華人地區國中數學教科書數學素養内涵之比較分析

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(1)國立台灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 左台益. 博士. 華人地區國中數學教科書數學素養内涵之比較分析. 研究生：林方馨. 中華民國. 107. 年. 7. 月.

(2) 誌謝 2016 年，決定離開中化這個舒適圈，前往更高的理想。當時帶的是高三信畢業班，無法與他們一起拼統考一起畢業，實在很愧疚。終於在家人、朋友、老師、中化同事、學生的鼓勵和支持下，再次來到師大數學系，準備開始新的挑戰。之後在學期間得知高三信小朋友都考取不錯的成績，才放下心中大石。在研究所的日子裡，最感謝的是指導教授左台益教授。老師常常用心指導並給予很多的建議，讓我收益良多。接著也感謝系上建恆學姐、鳳琳學長、宗穎學長、同學懿恆、珈華、怡君和薇毓協助編碼、鴻傑協助製作邀請函和修改圖表，以及衆多朋友同學的支持與鼓勵。終於又過了一關，將繼續讓自己變得更好！. 林方馨 2018 年 7 月. 1.

(3) 華人地區國中數學教科書數學素養内涵之比較分析. 摘要本研究對馬來西亞的董總版數學、新加坡 Shing Lee 出版的 New Syllabus Mathematics、中國人民教育出版社的數學、香港牛津大學出版社（中國）的新世代數學以及台灣康軒文教集團的數學中的畢氏定理和相似形單元進行數學素養内涵的分析，以及比較各地區之間數學素養内涵的差異。研究者從建模過程、數學能力以及數學素養的内涵三個維度去探討五個地區的畢氏定理和相似形單元中所具備何種數學素養之内涵。其中，建模過程具有問題情境、形成、應用數學解決問題、以及解釋與驗證四大維度；數學能力含有溝通能力、數學化能力、表徵能力、推理論證能力、選擇策略能力、使用符號、運算及正式語言能力、以及使用數學工具能力；數學素養的内涵則由知、用、觀、學所組成。本研究利用内容分析法，以上述五套教科書的畢氏定理和相似形單元進行分析與比較，得到下列成果：一、五個地區的畢氏定理單元在建模過程中，SG、CH、HK、TW 皆涵蓋一定比例的建模過程内涵，而 MY 非常缺乏建模過程内涵。二、五個地區畢氏定理單元在數學能力中，主要集中在基本能力，且幾乎沒有使用數學工具能力，而溝通能力和表徵能力偏向於較高層次。三、五個地區相畢氏定理單元在數學素養的内涵中，主要強調知、用，缺乏展示觀、學。四、五個地區相似形單元在建模過程中，主要聚焦在應用數學解決問題的多步驟，以及解釋與驗證的合理性。五、五個地區相似形單元在數學能力中，主要集中在基本能力，且幾乎沒有使用數學工具能力，而溝通能力、表徵能力是五個地區都展現較高層次的數學能力。六、五個地區相似形單元在數學素養的内涵上，主要強調知、觀，較少展示用、學。. 關鍵詞：華人地區、數學素養、建模過程、數學能力、數學素養的内涵、内容分析法. 2.

(4) 目次誌謝.................................................................................................................................................. 1 摘要.................................................................................................................................................. 2 目次.................................................................................................................................................. 3 圖次.................................................................................................................................................. 5 表次.................................................................................................................................................. 8 第一章緒論 .................................................................................................................................... 9 第一節研究背景與動機 ......................................................................................................... 9 第二節研究目的與問題 ....................................................................................................... 11 第三節研究限制 ................................................................................................................... 11 第二章文獻探討 .......................................................................................................................... 12 第一節. 數學素養的意涵 .................................................................................................... 12. 一、建模過程 ................................................................................................................. 12 二、數學能力 ................................................................................................................. 14 三、數學素養的内涵 ..................................................................................................... 15 第二節國内外教科書的相關研究 ......................................................................................... 17 第三節馬來西亞、新加坡、中國、香港、台灣的數學課程 .............................................. 18 一、五個地區數學課程的整體目標 .............................................................................. 18 二、五個地區的畢氏定理與相似形課程目標 ............................................................... 19 第四節内容分析法理論 ........................................................................................................ 22 第三章研究方法 .......................................................................................................................... 24 第一節研究對象 ................................................................................................................... 24 第二節數學文本分析架構 ................................................................................................... 27 一、界定分析單位： ..................................................................................................... 27 二、分析架構及其類目内容 .......................................................................................... 30 （一）建模過程 ............................................................................................................. 30. 3.

(5) （二）數學能力 ............................................................................................................. 31 （三）數學素養的内涵 ................................................................................................. 34 （四）類目説明 ............................................................................................................. 37 第三節信效度....................................................................................................................... 63 第四節研究流程 ................................................................................................................... 65 第四章研究結果與討論 ................................................................................................................ 66 第一節五個地區畢氏定理數學素養之比較分析 ................................................................. 66 一、建模過程 ................................................................................................................. 66 二、數學能力 ................................................................................................................. 68 三、數學素養的内涵 ..................................................................................................... 70 第二節五個地區相似形數學素養之比較分析...................................................................... 75 一、建模過程 ................................................................................................................. 75 二、數學能力 ................................................................................................................. 77 三、數學素養的内涵 ..................................................................................................... 79 第五章結論與建議........................................................................................................................ 83 第一節結論 ........................................................................................................................... 83 一、建模過程、數學能力、數學素養的内涵之分析和比較 ....................................... 83 二、五個地區的相同點(A)和相異點(B)........................................................................ 85 第二節建議 ........................................................................................................................... 86 一、教材編輯者 ............................................................................................................. 86 二、未來研究者 ............................................................................................................. 86 參考文獻 ........................................................................................................................................ 87 References ...................................................................................................................................... 89 附錄一三次專家焦點座談名單（領域分布） .............................................................................. 91 附錄二三次專家焦點座談（逐字稿） ......................................................................................... 92 第一次專家焦點座談 ..................................................................................................... 92 第二次專家焦點座談 ................................................................................................... 105 第三次專家焦點座談 ................................................................................................... 116. 4.

(6) 附錄三數學素養的内涵的依據來源 ........................................................................................... 132. 圖次圖 1 建模過程 ................................................................................................................ 13 圖 2 數學素養之建模過程架構類目 ............................................................................ 14 圖 3 數學素養分析架構 ............................................................................................... 17 圖 4 内容分析法步驟 ................................................................................................... 23 圖 5 用畢氏定理求無理數在數缐上的位置 ................................................................. 26 圖 6 教科書的段組舉例（一） .................................................................................... 29 圖 7 教科書的段組舉例（二） ..................................................................................... 29 圖 8 建模過程架構 ....................................................................................................... 30 圖 9 數學能力分析架構 ............................................................................................... 32 圖 10 數學素養的内涵分析架構 .................................................................................. 35 圖 11 現實情境實例 ....................................................................................................... 37 圖 12 無現實情境實例 ................................................................................................... 37 圖 13 有新情境實例 ....................................................................................................... 38 圖 14 無新情境實例 ....................................................................................................... 38 圖 15 有複雜性實例 ....................................................................................................... 39 圖 16 無複雜性實例 ....................................................................................................... 39 圖 17 有由學生形成 ....................................................................................................... 40 圖 18 有多步驟實例 ....................................................................................................... 41 圖 19 無多步驟實例 ....................................................................................................... 41 圖 20 有連結實例（一） ............................................................................................... 42 圖 21 有連結實例（二） ............................................................................................... 42 圖 22 無連結實例 ........................................................................................................... 43 圖 23 有合理性實例（一） ............................................................................................ 43 圖 24 有合理性實例（二） ............................................................................................ 44. 5.

