路徑搜尋法

路 徑 搜 尋 網 路 係 美 國 新 墨 西 哥 州 立 大 學 計 算 實 驗 研 究 室 的 領 導 人 Schvaneveldt 率領研究小組，根據網路模式和圖形理論，研究發展出路徑搜尋量 尺化算則（pathfinder scaling algorithm），算則運算時要設定兩個參數 r 和 q 的 數值，用來建構和分析知識結構，並設計知識網路組織工具（knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT），用來作為協助評量知識結構的工具（江淑卿、

郭生玉，民86）。

一、路徑搜尋法的圖形理論基礎

路徑搜尋法是以圖形理論為主要的理論依據，因此，本部分先介紹圖形理論 的基本觀念，再探討路徑搜尋法的圖形理論基礎。

（一）圖形理論的基本觀念

圖形理論是數學知識的一個分支，主要是探討節點與聯結線段所構成的圖形 結構的知識，關於圖形理論的基本觀念如下：

1.頂點（vertices）或節點（nodes）：構成圖形的點稱為圖形的頂點或節點。

2.邊（edges）或弧形（arc）或聯結鍊（links）：圖形中聯結節點之間的線 段稱為邊或弧形或聯結鍊。

3.路徑（path）：圖形中聯結各節點的路線（route），如果沒有重複經過某 個節點兩次，則這個路線稱為路徑。

4.循環（cycle）：若某個路線的起點與終點是同一個節點時，則這個路線稱 為循環。

5.連結圖形（connected graph）：圖形中每個節點可藉由其它節點的聯結，

使得有路線可讓任何兩個節點相互聯結起來，則這個圖形稱為一個連結圖形。

6.樹圖（tree）：沒有循環的連結圖形稱為樹圖。

7.完整圖形（complete graph）：若每個節點之間都有直接的聯結鍊，則此圖 形稱為完整圖形。

8.有方向的圖形（directed graph）：有方向的圖形是指圖形的聯結鍊具有方 向性，通常以箭頭來表示方向，因此節點間的配對關係必須考慮先後的關係，例 如（a, b）與（b, a）代表不同的意義。有方向的圖形，其聯結鍊通常稱為『弧形』。

9.無方向的圖形（undirected graph）：無方向的圖形是指圖形的聯結鍊沒有 方向性，通常直接以線段的形式來表示，因此節點間的配對關係不用考慮先後的 關係，例如（a, b）與（b, a）代表相同的意義。無方向的圖形，其聯結鍊通常稱 為『邊』。

10.多餘的（redundant）邊：假如刪除某個邊並不會影響路徑的距離時，則 此邊就稱為多餘的邊。

當圖形的聯結鍊以正實數的權重表示時，則圖形就變成了網路的形式，網路 的節點 i 與節點 j 之間聯結鍊的權重通常以 Wij表示，一個圖形可以視為所有聯 結鍊的權重皆為1 的網路。一條路徑的權重等於此路徑所有聯結鍊的權重總和，

而圖形中兩節點間的距離，是以兩節點之間的所有可能路徑，取其權重最小的 值，作為兩節點之間的距離。

一個網路（圖形）可以表示成n×n 階的網路相鄰矩陣 A（network adjacency matrix A），若網路的節點 i 與節點 j 之間有聯結鍊的存在，且 i≠j 時，則元素 aij

＝1，否則 aij＝∞，但節點自身的聯結則為 0，亦即 aii＝0

判斷網路節點之間是否有聯結鍊的存在，可用n×n 階的距離矩陣 D（distance matrix D）來表示，若節點 i 與節點 j 之間有聯結鍊的存在，則元素的值為 dij， dij是節點i 與節點 j 的最小距離，若節點 i 與節點 j 之間沒有聯結鍊，則 dij＝∞。

