壹壹壹
壹、、、、「「「整數「整數整數整數（（（（正正正正整數整數整數、整數、、、負負負負整整整整數數數數）））加減）加減加減加減」」」」的概念的概念的概念與錯誤類型的概念與錯誤類型與錯誤類型與錯誤類型 一、「整數（正整數、負整數）加減」的概念
在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算；而在國 中階段，整數所涵概的範圍比較廣，包含正整數與負整數。
根據教育部九年一貫課程綱要（2003），在國中一年級的階段，數與量的學習 乃是國小階段的延續，開始仍然以整數與有理數為重心，但是在概念與操作的層次 上則有所不同。首先要引入的是「負數」的觀念，把整數與有理數的範圍推廣到含 負的整數及有理數。對學生而言，這是一個抽象且較難理解的概念，因為在日常生 活的具體情境中幾乎看不到「負數」的存在。
為了要讓負數的理解具體化，數線的引入乃是最好的辦法，同時也是學生日後 學習平面座標幾何的入口。透過負數在數線上的標記，及理解加、減運算在數線上 的對應操作，學生可以初步了解負數是方向的相反。教學上應教導學生以「正、負」
表徵生活中相對應的量，並認識負數是性質（如：方向、輸贏等）的相反，最後體 認到「負負得正」的意涵。
為了要繼續強化學生在國小階段所培養的計算能力，同時擴充對數的操作到含 負數的運算，「整數加減」單元要讓學生熟練正負整數的加減法運算，並能運用負 數的特性判別解答的正負結果及合理性。
二、「整數（正整數、負整數）加減」的錯誤類型
許多學者的研究（舒湘芹、楊欽樑、陳義章，1996；黃湘武，1986；引自蔡德 吉，2002）均認為，在國中數學學習領域中加入負數概念是極為困難的，由於學生 已習慣於直觀的形式，即透過事物的具體量來表示數，且目前台灣的國中學生，大 部分處於具體運思期，一般都還沒有真正進入形式運思期，因此抽象思考的能力仍 相當有限，因此，現在學生會覺得運算符號和結果跟以往大不相同，負數對他們是
某種新的觀念，不僅僅比過去抽象很多，更與他們先前從具體事物得來的觀念沒有 共通點。
研究者整理國內學者（王裕輝，2004；張立群，2003；周嘉進，2004；李秀麗，
2006）研究，歸納出目前國中生在學習整數加減時，較常出現的錯誤類型：
（一）負數概念不全
根據張立群（2003）對國中一年級學生整數加減法錯誤類型的研究，便發現他 們在負數概念上易出現混淆，如誤將負號後的式子獨立運算、誤認為兩數相減也可 以使用交換律、誤用「大數減小數，再加上負號」的運算規則等。李秀麗（2006）
的研究也發現，學生在整數加減方面易產生文字符號題的困擾、依作答經驗作類似 的題型、作答不完全等問題。
（二）相反數概念混淆
李秀麗（2006）在研究中指出，學生易有相反數概念不清的問題。具體來說，
學生在相反數概念學習上，易出現的困難包括：誤認為-（-3）的相反數是3、誤認 為在某定數距離相同的2個數就是相反數、誤認為只要是一正一負的數就是相反 數、誤認為-甲必為負整數而非甲的相反數（張立群，2003）。
（三）絕對值概念不足
張立群（2003）認為學生在絕對值概念的學習出現困難，包括誤認為與原點相 距10單位的數是指，與原點距離10單位之內的正整數或所有整數；誤認為「絕對值 等於5的數」與「絕對值小於（或小於等於）5的數」題目相同；誤認為存在某數的 絕對值為負數；誤認為題目有「絕對值」的詞彙，答案就應該加上絕對值；誤將絕 對值當成括號來處理。而李秀麗（2006）也指出，學生在絕對值方面，常忽略答案 的完備性、運算順序錯誤、作答不完全、且依作答經驗作類似的題型。
（四）整數加減法運算之困難
周嘉進（2004）的研究探討男、女學生對整數加減單元不同題型結構的表現差
異、錯誤類型和成因以及概念表徵的型式指出，對男、女學生而言，減法題型之難 度高於加法題型且達統計上的顯著水準，七種題型的困難度排列次序為：負－正最 難、負－負、正－負和負＋負次之、負＋正和正＋負再次之，最簡單的是正－正，
且困難度差異達統計上的顯著水準。王裕輝（2004）的研究也指出，學生在解「整 數加減計算題」的迷思概念有：強制性加（減）法、大數減小數、錯用符號法則、
錯用交換律規則、計算結果忘記正負符號規則、誤解負數的意義。而根據李秀麗
（2006）研究也發現，在整數加減法的運算上，常出現的問題包括計算錯誤、錯誤 使用運算規則、不瞭解運算規則、不適應開放性答案的問題、文字敘述題的困擾、
