 第三節 四則運算與文字題解題歷程之實徵研究 ………18

第三章 研究方法

第一節 研究架構 ………23 第二節 研究對象 ………24 第三節 研究工具 ………24 第四節 研究流程 ………27 第五節 資料處理與分析 ………29

第四章 研究結果與討論

第一節 整數四則運算文字題的解題表現分析 ………31 第二節 不同能力之學童解整數四則運算文字題之差異 ………37 第三節 整數四則運算文字題解題歷程錯誤類型分析 ………42 第四節 綜合討論 ………53

第五章 結論與建議

第一節 結論 ………55 第二節 建議 ………57

(7)

V

參考文獻

一、中文部分………59 二、英文部分………63

附錄

附錄一 「整數四則運算文字題解題歷程測驗」題目………66

(8)

表 次

表 2-1 Mayer 解題步驟、成分及所屬知識類型………11 表 3-1 測驗預試難度、鑑別度分析表………26 表 4-1 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念………32 表 4-2 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現………33 表 4-3 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各概念得分表現………33 表 4-4 整數四則運算文字題解題歷程各步驟答題表現………34 表 4-5 不同性別「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各概念得分…………35 表 4-6 不同性別「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各步驟得分…………36 表 4-7 整數四則運算文字題解題歷程各步驟的相關分析………37 表 4-8 不同能力之學童於整數四則運算文字題各概念表現………38 表 4-9 不同能力之學童於整數四則運算文字題各解題步驟之表現………39 表 4-10 不同能力之學童在問題轉譯步驟之變異數分析摘要表 ………39 表 4-11 不同能力之學童在問題轉譯步驟事後比較摘要表 ………40 表 4-12 不同能力之學童在問題整合步驟之變異數分析摘要表 ………40 表 4-13 不同能力之學童在問題整合步驟事後比較摘要表 ………40 表 4-14 不同能力之學童在解題計畫與監控步驟之變異數分析摘要表 …………41 表 4-15 不同能力之學童在解題計畫與監控步驟事後比較摘要表 ………41 表 4-16 不同能力之學童在解題執行步驟之變異數分析摘要表 ………41 表 4-17 不同能力之學童在解題執行步驟事後比較摘要表 ………41 表 4-18 加、減文字題題號及內容 ………42 表 4-19 加(減)、乘文字題題號及內容 ………44 表 4-20 加(減)、除文字題題號及內容………47 表 4-21 乘、除文字題題號及內容 ………49

(9)

VII

圖 次

圖 3-1 研究架構圖………23 圖 3-2 研究流程………28

(10)

第一章 緒論

本研究以臺中市某國小五年級學童為研究對象,探討國小五年級學童解整數 四則運算文字題解題歷程的表現與錯誤類型;採用研究者自編的「整數四則運算 文字題解題歷程表現測驗」為施測工具。施測資料採取量化統計分析,並經由和 學童間的質性晤談,分析其解題歷程的思考模式及錯誤類型,以便教師在進行文 字題教學時參考。本章將說明研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋義、研究 範圍與限制。

第一節 研究動機

隨著社會的快速變遷,學校教育所強調的主要目標之一,就是讓學生能夠彈 性的運用所學,來解決日常生活中所遭遇的各種問題,而數學學習的精髓應該包 括如何培養學生擁有數學思考及運用此項知識來解決問題的能力,是身為教育工 作者應該要關切的課題。

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,以下簡稱

NCTM)在 1980 年曾指出「解題必須是學校數學教育的重心」;此外,NCTM 亦曾

在 1989 年出版的「數學課程與評量標準」(Curriculum and Evaluation Standards for

School Mathematics)中,明白指出應該讓學生認識數學的價值和功用,有意義的

學習數學,而且對自己的數學能力有信心,同時在 1990 年提出並清楚表示「數 學即解題」 (Mathematics as Problem Solving)、並強調「數學即溝通」(Mathematics

as Communication)、「數學即推理」(Mathematics as Reasoning)、「數學即聯結」

(Mathematics as Connections);且在 2000 年出版的「學校數學課程標準與原則」

中,也指出「問題解決是學習新數學概念和技能的媒介」;同時此協會也曾在

Agenda for Action 一書中提到:「解題(problem solving)是學校數學的焦點。」(劉

秋木,1996)。

學生問題解決能力為數學教育的發展趨勢,實在有必要瞭解兒童的解題歷 程。在數學課程中,去培養學生問題解決能力,最主要就是能解文字題(或稱為

(11)

2 應用問題)為主,希望透過學生所學的知識和技能,把它運用在解決日常生活中 所遭遇的問題;且數學是學校正式課程之一,也是日常生活中應具有的能力,然 而大多數學生會感到困難,是因為大部分老師在教學時想要看到學生的學習成 果,而學生來不及消化、吸收所學到的課程內容,導致有些學生害怕解題,產生 抗懼數學的心態,所以,身為教育者應給學生足夠的時間去摸索數學,從嘗試錯 誤中找到正確的想法及概念。 然而,學者、家長和教師都有一致的共識,就是數學文字題可以作為考驗學 生的解題能力,一般而言,所有的數學問題中,文字題也是最令國小學童感到困 難的地方(許家驊,1994)。可見學生對文字題的排斥而感到困難,其原因是對 題意不清楚、或是難以理解或從文字轉換為數學形式的過程太複雜,而影響學習 成效,因此,要改善數學文字題的解題能力之研究,應是當務之急。此外,分析 學生的解題歷程可以幫助教師了解學生的思考方式,有助於教師編製一套良好的 教學策略,如果教師能了解學生是怎樣解題、如何設計有趣的教學活動,才是真 正以學生為主要的學習活動,以上就是激發了研究者想要探討國小學童解題歷程 的動機。 由於數學本來就是抽象的概念學習,需要運用複雜的心理歷程,所以不少學 者提出他們的見解,其大部分的主要內涵為:了解題意後,能作正確的轉譯,在 心理形成適當的表徵,針對題目來設計解題計畫並執行,在這過程中隨時監控每 一步驟的正確性。其中 Mayer 將數學文字題的解題歷程與其他學者的理論相比 較,在解題架構上較為完整,Mayer (1992) 將解題歷程分為「問題表徵」及「問 題解決」兩個階段,再把此兩階段細分為四個步驟,分別是「問題轉譯」、「問題 整合」、「解題計畫及監控」、「解題執行」四步驟,另外,Mayer 更進一步將各個 步驟所需的知識分為五種類型,包含語言知識、語意知識、基模知識、策略知識、 程序性知識,能深入了解學生的解題歷程及其解題錯誤的原因。 因此本研究即以認知心理學觀點 Mayer 的解題理論為依據,來探討國小五年 級學童整數四則運算文字題的解題歷程。

(12)

第二節 研究目的與待答問題

一、研究目的 根據以上的研究動機,本研究探討的主題為「國小五年級學童整數四則運算 文字題的解題歷程」之差異情形,依研究者需要所編製的測驗試題,來了解國小 五年級學童解整數四則運算文字題的解題歷程表現情形,以及探討其解題錯誤類 型,因而形成如下的研究目的: (一) 探討國小五年級學童整數四則運算文字題的解題歷程表現。 (二) 探討不同能力的國小五年級學童整數四則運算文字題的解題歷程。 (三) 探討國小五年級學童整數四則運算文字題的錯誤類型。 二、待答問題 (一)國小五年級學童整數四則運算文字題的解題歷程表現為何? (二)不同能力的國小五年級學童整數四則運算文字題的解題歷程差異為何? (三)國小五年級學童整數四則運算文字題解題歷程的錯誤類型為何?

