高中階段數學建模競賽題材之探討

國 立 交 通 大

學

理學院科技與數位學習學程

碩

士

論

文

高中階段數學建模競賽題材之探討

A Study of Contents of Mathematical Modeling Competitions

for High School Students

研 究 生：黃舜涵

指導教授：黃大原 教授

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

高中階段數學建模競賽題材之探討

A Study of Contents of Mathematical Modeling Competitions

for High School Students

研 究 生：黃舜涵

Student：Shun-Han Huang

指導教授：黃大原

Advisor：Tayuan Huang

國 立 交 通 大 學

理學院科技與數位學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of

Master in

Degree Program of E-Learning

June 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

高中階段數學建模競賽題材之探討

研究生：黃舜涵

指導教授：黃大原 博士

國立交通大學理學院科技與數位學習學程碩士班

摘

要

「數學建模」教育近來已受到國際間的重視，如美國、德國、大陸、新加坡已陸續 將其精神納入課程綱要之中，掀起一波波教育改革熱潮；而國內亦有相關團體進行推廣 數學建模的相關競賽活動。本論文主要研究方向在於因應這股改革熱潮，藉由國際間數 學教育改革動態，探討高中數學中融入數學建模活動的重要性（第五章）。針對這項目 標，本論文將對美國和台灣近年有關數學建模的競賽活動與試題內容做概括性的介紹與 整理（第二章），並分析得獎作品的特色及其與高中數學教材的關連性（第三章）。同時， 科技融入教學的時代已經來臨，嘗試著將「資訊科技」應用於「數學建模」活動（第四 章），希望能引發學生們願意實踐「做中學」的建模精神，並將其應用於日常生活及各 學科之間。 關鍵字 關鍵字 關鍵字 關鍵字：：數學建模：：數學建模數學建模數學建模、、、、全美高中數學建模競賽全美高中數學建模競賽全美高中數學建模競賽全美高中數學建模競賽、、、、旺宏科學獎旺宏科學獎、旺宏科學獎旺宏科學獎、、、思源科學創意思源科學創意思源科學創意思源科學創意大賽大賽大賽大賽、、、全國高、全國高全國高全國高 中 中 中 中高高高高職數學職數學職數學職數學作文作文作文作文競賽競賽競賽競賽

A Study of Contents of Mathematical Modeling Competitions

for High School Students

Student: Shun-Han Huang

Advisor: Dr. Tayuan Huang

Degree Program of E-Learning College of Science

National Chiao Tung University

Abstract

Recently, mathematical modeling has gained attentions worldwide and has evoked a series of educational reforms. For example, the principle of mathematical modeling has been included in the curriculum of some nations including America, Germany, China and Singapore. Besides, there are also some contests conducted by associated groups in Taiwan.

The purpose of this research aims to respond to this international trend of mathematic educational reforms. The importance of integrating mathematic modeling activities in senior high math courses curriculum will be surveyed in Chapter 5. Another survey of recent mathematical modeling contests conducted in America and Taiwan as well is given in Chapter 2. The features of the awarded works and its connection with the current curriculum senior high mathematical is analyzed in Chapter 3. In addition, how to apply computer-based activities to mathematical modeling will be further studied in Chapter 4 in the hope of motivating students to practice the essence of modeling-learning by doing.

誌

誌

誌

誌 謝

謝

謝

謝

兩年的研究所學習生涯裡，感謝專班李榮耀教授、陳明璋教授在專題研討時給予的 指導，使得對於問題的思考可更深、更廣；感謝專班所有開課及演講的老師們，讓自己 不僅在專業方面有所成長，更欣喜可涉獵其他領域的課程，充實新知、增廣見識。 非常感謝指導教授黃大原教授兩年來的諄諄教誨，不僅在研究方向給予指導外，在 論文架構及編排上亦給予許多寶貴的意見，讓我在從事研究的思考方面，獲益良多，並 對一再徬徨的我，給予適時的鼓勵，使得論文能夠順利完成，在此致上最誠摯的感謝。 另外，感謝南崁高中胡六金校長及所有同仁們，有了你們的支持與包容，讓我能於 工作之餘完成進修，充實自我。 最後，衷心地感謝我的家人－先生盈璋及我偉大的母親，有了你們的全力支持，使 我能無後顧之憂地完成學業，願將這份喜悅與你們共同分享。

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頁次 中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 誌謝 ……… iii 目錄 ……… iv 表目錄 ……… vi 圖目錄 ……… vii 第一章 第一章 第一章 第一章 文獻探討文獻探討文獻探討文獻探討……… 1 1.1 近代科學中的建模……… 2 1.2 什麼是數學建模……… 4 1.3 數學建模流程……… 4 第二章 第二章 第二章 第二章 數學建模數學建模數學建模數學建模競賽競賽競賽競賽相關題材相關題材相關題材相關題材……… 8 2.1 全美高中學生數學建模競賽（HIMCM） ……… 8 2.2 旺宏科學獎……… 19 2.3 思源科學創意大賽－數學專題……… 20 2.4 台灣數學建模與創意學會－全國高中高職數學作文競賽……… 24 第三章 第三章 第三章 第三章 學生數學建模學生數學建模學生數學建模學生數學建模競競競競賽內容賽內容賽內容賽內容……… 29 3.1 數學建模作品內容摘述……… 29 3.2 數學建模作品的共同特點……… 32 3.3 數學建模競賽探討……… 33 3.4 數學建模作品內容和高中數學教材的關連性……… 35 第四章 第四章 第四章 第四章 資訊軟體在數學建模中的角色資訊軟體在數學建模中的角色資訊軟體在數學建模中的角色資訊軟體在數學建模中的角色……… 39

4.1 資訊融入教學……… 39 4.1.1 LINGO……….... 40 4.1.2 SPSS……….... 40 4.1.3 GSP………... 41 4.1.4 GEOGEBRA………... 41 4.1.5 EXCEL………... 42 4.2 高中數學利用資訊科技範例………... 42 4.3 交叉表………... 60 第五章 第五章 第五章 第五章 國際間的反思國際間的反思國際間的反思國際間的反思………. 64 5.1 德國數學課程改革動態………. . 64 5.2 新加坡數學課程改革動態………. 67 5.2.1 原理……… 67 5.2.2 目標………. 67 5.2.3 數學框架………. 68 5.3 美國數學課程改革動態………. 71 5.4 大陸數學課程改革動態………. 78 5.5 數學建模教育的性質與功能………. 82 5.6 反思………. 83 參考文獻 ………. 87 附錄一 2005-2009 全美高中學生數學建模競賽 (HIMCM) ………. 90 附錄二 1999-2004 全美高中學生數學建模競賽 (HIMCM) 林國源輯... …….. 103 附錄三 旺宏科學獎－數學領域得獎名單………. 118

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頁次 表 3-1-1 簡述檢定樂透……… 29 表 3-1-2 簡述鬼謎藏……… 30 表 3-1-3 簡述翻動「棋跡」……… 31 表 3-4-1 得獎作品的數學領域與高中課程對照表（依高中課程分類）……… 36 表 3-4-2 得獎作品的數學領域與高中課程對照表（依屆數與題目分類）……… 37 表 3-4-3 得獎作品與應用軟體分類表……… 38 表 4-2-1 EXCEL 線性規劃設定……….……….. 44 表 4-2-2 EXCEL 線性規劃解答……….. 45 表 4-2-3 原始數據載入 SPSS……….. 50 表 4-2-4 SPSS 相關表……….. 52 表 4-2-5 刪除變數表……….... 54 表 4-2-6 變異數分析……… 55 表 4-2-7 係數……… 56 表 4-2-8 模式摘要……… 56 表 4-2-9 EXCEL 載入數據………...……….... .. 58 表 4-2-10 EXCEL 報表 1……….………... 59 表 4-2-11 EXCEL 報表 2……….……….. 60 表 4-3-1 軟體與題型整理表………..………. 60 表 5-3-1 NCTM 課程標準………... 74

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頁次 圖 1-1-1 近代科學中建模過程……… 3 圖 1-3-1 建模流程圖……… 5 圖 1-3-2 七橋問題……… 6 圖 1-3-3 七橋問題簡圖……… 6 圖 4-2-1 Lingo 設定………. 43 圖 4-2-2 Lingo 解答………. 43 圖 4-2-3 EXCEL 參數設定……….. 44 圖 4-2-4 GSP 設定……… 45 圖 4-2-5 GSP 動畫求解……… 46 圖 4-2-6 GEOGEBRA 設定………. 46 圖 4-2-7 GEOGEBRA 動畫求解………. 47 圖 4-2-8 選擇分析方法………. 50 圖 4-2-9 選擇【選項】、【統計量】………. 51 圖 4-2-10 排除遺漏值………. 51 圖 4-2-11 統計量設定……….. 52 圖 4-2-12 選擇向後法………. 53 圖 4-2-13 選項設定………. 53 圖 4-2-14 統計量設定………. 54 圖 4-2-15 EXCEL 選擇資料分析方法………. 58 圖 4-2-16 EXCEL 選擇變數………. 59 圖 4-3-1 SPSS 分析選單………. .. 62 圖 4-3-2 迴歸選單……….. 62

