數學分析法

數學分析法主要是以數學模式或等候網路模式為理論基礎，進行機台 之數量配置，其優點主要為相較於模擬所需之運算時間，數學分析法可快 速估算工廠之生產績效。然而，利用數學模式描述複雜之工廠生產系統十 分不容易，且其估算之近似績效往往與實際情況有差異，此為數學分析法 較為不足之處。

Yoneda[26] 將 晶 圓 廠 生 產 系 統 建 構 成 一 個 開 放 式 等 候 網 路 (open queueing network)，利用所得資訊建立成本函數，其中成本函數定義為機 台成本與在製品成本之加總。作者以成本函數最小化為目標，搭配模擬退 火法(simulated annealing, SA)在所有可能解中找到一組成本最小之機台配 置組合。作者針對 8 種產品以及 31 個工作站進行實例驗證，所需運算時 間將近 9 個小時，運算效率略顯不足。其成本函數如式 2 - 8 所示：

∑ ∑

c

)

f (c

Ψ ：在機台組合c之下，產品 f 之平均生產週期時間。

f

Ψmax：產品 f 允許之最大生產週期時間。

c：c=(c₁,...,c_G)，表示機台組合。

F：表示系統中所有之產品種類。

G：表示系統中所有之機台種類。

Z⁺：表示正整數。

Connors et al.[6]利用最大邊際貢獻法來進行上述整數規劃模型之求 解，其概念為假設所有工作站之初始機台數為一台，接著一次增加一部機 台至機台群中，且在每次增加機台時，優先增加每單位成本的績效改善幅 度最大之機台，以此方式不斷的更新機台組合，直到平均生產週期時間滿 足週期時間限制為止。

Swaminathan[22]考量產品市場需求不確定之情況下，發展一組混合整 數規劃(mixed integer programming)之數學模型，以求解晶圓廠之機台配置 問題。作者假設公司管理者能夠預測未來可能發生之數種產品需求情境 (scenarios)，而每一個需求情境皆對應一機率值，利用這些需求情境代表產 品需求之不確定性。而模型中考慮機台購買預算、機台可用產能、市場需 求等限制，以最小化缺貨成本之期望值為目標，進行機台之數量配置。由 於晶圓廠機台規模龐大，很難在合理時間內求得最佳解，故作者發展了數 個複雜之演算法以進行模式求解。而實驗結果顯示，在不確定需求之情況 下，作者提出之機率性模型比單一需求情境之模型成效較佳。

Swaminathan[23]延續上述研究，並將之前只考慮單期的模型擴展至多 期間之機台配置決策模型，以及將產品在機台上之加工作業列入規劃中，

使模型更為完整。作者認為多期間之考量可反應產品之生命週期對機台配 置的影響；而加入機台之加工作業規劃乃有助於細部生產計劃之擬定。

張氏[35]修改 Swaminathan[22][23]之數學模型，加入了 COO(Cost of ownership)成本模式作為單位生產成本，並考量產能不足與過剩之成本，

以及機台利用率水準與預算之限制，在產品需求不確定之環境下，建構一 套涵蓋多期間之機台產能擴充決策模型，以有效率地添購半導體產業之機 台設備數量。

Hood[10]針對產品需求不確定之情況下，提出一機率性數學模型，以 求解多期間之機台數量配置問題。模型之決策變數包括各產品之產量及在 不同機台群之加工數量、各期間產量與需求量之差距，以及機台之購置數 量。而此數學模型考量了預算、可用產能、缺貨量以及溢貨量等限制下，

以產量與需求量差距之期望值最小化為目標，求解機台之數量配置。然 而，由於模型中變數與限制式較多導致問題龐大，很難在合理時間求得最 佳解，故作者採用啟發式方法進行求解。

熊氏[37]將晶圓廠之機台數量規劃問題分為三個主題進行探討，其分 類如表 2 - 4 所示。第一個主題針對不確定需求之環境下，以利潤最大化為 目標，並滿足生產週期時間之限制，進行機台數量之規劃。第二個主題針 對產品有季節性調整之環境，建構一個多產品比例之機台規劃模型，此模 型以利潤最大化為目標，並考慮了週期時間與機台採購預算之限制。第三 個主題對於已擁有多座晶圓廠之業者，其欲增建一座新廠時之機台規劃問 題，模型中之決策變數為新廠之機台數量以及各分廠之產品產量配置，以 新廠之機台投資成本最小化為目標，並考慮週期時間限制來進行規劃。作 者以等候模型作為系統生產績效之評估工具，並運用基因演算法(Genetic algorithm)求解上述主題之機台規劃問題。

表 2 - 4 熊氏[37]三個研究主題之分類

主題 工廠環境 需求模式 是否考慮週期時間

研究主題一 單廠環境 不確定需求 有考慮週期時間

研究主題二 單廠環境 確定需求(多產品比例) 有考慮週期時間

研究主題三 多廠環境 確定需求 有考慮週期時間