數學概念評量

數學知識的基本要素是概念，兒童如何形成概念是數學學習的重要課題（劉 秋木，民85）。然而，許多教育心理學家（林清山，民86；鄭昭明，民82）指 出學生會以某種「先入概念」（preexisting concepts）來處理對物理學或任何科 學的學習和思考，亦即學生會帶著某些相關的先入概念（或錯誤概念）進入學習 情境，這些錯誤的概念常常會使學生抗拒學校所教的觀念，若未能及時發現加以 修正改進，將使學生在數學學習過程中無法進行正確的認知聯結，甚至無法進行 正確的數學解題，而嚴重影響學生的學習成效與學習動機（朱瑞珠，民87）。

面對此一阻礙數學學習的問題，傳統的紙筆評量並無法診斷出潛藏在解題 心理運作歷程中的錯誤概念，以提供適當的補救教學。相對地，知識結構的評量 卻可以找出學生在解題歷程中的知識結構，透過與「專家」的知識結構相比較，

可以找出其錯誤的概念類型，便於進行補救教學措施。

數學這門學問是一切科學學習的基礎，唯有當正確的擷取概念意義時，數 學的學習方能繼續延伸，並能應用於各個科學領域中。目前國內的國中數學科教 材中，偏重在數學抽象符號的學習，而在這種抽象數學符號的教學中，學生的抽 象思考能力必須也要有相當程度的發展才行，否則，在教師的教學無法配合學生 的認知結構時，將造成學生的學習困難，學生的數學低成就現象就會發生。

Hodson(1988)指出，學生本身必須先要有某些概念，而後才能繼續引發出其他概

念，即當學生的認知結構一直無法自我建構出某種程度的抽象概念時，則對於數 學代數概念抽象思考的學習將無法獲得有意義的學習。

Riley, Greeno, & Heller（1983）認為解數學應用問題需有三種概念知識：

（一）問題基模（problem schemata）：用來理解題意、表徵問題情境；（二）

行動基模（action schemata）：用來表徵問題解決所需的行動；（三）策略知識

（strategic knowledge）：規畫解題途徑（李盛祖，民86）。

Kintsch & Greeno（1985）認為解題的內涵為（一）知識結構：1.命題架構：

將文字轉譯成命題；2.集合基模：表徵集合的性質及其集合間的關係；3.計算與 算術運作：表徵計數與算數的一般形式；（二）策略結構：1.建構集合；2.遷移

策略；3.區分集合策略；4.總集合策略（翁嘉英，民77）。

數學文字題的特點是用語言文字來敘述數學問題（張景媛，民83）。在解 代數題的過程中，首要工作就是必須先將問題轉譯，亦即是將問題中的每一個句 子轉譯成某種內在表徵（internal representation）（林清山，民 86），在這轉譯 的過程裡，學生所具備的語言知識及事實知識是相當重要的，透過語意的瞭解，

學生才能正確無誤的知道題目的意義及其目的，這也就是一般數學學者們認為，

要學好代數問題的解題，就必須要具備相當程度的語文理解程度之原因。

其次，在瞭解每一句語詞的涵義之後，就必須要能將每一個陳述句整合而 成一連貫有序的問題表徵，這種問題整合歷程則必須仰賴基模知識的使用。問題 整合之後，接下來就必須作解題計畫及監控，解題計畫歷程需要用到捷思法

（heuristics）知識，即策略性知識的使用（林清山，民86），運用策略知識將解

題計畫及問題監控歷程轉換為以代數算式形式呈現。

最後，欲正確執行算術與代數程序運算式，則必須根據程序性知識的運用，

透過動態的程序性運作，完成解題的任務。所謂程序性的知識，即指如何執行不 同認知行為的知識（how to perform various cognitive activities），是一種動態的 特質，但又必須配合陳述性知識的運用，程序性知識的執行過程中，有賴於長期 記憶中陳述性知識的配合，方能達到解題的活動（邱美虹，民85）。

數學解題技巧及方法程序的有效應用，必須仰賴概念的理解力，透過「概 念」可以幫助學生理解數學的方法、程序，促進學生作思考，概念的知識不僅能 幫助學生瞭解隱藏在數學方法程序中的意義，更有助於決定那些方法適合被應用 於新的情況中（馮莉雅，民 86）。所有的數學，都是在形成問題及解題歷程中 所創造出來的（周台傑、蔡宗玫，民86；Kilpatrick,1985）。