圖 4-3-3 SPSS 統計圖表選單………. 63 圖 5-2-1 新加坡課程框架………... 68

第一章

第一章

第一章

第一章 文獻探討

文獻探討

文獻探討

文獻探討

數學是研究空間與數量的科學，是刻劃自然規律與社會規律的語言和工具。數學是 自然科學、技術科學等科學的基礎，亦在經濟、社會及人文科學的發展上有著舉足輕重 的影響。數學應用越來越廣，與計算機結合後在社會上許多方面創造價值。數學在人類 文化上佔有重要的地位，數學素養是公民必備的基本素質。 科學研究過程是對客觀事物的認識過程，其包含四個階段：發現問題、了解情況、 深入思考、實踐驗證，而數學建模是科學研究過程中一個核心環節。簡化來說分為三大 步驟：實際問題轉化為理論模型（建模過程）－理論模型求解（求解與計算過程）－理 論結果的應用（應用過程）。 數學建模的過程是解決實際問題的過程，實際問題是用大眾語言表達，此時需要將 大眾語言化為理論語言，將實際問題化為理論模型，模型求解與計算能力並將結果再化 成大眾能理解的語言，使結果能得到大眾充份的應用（趙東方，2007）。 回想起自己身為高中生、大學生的時候，對於書上的定理、公式總是覺得不耐，總 在想為什麼愛因斯坦要發明相對論？讓自己在大四那一年選修物理系的「近代物理」時 痛不欲生；為什麼高斯發明了高斯符號、高斯矩陣？不了解這些東西到底有什麼用？當 一顆蘋果砸到牛頓的頭上，萬有引力就出現了？！伽利略測得光速的過程更是令人覺得 突發奇想！而他推翻不同重量物體於同一高度掉下時重物會先著地的精神又是多麼值 得讚揚！ 在接觸「數學建模」這個名詞之前，總覺得以往的學習是多麼制式與無奈，但進入 專班開始接觸一些素材課程以及建模領域後，開始有了不同的想法。 97 學年度下學期專班素材製作的課程裡，有一段影片令我印象深刻：在美國有一位 老師要教鐘擺，提出了一個情境：一個人被繩索綁在台上，天花板有一個左右擺動的鐮 刀，緩慢下降，請問這個人有多少時間可以逃生？影片中看到每一組的學生開始動手做 實驗，記錄數據、並嘗試用計算機去找出規律，進而推出簡諧運動公式。當時覺得美國

的教育真的是從「做中學」！而現在更有了另一層的想法：原來，生活中充滿了數學！ 以前念書時，數學老師常說：對數的發明是為了解決天文上精密且龐大計算的困 擾！為了解決生活中所需、解釋生活中自然現象，近而發現規律，將之化為模型、公式 等等，都是讓現實中的問題逐步邁向數學理論的步驟，而當中的過程，就是「建模」！ 現今台灣的數學教育，在教與學當中，漸漸喪失「提出問題」、「假設」、「驗證」等 過程，取而代之的是考不完的試、上不完的課，如果能在課堂中安排「探索」的情境並 運用現今的科技讓學生增加「做數學」的興趣，這才應該是數學教育的宗旨。

1.1

近代科學中的建模

近代科學中的建模

近代科學中的建模

近代科學中的建模

「數學建模」似乎是新崛起的名詞，但它並不是新穎的流派、詞彙，而是從科學發 展之初就存在了。當以數學去解決實際問題時一定得用數學的話語、方法去解釋該問 題，其表述的過程即為數學建模。 近代的科學家們，雖不了解「數學建模」一詞，但其研究、分析之過程，皆符合建 模的精神： 一 一 一 一、、、、伽利略伽利略伽利略伽利略－－－－比薩斜塔的落體實驗比薩斜塔的落體實驗比薩斜塔的落體實驗比薩斜塔的落體實驗 古希臘最著名的哲學家—亞里斯多德對於「自由落體」的學說是：「物體自高處自 由落下的速度和重量成正比」。然而，伽利略發現了問題，他在比薩斜塔的各樓層安排 了實驗者，分別把一對大小不等的重物自由落下，結果，同時接觸到地面。他這種堅持 用「實驗科學」的態度，成功地推翻了亞里斯多德的自由落體學說。 二 二 二 二、、、、克卜勒克卜勒克卜勒克卜勒－－－－行星運動定律行星運動定律行星運動定律行星運動定律 當科學家在研究天文現象時，常利用望遠鏡作觀測，然而當時以太陽為中心的學說

並未使天文學家能更準確預測行星的運行軌道。克卜勒對火星及地球試了各種大小不同 的圓、運動模式後，終於發現橢圓軌道最符合記錄。克卜勒由記錄導出了行星運行模式， 此為著名的克卜勒三大行星運動定律。 三 三 三 三、、、、阿基米德阿基米德阿基米德阿基米德－－－－浮力浮力浮力浮力 阿基米德在求學後回到故鄉，國王出了一道難題給阿基米德去解決，此為著名的真 假皇冠問題： 國王請金匠用純金打造了一頂純金王冠，做好以後，國王懷疑金匠不老實，可能造 假摻了「銀」在裡面，但是又不能把王冠毀壞來鑑定。怎樣才能檢驗王冠是不是純金的 呢？ 有一天，他在洗澡的時候想到：「溢出來的水的體積正好應該等於他身體的體積， 所以只要拿與王冠等重量的金子，放到水裡，測出它的體積，看看它的體積是否與王冠 的體積相同，如果王冠體積更大，這就表示其中造了假，摻了銀。」果然經過證明之後， 王冠中確實含有其他雜質，阿基米德成功的揭穿了金匠的詭計。這個發現奠定了物理學 中很重要的浮力理論。 在近代科學發展過程中，雖無「建模」一詞出現，但其原理、定律發現的過程，其 實就是「建模」的精神，反覆著從自然界發現問題→經由抽象、歸納等建模過程→得到 結論，而此結論可以應用於解釋自然界的現象（如下圖 1-1-1）： 圖 1-1-1 近代科學中建模過程

自然界

建模

結論

圖 1-1-1 中的「結論」即為現今的課堂教材，課堂中，常礙於課堂時數、考試壓力、 家長期望等等，無法用完整的訓練過程教育學生，只能一味地填鴨，將教材填充於學生 的腦袋中，並無時間讓學生理解其發展過程，猶如人們希望身體強健，只一味補充維他 命丸，卻不思從基礎運動做起，治標不治本，終究無法得到真正強健的體魄；教育亦同， 如不教導學生邏輯思考、數據分析的方法，即使記熟了一千個公式、一萬個定律，所訓 練出來的學生亦無法靈活運用既有的知識來解決週遭所遇到的問題。

1.2

什麼是數學建模

什麼是數學建模

什麼是數學建模

什麼是數學建模

數學建模（Mathematical Modeling）是近幾年隨著計算機的普及而談論得較多的話 題。一切現代科技技術的發展也和數學建模聯繫在一起。總地來說，介於數學、計算機 科學與實際問題間的技術就是數學建模及數值分析（王庚、王敏生，2008）。近年來， 美國數學界亦指出：在技術科學中最有用的數學領域是數值分析與數學建模。 什麼是數學建模？雖然近年來才有這個名詞出現，但並非新的東西。當用數學去解 決實際問題時就會用到數學方法去表達，而這種表達即為數學模型，而當中的過程就是 我們談論的「數學建模」。

1.3

數學建模流程

數學建模流程

數學建模流程

數學建模流程

從探究自然界的現象到現今為了解決實際的問題，根據其規律，經由簡化、純化與 假設，並選用適當的工具，得到適當的數學模型，這樣的過程即為數學建模，故數學建 模就是將現實問題轉換為數學問題的過程。 在《普通高中數學課程標準(實驗)》一書中，數學建模可以透過以下流程來實現