第三節 名詞釋義

一、國小五年級學童 本研究的國小五年級學童指的是 97 學年度入學的學童。 二、整數四則運算 在數學解題理論中,能表現出兒童的語文能力與數學的概念進行統整的就是 四則運算的文字題解題表現,而四則運算(the four fundamental operations of

arithmetic)是一個整合性的運算過程,強調數的加、減、乘、除運算,所包含的 題型有一步驟、二步驟和三步驟的混合運算,而本研究所強調整數的四則運算, 是針對學童能把二步驟的運算用一個算式表示出來,多步驟運算則不在此研究範 圍內。 三、文字題 主要是藉由文字、數字形式來描述題目,提供學生運用數學的知識及計算的

(13)

4 能力,在各種情境下解決日常生活中所遭遇的問題;在本研究中只有文字和數字 的敘述方式,不包含輔助圖表。 四、解題歷程 是指學童對整數四則運算文字題的語意了解、基模正確、解題策略有效,解 題程序正確而得到正確答案的過程;學童在解數學問題時,能由文字題的問題情 境轉換為數學符號的表徵,進而表達出式子及運算過程者;亦即從知覺問題到獲 致答案等各步驟所進行一連串的整體運算過程;在本研究中依據 Mayer (1992)的 解題理論中的四個步驟:問題轉譯、問題整合、解題計畫及監控、解題執行來檢 視是否順利完成,作為具體的判別準則;解題所運用的五種知識:語文知識、語 意知識、基模知識、策略知識、程序性知識是否達到完備。

第四節 研究範圍與限制

一、研究對象 本研究對象是以臺中市某所國小一百學年度之五年級學童,實施研究者自編 的「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」,以了解學生的解題表現情形,因 施測對象有限,其結果不宜完全推論於其他地區、其他學校及其他年級的學童。 二、研究工具 本研究指的整數四則運算問題,僅限於二步驟的運算要以一個算式表示出 來,並不包含三步驟以上的運算問題。此外,數字型態僅限於整數,並不涉及分 數及小數的問題。 三、研究內容 本研究所指的國民小學數學課程,是以民國九十七年公布的「國民中小學九 年一貫課程綱要」,而所指的四則運算,是以國民小學數學課程中有關四則運算 的教材,主要以康軒版的四則混合運算內容為基準,但不涉及多步驟整數四則運 算之探討。

(14)

第二章 文獻探討

本研究藉由研究者自編的「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」,探討 國小五年級學童在學習整數四則運算文字題時,可能出現的解題表現情形及錯誤 類型,以便教師在進行教學時作為參考。本章分三小節,第一節為數學解題歷程 與文字題的相關理論;第二節為整數四則的教材分析;第三節為四則運算與文字 題解題歷程之實徵研究。

第一節 數學解題歷程與文字題的相關理論

壹、數學解題意義 解題在數學教育的重要性漸漸受到重視,而九年一貫的數學課程綱要(教育 部,2003)中更將「獨立思考與解決問題」列為十大基本能力之一,學生要學習 的不是單純計算公式,而是能有正確的思考方向和成功的解題策略。 Kilpatrick (1985) 認為可以分為心理學、社會學、數學等三個層面來探討數 學解題的意義: (一) 心理學層面: 數學解題被定義是一個情境,在此情境中,解題者想要達到某一個目標,但 此目標被阻塞了而產生了問題,需要解題者運用數學的概念、原理、與方法來尋 找答案、解決問題,即「為達成目標所進行的數學活動」。 (二) 社會學層面: 將數學問題視為老師給學生的一項任務。學生在接受老師給予的任務過程 中,可從老師的眼神或表情,來判斷自己的解題方法是否正確,所以學生在解題 任務中會與老師產生微妙的關係,彼此猜測對方的行動與意圖,由自我的觀點來 解釋對方的行為,間接影響學生的解題方向。 (三) 數學層面: 把數學問題當成是數學建構的泉源和數學思考的工具。因為透過數學解題的 教學,學生可以一步一步建構自己的數學知識,所以數學這門知識,都是數學家

(15)

6 在形成問題和解決問題過程中所創造出來的(楊瑞智,1994)。因此,數學解題 教學是建構學生的數學知識,而建構數學知識「鷹架」的過程中,扮演著舉足輕 重的地位(陸正威,1998)。 Branca(1990)定義「解題」為數學教育的目標;是運用先前經驗處理不熟悉 或新問題的過程;也是一項個人所需要的基本能力。 吳德邦、馬秀蘭認為解題是運用個人先前舊有的經驗、知識、技巧和瞭解, 去滿足未能解決問題情境的要求(吳德邦、吳順治,1991) 。 Mayer(1992)認為問題情境有三個特徵:1.已知訊息或狀態。2.逹成目標狀 態。3.障礙。所以「解題」是從已知狀態移動到目標狀態的歷程。因此學生在解 題過程中,必須閱讀問題、分析問題及解釋訊息,就像做決定般(Cawley & Miller,1986)。 綜合以上學者對「解題」所提出的定義,研究者將數學解題定義為「在一種 情境下,為了解決問題而將這種複雜的情況,運用所學的分析、推理及應用能力, 進行一連串的自我要求、發現和思考活動歷程」。換言之,能讓學生自發性去嘗 試各種方法解決問題,更能創造多元的解題思考策略。 貳、數學解題歷程 在數學解題歷程研究方面,有些學者提出許多的歷程模式,以下將提出數學 解題模式,說明如下: 一、Polya 的數學解題歷程模式 (蔡坤憲譯,2006;Polya, 1945) 波蘭數學家 Polya 是最早有系統地提出解題策略的學者,在其中所著「怎樣 解題」(How to slove it)的書中,將數學解題歷程分為四個階段,並以問題方式呈 現各階段所包含的成分。

(一)了解問題(understand):能夠清楚知道未知數是什麼、有些什麼條件、還有

哪些可運用的各種表徵,來加以協助。

(二)擬定計畫(plan):找出已知數和未知數之間的關係,根據條件或有關的定

(16)

(三)執行計畫(carry out):根據所擬定的策略及程序來運作或進行解題,並仔 細檢核每一步驟獲得答案。 (四)回顧解答(look back):重新檢驗解題歷程、答案是否合理,並找出其他的 解決方法,並嘗試用這個方法應用到其他的問題上。 Polya 提出的數學解題四步驟,能夠協助教師進行解題教學,讓學生能夠將 這些問題變成自己的一種思維習慣,最後成為一個獨立的解題者。這其中的步驟 不一定要循序前進,可在此四階段中反覆地來回,但藉由一連串的問題思考,可 以協助解題歷程的進行。 二、Lester 的數學解題歷程模式 Lester (1980) 提出「認知-後設認知」的解題模式,把數學解題歷程分成六 個階段: (一)問題的覺知(problem awareness):解題者對所面臨的情境,可察覺到是個 問題,並有意願想解決問題。 (二)問題的理解(problem comprehension):包含以下兩部分 1.轉譯(translation):解題者把問題的訊息轉譯成自己了解的語句。 2.內化(internalization):解題者挑選相關訊息並判斷其相關程度。 (三)目標分析(goal analysis):分析問題的結構,或把問題分成多個子目標, 思考著其他方法是否也可以達到目標。 (四)計畫的發展(plan development):解題者擬定一個計畫或可行策略,並了解 解題進行的方法和程序。 (五)計畫的執行(plan implementation):解題者確實實施擬定好的計畫,並且要 注意使用這個策略正確嗎?計畫的步驟順序正確嗎?是否可使用不同的 順序?