(7) 圖 25 有合理性實例（三） ............................................................................................ 44 圖 26 溝通能力 Lvl 0 實例 ............................................................................................. 44 圖 27 數學能力 Lvl 1 實例 ............................................................................................. 45 圖 28 溝通能力 Lvl 2 實例 ............................................................................................. 45 圖 29 數學化能力 Lvl 2 實例 ........................................................................................ 46 圖 30 表徵能力 Lvl 0 實例 ............................................................................................. 47 圖 31 表徵能力 Lvl 2 實例 ............................................................................................. 47 圖 32 推理論證能力 Lvl 1 實例...................................................................................... 48 圖 33 推理論證能力 Lvl 2 實例...................................................................................... 49 圖 34 選擇策略能力 Lvl 0 實例...................................................................................... 49 圖 35 選擇策略能力 Lvl 2 實例...................................................................................... 50 圖 36 使用符號、運算及正式語言能力 Lvl 0 實例 ....................................................... 50 圖 37 使用符號、運算及正式語言能力 Lvl 2 實例 ....................................................... 51 圖 38 使用數學工具能力 Lvl 1 實例 .............................................................................. 52 圖 39 使用數學工具能力 Lvl 2 實例 1 ........................................................................... 52 圖 40 使用數學工具能力 Lvl 2 實例 1 的附件............................................................... 53 圖 41 使用數學工具能力 Lvl 2 實例 2 ........................................................................... 53 圖 42 有數學知識實例.................................................................................................... 54 圖 43 無數學知識實例.................................................................................................... 55 圖 44 以多元表徵呈現實例 ............................................................................................ 55 圖 45 以單一表徵呈現實例 ............................................................................................ 56 圖 46 探索活動實例 ....................................................................................................... 56 圖 47 内文展演告知實例 ................................................................................................ 56 圖 48 有使用工具實例.................................................................................................... 57 圖 49 有數學史實例 ....................................................................................................... 58 圖 50 有提出見解實例（一） ........................................................................................ 59 圖 51 有提出見解實例（二） ........................................................................................ 59 圖 52 有數學正向積極態度實例 .................................................................................... 60. 6.

(8) 圖 53 有總結回顧實例.................................................................................................... 60 圖 54 無總結回顧實例.................................................................................................... 61 圖 55 有提供資源實例.................................................................................................... 61 圖 56 有引起動機實例.................................................................................................... 62 圖 57 研究流程圖 ........................................................................................................... 65 圖 58 五個地區畢氏定理的建模過程百分比 ................................................................. 68 圖 59 五個地區畢氏定理的數學能力百分比 ................................................................. 70 圖 60 TW 畢氏定理單元的奇數頁右下角的「動畫」 .................................................. 72 圖 61 五個地區畢氏定理的數學素養的内涵百分比 ..................................................... 74 圖 62 五個地區相似形的建模過程百分比 ..................................................................... 76 圖 63 五個地區相似形的數學能力百分比 ..................................................................... 79 圖 64 五個地區相似形的數學素養的内涵百分比 ......................................................... 82. 7.

(9) 表次表 1 五個地區的畢氏定理課程目標 ............................................................................ 19 表 2 五個地區的相似形課程目標 ................................................................................ 20 表 3 各地區畢氏定理相關單元的内容 ........................................................................ 25 表 4 各地區相似形相關單元的内容 ............................................................................. 26 表 5 建模過程類目表 ................................................................................................... 31 表 6 數學能力類目表 .................................................................................................... 32 表 7 數學素養的内涵類目表 ........................................................................................ 35 表 8 MY 畢氏定理建模過程之相互同意度 ................................................................... 64 表 9 MY 畢氏定理數學能力之相互同意度 ................................................................... 64 表 10 MY 畢氏定理數學素養的内涵之相互同意度 ...................................................... 64 表 11 TW 相似形數學能力之相互同意度 ..................................................................... 64 表 12 TW 相似形建模過程之相互同意度 ..................................................................... 64 表 13 TW 相似形數學素養的内涵之相互同意度 .......................................................... 64 表 14 五個地區畢氏定理的建模過程段組數量 ............................................................. 67 表 15 五個地區畢氏定理的數學能力段組數量 ............................................................. 69 表 16 五個地區畢氏定理的數學能力百分比（單位：%） .......................................... 70 表 17 五個地區畢氏定理的數學素養的内涵段組數量 ................................................. 73 表 18 五個地區相似形的建模過程段組數量 ................................................................. 76 表 19 五個地區相似形的數學能力段組數量 ................................................................. 78 表 20 五個地區相似形的數學能力百分比（單位：%） .............................................. 78 表 21 五個地區相似形的數學素養的内涵段組數量 ..................................................... 81 表 22 數學素養的内涵的依據來源 ............................................................................ 132. 8.

(10) 第一章緒論本研究旨在探討馬來西亞、新加坡、中國、香港以及台灣國中數學教科書的數學素養之内涵。本章共有三節，分別為研究背景與動機、研究目的與問題、以及研究限制。. 第一節研究背景與動機數學教育一直是世界各地關注的焦點。近年來，經濟合作與發展組織（Organisation for Economic Co-operation and Development，OECD）針對國際學生進行數學素養、科學素養以及閲讀素養的國際學生能力評量計劃(the Programme for International Student Assessment， PISA)。這項評比除了測量各國學生的數學、科學以及閲讀程度，也調查了各國教育之各種面相，並提供了良好的研究與參考的價值。因此，各國開始使用 PISA 的調查結果來衡量該國學生的知識與技能，透過與其他國家比較，來確定該國的教育水平並理解該國在教育政策上的優略勢 (OECD, 2016)。在最近兩次的 PISA（2012、2015）中，新加坡、香港、台灣、中國的數學素養排名都名列前茅。2015 年的 PISA 共有 72 個國家（或地區）參與，其中新加坡、香港、台灣、中國（北京、上海、江蘇、廣東）分別取得第 1、第 2、第 4 以及第 6 名。可是，馬來西亞所提供的資料覆蓋性太小，可比性低，故不列入正式排名，但若根據該樣本進行統計的話，馬來西亞將排名第 45 名。而在 2012 年的 PISA 共有 65 個國家（或地區）參與，其中中國上海排名第 1，緊接著的是第 2 的新加坡、第 3 的香港以及第 4 的台灣，而馬來西亞的排名落在第 52 名，可見馬來西亞的表現與另四個地區相差甚遠。另外，PISA2012 也調查學生對於數學的學習投入、學習動機及學習信念與數學成就的關係。在台灣 PISA2012 精簡報告中，新加坡、中國、香港屬於高表現高毅力，台灣屬於高表現低毅力；新加坡、中國屬於高表現高問題解決的開放性，香港、台灣屬於高表現地問題解決的開放性；新加坡、中國、香港、台灣屬於高表現低失敗的自我責任；新加坡、中國、香港、台灣屬於高表現高内在動機；新加坡、中國屬於高表現高工具性動機，香港、台灣屬於高表現低工具性動機；新加坡、中國、香港、台灣屬於高表現高自我效能；新加坡屬於高表現高自我概念，中國、香港、台灣屬於高表現低自我概念；新加坡、中國、香港、台灣屬於高表現高行爲；新加坡、中國屬於高規劃，台灣、香港屬於高表現低規劃；新加坡、中國、香港屬於高表現高主觀規範，台灣屬於高表現低主觀規範。由於此報告的參照國家并無馬來 9.