圖 1-3-1 建模流程圖 舉例來說，哥尼斯堡七橋問題，就是一個很有趣的例子： 1. 【實際情境】 在德國，帕瑞格爾河從哥尼斯堡城中穿過，河中有兩個島 A 與 D，河上有七座橋連 接這兩個島及河的兩岸 B，C（如圖 1-3-2 所示），不少居民和遊人經常在這裡散步或 遊覽。 2. 【提出問題】 有人提出一個問題：能不能從某地出發走遍七座橋，然後回到出發點，其中每座橋 只許經過一次。 修改 提出問題 數學模型 數學結果 不合乎實際 合乎實際 檢驗 可用結果 實際情境

B

_D

A

C

C

B

A

D

圖 1-3-2 七橋問題 在眾人嘗試卻仍無解時，尤拉進行假設化簡：不管橋的長短、島的大小、地形，而 用簡單的圖形表示 圖 1-3-3 七橋問題簡圖 3. 【數學結果】 尤拉指出：不可能無重複地走遍七座橋。

4. 【可用結果】 在一筆畫問題中，對於每一個點必有「進」和「出」兩種線條，故應有偶數條線， 但在七橋問題裡，通過每個點的線皆為奇數條，故尤拉才大膽指出：不可能無重複 地走遍七座條。 近年來很多國家已開始著手發展數學建模競賽，培養學生真正從「做中學」的精神， 像美國 HIMCM 即為其一（其中 1999~2004 年已由林國源翻譯，並收錄於附錄二，2005 年以後的題目將於第二章中介紹），而國內亦有旺宏科學獎、思源基金會所舉辦的科學 創意大賽－數學專題及台灣數學建模與創意學會所舉行的全國高中高職數學作文競 賽，將於第二章中詳述。並於第三章分析得獎作品特點及與高中課程的關聯性。另考量 到科技日趨發達，故於第四章中嘗試引入資訊軟體協助解決問題。除了數學建模競賽， 國際間對數學建模課程亦逐漸重視，且於數學課程綱要中明定及闡述理念，因此，第五 章將介紹德國、新加坡、美國、大陸的課程改革動態及數學建模教育的性質與功能，最 後將進行教學上的反思，以為未來自身教學時的惕勵！

第二章

第二章

第二章

第二章 數學建模競賽相關題材

數學建模競賽相關題材

數學建模競賽相關題材

數學建模競賽相關題材

國內外為何逐漸重視數學建模競賽？因數學建模競賽不但可以培養學生綜合運用 知識的能力和創新精神，更可培養學生團結合作與相互協調的能力（周遠清，2003）。 近年來，國際中數學建模競賽已蓬勃發展，如美國早在 1999 年開始舉辦全美高中 學生數學建模競賽。國內亦追隨其腳步，許多團體開始投入、發展此類活動。

2.1

全美高中學生數學建模競賽

全美高中學生數學建模競賽

全美高中學生數學建模競賽

全美高中學生數學建模競賽（

（

（

（HIMCM）

）

）

）

美國從 1999 年開始辦理全美國高中生的數學建模競賽（The High School

Mathematics Contest in Modeling，簡稱 HIMCM），目的是使參賽學生能藉此訓練用數學 的方法分析、解決現實生活中的問題，並希望能使學生提高解決問題及寫作能力。 一 一 一 一、、、、比賽規則比賽規則比賽規則比賽規則 1. 參賽隊伍至多四人。 2. 登錄網站後可獲得帳號和密碼，並於競賽開始的 36 小時內登錄指定網站取得題目。 3. 題目分為 A、B 兩題，可擇一回答。 4. 在比賽期間內（11 月 6 日至 23 日），任意連續 36 小時為期限，例如：可從 11 月 10 日上午 8：00 開始，則 11 月 11 日晚上 8：00 即為競賽結束時間。 5. 指導老師必須於期限內，確認沒有任何更改事項後，將學生論文資料交給大會評審。 6. 所有論文必須在 2009 年 12 月 2 日下午 5：00 前繳交。 7. 每個參與的學生需簽署家長／監護人同意書，由學校將原始同意書寄給主辦單位 （COMAP），並保留原始同意書的副本。 8. 針對參賽團隊所提出的特別需求（與競賽有關），所屬學校有責任及義務給予協助，

並詳列細節及協助範圍，且視同協助 HIMCM 的相關活動之一。 9. 若於競賽期間學生有學習影響的需求，則依各學校活動課程計劃因應。 二 二 二 二、、、、2005－－－－2009 歷屆題目歷屆題目（歷屆題目歷屆題目（（原文詳見附錄一（原文詳見附錄一原文詳見附錄一）原文詳見附錄一）） ）

2005 Problem A

Modeling Ocean Bottom Topography

一艘海洋勘測船藉由使用聲納反射海底的聲波去繪製海底。圖 A 顯示船的位置在海 面上的 B 點。船上的聲納裝置能夠釋放可供測量 2 到 30 度的弧形聲波。在二維中，此 弧在圖 A 中以 ABC∠ 表示，且發出聲波以虛線和實線 BA 和 BC 來顯示。 當聲波碰觸到海底時，聲波像一顆撞球被彈離撞球台一般被彈離海底；即入射角 α 等於反射角 β，如圖 B 所示。因為當聲波被釋放出時，船一直在移動，故船將會在圖中 的 F 接收到被反射的聲波。而水的實際深度是圖 A 中 BD 的長度。 圖 圖 圖 圖 A 圖圖圖圖 B 有用的資訊： 海洋探測船通常以 2m/s 的速度航行，而軍艦以 20m/s 的速度前進。探測船上的聲 納裝置可以發放出可測量 2 到 30 度的弧形聲波。而典型的聲納速度是 1500m/s。 為繪製海底地形設計一個模型。寫一封信給當地報紙的科學編輯簡述你的研究發 現。

2005 Problem B

Gas Prices, Inventory, National Disasters, and the Mighty Dollar

從經濟報告中顯示，世界正以供給非常短缺卻又非常需求的程度在使用著汽油。任 何風暴的衝擊（更不用說像卡特里娜颶風），影響油價皆非常迅速。讓我們將研究限制 在美洲。 過去六年來，加拿大是美國石油的主要國外供應國，包括原油和精煉過的油製品。 （看第五頁，為加拿大從 1988 年至今出口到美國的每月石油供給，圖表 S3 為原油和 石油產品的進口）
加拿大蟬聯美國石油的主要國外供應商於 2004 年時邁入第六年（從 1999 年開始， 取代了委內瑞拉至今（包含 2004 年））。
在 2002 年，加拿大供應到美國 17%的原油及精煉後產品－每天供應超過 190 萬桶， 遠超過其他國外供應國。
加拿大西部的原油由美國中西部和落磯山脈那幾州提供的。
加拿大東岸的油卻主要由美國東岸甚至墨西哥灣沿岸各州進口。 許多精算者可以購買到足以滿足目前開車的人需求之油量，但仍不足以存貨。根據 華盛頓郵報：「當他們需要時，他們會想買油。」 「當他們是對未來不確定時，他們 持保留態度。」（「因為戰爭，會減緩原油進口到美國的速度」文獻來自 3/31/03 華盛 頓郵報。） 根據美國的用途與消耗，建立一個對公司與消費者都公平且較好的石油工業的模 型。根據最高一天的消耗量來建立你的模型。

2006 ProblemA

Inflation of the Parachute

降落傘是由輕薄的布料組成，並由帶子和懸掛線支撐著。這些懸掛線稱為降落傘的 吊帶，通常會穿過布環或金屬連接器並鏈接在許多強韌帶子的兩端。這些吊帶依序連接 到降落傘的背帶使其能負載重量。

開傘系統 開傘系統 開傘系統 開傘系統 降落傘的自由落體開傘是將稱做輔助傘的較小降落傘從小容器中拉出來。 直接離開飛機的一種部署降落傘的方法是利用固定拉繩。固定拉繩的一端連接著飛 機，另一端連接著降落傘的部署系統。 降落傘的種類 降落傘的種類 降落傘的種類 降落傘的種類 圓形降落傘 圓形降落傘 圓形降落傘 圓形降落傘 一位美國傘兵使用 MC1 的- 1C 型系列的「圓形」降落傘 圓形降落傘是一種純粹的拖曳的裝置（也就是說，它們不像有空壓裝置類型降落傘 般有向上提升的作用），通常用於軍事，緊急情況和貨物上的應用。這些是由一個單層 布製成的大圓頂形簷篷。有些跳傘者稱之為「水母降落傘」，因為它們看起來像有著圓 頂形狀的水母。現在的跳傘者很少使用圓形降落傘。最初的圓形降落傘構造簡單，形狀 為扁平的圓形，但是不穩定，所以大多數的現代化圓型傘是某種形式的圓錐形或拋物線 形。 有些圓形傘是可操控的，但還不到空壓式降落傘的那種操控程度。照片中傘兵上頭 的傘體就是一個可操控的圓形傘，它不是被撕裂或破損，而是有一個「T-U 切口」。這 種切口可以允許讓氣流從傘體背面逸出，可限制降落傘的速度。這使跳傘者能夠調整降 落傘面使之逆風，以減慢著陸時的水平速度。 環形及頂點下拉式降落傘 環形及頂點下拉式降落傘 環形及頂點下拉式降落傘 環形及頂點下拉式降落傘