(六)程序和解答的評估(procedures and solution evaluation):檢驗答案是否有意

(17)

8

三、Schoenfeld 的數學解題歷程模式

Schoenfeld (1985) 所 提 出 的 數 學 解 題 模 式 , 在 其 著 作 「 數 學 解 題 」 (Mathematical problem solving)一書中,強調著數學解題的成敗,應考量四個因素:

1.資源(resources):解題者所擁有與數學解題有關的數學知識,如事實、運 算程序、命題的知識。 2.捷思(heuristics):解題歷程中用來解決困難或不熟悉的題目之解題策略、 技巧,如簡化問題、畫圖、倒著做、猜測等。 3.控制(control):關注在解題時,資源的管理與分配,包含如何計畫、監控、 評估、決定、校正等後設認知的活動。 4.信念系統(belief system):是指解題者本身的數學觀點、對數學的看法。 Schoenfeld 加入「後設認知」和「信念系統」這兩個概念在 Polya 的解題 步驟中,並以「放聲思考」(thinking aloud)的方法,獲得轉移資料(鄭惠萍,2007)。 他認為上述因素彼此交互作用,而控制因素較其他三項更具關鍵性地位,因為如 何 有 效 的 運 用 資 源 、 如 何 選 擇 適 當 的 策 略 , 都 是 控 制 因 素 所 主 導 。 因 此 Schoenfeld(1985)將解題歷程分為六個階段: (一)閱讀(read):閱讀問題,即解題者為了更了解題意所複述題目中的重點情 形。 (二)分析(analysis):了解問題陳述、簡化問題,有系統地重新陳述問題,尋 找解題方法。 (三)探索(exploration):尋找已知條件、未知條件及利用相關問題來找出新的 資訊,即尋找解題路徑。 (四)計畫-執行(planning-implementation):擬定計畫,並檢視計畫是否與問 題有關及評估計畫的適當性,即依此路徑規劃解題步驟並逐步執行。 (五)驗證(verification):對過程及結果的檢視是否合理與正確。 (六)轉移(transition):是對解題當前狀態的評估;或直接採用新的方法解題? 評估採取新途徑所產生短程或長程的影響?可以發生上述五步驟的任一

(18)

部分。 四、Musser 與 Burger(1988) 數學解題歷程模式 Musser 與 Burger(1988) 把數學解題當成是一種回饋過程,包含由原來問題 轉換成數學算式,再算出解答,說明原來的問題情境並加以核對,這四個階段 彼此具有相互關係而非彼此獨立的一種連續歷程(古明峰,1998),如下: (一)轉譯:解題者需要先將數學問題轉換成數學算式。 (二)解答:將數學算式求解答。 (三)解釋:將所求得的答案來說明問題。 (四)核對:將答案與原來的問題相核對。 五、Mayer 數學解題歷程模式 Mayer(1992)結合了認知心理學及訊息處理觀點,對解題歷程及解題步驟所 涉及到的知識作結構性的分析,將解題歷程分為問題表徵、問題解決兩個階段, 而每個步驟運用的知識也不一樣,因此他將數學解題分為四步驟:問題轉譯、 問題整合、解題計畫及監控、執行解題,他也認為解題時必須具有五種知識類 型: (一)語言知識(linguistic knowledge):能讀出題目的能力,並了解問題條件 與解題目標。 (二)語意知識(semantic knowledge):與現實生活事物相關的知識。 (三)基模知識(schematic knowledge):根據問題結構分類,如能用具體事 物、符號、圖畫來表徵問題的能力。 (四)策略性知識(strategic knowledge):運用已有的知識來檢視問題的解答 能力,以及執行的程序。 (五)程序性知識(procedural knowledge):如何呈現一切的運算知識,使其 逐步接近問題的答案。 根據上述,Mayer 強調數學不只是獲得正確答案而已,更應重視問題解決 的歷程,於是 Mayer(1992)將解題歷程分為兩階段、四個步驟:

(19)

10 (一)問題表徵(problem representation) 1.問題轉譯(problem translation):能將每一個陳述句轉變為個人的內在心 理表徵,也就是能理解每個句子或主要語句之間的關係,且能對句子加 以解釋的,知道問題的已知條件及解題目標,此轉譯過程需要瞭解句子 意義的「語言知識」和「語意知識」。 2.問題整合(problem integration):對問題加以分類來認識問題類型、從有 關及無關訊息的區分去選擇有用的資料來解決問題、能用圖示或畫圖來 表示問題的整合,也就是需要有「基模知識」來整合問題資料,而統整 成連貫一致的問題表徵。 (二)問題解決(problem integration)

1.解題計畫及監控(solution planning and monitoring):包含了「數字語句」、 「方程式」,或是「必需的運算列式」來表示問題、或建立次目標、下 結論等,能夠擬定、監控解題計畫的,這需要有如何解決問題的「策略 知識」。 2.解題執行(solution execution):能夠進行單純計算、連續計算、正確執行 解題計畫、應用算術法則,準確地執行加減乘除運算的知識,就需要有 「程序性知識」。 他舉了一個地磚問題,來說明解題的五種知識類型: 1.語言的知識,如認字能力。 2.語意的知識,如 1 公尺等於 100 公分、正方形的四個邊是等長。 3.基模的知識,如長方形面積等於長乘以寬。 4.策略的知識,如要先設定好子目標,算出房間的面積以及需要多少磁磚, 再算總共要花多少錢。 5.程序性知識,如能做乘除法的計算。

(20)

表 2-1 Mayer 解題步驟、成分及所屬知識類型 (整理自林清山譯,1991:391-394;王雅蘭,2002:11;Mayer, 1992:459) 題目:地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 22 元,那麼一個長 18 公尺寬 12 公尺的矩形房間,若鋪滿地磚一共要 花多少元? 步驟 成分 知識類型 以地磚為例 解題技巧 語言知識 長 18 公尺寬 12 公 尺的矩形房間 1.重述問題已知條件 2.重述問題解題目標 問題轉譯 語意知識 1 公尺等於 100 公分 3.認識有關及無關的 資料 4.決定解答所需要的 資料 問題 表徵 問題整合 基模知識 面積=長×寬 5.認識問題的類型 6.決定解答所需要的 資料 7.用圖示或圖畫來表 示問題 解題計畫 與監控 策略知識 步驟 1:用 18 公尺× 12 公尺來算房間面 積。 步驟 2:用 0.3 公尺 ×0.3 公尺來算每塊 的地磚面積。 步驟 3:把房間面積 除以地磚面積求出 所需地磚數量。 步驟 4:用地磚價錢 乘以地磚數求出所 花的總價。 8.以「數字」語句或「方 程式」或「必須的運 算列單」來表示問題 9.建立次目標 10.下結論 問題 解決 解題執行 程序性 知識 18×12=216 0.3×0.3=0.09 216÷0.09=2400 2400×22=52800 11.進行單純的計算 12.進行連續的計算

(21)

12 因此,Mayer 較重視解題者本身條件,而將其列為解題歷程考慮因素,而 且之前的數學教學,通常只強調獲得事實和程序性的知識,而忽略基模和策略 的知識(鄭博信、劉曼麗、詹勳國,2000)。所以 Mayer 的觀點正可以釐清這 種現象。 六、Marshall 的解題歷程模式 Marshall (1995)認為解決問題需包含五個步驟: (一)情境描述(situation description):將問題情境的基本架構作歸類,區別其 特徵,以尋找適合的基模。

(二)現狀評估(status quo appraisal):學生考慮本身已存在的知識結構以及先

備知識。 (三)資源評估(source evaluation):選擇適合的解決方法或理論架構。學生是 否經歷過類似的問題,會影響到此評估的過程所需要的時間。 (四)理論確認(theoretical verification):精緻化所選擇的基模假設,以及確認 其能符合該問題的情境。 (五)實際檢核(practicality check):實際執行策略,並檢核其結果。 從以上各學者的解題理論中,大部分的解題歷程較著重在所經歷的階段, 但以 Mayer(1992)所提出的解題成分較為完整,且對數學解題歷程敘述較為具體 而完整(黃湘婷,2007)。古明峰(1998)指出,學生解題時,第一要先整理題意, 再把語文理解轉換成數學形式,亦即按照題意列出算式,再進行運算過程,此 困難處就在前半部按題意列式。解文字題的過程,就是要先讀懂問題、了解題 意,再依問題所提供的訊息和策略知識,應用在列式當中並計算出答案,而陳 立倫(2000)也指出,文字應用題的解題歷程也以問題的整合和解題計畫及監控 當作主要的歷程。所以本研究為探討國小學童在解文字應用題的表現情形,將 重點著重在學童是否能正確的列出算式來表徵題意,並熟練運用整數四則運算 的性質,正確地將答案算出。

(22)