括號的遷移、忽略負號、小數減大數的困擾、粗心錯誤、新舊概念混淆、數線加減 法運算方向混淆、直式運算規則的迷思。
從上述探討整數加減法錯誤類型的相關研究得知，學生在學習負數單元之後做 整數加減運算的策略及思維所呈現十分多元的情形，如誤解負數的意義、套用符號 法則、使用規則、強制性加法、強制性減法、絕對值大的數減絕對值小的數、去括 號、負號提出來再加括號、把負號照抄下來或留下來、答案保留式子中絕對值大的 數之符號、括號先算等，因此，瞭解學生解題的錯誤類型與思考模式有助於教師選 擇使用適當之教學模式或改進教學模式，以減少學生相同錯誤的再發生。
貳貳貳
貳、、、、「「「整數「整數整數整數（（（（正整數正整數正整數正整數、、、、負整數負整數負整數負整數）））加減）加減加減加減」」」」教學教學教學的相關研究教學的相關研究的相關研究 的相關研究 一、國內相關研究
湯雪玲（2002）以正、負數為例，發展研究教學模組，分析學習正、負數的目 的何在，以解決學生學習上的困難；分析符合九年一貫正、負數課程設計的概念結 構，以協助教師編輯教材時，瞭解課程設計的內容；並解釋模組設計的方式並提供 正、負數教材，供數學教師或其他編輯者參考。研究結果顯示，學習正負數的目的
除了形成「相對量」的基模與形成「相對量合成分解」的基模外，亦隱約瞭解數線 與平面坐標等未來課程的概念，同時培養了數學素養。
蔡德吉（2002）的研究在了解國一學生的負數概念表徵，研究結果發現，國一 學生的負數概念呈現的表徵相當多元，其中以數線模式具體類型最多，其次是數量 模式具體類型。學生在小數減大數的概念，多屬於形式化的運算，會以具體方式思 考或操作的學生不多，其表徵型式以數量模式抽象類型最多，其次是數量模式具體 類型；學生對相反數的概念較不熟悉，大部份學生只想到符號法則，其表徵型式以 數量模式抽象類型最多，其次是數線模式抽象類型。
羅玟文（2005）以北縣某國中兩個班級的88位學習者為研究樣本，在進行實驗 教學前均已修習過「負數」與「數線」概念的基礎課程，但尚未學習「整數加減法」，
透過實驗教學探討不同的多媒體教材運用方式及數學能力，分為多媒體互動學習組 與圖文範例學習組進行實驗教學，對學習者在「整數加減法」之學習成效與學習態 度的影響。研究結果發現，運用互動式多媒體教材來呈現「整數加減法」之具象概 念，能幫助學習者有較好的理解與解題成效，且學習者的學習態度較為正向。
許錦芳（2006）針對數學科表現低成就的資源班接受補救教學的三名國中一年 級個案設計並實施，探討資訊融入教學教學模式對資源班學生的數學學習態度與成 就的影響，並選取「整數的加減法」與「幾何圖形的變換」兩個主題實施資訊融入 的教學。其中在「整數的加減法」主題裡的研究發現，個案認為PowerPoint簡報呈 現教材綱要的方式，有助於掌握學習的結構與重點，而Flash 程式的藍、紅太極表 徵則有助於理解整數的加減法並加強應用練習，但在段考時，由於考題與資源班平 時的學習相關性不高，學生無法建立成就感，遭遇嚴重的打擊。
李秀麗（2006）欲瞭解不同教學模式（數線教學模式與數量教學模式）與七年 級整數加減法單元錯誤類型之關係的研究，結果顯示接受數線教學模式的學生在整 數加減法運算單元後測與延後測的平均分數均顯著高於數量教學模式的學生；但
是，接受數量教學模式的學生在整數加減法運算單元後測與延後測的結果進步幅度 顯著高於數線教學模式的學生。
二、國外相關研究
Mukhopadhyay（1990）針對五～八年級的學生，就其所算的含有正負數加減的 式子來編一個情境相符合的故事，有助於釐清學生對於數學的價值觀與現實生活的 觀點間之差異，同時學生在有關社會情境的數學題目表現上優於相同的題目但以數 學記號表示的方程式，顯示學生在兩種不同情境中對有號數的解答表現有顯著差 異。
Peled（1991）的研究中對於孩童關於有號數及其加減運算所具有的知識提出理 論分析，結果發現可從數線及量的表徵等兩個面向去描述。Peled認為此層次分析有 助於了解前述領域的複雜性並診斷出孩童的了解情形，藉以引導其根據自己的能力 往更高的層次進展。
Hativa和Cohen（1995）在訪談中也發現，在研究進行剛開始幾乎所有的四年級 學生都使用數線；然而，隨時間的增加，有些學生不使用數線而改採心算，而其他
Hativa和Cohen（1995）在訪談中也發現，在研究進行剛開始幾乎所有的四年級 學生都使用數線；然而，隨時間的增加，有些學生不使用數線而改採心算，而其他