(11) 西亞，故無法説明馬來西亞的表現。在 OECD 的 PISA 報告中，雖無直接的圖表展示馬來西亞的表現，但從數據來看，馬來西亞是在低表現低投入、低動機、低信念。（OECD，2013） Park & Leung (2006)的研究發現，東亞國家（中國、日本、韓國）深受儒家文化影響並注重群體價值，他們的教科書内容較少考慮個體差異，而西方國家（英國、美國）在重視個人價值的文化影響下，他們的教科書偏向滿足個體差異。其實，其他地區如馬來西亞、新加坡、香港、台灣也深受儒家文化的影響，而且馬來西亞、新加坡、中國、香港、台灣是華人覆蓋性高的地區。除了中國、香港、台灣之外，根據世界經濟論壇（World Economic Forum, 2016）報道，馬來西亞與新加坡屬於前五個海外華人主要地區，兩地華人分別占了該國的 23.4%（Ho，2016）和 76.1%（Singapore Department of Statistics，2016）。影響學生的數學表現之因素有很多，其中教科書是學生學習數學過程中重要的一環（Rezat,2009;Zhu & Fan,2000)。世界各地的數學教師在他們的教學活動中，非常依賴教科書。數學教師大部分根據教科書上的内容來決定要教什麽、如何教以及指派什麽作業 (Grouws,1992)。此外，教科書不僅是學習的主要工具，也引導了教學程序的進行、展示知識内容以及蘊涵如何學習知識的方法（左台益，李健恆，2017）。對學生而言，教科書提供了一個能增進他們解決問題能力的平台（Fan & Zhu,2000）。各地的政經與人文背景都直接或間接影響了教科書的發展，不同地區的教科書也反映了當地的文化以及社會價值。當教科書成爲學習者有效吸收知識以及價值感的同時，教科書的差異也可能反過來加強潛在的文化差異。因此，比較不同地區的教科書將展現各自的優缺點（Park & Leung,2006）。這不僅有助於提供制定教育政策者、編輯者與教師一些教學參考，也可以檢視自己與理想課程的落差，讓學生有機會學習更有效的課程。如今，全球的資訊交流越來越頻密。因此不同國家或地區之間的教科書比較也逐漸被關注。Li（2000）指出跨國數學研究提供了一個「經驗假設」的依據來反映學生實際的數學表現，並瞭解到學生的數學經驗與他們的實際表現的關係。研究不同地區或不同國家的教科書有助於了解世界各地的學生的學習機會之相同與相異點（Charalambous et al, 2010）。另外，國際教育學習成就評量委員會（The International Association for the Evaluation of Education Achievement, IEA）的計劃 The Trends in international Mathematics and Science Study （以下簡稱 TIMSS）表示，藉由分析國際間的教育評比，更能深入瞭解各國不同教育政策下的影響（TIMSS,2015）。. 10.

(12) 馬來西亞的華文教育分爲三個部分：華文小學、華文獨立中學（簡稱獨中）以及華文高等教育學府，其中衹有華文小學屬於政府學校。這表示後二者的辦校經費全由華社籌辦，然而獨中和華文高等學府在經費不足的情況下，依然培育不少人才，并在各個領域取得不俗的成績（董總，2016 ）。另一方面，馬來西亞華文教育的師資不乏是中、港、台的畢業生，而獨中課程綱要也經常參考中、港、台、新等地區之課綱（林忠強，1994），所以馬來西亞華文教育與中、港、台、新的教育密不可分。研究者爲馬來西亞人，除了接受中小學的華文教育之外，也到台灣繼續深造，之後在獨中任教數年的國中、高中數學。研究者察覺到，在馬、台兩個不同教育體系的相互對比下，兩地的學習成果存在很大的差異。當各種國際評比結果出來後，更發現馬來西亞的學生無論在何種程度上，都遠低於台灣的學生。若再加上同樣是華人居多的新加坡、以及中國和香港，馬來西亞的學生更是望塵莫及。因此，研究者希望透過此研究結果，能夠作爲馬來西亞數學教科書的新課綱的參考。. 第二節研究目的與問題本研究的目的是透過馬來西亞、新加坡、中國、香港以及台灣的國中數學教科書中，對於畢氏定理、相似形的比較，探討各地區數學教科書的數學素養之内涵。以下為本研究的研究問題： 1. 馬來西亞、新加坡、中國、香港以及台灣的國中數學教科書中，展示的數學素養内涵爲何？ 2. 馬來西亞、新加坡、中國、香港以及台灣的國中數學教科書中的數學素養之内涵有何差異？. 第三節研究限制本研究聚焦在馬來西亞、新加坡、中國、香港、台灣的國中數學教科書為研究對象，其中研究内容為畢氏定理以及相似形，所以研究結果不一定能推論至其他數學内容，或這五地區的其他版本，甚至其他地區。. 11.

(13) 第二章文獻探討本章依研究目的，針對相關文獻進行分析，内容共分爲三節，第一節為數學素養的意涵；第二節為國内外教科書的相關研究；第三節為馬來西亞、新加坡、中國、香港、台灣的數學課程，第四節為内容分析法。. 第一節. 數學素養的意涵. 一、建模過程 OECD 認爲數學素養是：在不同情境脈絡中，個體能夠具備形成、應用及解釋數學的能力，以及藉由描述、建模、解釋與預測不同現象，來瞭解數學在世界上所扮演的角色之能力。數學素養能協助個體來善用數學工具做出有根據的判斷，並成爲具有建設性、投入性及反思能力的公民（OECD,2016）。2015 年，PISA 把數學素養分爲三個面向，分別是建模過程、數學内容以及内容情境，而數學能力則支撐了整個建模過程。 OECD 認爲，建模過程 (modelling process) 是學生成爲積極問題解決者的中心（OECD,2016）。建模過程中含有三個過程：形成、應用數學解決問題以及解釋與驗證。「形成」是指個體有認識與辨別的機會來利用數學，並針對指定内容來提供數學式。在形成中，個體決定該如何提取必要的數學來做分析、設定與解決問題。個體把現實世界轉化成數學世界。個體推理以及理解問題中的約束與假設。而「應用數學解決問題」是指個體能透過應用數學概念、事實、程序以及推理來解決數學問題以得到數學結果。在應用數學概念、事實、程序以及推理中，個體將展現所需的數學程序來推導結果以及得到數學解決。他們處理問題情境、建立規則、辨識數學元素之間的連結並創造數學論證。「解釋與驗證」則是注重個體對於反思數學解決、結果或結論的能力，並在現實情境下進行解釋。這包括把數學解決轉化至現實情境，再判斷或評估結果是否合情合理。在建模過程中（圖 1），最開始的元素是現實情境(extra-mathematical world)，也就是該情境是否與現實生活中的元素有關。接著，含有現實情境的問題將形成數學式。數學式將透過一連串的數學程序與數學事實來進行解決。最後的數學結果將進行解釋與驗證，以符合當下的現實情境。在 Gatabi,Stacey,Gooya(2012)的建模架構（圖 2）展示了問題情境(problem context)、應用數學解決問題(mathematical problem solving，簡稱 MPS)、形成(Formulation)、以及解釋與驗證(interpretation and/or checking)。首先是「問題情境」，即判斷問題是否包含. 12.

(14) 現實情境或只在數學世界内（即只有數學元素）；「應用數學解決問題」的維度包含了三個子維度。第一個子維度是多步驟的數學問題解決，即判斷學生是否利用一部分（子目標）來完成下一個階段；第二個子維度是連結，是指除了原來的數學内容之外，其他數學想法、數學程序和數學事實也用來解決問題。第三個子維度是新的問題解決，用以判斷是否有不同類型的方法來解決問題。第三個維度則是「形成」，它分爲四個子維度，而此維度只用在現實情境中。第一個子維度是新情境，即檢查情境是否在同章節内出現過；第二個子維度是形成的複雜性，當問題呈現(1)含有太多或太少資料、(2)需要多步驟的形成、(3)涉及難以判斷相關數學時，將被認爲是複雜的。而第三個子維度是形成有否由學生形成。第四個子維度是新形成，即檢驗問題是否提供不同的機會讓學生尋找相關數學、從不相關資料找出相關資料並連結資料以形成一數學式。最後的維度是「解釋與驗證」，意為是否含有解釋和驗證的過程。. 資料來源： OECD. (2006). PISA 2006: Science competencies for tomorrow’s world. Volume 1: analysis. Publisher as author. 圖 1 建模過程. 13.

(15) 資料來源：Gatabi, A. R., Stacey, K., & Gooya, Z. (2012). Investigating grade nine textbook problems for characteristics related to mathematical literacy. Mathematics Education Research Journal, 24(4), 403-421. 圖 2 數學素養之建模過程架構類目. 二、數學能力數學能力也是發展數學素養架構中不能忽視的一環。PISA 採用 Mogen Niss 與等人提出的八大數學能力，經過探究之後再濃縮成七大數學能力。PISA 所探討的能力是溝通能力 (Communication) 、數學化能力 (Mathematising) 、表徵能力 (Representation) 、推理論證能力 (Reasoning and argument)、選擇策略能力(Devising strategies for solving problems)、使用符號、運算及正式語言能力(Using symbolic, formal and technical laguange and operations)、以及使用數學工具能力(Using mathematical tools)，其中原有的數學思考能力（mathematical thinking）與推理論證能力合并為一項。而 Turner, Blum & Niss(2015)利用四種層次(level0,1,2,3)來代表不同程度的溝通能力、數學化能力、表徵能力、推理論證能力、選擇策略能力、使用符號、運算及正式語言能力。因爲當時的 PISA 任務以紙本爲主，若考量使用數學工具能力則會不恰當，所以暫不考慮使用數學工具能力。然而，研究者認爲使用數學工具能力是適應現今社會的重要能力之一，因此本研究將使用數學工具能力納入考量。溝通能力分爲兩個面向，即接受面向和建設面向。接受面向是指如何詮釋問題、連結多元訊息並能夠往前或往後推論訊息，而建設面向是則聚焦在解決過程的‘性質和複雜性中，. 14.

