數學文字題相關文獻

一、 數學解題歷程

Polya (1945) 在「怎樣解題」 (How to Solve It) 一書中，將解題歷程分為四 個階段：

1. 了解問題：知道未知數、已知數及條件是什麼？

2. 擬定計畫：解題者要找出已知數和未知數之間的關係，如果找不到就得考慮 一些相關或類似的問題輔助。

3. 執行計畫：檢查每一個步驟，把解題計畫付諸實現。

4. 回顧解答：檢查所得的答案。

Mayer (1992) 將解題歷程分為兩個步驟，每個步驟又包含兩個子步驟，分述 如下，並示於圖1：

1. 問題表徵 (problem representation) ：將文字或圖像轉換成心理表徵，包含兩 個子步驟。

(1) 問題轉譯 (problem translation) ：將每一個句子或主要子句轉換為內在的 心理表徵。問題轉譯依靠陳述性與程序性知識。

(2) 問題整合 (problem integration) ：將訊息組合成連貫的結構。問題整合依

2. 問題解決 (problem solution) ：將問題從心理表徵進行至最後答案，包含兩個 子步驟。

(1) 解答的計畫與監控 (solution planning and monitoring) ：發展解題的思路，

依靠策略知識。

(2) 解答的執行 (solution execution) ：實施解題計畫，依靠程序知識。

圖1 Mayer 的解題歷程與知識種類的關係

二、 文字題錯誤概念與學習困難之處

Naiz (1989) 的研究發現，缺乏形式運思理解能力的學生在轉譯代數文字題 成為代數方程式方面，出現了較多的學習困難。

Loftus & Suppes (1972) 在分析影響問題困難度的因素時，發現學生感到特 別困難的問題是包含有關係性的敘述句 (relational statements：表示兩變數之間數 量的關係) ，例如：「瑪麗兩年前的年齡是貝蒂年齡的兩倍，如果瑪麗現在40 歲，

問貝蒂現在幾歲？」

階段問題敘述 知識種類

答案 問題表徵

轉譯 整合

問題解決 計畫與解決

執行

語言知識 策略知識 基模知識

策略知識 程序知識

Macgregor and Stacey (1993) 的研究發現學生將文字敘述轉換為代數式時，

存在某些心理模式，最常犯的錯誤為錯置 (reversal error) 。例如：班上有x個女 生， y 個男生。若女生的人數比男生人數多 10 人，請問x和 y 的關係式為何？

其中學生最常出現的列式錯誤為「x+10= 」。 y

張景媛（民83）在其「數學文字題錯誤概念」之研究中提到，國中學生在 學習數學文字題時常受自己過去的經驗影響。其錯誤概念可分為語言知識、基模 知識、策略知識與程序知識四部分，摘要如下：

1. 語言知識

(1) 學生看題目時，常忽略題目中關於「時間」的描述。如「5 年前父親年齡 是兒子的 2 倍」，90%以上的受試者未注意到時間的訊息。

(2) 學生對於指定句和疑問句產生的錯誤較少，但對於關係句就會有許多問 題產生。如「我在你這個年齡時，你只有一歲。等你到你現在年齡的三倍 少三歲時，我就 52 歲。」這一段有關兩人之間年齡的描述常會令學生困 擾。

(3) 學生面對較長的數學文字題時，常不知重點所在，不知從何處著手，所 以會立即放棄思考問題。

(4) 學生在看題意時，看了後一句就已忘了前一句，他們無法同時記住許多 條件，因為他們每看一句就得思考這句話的意思，以致工作記憶運作得十 分忙碌，而無餘力思考彼此間的關係。

2. 基模知識

(1) 學生缺乏時間與數量間關係的基模知識。學生不瞭解父子的年紀每年各 增一歲，則父子年齡和應是每年增加兩歲。

(2) 學生常憑直覺或關鍵字做反應，而使用了錯誤的基模知識。如「父子現 在相差 20 歲，5 年前相差幾歲？」學生一看是問相差幾歲，就用減法計

知識來解決問題。

(3) 學生缺乏倍數的基模知識。對於誰是誰的幾倍最容易搞混。

3. 策略知識

(1) 學生未能瞭解已知條件和未知條件的關係，因而在做假設及列出式子 時，未能切題列出正確的方程式。

(2) 當題目提到「每天存一元」、「每天花五元」等的語句時，學生都以加或 減五來計算，因此變成了總共才存一元或花五元的情形。這是因為學生沒 有使用策略將「每天存一元」或「每天花五元」的意義表現出來。

(3) 學生的思考無法前後連貫。如在二元一次聯立方程式當中，第一個式子 就和第二個式子常各行其是，無法產生關聯。亦即學生對問題缺乏整體性 的瞭解。

4. 程序知識

(1) 移項時產生錯誤；

(2) 不會用消去法合併聯立方程式；

(3) 未先將未知數加以整理，有的在等號左邊，有的在等號右邊；

(4) 消去括號時產生錯誤；

(5) 化簡分數時產生錯誤。

Yancy (1981) 曾提出應用問題的困難之處：

1. 題目中未將需要計算的資料依次列出；

2. 有許多無關資料夾雜在題目中；

3. 題目呈現時，未伴隨輔助圖表出現；

4. 必要的資料需從題目中推論出來；

5. 需要許多計算步驟才能得到答案；

6. 有許多線索字要注意；

7. 字彙通常高於學生閱讀程度；

8. 題目內容通常不為學生所熟悉；

9. 計算過程較為複雜或沈悶；

10. 題目中常不用「數字」表示（例如用「一半」或「倍增」，不用1

2或2 倍）。