版模型出來後，在某些圈子裡被稱為「準指揮官式頂棚」。這是一個圓形降落傘，但有 一條暫停線連接到頂棚頂點，用於承載並將頂點拉近承載物，使得圓形傘的形狀變的有 點扁平。 通常這些設計會將頂端移除一塊布料，以打開一個孔讓空氣逸出，讓頂棚成為一環 形幾何形狀。由於其形狀扁平，他們也有減低水平速度的功能，加上向後開的通風口， 可以達到相當快的速度，大約為每小時 10 英里（15 公里/小時）。 帶狀及環形降落 帶狀及環形降落 帶狀及環形降落 帶狀及環形降落傘傘傘傘 帶狀及環形降落傘設計類似環狀設計，可以在速度高達 2 馬赫（2 倍音速）時打開。 有環形的頂棚，通常在中心有個大洞以釋放壓力。有時，環形會分為帶狀並以繩索相連， 可以逸出更多空氣。大量的空氣洩漏可將低降落傘的壓力，使降落傘打開時不至於破裂。 通常高速降落傘降低負載速度，然後拉出低速降落傘。這種降落傘序列機制稱做 「延遲釋放」或「壓力制動釋放」，取決於在負載減速時的釋放時機是依據時間或壓力 減緩。 空壓式降落傘 空壓式降落傘 空壓式降落傘 空壓式降落傘 大多數現代的降落傘是屬於自行充氣的「空壓式」翼型，稱為翼傘，可控制速度及 方向，類似滑翔傘。滑翔傘有更大的升力和範圍，但降落傘的設計著重在終端速度上能 夠散佈及減輕壓力的分布。所有空壓式翼傘有兩層布料；頂層和底層，透過翼形的布料 連接。兩層布料間的空間充滿由翼形前方通風口灌進的高壓空氣。由於布料的形狀以及 降落傘負載線的剪裁，鼓脹的布料會膨脹成一個翼型結構。

美國海軍展示「方形」空壓式降落傘著陸 預備傘 預備傘 預備傘 預備傘 傘兵和跳傘運動者會攜帶兩個降落傘。主要的降落傘被稱為主傘，第二個稱作預備 傘。在主傘無法正常開啟時，跳傘者可使用預備傘。 預備傘在二次世界大戰時由美軍傘兵開始使用，現在幾乎普遍被採用。對於跳傘 者，只有緊急跳傘才會使用單一降落傘，而這些往往是舊型的圓形設計，現代的 PEPs （例如 P124A/飛行員）都包含大型且易於操控的空壓式降落傘。 開傘部署 開傘部署 開傘部署 開傘部署 備傘通常有個開傘索系統，但大多數現代運動跳傘員所使用的的主傘是手動開傘的 輔助傘。開傘索系統會拉動一關閉的保險針（有時為多個）以釋放出安裝彈簧的輔助傘 並打開容器，輔助傘會被彈簧推入空中並藉由通過氣流所產生的力量將裝有頂棚袋子的 引導傘拉出，兩者透過繫帶相接。 手動開傘的輔助傘，一旦進入到空中氣流，將會拉開引導傘上的關閉保險針並開啟 容器，相同的力量會拉出開傘的袋子。手動開傘的輔助傘有不同形式的變化型，但一般 都將系統稱為「投出系統」。只有手動開傘時，輔助傘在使用控制上升氣流的拉繩開傘

並不保留輔助傘。在預備傘系統中，預備傘的開傘袋和輔助傘並未與降落傘的傘衣相連 接，這就是所謂的自由袋架構，相關組件常在備傘開傘後遺失。有時輔助傘可能並未產 生足夠的力量去拉動保險針或拉出傘袋，原因可能是跳傘員的輔助傘被亂流尾流纏住了 （即所謂的「渦流」），或關閉環上的保險針卡的太緊，或者是輔助傘產生拉力不足，這 結果被稱為「輔助傘遲滯」，如果狀況未排除，可能導致完全故障並需要啟用預備傘。 傘兵的主傘通常利用固定拉繩開啟，但保留裝降落傘的傘袋，且不依靠輔助傘來開 傘。這種開傘袋的構造被稱為直接傘袋系統且開傘速度快速、一致並且可靠。這樣的開 傘方式也在跳傘學員進行固定拉繩式的跳傘上使用，是一種學生訓練課程。 使用建模過程，建立一個上述討論中的開傘數學模型。我們主要著重在降落傘是如 何膨脹。用你的模型來解釋降落傘折疊的幾何形狀會如何影響降落傘的膨脹，並且討論 我們可能會如何影響降落傘的膨脹速度。

2006 Problem B

A South Sea Island Resort

一個南太平洋海島鏈決定將他們其中一個島嶼開發成度假勝地。這個大致成圓形的 海島，直徑大约 5 公里，包括涵蓋整個海島的一座山。山大致成圓錐狀，中心大约是 1000 公尺高且結構多數為沙或植被的沙之山丘。有人提議租一些消防船來洗滌並將沙山丘沖 入港口。這件工程希望能盡快完成。 建立一個沙山丘數學模型。 使用您的模型回答下面問題：
在山上，以一個時間函數表示水流應該如何導向？
使用一艘消防船，將需要多少時間？
使用 2 艘（或 3，4 等等）消防船是否可減少 2 倍（或 3，4 等等）以上的時間？
建議度假勝地委員會應該如何進行。

2007 Problem A

Smoke Alarms

火災是意外死亡的主要原因之一。採取充分的預防措施和儘可能準備好因應火災的 緊急狀況是非常重要的。 超過一半的致命火災常發生在晚上 10 點到早上 6 點之間，而這段時間內，大部份 的人通常在睡覺。煙霧警報器是在您睡覺時可以讓您警覺到火災發生的必需品。但煙霧 警報器是否能讓我們有足夠的時間安全地撤離？ 建立一個數學模型來決定裝置煙霧警報器的數量和地點以便能提供最多的撤離時 間。模型內也要包括住家中放置隨手可得的滅火器的數量和地點。建立一個數學模型能 讓一個家庭從一層和二層的房子撤離。 為您當地的消防署準備一個宣傳廣告並於社區內發放，廣告內需包含您數學模型的 主要結論。

Two Story Home Downstairs

2007 Problem B

Car Rentals

有些人會在做長途旅行時租借汽車，他們確信這是在存錢，即使他們沒有真的存到 錢，他們也覺得「如果汽車在旅行途中拋錨，問題是歸屬於汽車租借公司的」，這個觀 念讓租車變得有價值。分析並決定在哪些情況下租車是較適當的選擇。決定一個人能在 感到舒適、自在的情況下開著自用車並載著家人的哩程數極限。

2008 Problem A

National Debt and National Crisis

數學模型包括兩個同樣重要的步驟－根據現實情況來建立模型並解釋根據現實世 界模型所作的預測。這兩個步驟同等重要。 我們從 2008 年美國總統大選開始，辯論的主題一定是國債。作為一個高中生，你 一定會特別關注這個議題，因為你是將來必須清償或至少在未來是要處理國債的人。 國 債利率的改變取決於聯邦收入（主要稅收）與支出之間的差距。你的第一項任務是建立 一個可以用來了解國債的模型並依據不同的假設來進行預測。如往常一樣，模型必須在 太複雜和太簡單中取得一個平衡點，若太複雜，將導致模型非常難以處理，但若太過簡 單，又將讓模型不切實際且毫無價值。您的模型至少要對不同的稅收及及開支政策進行 討論。 單純靠數字是無法提供訊息，那些數字必須放在個別狀況或事件中才會有意義。例 如，平均人民國債就比總國債要更具意義。另外，一定要注意通貨膨脹。許多分析家將 國債與國民生產總值之間的比例當作影響國債的重要指標，而其他的分析師則擔心為了 支付國債的利息而所需花費的費用。而這花費不僅視國債的金額大小，並需視政府借錢 的利率。你可能會想看看維基百科上的文章，可以參考下列網站上所附有關國債與國民 生產總值比率的數據。 （http://en.wikipedia.org/wiki/National_debt_by_U.S._presidential_terms）