(16) 如何傳達結果的解釋或理由。數學化能力是指在建模過程中把現實情境與數學領域鏈接起來。數學能力是雙向的，即從數學情境轉化至數學式以及把數學結果對應到相關情境中。表徵能力是指轉譯、分析、操弄各數學表徵，連結不同類型的表徵來取得結果。當表徵的形態變得複雜時，表徵能力的所需程度也隨著提高。另外，推理論證能力是指根據數學訊息來繪製有效的推論，並匯集這些推論來證明理由或更嚴格地證明結果。選擇策略能力則是指選擇或分析數學策略來解決問題，並監督與控制策略的執行。這裡的策略意為一組共同的階段來構成解決問題的整體計劃，每個階段涵蓋子目標和相關步驟。最後，使用符號、運算及正式語言能力是指理解與實施數學程序及數學語言（包括符號、算術和代數式），利用及管理數學規則、激活及使用定義、結果、規則和正規系統。三、數學素養的内涵此外，李國偉（2013）在台灣教育部提升國民素養實施方案－數學素養研究計畫結案報告中提到「提升數學素養的願景是：從學習數學的程中，學習到數學思維方式，以便靈活運用數學知識、技能與工具，去解決生活中的問題，並成為具備理性反思能力的國民」。數學素養是長期教育，從幼兒開始，直到大專、甚至到老都需要不斷地累積經驗和數學思維，靈活運用數學來解決生活問題。左台益、李建恆（2018）認爲，培養數學素養的能力必須以數學知識為基礎，運用知識來進行推理、邏輯思考及擬定策略以解決數學内或外的問題，説明個人觀感及批判思考事情，並擁有積極正向的態度及價值觀，從而培養終身學習的認知和技能，以面對現今急速變遷的社會問題和挑戰。爲了發展適合的數學素養教材，左台益與李建恆（2018）從數學「知」識、應「用」、應「用」數學的相關技能、以數學「觀」感表達看法，以及培養「學」習能力四個維度出發。以下為知、用、觀、學的意涵：（一）知（Knowledge） PISA 把數學内容分爲四大領域，即變化與關係(Change & relationships)、空間與幾何 (Space & shape)、數與量(Quantity)、以及機率與統計(Uncertainty & data)。馬來西亞教育部把數學内容分成數、形狀與空間、關係三大領域；新加坡教育部則把數學内容劃爲六個領域，即數、代數、幾何、統計、機率，以及分析；而中國的數學課綱安排成四個部分：數與代數、圖形與幾何、統計與概率，以及綜合與實踐；在香港，把學習範疇綜合為三個，即數與代數、度量、圖形與空間，以及數據處理；台灣把數學主題分成七類，分別是數與量、空間與形狀、坐標幾何、關係、代數、函數，以及資料與不確定性。不論在什麽地區，數學知識是數學素 15.

(17) 養的核心及必要前提。知識不是唯一的重點，但卻是不變的基礎。個體爲了能夠理解、溝通、應用更多數學概念，數學知識必然是發展數學素養的核心（左台益、李建恆，2018）。（二）用（Application） PISA 以建模過程的形成、應用數學解決問題、解釋與驗證作爲評量的核心内容（OECD, 2016）。在不同層次的數學能力下,PISA 的評量問題用來檢驗學生對數學的應用（Turner, Blum & Niss, 2015）。此外，隨著科技進步，學生必須學習如何利用各種工具，包括數學工具、數位工具等，來面對將來各種挑戰。透過科技的有效應用，學習者將學得更深，並加深他們對數學概念的理解和直覺（NCTM,2000）。因此，如何運用數學知識、數學方法、數學工具將是培養數學素養的重要元素之一。（三）觀（Disposition） Kilpatrick 等人（2001）提出數學素養由五個維度組成，即概念性理解（conceptual understanding）、程序性流暢（procedural fluency）、策略能力（strategic competence）、適應性推理（adaptive reasoning）以及建設性數學素養的内涵（productive disposition）。前四者與 PISA 中的數學能力雷同，而其建設性數學素養的内涵，意為在學習數學時學生所感覺的傾向，認爲數學有價值且期待學習數學會有所回報，以成爲有效的學習者和數學家。林福來、單維彰、李源順與鄭章華（2013）在十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究中，以「知」、「行」、「識」來詮釋 12 年國教數課程。當中的「識」為對數學的内在認知與情意涵養，包括概念理解、推理、連結、後設認知、以及欣賞數學的美。在教學上，能夠培養溝通能力、自我反思、掌握不同學習方法等學習能力，從而達到終身學習以適應社會變遷，是發展數學素養的内涵（左台益、李建恆，2018）。因此，以數學知識為基礎，去建立正向積極的學習態度，並能夠欣賞數學的本質，也是數學素養重要的一環。四、學（Learning）爲了未來中解決不同類型的新問題，具有理解力的學習是重要的。學生學習更好時，就有能力掌握自己的學習目標並監控自己的學習歷程。面臨挑戰時，學生將有自信去應付困難，積極設法解決問題，靈活探索數學想法，甚至嘗試更多元的解決路徑（NCTM，2000）。在獲取知識的同時，Crick(2007)認爲懂得「學習如何學習」來適應現代的複雜系統是重要的。其核心概念是學習者自己認爲想要學習的想法，意識到自己是學習者並能夠接受自己在校内. 16.

(18) 外的學習軌跡。由上述研究可見，除了普遍認知的數學知識、數學能力構成數學素養的元素之外，對於數學的觀感、信心、態度，以及對於學習的意識及其重要性，都不可忽視。綜合上述各方專家對數學素養的看法，研究者統稱「知」、「用」、「觀」、「學」為數學素養的内涵，並歸納整理出一個集合建模過程、數學能力和數學素養的内涵的分析架構（圖 3）。. 圖 3 數學素養分析架構. 第二節國内外教科書的相關研究教科書是「一本旨在提供知識領域權威教育的書」（Stray，1994）。世界各地的數學教師在他們的教學活動中，非常依賴教科書。數學教師大部分根據教科書上的内容來決定要教什麽、如何教以及指派什麽作業（Grouws,1992)。在許多研究中，得出教師利用教科書為主要來源以設計他們的課堂活動(Gracin & Matić，2016；Zhu & Fan，2000）。此外，教科書為學生提供了一個能增進他們解決問題能力的平台（Fan & Zhu，2000)。教科書不僅是學習的主要工具，也引導了教學程序的進行、展示知識内容以及蘊涵如何學習知識的方法（左台益，李健恆，2017）。Valverde 與他人（2002）認爲數理教科書在課堂練習上有極大的影響力。因此，教科書不論對老師、學生或教學活動，都有著重要的意義。. 17.