參、數學文字題的意涵 一、數學文字題的定義 數學學習主要的目的就是在培養解決問題的能力,所以大體上數學教學即解 題教學(劉秋木,1996)。Mayer(1985)更簡明的指出數學文字題主要是以數學和 文字符號描述的數學問題,因此解題者在解碼時,必須同時具備這兩種符號的譯 碼能力。由此可知,學童在解數學文字題時,主要是藉由文字描述問題的型式, 轉換為數學表徵形式,不僅能夠熟悉計算過程,同時也要能閱讀、理解文字題的 要求,及其理解題意所提供的條件來解決問題(林清山譯,1991)。換言之,學 童解數學文字題,其實是一種語文能力和數學能力相互整合的綜合學習活動 (Mayer, 1992),文字題可用來考查學童的推理思考及解決生活中數量問題的能 力;因此在數學學習上,語文能力可能是形成學生理解數學文字題的障礙(張景 嫒,1994)。 二、數學文字題的分類 數學文字題有許多不同的分類標準,以下用三種分類方式來解釋,依「情 境」、「運算」、「語意結構」來一一介紹。 (一)依「情境」(situations) 分類 數學文字題的問題情境會影響學生的解題表現,且主要是以文字敘述方式來 形成的,所以解題者能否將文字符號轉變成數學符號,便成為解題成功的關鍵因 素;問題情境種類有許多種,同一種情境下還能再細分成各種問題,才會造成不 同的解法。學生能在熟悉的情境和生活經驗相結合的文字題中,通常會有較高的 解題能力 ( 陳瓊瑜,2002 )。 (二)依「運算」(operations) 分類 我們知道數學文字題同時包含了語文知識、計算技巧能力,使學生對文字題 感到特別困難,但不同的文字敘述題型,則被認為是影響解題表現的一項重要因 素。而運算是指解題過程中所使用的運算種類,這種運算種類的解題表現就要考 量到四則運算符號;所以依據運算符號或解題步驟可決定問題的類型,不少學者

(23)

14 以「運算」來區分文字題類型的依據,例如: Vergnaud (1983) 針對乘、除法文字題,將其區分成量數同構型、量數叉積型、 多重比例型三類。 Marshall et al. (1987)則以「運算步驟」來區分文字題型,主要是經過幾次的 運算過程才能解決問題,若須經過一個運算步驟是單步驟文字題,若須經過兩個 運算步驟是兩步驟文字題。

Nesher and Hershkovitz (1994) 針對加、減法文字題,將其區分成改變型、比

較型和合併型三類。

(三)依「語意結構」(semantic structure) 分類

語意結構是指問題的內容情境與句子的關係結構之分類,依加減法的語意結

構可分為「改變型文字題」、「合併型文字題」、「比較型文字題」(Jordan & Hanich,

2000; Riley, Greeno, & Heller, 1983)。若是加入未知數的性質又可細分,改變型分

為「總數未知題」、「子集合未知題」;合併型分為「結果量未知」、「改變量未知」、

「起始量未知」;比較型分為「差異量未知」、「被比較量未知」、「參照量未知」(陳

明媚,2002)。而 Nesher and Hershkovitz (1994) 依語意結構可分成「改變類」、「比

較類」、「部分-整體/結合類」這三類,這是眾多學者的分類方式較一致的,如下: 1.改變類:在這類題目中,事情的發生是有先後次序的,學童在解決問題時 要能察覺時間上的改變情形。 2.比較類:在這類題目中,事情的發生是沒有先後次序的,學童在解決問題 時要能察覺空間上的差異情形。 3.部份-整體/結合類:在這類題目中,學童可以發現有層次不同的陳述句, 是由部份及整體所組成的,在解決問題時能察覺出哪 些陳述是部份的,哪些陳述是整體的。 另外學生是否了解問題情境間的關係,也是其能否成功解決問題的關鍵處; 算術方面的文字題,主要有五種關係:改變、聚集、比較、再敘述、成比例變化 (Marshall, 1995) ,都是可單獨存在或組合的。以上這三種文字題類型是眾多學者

(24)

較一致的分類方式,並不是每一種分類都包含所有的文字題,因為不同種類的文 字題有不同的困難度、題型錯綜複雜;因此文字題類型是影響解題表現的一個重 要因素。

第二節 整數四則的教材分析

一、整數四則運算概念 四則運算主要源自問題情境的需求和解題時的意義為簡化四則運算繁複的 過程,以便快速獲得結果。人們基於先運算部分先記的習慣,而形成由最左往右 依序運算的約定;但當解題步驟越來越多,或運算次序產生混淆,無法完成由左 而右依序運算時,為了區分先算什麼,後算什麼,就開始使用括號來表示先算的 部分;然而,當問題的併式更複雜,需要更多的括號來表示時,為了減少括號的 使用次數,人們發現先乘除後加減的約定可省略的括號又更多,因此又有了先乘 除後加減的約定,來省略式子中括號的數量(謝堅,2000)。 二、整數四則運算規則 在國小的四則運算文字題,如果依照運算步驟可分為「單一步驟文字題」、「二 步驟文字題」、「多步驟文字題」,而多步驟運算概念比單一步驟及二步驟還要困 難,為了使算式更加簡便,以便處理更深入的問題,所以將二個以上的運算式併 記成一個式子,就需要規則來制訂。其規則如下:(康軒文教事業股份有限公司, 2009) (一)當一個算式中只有加法和減法(或是只有乘法和除法)時,即單純一個 運算符號或是一步驟,我們稱「單步驟」問題,也就是由左往右算,因 為數學書寫都是由左邊寫到右邊,所約定的即是由左往右算。 (二)當式子中有乘除運算和加減運算混合時,我們約定先算乘除,再算加減 部份。會有這個約定原因是乘法是「連加」概念,除法是「連減」概念, 然而乘除法又是加減法的上位概念,因而乘除法比加減法更有優先權。 (三)當式子中有加減運算混合,為了想先處理加減運算問題,或是部分加減

(25)

16 問題或乘除問題,一定要先處理後面的運算時,這時候需要加一個符號 來區分,來打破先乘除後加減,以及由左至右的運算限制。我們就把這 個符號用括號來表示。 (四)當式子中有加減乘除運算及括號時,我們約定括號內的式子要先算,然 後乘除比加減先算,最後才由左至右運算。 由以上的規則,研究者歸納出學童解整數四則運算文字題的步驟為: 1.在產生併式時,人們先形成了由左向右依次運算的共識。 2.當步驟愈多的時候,為了區別先算什麼,再算什麼,才用括號來標示先算 的部分,因而形成先算括號部分的共識(括號內先算 由左到右)。 3.當問題更複雜時,使用的括號數愈多時,由於日常生活中,先乘(除)後 加(減)的情境會比先加(減)後乘(除)的情境多很多,如果要減少括 號的使用次數,當然優先省略了使用頻率較多的情形,也就是省略乘、除 部分的括號;換句話說,就是形成先乘除後加減的共識,可以最經濟的使 用括號,無法省略掉的括號仍然是需要優先處理的部分(括號內先算 先 乘除後加減 由左到右)。 4.因為等號是等價關係,滿足了遞移性,最後利用等號一步一步的完成四則 混合算式。 三、整數四則的教材分析 依據民國97年教育部公佈的國民中小學九年一貫課程綱要,將數學內容分為 數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。研究者整理了有關整數四 則運算的分年細目如下: 第一階段二年級學童能在具體情境中,解決兩步驟問題(加與減,不含併式) (2-n-09)。從日常生活的問題情境中,引入兩步驟問題,應將各個步驟分開列式且 記錄下來,在二年級時不處理併式的問題。舉例說明:「有輛公車上有25位乘客, 到站時,從前門下去8位乘客,後門上來3位乘客,車上現在有幾位乘客?」讓學 童先讀懂題意,再練習解決問題,先處理25-8=17,再做17+3=20。在二年級

(26)