任務 任務 任務 任務：：：： 1. 建立一個可以幫助了解國債的模型並依據不同的假設來進行預測。你必須對模型內 各樣的因素提出解釋並需測試你模型對各參數的敏感度。 2. 利用你的模型去比較 2009－2017 年至少兩個替代方案。你的方案應該要是合理且可 執行的，並根據不同的稅率和消費政策來制定計劃。使用你的模型去比較你的政策 對國債與對全國總體的影響。 3. 準備一封給新總統的信，並向他建議你的模型。

2008 Problem B

Going Green

美國處理國家碳足跡有兩種方式：減少二氧化碳的排放或加速二氧化碳的處理。假 設美國二氧化碳的排放量無限制地超過 2007－2008 年的標準，那有什麼方法可以增加 二氧化碳的處理，以期能以對經濟及文化造成最小的影響？甚至有可能達到平衡嗎？為 你的解決方法建立模型，並指出其可行性、有效性及費用。準備一份簡短的摘要給美國 國會，並說服他們採用你的計劃。

2009 Problem A

Water, Water Everywhere

淡水在美國許多地方是有其發展限制的。設計一個有效的、可行的、且有經濟效益 的國家水資源政策來因應 2010 年到 2025 年的內需。尤其，要說明在你的政策中，水的 儲存、移動、去鹽化及保存這些可能的要素。考慮經濟、物理、文化及環境的影響。並 將你的成本，以及為什麼會是對國家最好的選擇的這些想法用條列式的方法，向美國國 會提供一份報告。

2009 Problem B

Tsunami （

（

（"Wipe Out!"）

（

）

）

）

最近的事件讓我們回想起遠方的或海底的地震的強大破壞力。建立一個模型去比較 各種規模的地震及由地震所引起的海嘯對下列的城市造成的破壞：加州的舊金山；夏威 夷州大島東岸大城－希洛；洛杉磯的新紐澳良；南卡羅來納州的查理斯頓；紐約；麻省 的波士頓及任何你所選擇的城市。準備一篇給當地報社的文章，針對其中一個城市來說 明你模型的發現。

2.2

旺宏科學獎

旺宏科學獎

旺宏科學獎

旺宏科學獎

與數學建模有關的競賽裡，旺宏電子教育基金會所舉辦的科學獎競賽有其獨特性。 在類似的比賽中，雖常有固定的競賽題目，但沒有標準答案，甚至有可能是無解，藉此 來訓練學生的創造力及想像力，並讓學生學習互相合作；但在相同的條件下，旺宏科學 獎連競賽題目都是『自選』，完全開放給學生發揮想像力，在日常生活中尋找問題、發 現問題、進而解決問題，並將結果推廣、應用於現實生活中，這樣的設計，更能啟發學 生對自然科學與應用科學的興趣及探索科學的精神與創造發明的潛力。 一 一 一 一、、、、比賽規則比賽規則比賽規則比賽規則 1. 競賽題目：自選。 2. 參賽資格： 2-1. 個人，以全國高中及高職在校學生為限。 2-2. 限指導老師乙名，且指導老師需為現任高中、職老師。 3. 評審標準：以高中、職程度為基礎自由發揮想像力與創造力完成之作品。 4. 評審辦法：

4-1. 初賽： 以創意說明書作為評審依據，採書面資料進行評審，由評審採共識決定入 圍作品。 4-2. 決賽： （1）成果報告書及現場簡報最多 30 頁 Powerpoint （15 分鐘），評審口試 15 分鐘。由全體評審委員採共識決定名次。 （2）如有作品需將作品帶至現場，若作品無法帶至決賽展示說明，需保留 所有紀錄，評審得視實際需要至研究室評鑑。

2.3

思源科學創意大賽

思源科學創意大賽

思源科學創意大賽

思源科學創意大賽－

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－數學專題

數學專題

數學專題

數學專題

為了讓年輕的學莘能於平常熟悉的事物中做進一步的分析與探討、培養運用數學知 識來找出解決問題的方法與步驟、提高科技競爭力，故新竹科學園區思源科技股份有公 司於 2001 年 12 月成立「財團法人思源科技教育基金會」，每年舉辦數學專題競賽，此 類競賽中沒有標準答案，在腦力激盪、互相討論的過程中，亦希望參賽者可以從中體會 到團隊合作的精神。 一 一 一 一、、、、比賽規則比賽規則比賽規則比賽規則 1. 參賽對象：全國高中職學生 2. 競賽評審： 2-1. 初審：以書面審查方式為之，由評審委員會就下列各項進行審查，以總分擇 優錄取十隊參加決賽。 （1）專題報告書的可讀性 20%。 （2）解題方法與數學推論 30%。 （3）建立數學模型的能力 30%。 （4）相關問題研究與討論 20%。

2-2. 決賽：以口頭報告以及評審問答方式為之，每隊簡報二十分鐘，評審口試十 分鐘，共三十分鐘。由評審委員就下列各項進行評審。 （1）各隊員的表達能力及臨場應變的能力。 （2）各隊員對問題及答案理解的程度。 （3）團隊互助合作及回答問題的能力。 2-3. 成績計算：初賽書面審查：40 分，決賽臨場表現：60 分，以總分高低決定名 次。 二 二 二 二、、、、2006－－－－2008 歷屆試題歷屆試題歷屆試題 歷屆試題 2006 年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽【【【【數學專題數學專題數學專題數學專題】】】競賽題目】競賽題目競賽題目 競賽題目 有一家鐵皮工廠經常需要從一多邊形鐵皮上裁剪一片圓形鐵皮，如圖所示： 為求材料的有效利用，裁剪的圓要儘量大，請想一想應該怎麼辦？ 以下有三個問題，請逐一詳細說明你的方法或策略，儘可能以尺規作圖法描述，並 給予證明。 1. 如何在任意的三角形區域內作一個最大的圓？ 2. 依序說明如何在任意的平行四邊形、等腰梯形、梯形內作一個最大的圓？ 3. 如何在任意的四邊形區域內作一個最大的圓？ 能否將你的方法推廣到任意的多邊形區域？ 2007 年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽【【【【數學專題數學專題數學專題數學專題】】】競賽題目】競賽題目競賽題目 競賽題目 鋪路造橋問題 如果要爲甲、乙、丙三城市建造一個公路網，讓甲、乙、丙三城市的人都能互相來 往，最經濟的方法是找到『費瑪點』（可利用網路關鍵字搜尋以得更多訊息），由此點

建造三條直線公路分別連接甲、乙、丙三城市。今假設甲、乙、丙三城市分別位於座標 （0, 17）, （26, 14）,（18, 0），但有一條河流將它們隔開。假設公路每公里造價1000 萬， 橋樑每公里造價 5000萬。試回答下列問題： 1. 如果河流的兩岸分別是直線 y=4 及 y=3，試精確計算下圖所示公路網的造價。 2. 在 1. 的假設下你能自己設計一個造價更低的公路網嗎？你的造價是多少？ 3. 如果河流的兩岸分別是直線 y=4 及 26y-x-52=0 （如x>52 假設河流消失），你的 公路網最低造價是多少？ 4. 在 3. 的假設下，如果甲、乙、丙三城市在其它座標，你用什麼策略去建造最經濟 的公路網。 5. 請以創意及數學深度兩項標準，自行設定三個城市的位置、河流的位置及寬度變化、 公路及橋的單位造價，然後建造一個最經濟的公路網。

2008 年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽年思源科學創意大賽【【【【數學專題數學專題數學專題數學專題】】】競賽題目】競賽題目競賽題目 競賽題目 A、基本概念 1. 一個矩形，若長度與寬度的比值為有理數，則稱為有理矩形。如圖 1 中的矩形長寬 比為 4 : 3，即比值為有理數三分之四，就是有理矩形。 圖 1 2. 有些矩形可以分割成有限個正方形。例如圖 1 中的矩形可分割成 1 個、3 個的正方 形，總共 4 個，如圖 2 所示。 圖 2 B、競賽題目 1. 說明每一個有理矩形都可用其長度與寬度作輾轉相除，依此將原矩形分割成有限個 正方形。 2. 舉一個有理矩形的實例，顯示有非輾轉相除的分割方法所得的正方形個數小於輾轉 相除法的個數。 3. 一個 10 : 9 的有理矩形，分割成一些個正方形，其個數的最小值為何？ 4. 如何分割一個任意的有理矩形，可使所得的正方形個數最少？ 5. 一個矩形，若不是有理矩形，則稱為無理矩形。是否存在無理矩形可分割成有限個 正方形？說明你的判斷和理由。