(19) 研究不同國家的教科書能反映出世界各地所提供的學習數學的機會有何相同點與相異點（Charalambous et al,2010) 。教科書是展示課程内容的媒介，因此針對不同國家做數學教科書的研究將能揭示不同國家的課綱以及所授課程的特徵，而這些特徵將反映出該國家的文化價值(Park, K., & Leung, 2006)。此外，由於各國少有大量的數學教科書版本，因此，若選擇當地的暢銷課本進行研究，將能覆蓋一定比例的學生分佈，所以教科書研究算是介於宏觀（課程標準、學生學習成就）與微觀（課堂研究、行動研究）的一種研究(Park, K., & Leung, 2006)。 O’Keeffe(2013)的研究中指出，在強調數位學習以及目前在愛爾蘭正在進行的課程之外，教科書仍是課堂的中心。儘管衆所周知的「教科書」可能會發生變化，但在教學方面，「教科書」的選擇仍然集中在提高與支持教學和學習上，因此傳統教科書的核心價值依然重要。 Fan , Zhu & Miao(2013)探討數學教育的教科書研究的發展情況和發展方向。他們把與「數學」和「教科書」有關的文獻進行統計並分類出四個類別，即教科書的角色、教科書的分析與比較、教科書的應用、以及其他，其中教科書的分析與比較佔最大部分。在教科書分析與比較中，大部分研究在探討内容或單元在教科書中展現的差異性，接著也有研究在關注認知與策略方式、或性別、種族、平等、文化和價值上的探討、跨國的教科書比較、以及概念性和程序性課題的探討。由此發現，各方研究在不同程度上一直討論如何展示數學内容和解決問題的方法，或討論不同地區的教科書有顯著差異，但極少有人從數學素養的數學素養的内涵去看待教科書的内容。因此，研究者決定從數學素養的角度去看待教科書内容。. 第三節馬來西亞、新加坡、中國、香港、台灣的數學課程一、五個地區數學課程的整體目標馬來西亞的數學課程目標期待學生能夠理解數學概念、擴展基本的計算能力、能夠進行數學溝通、運用數學知識來解決問題並做出決策、利用數學做跨領域理解、掌握適當的技術來建構、取得、解決、探討各數學領域、具備數學知識並有效地發展技能、培養對數學的積極態度、以及懂得欣賞數學的重要性與數學美（CDC，2004）。對於馬來西亞獨中體制下的學校，董總也發展出一套與國家數學課程大同小異的數學課程，其目標也在於讓學生擁有數、量、形的基礎知識和基本技能、發展出學生的邏輯思維能力、運算能力、空間觀念、運用數學來解決日常問題的能力、科學態度及創造力，並引導學生認識數學的功用以提高學生對數學的興趣（董總，2013）。. 18.

(20) 新加坡的數學課程目標則希望學生能夠掌握一定程度的數學，讓自己在未來生活中受益，而對於有興趣且有能力的人，能夠追求更高層次的數學。此外，他們也主張，學生需要獲得並運用數學概念及技能、透過數學方法來解決問題以發展出認知和後設認知技能、以及培養積極的數學態度（Ministry of Education，2012）。透過中國的義務教育學習，其數學課程目標期許學生可以適應社會生活和發展所需數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗、體會數學與數學、其他學科、生活之間的聯係，並運用數學思維來思考、增強發現與提出問題的能力以及分析與解決問題的能力。此外，了解數學價值、提高學生的數學興趣、增強對數學的信心、養成良好的學習習慣、具有創新意識和科學態度也是他們的目標之一（中國教育部，2011）。香港的數學教育目標則旨在通過數學來提高構思、探究、推理及傳意的能力，以及利用數學來建立及解決日常生活和數學問題的能力、運用數字、符號及其他數學物件的能力、建立數字感、符號感、空間感及度量感及鑑辨結構和規律的能力、以及對數學採取正面的態度，以及從美學和文化的角度欣賞數學的能力（香港課程發展議會，1999）。在十二年國民基本教育課程綱要總綱中，台灣的數學課程目標是爲了提供所有學生公平受教、適性揚才的機會、培育探索數學的信心與正向態度、培養學生的好奇心及觀察規律、演算、抽象、推論、溝通和數學表述等各項能力、培養學生使用工具，運用於數學程序及解決問題的正確態度、培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力、培養學生日常生活應用與學習其他領域/科目所需的數學知能、以及培養學生欣賞數學的人文內涵中，以簡馭繁的精神與結構嚴謹完美的特質（台灣教育部，2014）。整體來看，發現這五個地區的數學課程目標大部分相似。爲了有效適應越來越進步的時代，學生必須在有基本的數學基礎上，有能力運用數學來解決、分析、反思問題，再配合掌握數學工具的能力，連結其他領域來擴展更深更廣的能力，以及具有積極的數學學習態度和懂得欣賞數學美。二、五個地區的畢氏定理與相似形課程目標表 1 五個地區的畢氏定理課程目標. 地區馬來西亞新加坡. 課程内容 1. 畢氏定理 2. 畢氏定理的逆定理 3. 距離公式 1. 畢氏定理. 學習目標 1. 掌握畢氏定理及其逆定理 2. 應用距離公式 1. 畢氏定理的應用. 19.

(21) 2. 畢氏定理在現實情境的應用 3. 畢氏定理的逆定理中國 1. 勾股定理 2. 勾股定理的逆定理香港 1. 基本知識重溫 2. 平方根 3. 畢氏定理及其應用 4. 畢氏定理的逆定理及其應用 5. 有理數及無理數 6. 根式的運算. 台灣. 2. 已知三個邊長，判斷三角形中的哪個角是直角 1. 探索勾股定理及其逆定理，並運用它們解決一些簡單的實際問題 2. 探索並掌握判定直角三角形全等的「斜邊、直角邊」定理。 1.認識及欣賞有關畢氏定理的不同證明(包括中國古代勾股定理所用的方法) 2.知道無理數和根式的存在 3.運用畢氏定理及其逆定理來解答問題 4.討論第一次數學危機的來龍去脈，並領會數學知識靈活多變的特性 5.**探究及比較不同文化在證明畢氏定理時所選用的策略 6.**探討求平方根的不同方法. 1.能理解二次方根的意義及熟練二次方根的 1.平方根與近似值 2.根式的運算 3.畢氏定理. 計算 2.能求二次方根的近似值 3.能理解根式的化簡及四則運算 4.能夠理解畢氏定理及其應用 5.能熟練直角坐標上任兩點的距離公式. 香港附有「**」號的學習重點可視作增潤項目的示例；劃有底線的則為課程綱要的非基礎部分。. 從表 1 來看，各地區皆强調如何應用畢氏定理，並掌握畢氏定理及其逆定理的判定。香港和台灣課程内，含有平方根相關内容，顯示在學習畢氏定理前，學生必須掌握平方根的基本運算，再連結至畢氏定理。值得留意的是，台灣在畢氏定理單元中並沒有要求畢氏定理的判定，但在國三課程中另有“幾何與證明”一章,以期待學生能夠理解數學的推理和證明的意義。此外畢氏定理的歷史背景豐富，雖然畢氏定理的發展脈絡與歷史故事並不在上述課程内自成小節，但以上五套教科書都有在介紹畢氏定理的相關歷史。表 2 五個地區的相似形課程目標. 地區馬來西亞. 課程内容 1. 比例缐段 2. 相似形 3. 相似三角形 4. 相似三角形的判定 5. 面積的比 6. 附錄 1：相似三角形判定定理 3 的證明 7. 附錄 2：相似三角形其他的性質. 學習目標 1. 掌握相似三角形的證明 2. 掌握相似形的面積比. 20.

(22) 新加坡. 1. 全等圖形 2. 相似圖形 3. 相似形、放大以及比例作圖 1. 全等的判定 2. 相似的判定 3. 全等三角形與相似三角形的應用. 中國 1. 圖形的相似 2. 相似三角形 3. 位似. 香港. 1. 全等的意義 2. 三角形全等的條件 3. 相似的意義 4. 三角形相似的條件. 台灣 1. 比例缐段 2. 縮放與相似 3. 相似三角形的應用. 1. 掌握全等與相似形的判斷 2. 掌握相似形對應角相等 3. 掌握相似形對應邊成比例. 1. 了解比例的基本性質、缐段比 2. 通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比 3. 掌握「兩條直缐被一組平行缐所截，所得的對應缐段成比例」 4. 了解相似三角形的判定定理 5. 了解相似三角形的性質定理 6. 了解圖形的位似 7. 會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題. 1. 2.. 認識全等三角形及相似三角形的性質. 3. 4.. 認識固定一三角形的起碼條件. 5.. 探究如何以圓規及直尺繪畫角平分線、垂直平分線和特殊角，並列舉理由支持有關繪畫步驟. 6. 7. 8.. 欣賞使用最簡單工具繪畫線和角. 延伸變換及對稱的概念，以探究全等三角形及相似三角形所需具備的條件能列舉簡單理由判定兩個三角形是屬於全等三角形或是相似三角形. **討論只用圓規、直尺將角三等分的可能性. **探究碎形幾何的圖形 1. 能理解多邊形相似的意義 2. 能理解三角形的相似性質 3. 能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述 4. 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題. 香港附有「**」號的學習重點可視作增潤項目的示例；劃有底線的則為課程綱要的非基礎部分。. 從表 2 得知，五個地區的相似形課程都注重相似形的性質、相似三角性的判斷，以及如何在現實問題中應用相似形性質。在新加坡和香港課程中，相似形内容算是全等内容的延伸。另外，除了馬來西亞，其他地區的課程皆展示如何利用數學工具（尺規作圖、網路資源等）來認識相似形性質。. 整體來看，五個地區的畢氏定理與相似形課程，都以數學知識為基礎，透過一連串的經驗來進行操作、連結、推理、驗證、使用工具等，引導學生學會判斷與思考，並有機會讓學生賞析數學的本質。. 21.