距離矩陣不必然是一個對稱的矩陣，但距離矩陣若是一個對稱矩陣，則該圖形就 是屬於無方向的圖形（Schvaneveldt, 1990）。

（二）路徑搜尋法的圖形理論基礎

路徑搜尋法是以圖形理論為其設計的理論依據，茲將路徑搜尋法所用到圖形

理論相關定理，說明如下（Hutchinson, 1989）：

一個距離矩陣D 如果可成為某個網路的距離矩陣時，則這個距離矩陣 D 稱 為當成網路是可行的（realizable），其滿足的條件為：

定理1：一個 n×n 階的距離矩陣 D 可當成網路時，若且惟若（if and only if）：

（a）自身：dij＝0；

（b）正數：dij＞0，i≠j

（c）三角形不等式：dij≦dik＋dkj

路徑搜尋法將定理1 應用到 PFNET 網路上，並改以下列的形式（Schvaneveldt, Dearholt, & Durso, 1988）：

令1≦r≦∞，且 n×n 階的距離矩陣 D 可當成網路時，若且惟若（if and only if）：

（a）自身：dij＝0；

（b）正數：dij＞0，i≠j

（c）以 r 為單位的不等式：_{d ij}≦(d rik+d rkj)1^/r, r≧1

一個網路若沒有包含多餘的邊，則該網路稱為不可刪減的網路（irreducible

network），一個符合定理 1 的距離矩陣 D，若其邊為不可刪減的邊，則需滿足

的條件為：

定理2：距離矩陣D的dij邊為不可刪減的邊，若且惟若：

dij＜min（dik＋dkj）, i≠j , k≠i , k≠j

由定理2可知，若節點i與節點j之間的直接距離小於所有透過其他節點所 得到的間接距離時，則必須保留節點i與節點j之間的聯結鍊。由定理2可以得 到一個推論，即為：

推論1：距離矩陣D的dij邊為不可刪減的邊，若且惟若：

dij≦min[max（dik , dkj）] , i≠j , k≠i , k≠j

由推論1可知，節點i與節點j之間的直接距離小於或等於所有透過其他節 點所得到的間接距離時，則必須保留節點i與節點j之間的聯結鍊。

路徑搜尋法將推論1應用到PFNET網路上，並改為求節點i與節點j之間 的直接距離dij：

dij＝min（W（Pij1）, W（Pij2）,…W（Pijm））

W（Pijm）代表節點 i與節點 j 之間第m 條路徑的權重值，上述等式的意義

為節點i與節點j之間的直接距離dij等於取連結節點i與節點j之間所有可能的

（上圖資料的引用，改編自：Dearhotlt & Schvaneveldt (1990), Properties of pathfinder networks. In R. W. Schvaneveldt (Ed.), Pathfinder associative networks: Studies in knowledge organization (pp.

1-30). Norwood, NJ: Ablex.）

上圖僅是將節點間的關聯以圖形方式表達而已，若欲轉換為PFNET圖，並

計算得到PFNET圖，還必須經過以下的程序：

1.參數值設定：路徑搜尋法中有二個重要參數，即r及q。 (multidimensional space)的距離。

如果向度為i(i=1,2,3,….,n)，Xai表示在向度i(i=1,2,3,….,n)到向度n所構

且m≦q，這些聯結必須滿足三角形不等式。如Wae是節點Na到節點Ne的權重，

（上圖資料的引用，改編自：Dearhotlt & Schvaneveldt (1990), Properties of pathfinder networks. In R. W. Schvaneveldt (Ed.), Pathfinder associative networks: Studies in knowledge organization (pp.

1-30). Norwood, NJ: Ablex.）

三、路徑搜尋法的各項評估指數

本研究所採用的資料分析方法，是由新墨西哥州立大學的 Schvaneveldt 及 其同事所共同發展出來的路徑搜尋法(PathFinder)及KNOT軟體4.2版。路徑搜尋

保留最 小路徑

法以圖形表徵知識結構，同時並以圖形理論距離指數(Graph-theoretic distance index, 簡稱GTD指數)、相似性指數 (Closeness index, PFC，簡稱C指數)、及接

近性指數(Proximity index, 簡稱PRX指數)三個參數，作為量化數值的評估依據。

其計算原理如下所示(以下公式及試算資料均取自於Goldsmith et al., 1991)：

(一)接近性指數(Proximity Index, PRX)

PRX 指數直接用兩個接近性資料矩陣(數值愈大表示兩兩概念的關係愈密

二 1 2 1 1 3 3 1 2 2 2 2 3 3 1 1 2 4 4 4 4 2 r12 = 0.79

利用皮爾遜積差相關公式，計算數列一及數列二，可得到 r=0.79。r=0.79 即為PRX指數的數值。

(二) 圖形理論距離指數(Graph-Theoretic Distance Index, GTD)

GTD(graphical theoretical distance，圖形理論距離指數)是兩個知識結構圖各 概念節點之間的距離(以相距節點的數目多少來計算)，所求得的相關係數。GTD

（上圖資料改編引自：Goldsmith & Davenport (1990). Assessing structure similarity of graphs. In R.

W. Schvaneveldt (Ed.), Pathfinder associative networks: Studies in knowledge organization (pp.

75-87). Norwood, NJ: Ablex.）

2.計算圖形理論距離：圖形理論距離是以節點的鍊結數目來當成距離的計算

值，如圖3中的網路 1，節點A至節點D，必須經由A-C-D 的路徑，共須2條

=0.25 =0.25 =0.5 =0 =0 =1 =1 PFC(所有比值的平均數) (0.25+0.25+0.5+0+0+1+1) / 7 = 0.43

對於前述三個量化指數的預測力，迄今並未有統一見解，不同的研究所得 結果不一。如Cook(1992)以54位修習心理學的大學生為對象，測量其知識結構，

以判斷時間為依變項，結果顯示GTD指數最具預測力；蔡佳燕(民89)以74個國 小六年級學生為研究對象，探討數學知識結構與其數學學業成就的關係，發現 PRX 指數的預測力高於其它二指數；而江淑卿(民 86)以 266 個國小六年級學生 及12 位國小自然科教師為研究對象，探討學生自然科知識結構與科學文章理解 能力的相關性，則發現GTD 指數及PFC 指數的預測力高於PRX 指數。雖然對 於三指數預測力的研究結果不一，但這些研究結論都提出，路徑搜尋法在以生手 與專家對照的基礎下，能夠協助研究者了解受試者的知識結構。