從探究自然界的現象到現今為了解決實際的問題，根據其規律，經由簡化、純化與 假設，並選用適當的工具，得到適當的數學模型，這樣的過程即為數學建模，故數學建 模就是將現實問題轉換為數學問題的過程。
在《普通高中數學課程標準(實驗)》一書中，數學建模可以透過以下流程來實現
圖 1-3-1 建模流程圖
舉例來說，哥尼斯堡七橋問題，就是一個很有趣的例子：
1. 【實際情境】
在德國，帕瑞格爾河從哥尼斯堡城中穿過，河中有兩個島 A 與 D，河上有七座橋連 接這兩個島及河的兩岸 B，C（如圖 1-3-2 所示），不少居民和遊人經常在這裡散步或 遊覽。
2. 【提出問題】
有人提出一個問題：能不能從某地出發走遍七座橋，然後回到出發點，其中每座橋 只許經過一次。
修改 提出問題
數學模型
數學結果
不合乎實際
合乎實際 檢驗
可用結果 實際情境
B D A
C
C
B
A
D
圖 1-3-2 七橋問題
在眾人嘗試卻仍無解時，尤拉進行假設化簡：不管橋的長短、島的大小、地形，而 用簡單的圖形表示
圖 1-3-3 七橋問題簡圖
3. 【數學結果】
尤拉指出：不可能無重複地走遍七座橋。
4. 【可用結果】
在一筆畫問題中，對於每一個點必有「進」和「出」兩種線條，故應有偶數條線，
但在七橋問題裡，通過每個點的線皆為奇數條，故尤拉才大膽指出：不可能無重複 地走遍七座條。
近年來很多國家已開始著手發展數學建模競賽，培養學生真正從「做中學」的精神，
像美國 HIMCM 即為其一（其中 1999~2004 年已由林國源翻譯，並收錄於附錄二，2005 年以後的題目將於第二章中介紹），而國內亦有旺宏科學獎、思源基金會所舉辦的科學 創意大賽－數學專題及台灣數學建模與創意學會所舉行的全國高中高職數學作文競 賽，將於第二章中詳述。並於第三章分析得獎作品特點及與高中課程的關聯性。另考量 到科技日趨發達，故於第四章中嘗試引入資訊軟體協助解決問題。除了數學建模競賽，
國際間對數學建模課程亦逐漸重視，且於數學課程綱要中明定及闡述理念，因此，第五 章將介紹德國、新加坡、美國、大陸的課程改革動態及數學建模教育的性質與功能，最 後將進行教學上的反思，以為未來自身教學時的惕勵！
第二章 第二章 第二章
第二章 數學建模競賽相關題材 數學建模競賽相關題材 數學建模競賽相關題材 數學建模競賽相關題材
國內外為何逐漸重視數學建模競賽？因數學建模競賽不但可以培養學生綜合運用 知識的能力和創新精神，更可培養學生團結合作與相互協調的能力（周遠清，2003）。
近年來，國際中數學建模競賽已蓬勃發展，如美國早在 1999 年開始舉辦全美高中 學生數學建模競賽。國內亦追隨其腳步，許多團體開始投入、發展此類活動。
2.1 全美高中學生數學建模競賽 全美高中學生數學建模競賽 全美高中學生數學建模競賽 全美高中學生數學建模競賽（ （ （ （HIMCM） ） ） ）
美國從 1999 年開始辦理全美國高中生的數學建模競賽（The High School
Mathematics Contest in Modeling，簡稱 HIMCM），目的是使參賽學生能藉此訓練用數學 的方法分析、解決現實生活中的問題，並希望能使學生提高解決問題及寫作能力。
一一
一一、、、、比賽規則比賽規則比賽規則比賽規則
1. 參賽隊伍至多四人。
2. 登錄網站後可獲得帳號和密碼，並於競賽開始的 36 小時內登錄指定網站取得題目。
3. 題目分為 A、B 兩題，可擇一回答。
4. 在比賽期間內（11 月 6 日至 23 日），任意連續 36 小時為期限，例如：可從 11 月 10 日上午 8：00 開始，則 11 月 11 日晚上 8：00 即為競賽結束時間。
5. 指導老師必須於期限內，確認沒有任何更改事項後，將學生論文資料交給大會評審。
6. 所有論文必須在 2009 年 12 月 2 日下午 5：00 前繳交。
7. 每個參與的學生需簽署家長／監護人同意書，由學校將原始同意書寄給主辦單位
（COMAP），並保留原始同意書的副本。
8. 針對參賽團隊所提出的特別需求（與競賽有關），所屬學校有責任及義務給予協助，
並詳列細節及協助範圍，且視同協助 HIMCM 的相關活動之一。
9. 若於競賽期間學生有學習影響的需求，則依各學校活動課程計劃因應。
二二
二二、、、、2005－－－－2009 歷屆題目歷屆題目歷屆題目（歷屆題目（（原文詳見附錄一（原文詳見附錄一原文詳見附錄一）原文詳見附錄一）） ）
2005 Problem A
Modeling Ocean Bottom Topography
一艘海洋勘測船藉由使用聲納反射海底的聲波去繪製海底。圖 A 顯示船的位置在海 面上的 B 點。船上的聲納裝置能夠釋放可供測量 2 到 30 度的弧形聲波。在二維中，此 弧在圖 A 中以 ABC∠ 表示，且發出聲波以虛線和實線 BA 和 BC 來顯示。