(23) 第四節内容分析法理論根據國家教育研究院的解釋，內容分析法（content analysis）是一種「客觀、系統而且量化的方法，用來描述明顯的溝通內容」（國家教育研究院，2018）的方法。内容研究法一開始用在心理學、社會科學、傳播研究上。隨著科技和統計軟体的進步，内容分析法開始廣泛運用在傳播學及其它社會科學上，逐漸成爲重要的研究方法之一（Krippendorff ，2013)。他也認爲利用内容分析法，并不是將數據視爲非物理事件，而是把文本、圖像和表達創建成可被看見、閲讀、解釋的意涵，因此内容分析法應該廣汎地應用在印刷品上，如教科書、漫畫、演講稿、廣告。王石番（1989）則認爲，内容分析是以訊息的實際内容作爲主要的研究對象，以及分析傳播内容的形式或載體，即探討「什麽」内容以及「如何」表達問題。許禎元（2003）表示，内容分析的主要目的是分析訊息，而訊息的範圍包含任何形式的傳播内容，如書信、報章雜誌、廣告、節目、演講、條文、記錄、錄影、圖騰等。無論何種形式，都可以用内容分析法加以進行探究分析，其限制條件極少。 Wimmer & Dominick（2013）列出十個内容分析法步驟（圖 4），但這些程序不一定要完全依序進行。十個相關步驟為：(1)提出問題或假設、(2)確定研究範圍、(3)抽取樣本、(4) 界定分析單位、(5)建構分析的内容與類目、(6)建立量化系統、(7)建立信效度、(8)内容編碼、(9)資料分析、以及(10)解釋與推論。在提出問題或假設時，最終目標必須清楚，以避免無目的地收集資料。接著，確定研究範圍的目的是爲了説明所分析的内容界限，需要對母群體定下正確的操作性定義。確定了研究範圍後，再抽取樣本。然後，就需要選擇適當的分析單位，也就是實際計算的對象，且其定義需明顯而容易分辨。接下來，建構分析的内容與類目，且所有類目都應互斥、窮盡和局有可信度。如果一個分析單位只可以放在一個類目中，則此系統具有互斥性；窮盡性是指内容分析類目必須有適合於每個分析單位的位置；此外，類目系統應該是具有可信度的，也就是說不同的編碼者對分析單位所屬的類目意見應有一致性。接下來，可開始建立量化系統，一般上用到名目、等距和等比三種尺度。接著，信度是内容分析中的關鍵性部分，爲了保持内容的客觀性，測量與程序必須具有可信度。而測量效度的目的是在於檢驗測量工具是否能夠有效地測量研究内容，類目是否嚴謹且符合要求。將分析單位放入内容類目的行爲，稱爲編碼，這是内容分析中最耗時但也最有意義的部分。通常編碼者為 2 至 6 人，選取適當人選後，就必須對編碼者進行訓練，以求得精確的分析。收集好編碼結果後，就能進入分析資料的步驟。最後，再對資料結果進行解釋與討論。. 22.

(24) 内容分析法是一種量化的分析過程，但它不只是單純的「量的分析」，而是以傳播内容「量」的變化來推論「質」的變化，因此算是一種質量並重的研究方法（歐用生，1991 ）。然而，他也認爲，由於内容分析法容易實施，尤其在教科書分析上，顯得容易發生困難。歐用生表示，内容分析法是根據選定的分析單位，加以量化操作，去探究數量的差異意義，會忽略質的存在。同時，内容分析法無論使用何種分析單位，都可能出現「斷章取義」，使得結論容易脫離原來的脈絡而忽略整體的架構。此外，教科書只是課程的一部分，若不深入探討「潛在課程」的層面，將無法了解何以呈現這些教材，也就無法深入了解影響教材選擇的原理原則和影響因素。這將導致「只知其然，不知所以然」，對課程研究影響不大。因此，本研究希望透過内容分析法，以客觀和系統性的態度對教科書進行探究，分析教科書內容中所涵蓋的特性、訊息及更深層的内涵，藉以推論產生教科書中數學素養的内涵。提出研究問題或假設確定研究範圍抽取樣本界定分析單位建構分析的内容與類目建立量化系統建立信效度内容編碼資料分析解釋與推論圖 4 内容分析法步驟. 23.

(25) 第三章研究方法本章將分爲四節，第一節為研究對象；第二節為數學文本分析架構；第三節為研究流程；第四節為信效度。. 第一節研究對象教科書需要其它相關產品作爲輔助，如教師手冊、習作本、工作單、學生讀物、錄音帶、電腦軟體、因材施教的教材、評量工具、題庫、產品網站、管理清單等等,以形成一完整的教學支持系統(陳麗華，2008)。然而馬來西亞與中國的教科書僅有課本，其練習（或作業）已同時編在課本内，其餘教材皆無，而中國市面上的習作或練習簿是各出版社自行配合教科書出版社所發行的。礙於購買程序以及時間關係，香港、新加坡的教科書中，研究者僅購得課本和習作。台灣的教科書（電子書）則有全套，即課本、習作、教師手冊。因此，爲了公平，本研究只分析課本與習作，其餘皆不考慮。由於大部分地區的教科書版本種類多，銷售量也因商業考量而無法取得正式數據，因此研究者采用當地較受歡迎的教科書版本。馬來西亞的中學教育分爲國民學校以及獨立中學兩大類，國民學校採用的是以馬來文和英文書寫的各出版社教科書。在遵循母語教育和其他歷史因素下，獨立中學採用的是以中文書寫的董總版教科書。這套教科書不完全根據國家所制定的課綱，而是綜合、參考馬來西亞、台灣、中國、香港及新加坡的課綱（林忠強， 1994）。新加坡的將採用由 Shing Lee 出版社的 New Syllabus Mathematics（譯為新課程數學），其佔有率超過 80% (Sgbox,2018)。人民教育出版社是中國教育部所属的一家大型专业出版社，多年蝉联全国出版单位总体经济规模综合评价第一名，其出版品也當地大受歡迎（人民教育出版社官網，2018）。牛津大學出版社（中國）在香港以教科書出版味核心，其新世代數學亦深受歡迎（牛津大學出版社（中國）,2018）。台灣的康軒文教事業是台灣第一家專業於中、小學教科書出版的企業，為教科書民營化揭開了序幕。經過多年耕耘，康軒版已成爲台灣最有影響力的中小學教科書出版業者（康軒文教集團，2018）。最後，爲了編碼方便，各地區將依據其英文名來做編號。馬來西亞編為 MY，新加坡編為 SG，中國編為 CH，香港編為 HK，台灣編為 TW。據表 3，可發現各版本的畢氏定理皆在國二，内容大同小異，唯小節分配、少數小節内容不同。本研究的分析單位以每個版本皆有的内容為原則。從表 3 得知，HK 與 TW 的畢氏定理章節内，出現與其他三者不同的數學内容用，即：平方根、無理數的相關内容。另外，. 24.