2.4

台灣數學建模與創意學會

台灣數學建模與創意學會

台灣數學建模與創意學會

台灣數學建模與創意學會－

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－全國高中高職數學作

全國高中高職數學作

全國高中高職數學作

全國高中高職數學作文競賽

文競賽

文競賽

文競賽

在第一章【圖 1-1-1】中的【結論】一環已成為現在的教材，但在課堂學習中，常 只教授固有的知識、定理，而忽略當初事件發生的本質、發展的過程，長期缺乏訓練下， 導致現今的學生在遇到真實世界中無固定標準答案甚至沒有答案的問題時，空有一堆數 學知識、公式，仍無法發揮創造力來建立數學模型。 因此，台灣數學建模與創意學會與台灣戰略模擬學會決定每年舉辦一個沒有標準答 案、可以自由發輝、互相辯證的台灣高中高職數學專題競賽，而這個比賽的題目取自於 生活周遭，因沒有標準答案，參賽者可以自由思考，大膽用數學當語言來描述自己的想 法與創意，故稱之為「數學的作文比賽」。希望能藉此競賽，讓學生的邏輯思考能力得 以訓練、發展。 一、比賽規則比賽規則比賽規則比賽規則 1. 參賽資格： 全國各高中、高職對數學有興趣的學生，在老師指導下，組隊參賽。 （指導老師必須為各校專任或實習教師） 2. 競賽方式： 以「指定題目方向」的方式比賽。 3. 評審方式及審查項目： 3-1. 初審：以書面審查方式為之，由評審委員會就下列各項進行審查。 （1）將問題數學模型化的能力，即將問題轉成數學式的能力。 （2）解題技巧。 （3）將題目推廣的深度。 （4）將題目推廣的創意。 （5）參考資料的深度、廣度。 初審入選的參賽隊伍，於 9 月 19 日，在輔仁大學（暫定）公開展示入圍作品， 向評審委員作簡報並回答問題。

3-2. 複審：以口頭報告並回答問題的方式為之，評審委員會就下列各項進行審查。 （1）團隊互助合作回答問題的能力。 （2）各隊員對問題及答案理解的程度。 （3）各隊員的表達能力及臨場應變的能力。 上述初審、複審均由 5 位教授組成評審委員會對各項進行評審。 二、2006－－－－2009 歷屆試題歷屆試題歷屆試題 歷屆試題 2006 年第四屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第四屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第四屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第四屆全國高中高職數學作文競賽指定題目 古巴飛彈危機 古巴飛彈危機 古巴飛彈危機 古巴飛彈危機--驚爆十三天危機管理之邏輯架構驚爆十三天危機管理之邏輯架構驚爆十三天危機管理之邏輯架構驚爆十三天危機管理之邏輯架構 說明： 請同學們看電影驚爆十三天或上網查詢：1962 年 10 月間，古巴飛彈危機始末。檢 視當時美國甘迺迪政府面對危機之決策過程的邏輯架構，以任何邏輯運算、數字運算、 機率運算，或其他任何你想得到的圖表分析，說明你對當時甘迺迪政府決策過程之看 法，或者說明如果你是甘迺迪，你會怎麼做？ 當然你也可以檢視蘇聯赫魯雪夫政府的決策過程，以任何邏輯運算、數字運算、機 率運算，或其他任何你想得到的圖表分析，說明你對當時赫魯雪夫政府決策過程之看 法，或者說明如果你是赫魯雪夫，你會怎麼做？為何要挑起古巴飛彈危機？ 補充說明： 所謂「創意」必須是在「現實的限制下」所產生的「創意」才有價值，例如：1962 年美國還沒有 F-117 隱形戰機，你就不可以「很有創意的」假設甘迺迪總統派 F-117 隱 形飛機轟炸古巴。 2007 年第五屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第五屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第五屆全國高中高職數學作文競賽指定題目年第五屆全國高中高職數學作文競賽指定題目 未來中國之研究 未來中國之研究 未來中國之研究 未來中國之研究 說明： 我不必是劉伯溫，我知道未來中國 2008 年會舉辦北京奧運，2010 年會辦上海萬 國博覽會，我也不必是諸葛亮，我知道中國舉辦奧運時，全世界的新聞媒體都會派員採 訪，舉辦萬國博覽會時，上海的飯店會生意興隆，如果你去參觀，必須注意黑心食品趁

機而入。你可以用數學圖表或其他任何數學工具，預測奧運或萬國博覽會對中國的社 會、經濟、政治甚至軍事會有任何影響？當然最重要的是要預測對台灣會有何影響？ 今年的題目是個完全自由開放自由發揮的題目，不限於所提出的例題或方向，你可 以挑任何一個或者多個中國未來的事件對中國的未來作推測；例如：現在上海人在上海 的銀行開戶的個人支票，到北京後是不能用的，但是不久（今年內）後中國的個人的支 票將可以全國流通，你可以算算看未來中國會有多少芭樂票？金額大概多少？中國政府 會不會被迫制定「票據法」？產生多少「票據犯」？中國政府要花多少錢蓋監獄？當然， 最重要的是要預測對台商會有何影響？ 上網去查，中國未來有太多事件值得研究了，未來長江水壩完工可以全面滿載發電 後，電網會怎麼分佈？中國的電價會不會下降？最重要的是台商建的電廠會不會破產關 門？ 今年的題目只有一個原則：你可以上網尋找挑選任何一個或多個中國未來「確定會 發生」的事件，以任何數學工具，估計、預測這些「確定會發生的事件」對中國會有何 影響，最重要的是要你以數學工具估計這些事件對台灣會有何衝擊？ 附註： 中國的生態環境「確定」很壞，如果你以此推測類似 SARS 的疫情，「可能」再次 從中國爆開，而對台灣產生衝擊，前提是「確定」的，那麼你的研究沒問題。中國號稱 在做「核融合」（中國稱為核聚變）的「小太陽」計畫，就連他們自己的科學家都對此 看法分歧，你「不能確定」2020 年或 2025 年，核融合的反應爐能商業運轉，如果你 的研究以「不能確定的」事件作前提，那麼就變成「中國未來之幻想」！ 2008 年第六屆全國高中高職數學作文競賽題目年第六屆全國高中高職數學作文競賽題目年第六屆全國高中高職數學作文競賽題目年第六屆全國高中高職數學作文競賽題目 台灣人口結構少子化與老人化之研究 台灣人口結構少子化與老人化之研究台灣人口結構少子化與老人化之研究 台灣人口結構少子化與老人化之研究 說明： 從內政部的網站可查得，我國新生兒總數 1991 年為 321,932 人，2001 年為 260,354 人，2007 年為 204,414 人，出生率快速下降。同樣的從內政部的網站也可以查得我國

65 歲以上的老人佔總人口比率，1991 年底為 6.53%，2001 年底為 8.81%，到 2006 年 7 月已達 10.09%。我國人口結構明顯的少子化與老年化現象，已經造成社會、經濟、政 治甚至軍事上的影響，未來會有更多問題出現！ 請就我國人口少子化與老人化現象未來所可能產生的問題，以任何圖表、程式、符 號…等表達出來，透過數學的思維，嘗試尋找解決的方法。例如：小學生人數不足，學 校減班，未來老師可能失業，你現在應該如何未雨綢繆？未來可能兵源嚴重不足，你現 在應該有何作為？未來老人醫療問題、就養問題將可能讓年輕人負擔很重，你現在應該 有何作為？ 2009 年年年年第七屆全國高中高職數學作文第七屆全國高中高職數學作文第七屆全國高中高職數學作文第七屆全國高中高職數學作文競賽題目公告競賽題目公告競賽題目公告 競賽題目公告 新型流行性感冒防疫之相關研究 新型流行性感冒防疫之相關研究 新型流行性感冒防疫之相關研究 新型流行性感冒防疫之相關研究 說明： 這個題目早在 2009 年春節前就定好了，原名是「禽流感防疫系統之研究」，因為這 一兩年來，世界各國的疾病管制中心（CDC）都針對人傳人的禽流感（NH5N1）提高警 戒，沒想到先來的卻是豬流感（N1H1）。這正好顯示出流行性感冒病毒基因突變的不可 測，不過，不管來的是何種流行性感冒，WHO 或各國的 CDC 總有一套防範各種流感都 適用的標準作業流程（SOP）或者防疫系統。假設你是 CDC 的官員，你會制定什麼樣 的流感防疫之 SOP 或防疫系統？請用數學工具，包括圖表、方程式、函數、邏輯、統 計…等工具，來說明你的 SOP 或防疫系統的合理性。 範例一： 就連 WHO 都將豬流感警戒分成六級，各國的防疫系統裡的各個單位，例如：海關、 衛生署、CDC、地方衛生局、醫院、…等當然也分多個警戒級數，各單位針對不同警戒 級數採取不同的行動互相合作，形成多重選擇合作賽局（multi-choice game）或者多重 情境協調系統（multi-state coherent system）。你能用這些模型來支持你所設計的流感防 疫之 SOP 或防疫系統之合理性嗎？