的另一分年細目也是解決兩步驟問題,只是多了乘法的步驟(加、減與乘,不含 併式) (2-n-10),例:「一盒麻糬有8粒,買了3盒又5粒,總共有多少粒麻糬?」 一開始讓學童先讀懂題意,再分段解決問題,先算3盒有幾粒(8×3=24),再加上5 粒(24+5=29),總共有29粒。 第二階段三年級能用併式記錄加減兩步驟的問題(3-n-03),此為綱要第一次出 現併式之學習,三年級只要處理最簡單的加減兩步驟問題,讓學童學習將兩步驟 的算式記為一個加減混合的算式,並加以計算。學童在二年級時已能將具體情境 的問題列成兩個算式,到了三年級時,開始學習併式,針對題意直接寫出一個式 子,並解出答案。例:「爸爸身上有500元,去提款機領了3000元,請朋友吃飯花 了1650元,爸爸還剩下多少元?」算式直接列出一個式子,500+3000-1650= 1850,爸爸剩下1850元。另一個是學童能在具體情境中,解決兩步驟問題(加、 減與除,不含併式)(3-n-07),繼續二年級的能力指標進行兩步驟的解題,只是多 了除法,包含了除法的兩步驟問題,必須要特別小心餘數的處理。例:「一大桶 牛奶300公升,用掉了70公升後,5公升裝一瓶,全部裝完需要幾個瓶子?」先算 用去70公升的牛奶剩多少,再算需要幾個瓶子,算式為300-70=230,再用230÷ 5=46,需要46個瓶子。另外一個是學童能在具體情境中,解決兩步驟問題(連 乘,不含併式)(3-n-08);舉例說明:「一盒布丁有3個,每8盒裝一箱,6箱共有多 少個布丁?」讓學童先算出每箱布丁有3×8=24個布丁,那6箱布丁共有24×6=144 個布丁。 第二階段四年級學童能熟練整數加、減直式計算及較大位數的乘、除直式 計算,是四年級的重要教學目標。學童能在具體情境中,解決兩步驟問題,並學 習併式的記法與計算(4-n-04),併式在解題過程雖非必要,但可作為日後代數學習 的前置經驗,並也可以讓學童理解四則混合計算的應用,在本細目中,應引用括 號的使用,讓學童知道括號中的運算應該要先計算。例如:「一桶軟糖有100顆, 小如每天吃6顆,一星期後,還剩下多少顆軟糖?」問題的解法可以列成一星期

(27)

18 共吃了6×7=42顆,一桶共100顆軟糖,吃了42顆後還剩下100-42=58顆軟糖。 可併式記成100-(6×7)=58。另一個分年細目為學童能作整數四則混合計算(兩 步驟),在初步學習整數四則混合計算時,其約定如下:1.有括號時,括號內的運 算先進行。2.當式子中只有乘除或是只有加減的運算時,由左向右逐步進行。3. 先乘除後加減。且在整數四則混合運算,除法應該能整除。 第三階段五年級學童能在具體情境中,解決三步驟問題,並能併式計算 (5-n-02),本細目要求學童能做三步驟應用問題,並儘量用併式方式來思考與運 算,例如:「三人出外旅遊,共花住宿費2400元,飲食費1300元,汽油費1250元, 若三人一起分攤旅費,問每人平均分攤多少元?」讓學童能用併式列出算式來, 可列出(2400+1300+1250)÷3=1650,所以每人平均分攤1650元。另外也讓學童 能熟練整數四則混合計算(5-n-03),這是小學對於整數四則混合計算的總結細目, 學童應能熟悉各種混合計算的約定,也希望在練習中能利用整數四則運算性質來 簡化計算,加深學童對整數四則混合運算的熟悉度。此整數四則運算的性質是指 加法、乘法的交換律、結合律以及乘法對加法的分配律,所以本研究也是針對五 年級的教學課程,讓學童能有正確概念,能利用所學,熟練應用在四則運算的能 力中。

第三節 四則運算與文字題解題歷程之實徵研究

陳國雄(2006)在國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型 的研究中指出,學生在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題的解題表現較佳; 而在加(減)、乘兩步驟和加(減)、除兩步驟類型問題的解題表現較差。學童在 進行解題時,都以最近才學到的、數學的大小來決定運算符號、本身最擅長的、 利用關鍵字等作為解題策略。學生解題錯誤原因有:缺乏數學基模、計算錯誤、 錯用運算符號、未依據四則運算規則、看錯題目數字、錯用資訊及已知條件、算 式表徵錯誤或不完整。

(28)

王嘉瑩(2009)在國小六年級學生解數學文字題解題歷程之分析與研究中指 出,在解題過程中,語句結構愈清楚愈容易解出答案。高、中數學能力的學生在 解題歷程的各階段表現沒有明顯差異,但與低數學能力的學生有著明顯差別;在 解題策略上,成功的解題者能針對問題有系統地提出適當的解題策略,然而不成 功的解題者會為了獲得答案,而無系統地預設條件、拼湊數字、猜測答案、或是 使用不當的解題策略;其原因都只是學生想要盡快獲得答案,而且未仔細分析題 目條件。 林潔慧(2010)在國小四年級四則運算兩步驟文字題補救教學之行動研究中 指出,學生解兩步驟文字題錯誤的原因有:習慣用關鍵字解題、不懂題意、乘除 混淆、計算錯誤等,而在使用符合生活經驗的學習情境,以及多重表徵教學方式 後,提升了學生對於數學學習的興趣,也使得錯誤情形減少了。 傅慶忠(2012)在國小四年級學生整數四則運算解題歷程之分析研究中指 出,在解題歷程方面:中高能力學生閱讀仔細謹慎且能理解題意、會將訊息統整 做連結,分析題意進而做具體策略、運算技巧較熟練;而低能力學生較不去注意 關鍵字、無法將已知條件與舊經驗做連結、讀題速度快且草率、將數字做猜測性 的進行四則運算、無法正確分析問題進而擬定計劃、數學知識不足易誤解題意。 在解題策略方面:成功解題者能對問題有系統地提出解題策略;而不成功解題者 為了獲得答案,無系統預設條件、容易猜測答案與拼湊數字、使用不當的解題策 略,並有等號觀念錯誤的現象。 洪志峰(2007)在不同題目表徵型式對國小五、六年級學童多步驟應用問題 解題表現之研究中指出,在國小五、六年級學生解不同表徵型式多步驟應用問題 解題表現有顯著差異。但五年級學生在文字題與符號題的解題表現上則無顯著差 異;在國小五、六年級不同數學能力的學生在不同表徵型式多步驟應用問題解題 表現有顯著差異。但中、低數學能力學生在文字題與符號題的解題表現上則無顯 著差異;學生在不同題目表徵型式多步驟應用問題解題策略及錯誤類型有些許差 異,常犯錯誤類型有:誤解題意、四則運算法則的錯誤、誤用公式、胡亂拼湊數

(29)

20 字成一個算式、計算錯誤等情形。 黃巧靈(2012)在國一數學低成就學生的函數概念與解題歷程分析之研究結 果指出,低成就學生的解題歷程中分析並不明顯,反而在計劃與執行階段,需要 花費最多時間,也容易出現計算錯誤,驗證階段也比較少;低成就學生採用的策 略比較少,喜歡用規律計算,有時會嘗試錯誤,解題失敗因素大多為計算能力不 佳,或是一開始解題便沒有自信、興趣,因而導致放棄解題。 王淑嬌(2006)在國小四年級學童閱讀理解能力與數學解題歷程之相關研究 中指出,國小學童在整體數學解題歷程表現中,以「執行計畫」的表現最好,其 它依次為「了解題意」、「擬定計畫」、「檢視回顧」;而閱讀理解能力的表現,以 「推論理解」的表現最好,其它依次為「字義理解」、「理解監控」,其研究內容 也指出,國小學童閱讀理解力的整體表現對數學解題能力表現呈現出顯著正相 關,受試者的閱讀理解能力對於整體數學解題表現具有顯著的預測力。 張育綾(2008)在潛在類別分析在國小五年級學童四則運算規則之縱貫研究 中,以自編的「四則運算解題測驗」為研究工具,依據「由左到右依序運算」、「先 乘除,後加減」及「使用括號」等三大運算規則設計文字題與非文字題二部分, 探究學童在四則運算概念解題表現情形,也根據潛在類別分析的分群結果,來探 討學童整數四則運算概念認知結構的變化情形。其研究結果如下: 1.學童的三大運算規則的解題表現,文字題部分以「使用括號」較不熟練; 非文字題部分以「先乘除,後加減」尚需加強,學童會依然延續「由左到 右依序運算」的規則來解題,而忘了乘、除應先運算,接下來再運算加、 減的部分。 2.潛在類別分析三大運算規則的分群結果,除了分群組數不同外,不同群組 學童在各規則下的認知結構也有所不同。 林嘉憲(2012)在國小五年級數學解題歷程及策略之分析研究中指出,在解 題歷程中,高數學能力的學生成功解題的過程較完整,大部分都有出現閱讀題 目、問題分析、擬定計畫、執行計畫四個階段,而中、低數學能力的學生在解題