(26) HK 的基本知識重溫主要回顧指數計數法、質因數連乘積、數缐的内容，算是為平方根内容鋪成。因此 HK 教科書中，本研究僅探討畢氏定理及其應用、畢氏定理的逆定理及其應用，而 TW 的僅探討畢氏定理。此外 HK 的無理數小節中涵蓋了如何用畢氏定理求無理數在數缐上的位置（圖 4），而 CH 與 TW 的相關内容分別呈現在勾股定理小節和畢氏定理小節。由於此内容直觀地應用畢氏定理且與無理數結合，故決定保留此内容。至於 MY 與 SG，並無相關内容。此外，MY 與 TW 的畢氏定理單元設有距離公式，雖然其餘三者并無此内容，但距離公式算是畢氏定理的應用之一，故決定保留距離公式。. 表 3 各地區畢氏定理相關單元的内容. 教科書. 年段. 章節名稱. MY. 初二下. 畢氏定理. SG. Secondary 2. CH. 八年級下. HK. 中二下. TW. 國二上. 畢氏定理相關單元. 1. 畢氏定理 2. 畢氏定理的逆定理 3. 距離公式 Pythagoras’ 1. 畢氏定理 Theorem 2. 畢氏定理在現實情境的應用 3. 畢氏定理的逆定理勾股定理 1. 勾股定理 2. 勾股定理的逆定理畢氏定理 1. 基本知識重溫 x 2. 平方根 x 3. 畢氏定理及其應用 4. 畢氏定理的逆定理及其應用 5. 有理數及無理數 x 6. 根式的運算 x 平方根與畢 1. 平方根與近似值 x 氏定理 2. 根式的運算 x 3. 畢氏定理 x 表示該小節不納入本研究對象. 25.

(27) 資料來源：黃德華，黃鳴嬋（2017）。新世代數學（二版，2B）。香港：牛津大學出版社（中國）。圖 5 用畢氏定理求無理數在數缐上的位置. 另外，從表 4 知，相似形相關課程的分佈不一。HK 的分配在國一、MY 的分配在國二、 CH 和 TW 的分配在國三，而 SG 的分拆至國二和國三。其中，全等相關内容只在 SG 和 HK 教科書出現，所以不考慮為研究對象。縮放相關内容也只出現在 SG 和 TW 教科書中，故也不考慮在内。而僅有 CH 教科書涵蓋位似，故不考慮之。表 4 各地區相似形相關單元的内容. 教科書. 年段. 章節名稱. MY. 初二下. 相似形. SG. Secondary 2. 相似形相關單元. 1. 比例缐段 2. 相似形 3. 相似三角形 4. 相似三角形的判定 5. 面積的比 6. 附錄 1：相似三角形判定定理 3 的證明 7. 附錄 2：相似三角形其他的性質 Congruence 1. 全等圖形 x and similarity 2. 相似圖形 3. 相似形、放大以及比例作圖 x. 26.

(28) Secondary 3. CH. 九年級下. HK. 中一下. TW. 國三上. Congruence 4. 全等的判定 x and similarity 5. 相似的判定 test 6. 全等三角形 x 與相似三角形的應用相似 1. 圖形的相似 2. 相似三角形 3. 位似 x 全等與相似 1. 全等的意義 x 2. 三角形全等的條件 x 3. 相似的意義 4. 三角形相似的條件相似形 1. 比例缐段 2. 縮放 x 與相似 3. 相似三角形的應用 x 表示該小節不納入本研究對象. 總得來說，關於畢氏定理的相關單元，本研究只分析 MY 的畢氏定理、畢氏定理的逆定理、距離公式，SG 的畢氏定理、畢氏定理在現實情境的應用、畢氏定理的逆定理，CH 的勾股定理、勾股定理的逆定理，HK 的畢氏定理及其應用、畢氏定理的逆定理及其應用，和 TW 的畢氏定理。而對於相似形的相關單元，本研究只探討 MY 的比例缐段、相似形、相似三角形、相似三角形的判定、面積的比、附錄 1：相似三角形判定定理 3 的證明、附錄 2：相似三角形其他的性質，SG 的相似圖形相似的判定、相似三角形的應用，CH 的圖形的相似、相似三角形， HK 的相似的意義、三角形相似的條件，和 TW 的相似、相似三角形的應用。. 第二節數學文本分析架構本研究將採用内容分析法，並依據Wimmer & Dominick（2013）的内容分析法步驟進行分析。研究者提出研究問題、確定研究範圍後，即開始選取馬來西亞、新加坡、中國、香港和台灣的國中數學教科書畢氏定理與相似形單元為樣本。接下來將説明如何界定分析單位及解釋本研究的分析架構及其類目内容。一、界定分析單位：任何的實證研究，一開始就要決定觀察什麽、記錄什麽，因此存在於各類單位(unit)的資訊是構成研究的資料。而單位化(unitizing)即是界定單位、釐清界限、規劃範疇的過程（王石番，1989）。教科書的内容分析通常採章、節、單元、課、詞、句、字、頁等單位，每一. 27.

(29) 種都有優缺點，例如以課章為分析單位，每個單位包含的概念很多，不宜做概念分析；句、詞、字為分析單位時，數量太多，費時費力, 而且容易斷章取義（歐用生，1991）。此外， Graneheim & Lundman（2004）也認爲分析單位太窄小，比如字，將使得内涵破碎化。而以單元（lesson）來分析不足以衡量教科書中所有需要建構的細節, 所以把單元劃分為更小的單位，稱「blocks」(Valverde,2002) 。Love & Pimm（1996）表示，最常被使用的文本結構為「内文例題-練習」。左台益、李健恆（2017）的研究中，除了頁首標題及頁碼等資料外，皆以「段落」為單位。基本區分原則是以教科書中的一段敘述、一個例題或一個練習，視為一個段落。本研究的對象都含有内文、例子、以及活動與練習，又爲了避免細分單位使得内涵破碎化，決定將以「段組」為分析單位。段組是指在意義上有密切關係的幾個段落，注重在内文的内容意義，而不糾結於語言表達方式的結構（崔應賢，2009）。如圖4表示中國畢氏定理單元的其中二頁，一共展示八個段組：編號1、2、7、8分別為不同的練習，皆各別視為不同的段組；編號3是思考題，自成一個段組；編號4的内容雖然在解釋上面的思考題，但編號3屬於練習而編號4屬於内文，因此編號4看作另一個段組；編號5為探索題，是一個段組；編號6 由四段組成，並附有3個插圖。其整體在説明如何利用畢氏定理，透過作弧的方式求得無理數在數缐上的位置。當練習中含有小題時，研究者將先判斷小題之間是否雷同，若是，則視爲一個段組（圖6、圖7）。. 28.

(30) 資料來源：林群（主編）（2014）。數學（初版，八年級下冊）。北京：人民教育出版社。圖 6 教科書的段組舉例（一）. 資料來源：Yeo J., Teh K.S., Loh C.Y. &Chow Ivy (2016). New Syllabus Mathematics Book 3 (7 th ed). Singapore:Shinglee.. 圖 7 教科書的段組舉例（二）. 29.

(31) 二、分析架構及其類目内容本研究參考 PISA 和 Gatabi,Stacey,Gooya(2012) 的建模過程、 Turner, Blum & Niss(2015)的數學能力以及左台益，李建恆（2018）的數學素養的内涵，經過與指導教授、專家的討論後，發展出「數學素養分析架構」爲本研究的分析架構。以下將詳細説明本研究的分析架構：（一）建模過程 Gatabi,Stacey,Gooya(2012)認爲教科書分析與文本的需要一套專門的理論架構來聚焦在以他們的研究。在他們的架構（圖 2）中，每個元素都代表與數學素養有關的教科書問題面向。爲了搭配 PISA(2015)和 Gatabi, Stacey, Gooya(2012)的建模過程，研究者把 Gatabi, Stacey, Gooya(2012)的「形成」和「應用數學解決問題」的順序對調。接著，研究者只保留複雜性中的(2) 需要多步驟的形成，因爲本研究的教科書並沒有或極少(1)含有太多或太少資料或(3)涉及難以判斷相關數學的相關元素。最後，本研究整理歸納出適當的建模過程架構圖（圖 8）及類目表，而類目説明將在第 37 頁呈現。. 問題情境. 現實情境新情境複雜性. 形成由學生形成. 建模過程. 新形成多階段應用數學解決問題. 連結新解決. 解釋與驗證. 圖 8 建模過程架構. 30. 合理性.