範例二： 防疫如同作戰，你能借用現今最夯的美軍 DoD AF 或 C4ISR（背後原理當然是數學 模型）的戰場觀念來架構你的防疫系統嗎？ 範例三： 純屬開玩笑！如果你做得出來就是人類的救星，請建構一個可以預測流行性感冒病 毒的 DNA 突變之數學模型，也許是要解 SPDE…，預測下一波流感病毒株的基因排序， 提早做好疫苗。

第三章

第三章

第三章

第三章 學生數學建模競賽內容

學生數學建模競賽內容

學生數學建模競賽內容

學生數學建模競賽內容

近年來，國內數學建模競賽雖快速發展，但對一般學生而言，初乍看到題目或構思 題目時，常有無法界定範疇及不知如何下筆之感，故於本章節中，摘錄部份決賽作品以 供大家了解－「生活週遭處處是數學」，而「數學建模」競賽對學生而言，並非是遙不 可及、無法踏足的領域。

3.1

數學建模作品內容摘述

數學建模作品內容摘述

數學建模作品內容摘述

數學建模作品內容摘述

以下就國內旺宏科學獎，簡述部份決賽作品內容。 一 一 一 一、、、、第三屆優等第三屆優等第三屆優等第三屆優等 檢定樂透檢定樂透檢定樂透檢定樂透 表 3-1-1 簡述檢定樂透 研究動機與 目的 自從民國 91 年發行樂透彩券以來，生活周遭充斥著所謂的「明牌」，又 觀察到在前幾期的資料中連續整數與前後兩期出現相同號碼的次數太 多，故想探討是否真有「明牌」？ 本作品的目的是在以科學的方法提出數據佐以理論為基礎，推論開獎的 公正性，以匡正社會大眾追求明牌的歪風。 研究方法 1. 伯努力二項式分配 2. 期望值、變異數 3. 機率分配散佈圖 結論 1. 接受開獎公正性 2. 建議挑選有連續整數的彩券

3. 從前一期 6 個中獎的號碼中取一個號碼，再從前一期 36 個未中獎的 號碼挑選 5 個號碼比較容易中獎 引用數據 台北銀行第 091001 期到 093025 期樂透彩開獎號碼 應用軟體 EXCEL 的統計函數 二 二 二 二、、、、第六屆銀牌第六屆銀牌第六屆銀牌第六屆銀牌 鬼謎藏鬼謎藏鬼謎藏鬼謎藏－－－－抽鬼牌遊戲勝率之探討抽鬼牌遊戲勝率之探討抽鬼牌遊戲勝率之探討抽鬼牌遊戲勝率之探討 表 3-1-2 簡述鬼謎藏 研究動機與 目的 從兩人互抽鬼牌探討起：一副撲克牌 52 張，外加兩張鬼牌，平分給兩 人，每人各拿 27 張，同點數的牌必須丟出，之後兩人互抽牌，一旦手 中有同點數的就丟出，玩到最後，手中沒有牌的就是贏家。想探討不同 牌型贏的機率，找出這項遊戲贏的機率函數，並希望求出遞迴數列的一 般解。 研究方法 1. 若兩人為甲、乙，則因 P（乙贏）＝P（甲輸）＝1－P（甲贏），故 要求一般解時，以求甲贏的機率為主。 2. 利用樹狀圖分類探討： （1）設兩人各擁有一張鬼牌，且甲、乙雙方的牌數摒除鬼牌後各為 k 張，甲贏的機率為 Pk。 （2）設甲沒有鬼牌，乙有兩張鬼牌，且摒除鬼牌後兩人牌數各有 k 張，甲贏的機率為 Qk。 （3）設甲有兩張鬼牌，乙沒有鬼牌，且摒除鬼牌後兩人牌數各有 k 張，甲贏的機率為 Rk； 先分別找出三種情況下 k＝1 的機率。 3. 將摒除鬼牌後兩人牌數 k 從 1 延伸至 13 時，每種情況甲贏的機率。 4. 將摒除鬼牌後兩人牌數推至 n 張，找出遞迴式，以求一般解。 5. 最後用 EXCEL 解遞迴式，觀察數據的規律性。

6. 佐以數學歸納法證明之。 結論 成功計算出不同情況下，甲贏的機率：

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n n n 應用軟體 EXCEL 三 三 三 三、、、、第三屆旺宏獎第三屆旺宏獎第三屆旺宏獎第三屆旺宏獎 翻動翻動「翻動翻動「「「棋跡棋跡棋跡棋跡」」」」 表 3-1-3 簡述翻動「棋跡」 研究動機與 目的 探討 n×n 的棋盤及 n2_{個兩面棋（一面黑一面白），若規定其中一個棋子} 翻面時，與此棋相鄰的棋子亦須跟著翻面，則是否所有的棋局皆可翻成 同一面？若可，則如何翻才是最簡潔的？並有何規則？ 研究方法 將每個 n×n 的棋局視為以{0，1}組成的 n×n 的矩陣，其中 0 代表白棋， 1 代表黑棋，只討論將全部棋子翻成白棋的情形，若需討論全部翻成黑 棋，則將 0、1 互換即可。 結論 當 n＝2~30 時，（5n－1）×（5n－1）、（6n－1）×（6n－1）的棋局未必 能翻成同一色，其餘皆可。 應用軟體 Mathematica

3.2

數學建模作品的共同特點

數學建模作品的共同特點

數學建模作品的共同特點

數學建模作品的共同特點

以下就國內旺宏科學獎、全國高中高職數學作文競賽及思源科技創意大賽三種競 賽，分析其部份決賽作品的特點。 一 一 一 一、、、、旺宏科學獎旺宏科學獎旺宏科學獎旺宏科學獎 在旺宏科學獎中，因為題目自訂的關係，每份作品的研究方向、探討的現象十分不 同，即使同為數學類，也幾乎沒有交集，其中甚至有些題材的內容，遠遠超越高中課程 的範疇，但無論作品風格如何迥異，仍有一大共同特徵－「生活化」。 在附錄三裡，挑選出 18 項與數學相關的作品，每一項或多或少都可說是從參賽者 身邊發生的事件、接觸過的遊戲引發出興趣，興起探究的欲望，進而將其問題簡化、純 化為數學問題，以期用數學的方法尋找到通解，並分析現象，以供未來作預測及參考。 故在「生活中」發現數學，意即生活中處處是數學這項特點，在旺宏科學獎作品中最為 明顯。 二 二 二 二、、、、全國高中高職數學作文全國高中高職數學作文全國高中高職數學作文全國高中高職數學作文競賽及思源科競賽及思源科競賽及思源科競賽及思源科學學學學創意大賽創意大賽創意大賽創意大賽 在參考了第五屆、第六屆數學作文及歷屆思源科學創意大賽作品後，發現以下共同 特點： 1. 善用工具 在數學解題中，常以紙筆計算為主，即使引進了電腦，大部份的人也只是利用 word 等文書處理軟體將紙筆算式鍵入電腦內以方便呈現；但現在是科技的時代，許多數 學相關的軟體因應而生並為參賽者所運用。像思源競賽中，雖然題目、範圍已訂， 所探究問題的方向亦同，但在一片紙筆分析、計算中，仍可看見引用 Mathematica 來簡化繁瑣的計算，利用 GSP 的動態幾何功能讓某些結論可以更為直觀，且易被接 受。這種善於利用所學的資訊工具對於數學建模解題至為重要。

2. 常作數據分析 無論是問卷、歷年來某些統計資料中，常伴隨著大量、無序且雜亂的數據，要利用 人工作數據分析實為不易，故常需引入統計分析軟體，像在部份比賽中（例如數學 作文第五屆決賽作品中：奧運對兩岸觀光的影響、人口糧食問題等），皆有數據需要 作曲線擬合或尋求各變數間的關聯性的需要，而參賽者往往利用 EXCEL 的內建功能 －迴歸、繪圖等功能，來呈現結果，省時且方便。 3. 創造力 此點在東吳數學作文競賽中較為明顯，也許因為名稱為數學「作文」，故在作品中， 常出現具有架構性的故事，部份更加入了緊張、懸疑的橋段，甚至連福爾摩斯的對 頭－羅蘋都跑出現來以增添趣味性；串場則是有像名著「達文西密碼」般有著需要 深思的數列或密碼加以編造似加密與解密過程，亦有賽局理論、mod 利用等，在文 章中加入數學元素，讓人不禁對參賽者的創意感到讚嘆！

