第二章 文獻探討
第一節 數學素養的意涵
一、建模過程
OECD 認爲數學素養是：在不同情境脈絡中，個體能夠具備形成、應用及解釋數學的 能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能 力。數學素養能協助個體來善用數學工具做出有根據的判斷，並成爲具有建設性、投入性及 反思能力的公民（OECD,2016）。2015 年，PISA 把數學素養分爲三個面向，分別是建模過程、
數學内容以及内容情境，而數學能力則支撐了整個建模過程。
OECD 認 爲 ， 建 模 過 程 (modelling process) 是 學 生 成 爲 積 極 問 題 解 決 者 的 中 心
（OECD,2016）。建模過程中含有三個過程：形成、應用數學解決問題以及解釋與驗證。
「形成」是指個體有認識與辨別的機會來利用數學，並針對指定内容來提供數學式。在形成 中，個體決定該如何提取必要的數學來做分析、設定與解決問題。個體把現實世界轉化成數 學世界。個體推理以及理解問題中的約束與假設。而「應用數學解決問題」是指個體能透過 應用數學概念、事實、程序以及推理來解決數學問題以得到數學結果。在應用數學概念、事 實、程序以及推理中，個體將展現所需的數學程序來推導結果以及得到數學解決。他們處理 問題情境、建立規則、辨識數學元素之間的連結並創造數學論證。「解釋與驗證」則是注重 個體對於反思數學解決、結果或結論的能力，並在現實情境下進行解釋。這包括把數學解決 轉化至現實情境，再判斷或評估結果是否合情合理。
在建模過程中（圖 1），最開始的元素是現實情境(extra-mathematical world)，也就是 該情境是否與現實生活中的元素有關。接著，含有現實情境的問題將形成數學式。數學式將 透過一連串的數學程序與數學事實來進行解決。最後的數學結果將進行解釋與驗證，以符合 當下的現實情境。在 Gatabi,Stacey,Gooya(2012)的建模架構（圖 2）展示了問題情境(problem context)、應用數學解決問題(mathematical problem solving，簡稱 MPS)、形成(Formulation)、
以及解釋與驗證(interpretation and/or checking)。首先是「問題情境」，即判斷問題是否包含
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現實情境或只在數學世界内（即只有數學元素）；「應用數學解決問題」的維度包含了三個 子維度。第一個子維度是多步驟的數學問題解決，即判斷學生是否利用一部分（子目標）來 完成下一個階段；第二個子維度是連結，是指除了原來的數學内容之外，其他數學想法、數 學程序和數學事實也用來解決問題。第三個子維度是新的問題解決，用以判斷是否有不同類 型的方法來解決問題。
第三個維度則是「形成」，它分爲四個子維度，而此維度只用在現實情境中。第一個 子維度是新情境，即檢查情境是否在同章節内出現過；第二個子維度是形成的複雜性，當問 題呈現(1)含有太多或太少資料、(2)需要多步驟的形成、(3)涉及難以判斷相關數學時，將被認 爲是複雜的。而第三個子維度是形成有否由學生形成。第四個子維度是新形成，即檢驗問題 是否提供不同的機會讓學生尋找相關數學、從不相關資料找出相關資料並連結資料以形成一 數學式。最後的維度是「解釋與驗證」，意為是否含有解釋和驗證的過程。
資料來源： OECD. (2006). PISA 2006: Science competencies for tomorrow’s world. Volume 1: analysis. Publisher as author.
圖 1 建模過程
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資料來源：
Gatabi, A. R., Stacey, K., & Gooya, Z. (2012). Investigating grade nine textbook problems for characteristics related to mathematical literacy. Mathematics Education Research Journal, 24(4), 403-421圖 2 數學素養之建模過程架構類目
二、數學能力數學能力也是發展數學素養架構中不能忽視的一環。PISA 採用 Mogen Niss 與等人提 出的八大數學能力，經過探究之後再濃縮成七大數學能力。PISA 所探討的能力是溝通能力 (Communication) 、數學 化能力 (Mathematising)、 表徵能 力(Representation) 、 推理論 證能力 (Reasoning and argument)、選擇策略能力(Devising strategies for solving problems)、使用符號、
運算及正式語言能力(Using symbolic, formal and technical laguange and operations)、以及使用 數學工具能力(Using mathematical tools)，其中原有的數學思考能力（mathematical thinking）
與推理論證能力合并為一項。而 Turner, Blum & Niss(2015)利用四種層次(level0,1,2,3)來代表 不同程度的溝通能力、數學化能力、表徵能力、推理論證能力、選擇策略能力、使用符號、
運算及正式語言能力。因爲當時的PISA 任務以紙本爲主，若考量使用數學工具能力則會不恰 當，所以暫不考慮使用數學工具能力。然而，研究者認爲使用數學工具能力是適應現今社會 的重要能力之一，因此本研究將使用數學工具能力納入考量。
溝通能力分爲兩個面向，即接受面向和建設面向。接受面向是指如何詮釋問題、連結 多元訊息並能夠往前或往後推論訊息，而建設面向是則聚焦在解決過程的‘性質和複雜性中，