當聲波碰觸到海底時，聲波像一顆撞球被彈離撞球台一般被彈離海底；即入射角 α 等於反射角 β，如圖 B 所示。因為當聲波被釋放出時，船一直在移動，故船將會在圖中 的 F 接收到被反射的聲波。而水的實際深度是圖 A 中 BD 的長度。
圖圖
圖圖 A 圖圖圖圖 B 有用的資訊：
海洋探測船通常以 2m/s 的速度航行，而軍艦以 20m/s 的速度前進。探測船上的聲 納裝置可以發放出可測量 2 到 30 度的弧形聲波。而典型的聲納速度是 1500m/s。
為繪製海底地形設計一個模型。寫一封信給當地報紙的科學編輯簡述你的研究發 現。
2005 Problem B
Gas Prices, Inventory, National Disasters, and the Mighty Dollar
從經濟報告中顯示，世界正以供給非常短缺卻又非常需求的程度在使用著汽油。任 何風暴的衝擊（更不用說像卡特里娜颶風），影響油價皆非常迅速。讓我們將研究限制 在美洲。
過去六年來，加拿大是美國石油的主要國外供應國，包括原油和精煉過的油製品。
（看第五頁，為加拿大從 1988 年至今出口到美國的每月石油供給，圖表 S3 為原油和 石油產品的進口）
加拿大蟬聯美國石油的主要國外供應商於 2004 年時邁入第六年（從 1999 年開始，
取代了委內瑞拉至今（包含 2004 年））。
在 2002 年，加拿大供應到美國 17%的原油及精煉後產品－每天供應超過 190 萬桶，
遠超過其他國外供應國。
加拿大西部的原油由美國中西部和落磯山脈那幾州提供的。
加拿大東岸的油卻主要由美國東岸甚至墨西哥灣沿岸各州進口。
許多精算者可以購買到足以滿足目前開車的人需求之油量，但仍不足以存貨。根據 華盛頓郵報：「當他們需要時，他們會想買油。」 「當他們是對未來不確定時，他們 持保留態度。」（「因為戰爭，會減緩原油進口到美國的速度」文獻來自 3/31/03 華盛 頓郵報。）
根據美國的用途與消耗，建立一個對公司與消費者都公平且較好的石油工業的模 型。根據最高一天的消耗量來建立你的模型。
2006 ProblemA Inflation of the Parachute
降落傘是由輕薄的布料組成，並由帶子和懸掛線支撐著。這些懸掛線稱為降落傘的 吊帶，通常會穿過布環或金屬連接器並鏈接在許多強韌帶子的兩端。這些吊帶依序連接 到降落傘的背帶使其能負載重量。
開傘系統
版模型出來後，在某些圈子裡被稱為「準指揮官式頂棚」。這是一個圓形降落傘，但有 一條暫停線連接到頂棚頂點，用於承載並將頂點拉近承載物，使得圓形傘的形狀變的有 點扁平。
通常這些設計會將頂端移除一塊布料，以打開一個孔讓空氣逸出，讓頂棚成為一環 形幾何形狀。由於其形狀扁平，他們也有減低水平速度的功能，加上向後開的通風口，
可以達到相當快的速度，大約為每小時 10 英里（15 公里/小時）。
帶狀及環形降落 帶狀及環形降落 帶狀及環形降落 帶狀及環形降落傘傘傘傘
帶狀及環形降落傘設計類似環狀設計，可以在速度高達 2 馬赫（2 倍音速）時打開。
有環形的頂棚，通常在中心有個大洞以釋放壓力。有時，環形會分為帶狀並以繩索相連，
可以逸出更多空氣。大量的空氣洩漏可將低降落傘的壓力，使降落傘打開時不至於破裂。
通常高速降落傘降低負載速度，然後拉出低速降落傘。這種降落傘序列機制稱做
「延遲釋放」或「壓力制動釋放」，取決於在負載減速時的釋放時機是依據時間或壓力 減緩。
空壓式降落傘 空壓式降落傘 空壓式降落傘 空壓式降落傘
大多數現代的降落傘是屬於自行充氣的「空壓式」翼型，稱為翼傘，可控制速度及 方向，類似滑翔傘。滑翔傘有更大的升力和範圍，但降落傘的設計著重在終端速度上能 夠散佈及減輕壓力的分布。所有空壓式翼傘有兩層布料；頂層和底層，透過翼形的布料 連接。兩層布料間的空間充滿由翼形前方通風口灌進的高壓空氣。由於布料的形狀以及 降落傘負載線的剪裁，鼓脹的布料會膨脹成一個翼型結構。
美國海軍展示「方形」空壓式降落傘著陸
預備傘 預備傘 預備傘 預備傘
傘兵和跳傘運動者會攜帶兩個降落傘。主要的降落傘被稱為主傘，第二個稱作預備 傘。在主傘無法正常開啟時，跳傘者可使用預備傘。
預備傘在二次世界大戰時由美軍傘兵開始使用，現在幾乎普遍被採用。對於跳傘 者，只有緊急跳傘才會使用單一降落傘，而這些往往是舊型的圓形設計，現代的 PEPs
（例如 P124A/飛行員）都包含大型且易於操控的空壓式降落傘。
開傘部署開傘部署 開傘部署開傘部署
備傘通常有個開傘索系統，但大多數現代運動跳傘員所使用的的主傘是手動開傘的 輔助傘。開傘索系統會拉動一關閉的保險針（有時為多個）以釋放出安裝彈簧的輔助傘 並打開容器，輔助傘會被彈簧推入空中並藉由通過氣流所產生的力量將裝有頂棚袋子的 引導傘拉出，兩者透過繫帶相接。
手動開傘的輔助傘，一旦進入到空中氣流，將會拉開引導傘上的關閉保險針並開啟 容器，相同的力量會拉出開傘的袋子。手動開傘的輔助傘有不同形式的變化型，但一般 都將系統稱為「投出系統」。只有手動開傘時，輔助傘在使用控制上升氣流的拉繩開傘