3.3

數學建模競賽探討

數學建模競賽探討

數學建模競賽探討

數學建模競賽探討

以下就全國高中高職數學作文競賽、思源科學創意大賽、旺宏科學獎及全美高中學 生數學建模競賽的規則及題目的訂定進行探討。 一 一 一 一、、、、 全國高中高職數學作文競賽全國高中高職數學作文競賽全國高中高職數學作文競賽 全國高中高職數學作文競賽 本競賽常以當時社會發生的熱門現象作討論，例：少子化問題、SARS 防疫、H1N1 防疫之研究等，相信每年主辦單位在題目上傷透腦筋！ 競賽中，雖每年皆訂有主題，但並不侷限參賽者研究的方向、討論的問題，故在相 同主題下，卻有不同題目的產生。像第五屆決賽－「未來中國之研究」的八份決賽作品 中，討論問題包羅萬象，例：中國持有美國國庫債券對台灣影響之研究、人口對糧食問

題、人口與貧富關係性、開放兩岸直航後中國大陸來台觀光人數與台灣環境品質的相互 影響等多樣化的探討，實為其競賽之一大特色。 二 二 二 二、、、、 思源科學創意大賽思源科學創意大賽思源科學創意大賽－思源科學創意大賽－－數學專題－數學專題數學專題 數學專題 思源科學創意大賽與全國高中高職數學作文競賽最大的不同是：主題不僅固定，連 要討論的問題皆相同。在還沒閱讀作品前，曾覺得這樣的方式會不會太死板、制式？但 後來發現，大錯特錯！居然忘了一個定理怎麼可能只有一個算式、一種解法？！像畢氏 定理的證明，三角函數性質的公式等，皆存在許多不同的證法！而這項比賽，更讓人訝 異的是，即使參賽者對於相同的題目，運用相同理論，亦有不同的推導過程，並能應用 不同的軟體（例如：GSP、Mathematica）來佐證自己的論點。 三 三 三 三、、、、 旺宏科學獎旺宏科學獎旺宏科學獎 旺宏科學獎 旺宏科學獎的競賽方式感覺很像科展，並且是沒有領域限制的科展，如何評比不同 領域的研究成果，對主辦單位而言實為一項艱鉅的任務。從歷屆決賽得獎作品看來，領 域橫跨生物、數學、物理等等，例如：第八屆銀牌－「藻類培育－仙后水母與其共生藻」、 第六屆金牌－「探究振盪反應」、第五屆優等－「新式國民身份證相片規格驗證浮水印 防偽系統」、第三屆優等－「檢定樂透」等，讓人覺得這項競賽較前述兩項更為貼近日 常生活，因為比賽題目沒有限制，參賽者必須從日常生活中有興趣的小細節裡發現問 題，並抽絲剝繭、應用所學後得到能認同的數學模型與結論，這樣的過程，更可激發學 生對問題的想像力與解題的創造力！實在更為符合數學建模的精神！ 四 四 四 四、、、、 全美高中數學建模競賽全美高中數學建模競賽全美高中數學建模競賽（全美高中數學建模競賽（（HIMCM）（ ）） ） 上述的競賽中，個人最喜好的是旺宏科學獎題目不受限制的作法，但若考量到美國 HIMCM 的歷屆題目，更讓人由衷佩服每年皆可設計出如此貼近生活的問題，例：2005 年的石油問題、2007 年火災逃生問題、2008 年美國國債、2009 水資源問題，這些都是 日常生活中每個人可能會遭遇到的情況。

HIMCM 雖稱之為數學建模競賽，其實常需要跨領域人材的合作，像 2006 年降落傘 就是一個很好的例子。剛開始在閱讀 HIMCM 題目時，有種不太像是「數學問題」的感 覺，但在慢慢了解數學建模是在日常生活中發現問題、將之數學化、解決問題、甚至推 廣的精神後，再回過頭來看題目，更讓人覺得主辦單位出題的用心！畢竟生活裡，不僅 處處隱含著數學條理，更包含了其他領域的知識與現象！ 國內數學作文競賽題目雖亦從生活中取材，但主題廣泛，讓參賽者有自由發揮想像 的空間，但卻無法將主題聚焦；反觀 HIMCM，雖亦為全面性的主題，但給予較多的資 訊，有些甚至會有討論方向的提示，不致讓人覺得無法掌握所需探究的問題核心。

3.4

數學建模作品內容和高中數學教材的關連性

數學建模作品內容和高中數學教材的關連性

數學建模作品內容和高中數學教材的關連性

數學建模作品內容和高中數學教材的關連性

在探討建模競賽題目、內容後，讓人不禁有兩個疑問：「是否一定要用很高深的數 學理論方能解題？」「國內普通高中的學生有能力、程度朝這方面發展嗎？」為了解除 這項疑惑，於本節中就競賽規則最「自由」的旺宏科學獎，列出歷年得獎作品中數學領 域的題材（詳見附錄三），並比對其與國內高中數學課程教材內容的關聯性，另外，亦 將所應用到的科技軟體加以分類、介紹。

一 一 一 一、、、、旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之得獎作品與高中課程內容比對得獎作品與高中課程內容比對得獎作品與高中課程內容比對得獎作品與高中課程內容比對 表 3-4-1 得獎作品的數學領域與高中課程對照表（依高中課程分類） 冊數 章節名稱 作品編號（請參考附錄三） 無 1、3 數與座標 5、10、11、12、13、15、17 第一冊 數學歸納法 8、9、14、16 指數對數 9 第二冊 三角函數 2、15、 平面向量 2、13、15、17、18 空間向量 2、12、13、17、18 第三冊 圓與球 2、12、14、17、18 圓錐曲線 7、12 排列組合 9 二項式定理 9 遞迴數列 16 第四冊 機率統計 I 6、16 機率統計 II 6 矩陣 4、10 選修數學 I 不等式 9 選修數學 II 二階方陣的平面變換 12

表 3-4-2 得獎作品的數學領域與高中課程對照表（依屆數與題目分類） 編號 屆數 獎項 題目 高中範圍 1 1 金牌 經理來了！談一筆劃問題 2 1 金牌 由三角形到三角錐 三角函數、圓與球、 平面、空間向量 3 2 金牌 挑剔數列 4 3 旺宏獎 翻動「棋跡」 矩陣 5 3 銀牌 與特殊型質數之倒數關聯的兩 平方總和的整數分解 數與座標 6 3 優等 檢定樂透 機率統計 I、II 7 3 優等 千變萬化的橢圓盡在手中 圓錐曲線 8 4 旺宏獎 勝敗天注定 數學歸納法 9 4 金牌 對稱函數 數學歸納法、指對數、不等式、 排列組合、二項式定理 10 4 金牌 「碼」到成功 數與座標、矩陣 11 4 金牌 分和累乘再現數產生的方法及 其性質探討之推廣與應用 數與座標 12 5 金牌 對角線與方格圖之關係探討與 推廣 數與座標、空間向量、圓與球、 圓錐曲線、二階方陣平面變換 13 5 金牌 史坦納樹之研究 數與座標、平面、空間向量 14 6 旺宏獎 共點圓 共圓點 數學歸納法、圓與球 15 6 金牌 三角形的鏡射變換 數學歸納法、三角函數、 平面向量 16 6 銀牌 鬼謎藏－ 抽鬼牌遊戲勝率之探討 數學歸納法、遞迴數列、 機率統計 I

17 7 旺宏獎 空間中的九點圓與尤拉線 數與座標、圓與球、 平面、空間向量 18 8 銀牌 由泡泡接合，探尋孟式定理 平面、空間向量、圓與球 二 二 二 二、、、、 旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之旺宏歷屆數學領域之得獎作品所應用到的軟體得獎作品所應用到的軟體得獎作品所應用到的軟體得獎作品所應用到的軟體 表 3-4-3 得獎作品與應用軟體分類表 軟體名稱 作品編號（請參考附錄三） Archimedes Geo3D 18 Basic 1 C 語言 3 Cabri 3D 18 Calgues 3D 18 EXCEL 6、16 GSP 13、15、17 Mathcad 11 Mathematica 4、15 Maple 18 SolidWorks2003 3D 7 SPSS 15 Visual Basic 5 由上述兩個表格，不難看出競賽得獎作品的解題思維取材自高中課程內容佔大量的 比例，且應用的大部份是耳熟能詳並經常使用的軟體，故從自身所學出發，即有能力面 對這類競賽，盼由這樣對照後，讓學生不再有望數學建模競賽而興嘆之慨了！