底下茲分別評述相關的研究文獻如下：

一、以語意網路理論為依據來評量數學概念

語意網路是一種關於知識如何被表徵的理論，語意網路理論主張知識可透過 有指示性與標記性的圖形結構（directed, labeled graph structure）來表徵，而圖形 結構是由相互連結的節點所構成，節點代表所表徵的概念，節點與節點間的聯結 線代表概念間的關係。

在以往學者提出的幾個主要的語意網路模式中，包括 Collins 和 Quillian

（1969）提出的「可教的語言理解者模式」（teachable language comprehender，簡 稱 TLC）、Collins 和 Loftus 的「擴散激發模式」（spreading activation model）、

Anderson「思考的適應性控制」（adaptive control of thought）等。其中以Collins

和 Loftus 的擴散激發模式採用類似網路神經的知識組織方式，影響著往後測量

知識結構的方法，例如徑路搜尋法即是深受擴散激發模式的影響。

林曉芳（民88）嘗試運用網路圖的概念來呈現國中學生潛在的數學代數知 識結構表徵，讓教學者能清楚的看出學生對代數概念知識學習的理解程度與知識 表徵模式，期能對學生的數學學習成果作有意義的評量，並將評量結果作有效的 解釋，故透過路徑搜尋網路分析，利用知識網路組織工具（KNOT）程式，計算 出每個學生在代數概念學習表現上的圖解理論距離指數（GTD）、相似性指數

（PFC指數或C指數）及接近性指數，並繪製出路徑搜尋網路圖，藉由代數概 念結構圖的呈現，可使教學者明白獲知學生的學習情況，瞭解學生的學習困難所 在。

蔡佳燕（民89）以路徑搜尋網路分析來評量國小學生的數學知識結構，研 究發現不同的國小學生在路徑搜尋網路圖解、相似性指數、圖解理論距離指數、

接近性指數等的評量結果均不相同，顯示個體之間對數學知識的心理建構歷程與 結果之間，具有個別差異存在。

涂金堂（民90）以路徑搜尋網路分析為工具，研究國小學生數學文字題的 知識結構時發現，當學生採用深層結構作為建構數學文字題問題結構的依據時，

就能產生豐富的解題基模知識，協助解題者進行正確的問題表徵，因此，數學文 字題問題結構與數學解題的成功與否有關。

二、以基模理論為依據來評量數學概念

基模理論已被廣泛應用在記憶、閱讀理解、數學解題、推理、問題解決、… 等認知活動的研究中。茲以基模理論應用在數學解題方面的研究成果敘述如下：

Hayes（1989）認為當解題者遭遇一道數學問題時，通常會從記憶中搜尋以

前的解題經驗，是否做過與其相似的問題，而這些相似問題的組合，就形成了問

題基模（problem schema）。所謂問題基模是指關於某種特定問題類型的特徵，

所形成的訊息集組（package of information），例如一個關於三角函數的問題基 模，可能包括下面幾種訊息：

1.起始狀態需提供直角三角形任意兩個邊的長度。

2.解題目標是要找出直角三角形的第三個邊長。

3.計算時的運算式會包括畢氏定理的應用。

上述的這三種訊息就構成了關於三角函數的問題基模，當解題者具備三角函 數的問題基模時，就能從上述的三種訊息去思考相似問題的解題經驗，從中找出 適當的解題方向。

Hayes（1989）認為解題者擁有越多的問題基模，就越能成功的解決問題，

因為問題基模會引導解題者去注意題目中的重要訊息，協助解題者進行問題表 徵，以及幫助解題者如何尋找解題方向。

Marshall（1995）主張應用基模理論在評量數學文字題的解題時，可分成四

種知識類型：

（1）確認的知識（identification knowledge）

確認的知識主要是對問題類型的辨識，此類的知識是幫助解題者在閱讀題目 後，能根據題目所顯示的各種特徵，瞭解問題屬於何種類型。

（2）精緻的知識（elaboration knowledge）

精緻的知識主要是幫助解題者對題目能建構適當的內在表徵，一旦解題者產 生了正確的內在表徵，就可以順暢地計畫解題的步驟。

（3）計畫的知識（planning knowledge）

計畫的知識主要是規劃解題的方向，解題者必須綜合已知與未知的資料，設 定解題的主要目標與次要目標。

（4）執行的知識（execution knowledge）

執行的知識主要是執行已確定的解題步驟，透過運算的程序，達成主要目標 與次要目標的要求。

上述四種知識類型是評量數學文字題所需的基模知識，每種基模知識並非單 獨運作，而是會相互影響，解題若能妥善運用這四種基模知識，就能成功的解出 正確答案。