(30)

各階段執行並沒有很大的差異,大部分只有閱讀題目、問題分析這兩個階段,出 現困難時會憑直覺套用題目中的數字來猜測答案,而無法作出有效的解題計畫; 在解題策略中,高數學能力學生從數學基本知識來切入問題、解決問題,從題目 的類型去找有關數學知識的基本定義,活用知識並結合舊經驗去進行解題策略, 中、低數學能力學生,對數學知識並非真正了解,只是將舊經驗拿來套用,並不 能活用變通、思考。 吳惠貞(2006)在國小五年級學童整數四則運算概念學習及錯誤類型之研究 中指出,學童在整數四則運算問題上,對於運算越複雜的題目,錯誤率明顯偏高, 同時作答空白率也偏高。但在部分試題中除了括號內先算,其餘部分仍涉及兩步 驟的運算,學童仍然會運用錯誤運算規則;其運算的錯誤類型可歸納為:四則運 算規則運用錯誤、粗心而導致計算錯誤、抄錯題目、算式或答案不完整、列式錯 誤、隨意回答或空白等,並由錯誤中歸納下列發現: 1.學童在兩步驟的四則運算類型中,以「含有括號」的錯誤率最低,以「沒 有括號之單一乘或除」的兩步驟類型為錯誤率最高,但含有括號的三步驟 運算中,以「三步驟之加減和乘除」運算類型之錯誤率最高。 2.學童將「先乘(除)後加(減)」的演算規則,將其類化並推到其它的情境, 認為運算時也要先算加法再算減法,或是先算乘法再算除法,因而做出錯 誤的推論而形成運算上的錯誤。 綜合以上所述,整數四則運算性質不熟練,往往造成學童喜歡從簡單或容易 的部分先運算,而忽略了「先乘除,後加減」的規則,將其錯誤推論成先算乘法 再算除法、先算加法再算減法的情形,不懂得在文字題中「使用括號」來區分運 算順序;而五年級學童應該能熟悉各種混合運算的約定,才能避免之前的錯誤造 成往後學習的困擾。

(31)
(32)

第三章 研究設計與方法

本研究是以研究者自編的「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」為施測 工具,探討國小學童在整數四則運算文字題的解題表現之相關情形。本章共分為 五節:第一節為研究架構、第二節為研究對象、第三節為研究工具、第四節為研 究流程、第五節為資料處理與分析。

第一節 研究架構

本研究根據研究動機、目的及相關文獻探討,提出本研究的架構如下: 圖 3-1 研究架構圖 問題轉譯 問題整合 計畫與監控 執行 語言知識 基模知識 策略性知識 程序性知識 國小五年級學童整數四則運算文字題解題歷程之研究 紙筆測驗、晤談 國小五年級學童整數四則 運算文字題的解題歷程 不同能力的國小五年級學 童整數四則運算文字題的 解題歷程 國小五年級學童整數四 則運算文字題的錯誤類 型

(33)

24

第二節 研究對象

本研究是以國小五年級學童為對象,因囿於時間、人力及經費等因素,其樣 本和選樣的方式如下: 一、預試施測對象 本研究之預試對象以臺中市某國小五年級二個班級共 50 名的學童。 二、正式施測對象 研究樣本的選取是基於研究目的、環境限制、人力因素及時間的考量下,以 臺中市某國小的一百零一學年度五年級學童為對象,六個班級共 163 名學生為筆 試測驗的研究樣本。 本研究選取的對象學校,地處於臺中市南區的一所國小,學校規模共 52 個 班,學生人數約一千四百人,屬於智類學校。學校每次在一、三、五年級時都會 依照前一個學年的平均學業成績,以 S 形方式重新進行常態編班,因此每一個班 級學生的能力條件是相似的。

第三節 研究工具

一、測驗設計架構 本研究的測驗試題,以九年一貫國小數學課本第九冊中的整數四則運算問題 的相關內容當依據,參考各學校選購較多的康軒版、翰林版及南一版的課本、習 作和教學指引,以及閱讀一些相關研究報告後,依據 Mayer(1992)的解題架構中, 每一個試題分成「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計劃及監控」、「解題執 行」四個解題步驟,且把每個文字題又細分為四個子題,來了解學童對解題歷程 的掌握程度,進而發展出「整數四則混合運算文字題閱讀認知與解題能力表現施 測題目」。 二、試題評分標準 本研究工具共有 12 題,每一組試題下有 5 個子題,採取多元記分方式,第 1、 2、3、5 為選擇題,答對得 1 分,答錯得 0 分,第 4 題為解題的執行過程與列式,

(34)

記分方式參照郭怡君(2012)如下: (一)第一、二步驟列式正確、計算出正確答案,且寫出正確答案得 5 分。 (二)第一、二步驟列式正確、計算出正確答案,但未寫出正確答案得 4 分。 (三)第一、二步驟列式正確但將算式合併時,造成列式錯誤,答案仍計算正確 且寫出正確答案得 4 分。 (四)第一步驟列式正確且計算出正確答案,第二步驟列式正確但未計算出正確 答案得 3 分。 (五)第一步驟列式正確且計算出正確答案,第二步驟列式錯誤得 2 分。 (六)第一步驟列式正確但計算錯誤,第二步驟列式正確但計算錯誤得 2 分。 (七)第一步驟列式正確但計算錯誤,第二步驟列式錯誤得 1 分。 (八)第一、二步驟列式錯誤得 0 分。 因此單一題組最高分為 9 分,最低分為 0 分。 三、試題分析 (一)測驗的難度分析 因本測驗的難度分析是採多元計分的方式計分,因此試題難度採用以下公式 作為難度指數的計算方式: P:難度 X:該題平均得分 M:該題總分 透過難度指數可以了解這份測驗是否適合五年級的學童,而難度指數在.5左 右最具鑑別力,為了基於動機上的目標與統計上的理由,測驗中的題目之p值範 圍,位於.2至.8為適宜,如果試題過於簡單( p >.8)或過於困難( p < .2)應加以修正 或刪除(王文科與王智弘,2009),本測驗之難度如表3-1所示。 (二)測驗的鑑別度分析 本測驗之鑑別度分析是採用“皮爾森積差相關係數分析法”作為本測驗的 難度公式: P = M X

(35)

26 鑑 別 度 分 析 法 , 而 此 種 分 析 法 是 透 過 統 計 學 的 相 關 係 數 (correlation coefficient),來表示該題的鑑別度。若該題的得分越高,其總分也會越高,則相 關係數為正相關(positive correlation),顯示該題具有鑑別度;反之則否。本測驗 中的各試題之難度為.5 至.8 之間,難度有些偏易;而r 值皆大於0,皆為正相關, 鑑別度佳。如表3-1所示。 表 3-1 測驗預試難度、鑑別度分析表 ** p < .01 ***p < .001 (三)測驗的信度分析 本研究以克朗巴赫α信度(α信度)進行試題的可靠性及內部一致性檢驗, 本試卷正式施測之α信度為.92,顯見本測驗具有良好的內部一致性,信度頗佳。 (四)測驗的效度分析 採內容效度及專家效度方式分析之。 1.內容效度 本研究之測驗是依據Mayer(1992)的解題理論,將解題歷程分為四個解題步 驟,針對教學內容、根據四則運算相關概念之教材來進行命題,以確認試題內容 具有代表性。 題號 難度 P 鑑別度 rXY 1 .75 .43** 2 .82 .54*** 3 .85 .67*** 4 .83 .74*** 5 .79 .67*** 6 .75 .77*** 7 .69 .75*** 8 .79 .86*** 9 .78 .79*** 10 .76 .81*** 11 .69 .83*** 12 .69 .85***