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如何傳達結果的解釋或理由。數學化能力是指在建模過程中把現實情境與數學領域鏈接起來。
數學能力是雙向的，即從數學情境轉化至數學式以及把數學結果對應到相關情境中。表徵能 力是指轉譯、分析、操弄各數學表徵，連結不同類型的表徵來取得結果。當表徵的形態變得 複雜時，表徵能力的所需程度也隨著提高。另外，推理論證能力是指根據數學訊息來繪製有 效的推論，並匯集這些推論來證明理由或更嚴格地證明結果。選擇策略能力則是指選擇或分 析數學策略來解決問題，並監督與控制策略的執行。這裡的策略意為一組共同的階段來構成 解決問題的整體計劃，每個階段涵蓋子目標和相關步驟。最後，使用符號、運算及正式語言 能力是指理解與實施數學程序及數學語言（包括符號、算術和代數式），利用及管理數學規 則、激活及使用定義、結果、規則和正規系統。
三、數學素養的内涵
此外，李國偉（2013）在台灣教育部提升國民素養實施方案－數學素養研究計畫結案 報告中提到「提升數學素養的願景是：從學習數學的程中，學習到數學思維方式，以便靈活 運用數學知識、技能與工具，去解決生活中的問題，並成為具備理性反思能力的國民」。數 學素養是長期教育，從幼兒開始，直到大專、甚至到老都需要不斷地累積經驗和數學思維，
靈活運用數學來解決生活問題。左台益、李建恆（2018）認爲，培養數學素養的能力必須以 數學知識為基礎，運用知識來進行推理、邏輯思考及擬定策略以解決數學内或外的問題，説 明個人觀感及批判思考事情，並擁有積極正向的態度及價值觀，從而培養終身學習的認知和 技能，以面對現今急速變遷的社會問題和挑戰。爲了發展適合的數學素養教材，左台益與李 建恆（2018）從數學「知」識、應「用」 、應「用」數學的相關技能、以數學「觀」感表達 看法，以及培養「學」習能力四個維度出發。以下為知、用、觀、學的意涵：
（一）知（Knowledge）
PISA 把數學内容分爲四大領域，即變化與關係(Change & relationships)、空間與幾何 (Space & shape)、數與量(Quantity)、以及機率與統計(Uncertainty & data)。馬來西亞教育部把 數學内容分成數、形狀與空間、關係三大領域；新加坡教育部則把數學内容劃爲六個領域，
即數、代數、幾何、統計、機率，以及分析；而中國的數學課綱安排成四個部分：數與代數、
圖形與幾何、統計與概率，以及綜合與實踐；在香港，把學習範疇綜合為三個，即數與代數、
度量、圖形與空間，以及數據處理；台灣把數學主題分成七類，分別是數與量、空間與形狀、
坐標幾何、關係、代數、函數，以及資料與不確定性。不論在什麽地區，數學知識是數學素
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養的核心及必要前提。知識不是唯一的重點，但卻是不變的基礎。個體爲了能夠理解、溝通、
應用更多數學概念，數學知識必然是發展數學素養的核心（左台益、李建恆，2018）。
（二）用（Application）
PISA 以建模過程的形成、應用數學解決問題、解釋與驗證作爲評量的核心内容
（OECD, 2016）。在不同層次的數學能力下,PISA 的評量問題用來檢驗學生對數學的應用
（Turner, Blum & Niss, 2015）。此外，隨著科技進步，學生必須學習如何利用各種工具，包 括數學工具、數位工具等，來面對將來各種挑戰。透過科技的有效應用，學習者將學得更深，
並加深他們對數學概念的理解和直覺（NCTM,2000）。因此，如何運用數學知識、數學方法、
數學工具將是培養數學素養的重要元素之一。
（三）觀（Disposition）
Kilpatrick 等人（2001）提出數學素養由五個維度組成，即概念性理解（conceptual understanding）、程序性流暢（procedural fluency）、策略能力（strategic competence）、適應 性推理（adaptive reasoning）以及建設性數學素養的内涵（productive disposition）。前四者與 PISA 中的數學能力雷同，而其建設性數學素養的内涵，意為在學習數學時學生所感覺的傾向，
認爲數學有價值且期待學習數學會有所回報，以成爲有效的學習者和數學家。林福來、單維 彰、李源順與鄭章華（2013）在十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究中，以
「知」、「行」、「識」來詮釋 12 年國教數課程。當中的「識」為對數學的内在認知與情意 涵養，包括概念理解、推理、連結、後設認知、以及欣賞數學的美。在教學上，能夠培養溝 通能力、自我反思、掌握不同學習方法等學習能力，從而達到終身學習以適應社會變遷，是 發展數學素養的内涵（左台益、李建恆，2018）。因此，以數學知識為基礎，去建立正向積 極的學習態度，並能夠欣賞數學的本質，也是數學素養重要的一環。
四、學（Learning）
爲了未來中解決不同類型的新問題，具有理解力的學習是重要的。學生學習更好時，
就有能力掌握自己的學習目標並監控自己的學習歷程。面臨挑戰時，學生將有自信去應付困 難，積極設法解決問題，靈活探索數學想法，甚至嘗試更多元的解決路徑（NCTM，2000）。
在獲取知識的同時，Crick(2007)認爲懂得「學習如何學習」來適應現代的複雜系統是重要的。
其核心概念是學習者自己認爲想要學習的想法，意識到自己是學習者並能夠接受自己在校内
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外的學習軌跡。由上述研究可見，除了普遍認知的數學知識、數學能力構成數學素養的元素 之外，對於數學的觀感、信心、態度，以及對於學習的意識及其重要性，都不可忽視。
外的學習軌跡。由上述研究可見，除了普遍認知的數學知識、數學能力構成數學素養的元素 之外，對於數學的觀感、信心、態度，以及對於學習的意識及其重要性，都不可忽視。