(32) 表 5 建模過程類目表. 維度. 子維度現實情境 Extra問題情境 Problem mathematical Context. 形成 Formulate. 新情境 New context 複雜性 Complex of formulation 由學生列示 Formulated by students 新形成 New formulation. 多步驟 Multi steps MPS. 應用數學問題解決 Mathematical Problem Solving. 連結 Connection in MPS. 新解決 New MPS 解釋與驗證 Interpretation and/or checking. 合理性 Reasonableness/Limits of mathematical solution. 説明含有涉及現實情境的元素，而現實情境分爲兩類，即有數學式及無數學式（如介紹數學史）情境並沒有在之前（同章節）出現過。多步驟的形成(2 個步驟或以上)會使得形成複雜化。由學生形成或列式檢驗不同的形成（提供讓學生尋找相關數學、從不相關資料中找出相關資料以及連結資料來形成情境的機會）。學生利用問題中的一部分（子目標）來解決下一個問題，即利用 2 個或以上的階段來解決問題。連結不同的數學想法、技巧或事實來解決問題。「不同」是指非此單元的數學知識，基本計算能力（整、分、小數、根號的四則運算）不算。此維度旨在衡量學生是否在課本中遇到不同類型的解決方法，或一題多解。解釋或驗證結果是否符合數學或現實情境上的合理性與限制性。. （二）數學能力數學能力是發展數學素養架構中不能忽視的一環。PISA 採用 Mogen Niss 與等人提出的八大數學能力，經過探究之後再濃縮成七大數學能力。PISA 所探討的能力是溝通能力、數學化能力、表徵能力、推理論證能力、選擇策略能力、使用符號、運算及正式語言能力、以及使用數學工具能力，其中原有的數學思考能力與推理論證能力合并為一項。而 Turner, Blum & Niss (2015)利用四種層次，即 level 0,1,2,3 來代表不同程度的溝通能力、數學化能力、表徵能力、推理論證能力、選擇策略能力、使用符號、運算及正式語言能力。因爲當時 2012 年的 PISA 任務以紙本爲主，若考量使用數學工具能力則會不恰當，所以暫不考慮使用數學工具能力。然而，研究者認爲使用數學工具能力是適應現今社會的重要能力之一，因此本研究將使用數學工具能力納入考量。研究者先模仿其他能力的層次分法，經過與指導教授討論後，. 31.

(33) 得出現有的使用數學工具能力的 lvl 0, 1, 2。另外，由於研究者察覺各地區國中教科書的數學能力極少存在 lvl3，故研究者合併 lvl 2 和 lvl 3，歸納出現有的 lvl 2。最後，本研究整理歸納出適當的數學能力架構圖（圖 9）及類目表（表 6），而類目説明將在第 44 頁呈現。. 溝通數學化表徵推理論證數學能力選擇策略使用符號、運算及正式語言使用數學工具. 圖 9 數學能力分析架構. 表 6 數學能力類目表. 閲讀及解釋敍述、問題、指示、任務、圖像和物件；想象及理解所呈現的情況，並理解含有數學術語的信息；展現及解釋個體的數學工作或數學推理。. 溝通. Lvl0: 文本用單一的字詞、數字與短句，提供學生能直接瞭解與概念相關的情境。 Lvl1: 文本用較複雜的敘述呈現相關概念所需信息，提供學生連結其他相關表徵，或簡單表述。 Lvl2: 文本用多元連結的元素展現信息，提供學生描述、解説及呈現概念内涵、解題或論證過程。. 32.

(34) （續前）將現實世界的情境轉化成數學模型、分析相關情況的結果、詮釋或驗證數學結果與情境問題的相關性或有效性。. 數學化. Lvl0: 文本只呈現現實情境或數學形式，沒有提供從現實情境轉化數學模型的過程。 Lvl1: 文本展現從現實情境轉化成數學模型，但沒有詮釋或驗證數學模型的結果。 Lvl2: 文本展現從現實情境轉化成數學模型，並詮釋或驗證數學模型的結果。尋求解決方案時，解碼、轉譯及使用給定的數學表徵；選擇或設計表徵來抓取情境，或展現個體的工作。（文字與圖案graphic屬於「溝通」，而符號與式子屬於「使用符號、運算及正式語言」。）. 表徵. 推理論證. Lvl0: 文本無，或直接單一表徵來展現内容（從坐標系統中求點、從圖表中求數值等）。 Lvl1: 文本用兩個以上的表徵（從表中比較資料、從圖表讀取圖像表徵等）來表達情境或數學關係。 Lvl2: 文本呈現多元表徵及表徵之間的轉換與連結問題情境或數學關係。（立體圖與展開圖轉換、坐標圖與表格的轉換、現實圖與幾何圖的轉換等）透過使用以邏輯基礎的思維過程來組成推論，並以此來探索和連結問題，以形成、審查、驗證論點與結果。 *選擇何種策略來解決問題屬於「選擇策略」，而想法中若把情境轉化成數學式則屬於「數學化」 Lvl0: 文本無推理教學，或直接告知推論結果。 Lvl1: 文本從單一面向或簡單數學元件來引導推理的進行。 Lvl2: 文本從兩個（含）以上面向來進行推理、支持内容，或透過一連串的推理與檢驗來證明結果。. 選擇策略. 選擇或設計策略來解決問題，以及監測和控制策略的實施。策略由一組階段. （stage）組成，每個階段包含子目標和相關步驟（steps）。例如，收集數據，以不同方式轉換和表示數據，分別為三個不同組的階段。 Lvl0: 文本無策略行動，或直接陳述解題過程。 Lvl1: 文本以一個階段的策略分析來整合或使用訊息。 Lvl2: 文本選擇二組階段（或以上）的策略來整合子目標或步驟。. 33.

(35) （續前）. 使用符號、運算及正式語言. 理解和實做數學程序與數學語言（符號式子、四則運算和代數運算），利用數學公約和規則來管理；激活和使用定義、結果、規則與符號系統的知識。設定公式. 使用數學工具. 除了學習利用這些工具來協助完成任務之外，學生也要了解工具與數學知識的關係、判斷在何種情況下利用適當的數學工具、及理解數學工具的局限性。數學工具包括繪圖工具、小方格、計算機、電腦相關工具。. 來反映數學外情境是屬於「數學化」，而解公式屬於「使用符號、運算及正式語言」；操弄符號式子屬於「使用符號、運算及正式語言」，而轉譯符號與其它表徵屬於「表徵」。 Lvl0: 文本陳述基本的數學事實，或只使用簡易的整數、分數、小數、根號的四則運算。 Lvl1: 文本使用簡單的數學關係（線性函數的轉換與代換、涉及根式的運算、轉換單位、使用數學事實求未知數）。 Lvl2: 文本彈性地應用與操作、或整合不同數學事實、數學規則與數學符號。. Lvl0: 文本無使用數學工具。 Lvl1: 文本使用數學工具來進行簡單的計算（利用計算機計算簡單的運算）。 Lvl2: 文本使用數學工具來探索或輔助内容（如利用網路資源看影片、利用幾何軟體繪製幾何圖形、觀察與模擬幾何性質、利用電腦進行大量計算等），及瞭解工具的合理性和局限性。. （三）數學素養的内涵左台益與李建恆（2018）從數學「知」識、應「用」、應「用」數學的相關技能、以數學「觀」感表達看法，以及培養「學」習能力四個面向出發，提出數學素養應具備「知、用、觀、學」四個元素（統稱數學素養的内涵）。爲了涵蓋更全面的數學素養内涵，再接受指導教授、專家的意見後，本研究亦採用左台益與李建恆（2018）的數學素養的内涵，透過專家焦. 點座談的内容，並配合教科書内容，嘗試建構出相關的分析架構（圖 10）及分析類目表（表 7），類目説明將在第 54 頁呈現，專家焦點座談共有三次，分別邀請不同領域的專家討論數. 學素養的内涵，座談的專家名單分佈以及座談逐字稿將在附錄三中呈現。. 34.