(36)

2.專家效度: 本測驗編製過程中經指導教授、二位任教五年級數學科資深教師及二位具 數學教育碩士資格之現職教師,檢視及審核題目的適當性,以建立專家效度。

第四節 研究流程

一、準備階段 研究者根據個人所學的相關領域及興趣,大量蒐集數學文字題的相關文獻, 與指導教授討論後,確定研究方向、研究主題,進而著手研究計劃,編製四則運 算文字題的測驗工具。 二、測驗階段 本研究的測驗試題,先與指導教授及國小幾位現職老師討論預試試題並作修 改,然後進行預試,作為試題分析、修改的依據,再進行正式施測,並將所有資 料輸入電腦與建檔,以便進行下一步的統計分析。 三、撰寫研究報告 研究者將施測的資料,運用 SPSS 12.0 統計軟體進行分析,並根據資料分析 與處理的結果,撰寫研究結果,以了解學童在文字題的解題表現並分析,完成論 文的研究報告。本研究的研究流程如下圖 3-2:

(37)

28 圖 3-2 研究流程 撰寫研究論文 資料分析 蒐集相關文獻 確定研究主題、研究目的 確定研究架構 編製文字題測驗 測驗工具之審查與修正 預試 預試試題分析、確定正式施測試題 正式施測 施測結果分析

(38)

第五節 資料處理與分析

研究者正式施測試題回收後,利用Excel軟體整理原始的答題資料,再以統計 軟體SPSS 12.0來進行量化分析,再以訪談作質性之探討。為了進一步了解研究問 題,本研究使用的方法如下所述: 壹、描述性統計 一、分析學童的解題平均得分及答對率。 二、分析不同能力的學童於解題歷程表現之差異情形。 三、分析學童的解題策略及錯誤類型。 貳、皮爾森積差相關 利用皮爾森積差相關來探討文字題解題歷程的各步驟表現與總分之間的相 關性。 參、單因子變異數分析: 利用單因子變異數分析(one-way ANOVA)法,分析探討不同能力之學童在自 編的「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各步驟得分表現之差異性。 肆、晤談法 利用與學童晤談方式了解學童解題時之思考模式,以歸納出學童解整數四則 運算文字題之錯誤類型。

(39)
(40)

第四章 研究結果與討論

本研究探討國小五年級學童整數四則運算文字題的解題歷程表現,針對研究 目的進行探究,並透過研究者自編測驗,分析不同階段的解題能力表現、錯誤類 型的原因。本章依據施測結果以及訪談所得的資料,分析五年級學童解整數四則 運算文字題時的解題表現、錯誤類型,進而探究其背後的迷思概念。茲將研究結 果分為三節加以探討:第一節為整數四則運算文字題的解題表現分析;第二節為 不同數學能力之學童整數四則運算文字題解題歷程表現測驗之差異性;第三節為 學童解整數四則運算文字題的錯誤類型和原因之分析。

第一節 整數四則運算文字題的解題表現分析

將測驗資料蒐集後,分析測驗結果,分別描述學童在各問題的解題情形。解 題歷程的表現部分依據問題轉譯、問題整合、解題計劃及監控、解題執行四大部 分,做各類型問題的答對率統計及內容的分析,而答對率是指答對的學童佔有效 樣本中所佔的比率。而問題轉譯部分,每一題組分小題表示,且以百分率統計, 探討學童對問題的瞭解程度,第一、二、三小題皆是測試學童是否知道問題的已 知條件。在問題整合部分,第四小題則是測試學童是否知道問題的解題目標,能 依題意寫出算式,並正確表徵問題。在解題計劃與監控部分,學童能想出及監控 一種計劃,用算式來解題。在解題執行部分,學童能運用整數四則運算規則,完 成計劃並正確算出答案。 研究者自編的數學文字題解題歷程測驗共有 12 個題組,每組題目包含「問 題轉譯」2 題、「問題整合」1 題,「解題計畫與監控」1 題,每題皆為單選題且每 題 1 分,「解題執行」1 題,學童會自行列式並計算出答案得 5 分。單一題組的滿 分共九分,各題組的學習概念如表 4-1。

(41)

32 表 4-1 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念 概念 題號 概念 題號 題組一 A+B+C 題組七 (A-B)÷C 題組二 A+B-C 題組八 A+(B÷C) 加、減 二步驟文字題 題組三 A-B-C 加(減)、除 二步驟文字題 題組九 (A÷B)-C 題組四 (A+B)×C 題組十 A×B×C 題組五 (A-B)×C 題組十一 A×B÷C 加(減)、乘 二步驟文字題 題組六 A+(B×C) 乘、除 二步驟文字題 題組十二 A÷B÷C 壹、整數四則運算文字題各概念得分 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗正式施測,各題組的得分表現如表 4-2。研究者將全體受試學童各個題組的平均得分除以該題組的滿分作為受試學童 於該題組的答對率。全體受試學童於「加、減二步驟文字題」概念的答對率為.87。 「加(減)、乘二步驟文字題」概念的答對率為.85。「加(減)、除二步驟文字題」 概念的答對率為.78。「乘、除二步驟文字題」概念的答對率為.77。可得知全體受 試學童在「加、減二步驟文字題」概念表現為較佳,其次是「加(減)、乘二步 驟文字題」概念表現,再來是「加(減)、除二步驟文字題」概念表現,而「乘、 除二步驟文字題」概念表現較差(詳見表 4-3)。

(42)

表 4-2 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現 概念 題號 樣本數 滿分 平均數 答對率 題組一 163 9 7.47 0.83 題組二 163 9 8.06 0.90 加、減 題組三 163 9 8.03 0.90 題組四 163 9 7.87 0.88 題組五 163 9 7.69 0.86 加(減)、乘 題組六 163 9 7.28 0.81 題組七 163 9 6.47 0.72 題組八 163 9 7.08 0.79 加(減)、除 題組九 163 9 7.47 0.84 題組十 163 9 6.96 0.78 題組十一 163 9 7.00 0.78 乘、除 題組十二 163 9 6.89 0.77 表 4-3 整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各概念得分表現 概念 樣本數 滿分 平均數 答對率 加、減 163 27 23.56 0.87 加(減)、乘 163 27 22.84 0.85 加(減)、除 163 27 21.02 0.78 乘、除 163 27 20.85 0.77 貳、整數四則運算文字題各解題步驟的表現分析 研究者將受試學童於各步驟的平均得分除以該步驟的滿分作為受試者於該 步驟的答對率。受試者於「問題轉譯」步驟的答對率為.86。「問題整合」步驟的 答對率為.86。「解題計畫與監控」步驟的答對率為.82。「解題執行」步驟的答對 率為.79。可知全體受試學童於「問題轉譯」步驟表現最佳,優於「問題整合」步 驟、「解題計畫與監控」步驟及「解題執行」步驟的表現(詳見表 4-4)。

(43)

34 表 4-4 整數四則運算文字題解題歷程各步驟答題表現 步驟 樣本數 滿分 平均數 答對率 問題轉譯 163 24 20.68 0.86 問題整合 163 12 10.32 0.86 解題計畫與監控 163 12 9.87 0.82 解題執行 163 60 47.54 0.79 參、不同性別在整數四則運算文字題各概念得分表現 在「加、減二步驟文字題」概念得分表現上,全體受試學童的平均得分為 23.56 分,其中男生為 23.66 分,女生為 23.46 分,男女生答對率分別為 0.88 及 0.87, 所以差異不大。 在「加(減)、乘二步驟文字題」概念得分表現上,全體受試學童的平均得 分為 22.84 分,其中男生為 22.10 分,女生為 23.59 分,男生答對率為 0.82,女生 答對率為 0.87,女生在此概念表現較優於男生。 「加(減)、除二步驟文字題」概念得分表現上,全體受試學童的平均得分 為 21.02 分,其中男生為 20.15 分,女生為 21.91 分,男生答對率為 0.75,女生答 對率為 0.81,女生在此概念表現較優於男生。 「乘、除二步驟文字題」概念得分表現上,全體受試學童的平均得分為 20.85 分,其中男生為 19.45 分,女生為 22.27 分,男生答對率為 0.72,女生答對率為 0.82,女生在此概念表現較優於男生(詳見表 4-5)。

(44)

表 4-5 不同性別「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各概念得分 男生 女生 全體樣本 個數 82 81 163 概念 滿分 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 答對率 加、減 27 23.66 0.88 23.46 0.87 23.56 0.87 加(減)、乘 27 22.10 0.82 23.59 0.87 22.84 0.85 加(減)、除 27 20.15 0.75 21.91 0.81 21.02 0.78 乘、除 27 19.45 0.72 22.27 0.82 20.85 0.77 合計 108 85.36 0.79 91.23 0.84 88.27 0.82 肆、不同性別於整數四則運算文字題各解題步驟表現分析 整體而言,「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」總分為 108 分,全體 受試學童平均分數為 88.41 分,其中女生平均分數 91.43 分,高於男生平均分數 85.41 分。 在「問題轉譯」步驟表現上,全體受試學童的平均得分為 20.68 分,其中男 生為 19.61 分,女生為 21.77 分,女生的答對率 0.91 高於男生的 0.82,顯示女生 在這個解題步驟表現較好。 在「問題整合」步驟表現上,全體受試學童的平均得分為 10.32 分,其中男 生為 9.94 分,女生為 10.70 分,女生的答對率 0.89 高於男生的 0.83,顯示女生在 這個解題步驟表現較好。 在「解題計畫與監控」步驟表現上,全體受試學童的平均得分為 9.87 分,其 中男生為 9.56 分,女生為 10.17 分,女生的答對率 0.85 高於男生的 0.80,顯示女 生在這個解題步驟表現較好。 在「解題執行」步驟表現上,全體受試學童的平均得分為 47.54 分,其中男 生為 46.30 分,女生為 48.79 分,女生的答對率 0.81 高於男生的 0.77,顯示女生

(45)

36 在這個解題步驟表現較好(詳見表 4-6)。 表 4-6 不同性別「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各步驟得分 男生 女生 全體樣本 個數 82 81 163 解題步驟 滿分 平均數 答對率 平均數 答對率 平均數 答對率 問題轉譯 24 19.61 0.82 21.77 0.91 20.68 0.86 問題整合 12 9.94 0.83 10.70 0.89 10.32 0.86 解題計畫與 監控 12 9.56 0.80 10.17 0.85 9.87 0.82 解題執行 60 46.30 0.77 48.79 0.81 47.54 0.79 合計 108 85.41 0.79 91.43 0.85 88.41 0.82 伍、整數四則運算文字題解題歷程各步驟的相關分析 研究者以受試學童於「問題轉譯」步驟、「問題整合」步驟、「解題計畫與監 控」步驟、「解題執行」步驟的得分,交叉進行 Pearson 積差相關分析。結果如下 表 4-7。 和「問題轉譯」相關係數最高者為「問題整合」,其次為「解題執行」,最低 者為「解題計畫與監控」,其 r 值分別為.78、.66、.65(p<.001)。 和「問題整合」相關係數最高者為「解題執行」,其次為「問題轉譯」,最低 者為「解題計畫與監控」,其 r 值分別為.80、.78、.77(p<.001)。 和「解題計畫與監控」相關係數最高者為「解題執行」,其次為「問題整合」、 最低者為「問題轉譯」,其 r 值分別為.86、.77、.65(p<.001)。 和「解題執行」相關係數最高者為「解題計畫與監控」、其次為「問題整合」、 最低者為「問題轉譯」,其 r 值分別為.86、.80、.66(p<.001)。

(46)

表 4-7 整數四則運算文字題解題歷程各步驟的相關分析 問題轉譯 步驟 問題整合 步驟 解題計畫 與監控步驟 解題執行 步驟 問題轉譯 步驟 - 問題整合 步驟 .78*** - 解題計畫 與監控步驟 .65*** .77*** - 解題執行 步驟 .66*** .80*** .86*** - ***p<.001

第二節 不同能力之學童解整數四則運算文字題之差異

研究者將全體受試者學童依據 101 學年度五年級上學期的第一次段考數學成 績遞增排序,取前後大約 27%定義為高、低分組,低分組有 44 人,佔總人數 26.7 %,而高分組有 43 人,佔總人數 26.3%,中分組則為 76 人,佔總人數 47%。 壹、不同能力的學童於整數四則運算文字題各概念表現分析 在「加、減二步驟文字題」概念的得分表現上,全體受試學童的平均得分為 23.56,其中「低分組」為 20.32 分,「中分組」為 23.58 分,「高分組」為 26.35 分,可顯示出在這概念表現上,「高分組」較優於「中分組」及「低分組」。 在「加(減)、乘二步驟文字題」概念的得分表現上,全體受試學童的平均 得分為 22.84,其中「低分組」為 16.95 分,「中分組」為 23.92 分,「高分組」為 26.44 分,可顯示出在這概念表現上,「高分組」的整體表現較優於「中分組」及 「低分組」。 「加(減)、除二步驟文字題」概念的得分表現上,全體受試學童的平均得

數據

圖 3-1 研究架構圖……………………………………………………………………23  圖 3-2 研究流程………………………………………………………………………28
表 2-1    Mayer 解題步驟、成分及所屬知識類型  (整理自林清山譯,1991:391-394;王雅蘭,2002:11;Mayer, 1992:459) 題目:地磚是以每邊 30 公分的正方形出售。假如每塊地磚的價錢是 22元,那麼一個長 18 公尺寬 12 公尺的矩形房間,若鋪滿地磚一共要花多少元? 步驟  成分 知識類型  以地磚為例 解題技巧 語言知識 長 18 公尺寬 12 公尺的矩形房間 1.重述問題已知條件 2.重述問題解題目標 問題轉譯 語意知識  1 公尺等於 100 公分 3.認
表 4-2  整數四則運算文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現  概念  題號  樣本數  滿分  平均數  答對率  題組一  163  9  7.47 0.83  題組二 163  9  8.06 0.90 加、減  題組三 163 9  8.03  0.90  題組四 163 9  7.87  0.88  題組五 163 9  7.69  0.86 加(減)、乘 題組六 163 9  7.28  0.81  題組七 163 9  6.47  0.72  題組八 163 9  7.08  0.79 加(
表 4-5  不同性別「整數四則運算文字題解題歷程表現測驗」各概念得分  男生  女生  全體樣本  個數  82  81  163 概念  滿分  平均數  答對率  平均數 答對率  平均數 答對率  加、減  27  23.66  0.88  23.46  0.87  23.56  0.87  加(減)、乘  27  22.10  0.82  23.59  0.87  22.84  0.85  加(減)、除  27  20.15  0.75  21.91  0.81  21.02  0.78  乘、除
+3

參考文獻

相關文件

• Formation of massive primordial stars as origin of objects in the early universe. • Supernova explosions might be visible to the most

2-1 註冊為會員後您便有了個別的”my iF”帳戶。完成註冊後請點選左方 Register entry (直接登入 my iF 則直接進入下方畫面),即可選擇目前開放可供參賽的獎項,找到iF STUDENT

(Another example of close harmony is the four-bar unaccompanied vocal introduction to “Paperback Writer”, a somewhat later Beatles song.) Overall, Lennon’s and McCartney’s

Microphone and 600 ohm line conduits shall be mechanically and electrically connected to receptacle boxes and electrically grounded to the audio system ground point.. Lines in

The continuity of learning that is produced by the second type of transfer, transfer of principles, is dependent upon mastery of the structure of the subject matter …in order for a

The Prajñāpāramitā-hṛdaya-sūtra (般若波羅蜜多心經) is not one of the Vijñānavāda's texts, but Kuei-chi (窺基) in his PPHV (般若波羅蜜多心經 幽賛) explains its

The aim of this study is to investigate students in learning in inequalities with one unknown, as well as to collect corresponding strategies and errors in problem solving..

The aim of this research is to design the bus- related lesson plans based on the need of the students of the 3 rd to 6 th grade of an elementary school in remote