數學解題理論

第二節 數學解題理論

古明峰 (1999) 指出解答數學文字題是一種綜合能力，需要結合計算能力和 理解能力，學生必須先了解問題的陳述，整理題意，列出算式，再透過運算，求 得答案，從題目到答案之間，是一個複雜的心智運作歷程。以下將針對解題歷程 理論加以探討。

一、Polya 的數學解題歷程模式

自 Dewey 提出問題解決之理論後，許多學者開始重視數學解題的研究(陳淑 琳，2001)，波蘭數學家 Polya 是繼 Dewey 之後，對解題歷程做有系統介紹的學 者。Polya 在 1945 年所著「怎樣解題」(How To Solve It)一書中，將解題的過程 分為四個步驟：理解問題、擬定計畫、執行計畫、驗算與回顧，這四個步驟是要 幫助啟發解題的方法，並非固定依循不變的標準法則。Polya 在每個步驟中提出 一連串的問題，歸納出解題過程的捷思法(heuristic method)，以協助解題的進行，

如表 2-2-1。

表 2-2-1 Polya 解題的過程。資料來源：蔡坤憲(2006)。

步驟 捷思法

1.理解問題

(確認問題的重要概念)

已知條件是什麼？未知條件是什麼？不足條件？

能否用自己的話把問題重述一便？

2.擬定計畫

(找出已知條件和未知條件間 的關係。確認問題的解題類 型。最後能擬定解題計畫。)

是否知道什麼相關題目？什麼定理可以派上用場？

能否從已知條件中找到線索？

可以怎麼改變已知條件或未知條件，讓他們更接 近？

3.執行計畫

(依據解題計畫執行計畫)

能否確定並證明每一個步驟都是正確的？

4.驗算與回顧 (檢查解答)

能驗算所得的答案嗎？能否用不同的方法得到相同 的答案？能否應用這個結果或方法到別的問題上？

二、Schoenfeld 的數學解題歷程模式

Schoenfeld (1985) 在所著的「數學解題」(Mathematical Problem Solving)一書 中，強調數學解題的成敗，主要考慮四個因素：

1.資源(resource)：指解題者所擁有的相關數學知識。

2.捷思(heuristics)：指解題的技巧和策略，如畫圖、逆向思考、尋找組型等。

3.控制(control)：指如何採用策略及監控和評估解題結果，控制是後設認知 部分，居於解題歷程之關鍵性地位。

4.信念系統(belief system)：指對數學的觀點，這些觀點將影響其對數學解題 的看法。

Schoenfeld 在 Polya 的解題步驟中，加入後設認知和信念系統的概念，而控 制因素即是屬於後設認知部分，且在解題歷程中居於主導之地位，故他以控制的 觀點，將解題歷程分為六個步驟，並在每個步驟中提出相關問題，以協助解題的 進行，如表 2-2-2。

表 2-2-2 Schoenfeld 解題歷程

步驟 相關問題

讀題(reading) 是否注意到問題的所有條件？是否正確注意目標狀態？是否對解 題者現有知識與問題的關係做評估？

分析(analysis) 選擇的觀點為何？是否根據問題條件採取行動？是否根據問題目 標採取行動？是否考慮條件和目標間的關聯？是否連貫完整？

探索(exploration) 問題是條件導向或目標導向？行動是否有目的性？是否對解題過 程加以檢視？是否連貫完整？

計畫(planning) 是否有明確計畫？計畫和問題解決是否有關？解題者是否評估計 畫的相關性、適當性和結構品質？

執行(implementation) 是否依計畫的結構執行？是否對局部或整體層次評估執行？

驗證(verification) 是否重新檢查解題？是否有對歷程和結果的評估？

轉移(transition) 是否評估解決當前狀態？是否評估採取新途徑所生短程或長程的 影響？採取新途徑後是否評估其對短程或長程的影響？

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三、Mayer 的數學解題歷程模式

Mayer (1992) 從認知心理學取向的觀點，將數學解題分為「問題表徵」和「問 題解決」兩個階段。「問題表徵」包含「問題轉譯」及「問題整合」兩個步驟；「問 題解決」包含「解題計畫及監控」及「解題執行」兩個步驟。如表 2-2-3，茲分 述如下：

表 2-2-3 Mayer 的數學解題成份和知識類型

例題：人造草坪以每邊 20 公分的正方形出售。假如每塊人造草坪的價錢為 0.5 元，試問一個長 3.6 公尺寬 2.7 公尺的矩形花圃，鋪滿人造草坪要多少錢？

兩個階段 四個步驟 五種知識類型 例子

問題表徵 問題轉譯 語文知識 長 3.6 公尺寬 2.7 公尺的矩形花圃 語意知識 1 公尺=100 公分

問題整合 基模知識 面積=長×寬

問題解決 解題計畫

和監控 策略性知識

用 3.6 公尺×2.7 公尺求花圃面積。後以 0.2 公尺×0.2 公尺求人造草坪面積。 再 用花圃面積除以人造草坪面積求出所 需的人迼草坪個數。最後將人造草坪 個數乘以 0.5 元來求出所需的價錢。

解題執行 程序性知識

3.6×2.7=9.72 0.2×0.2=0.04 9.72 ÷ 0.04=243 243×0.5=121.5 (一)問題轉譯

問題轉譯指將問題的每一個陳述句轉化成內在的心理表徵，也就是必須了解 句子的意義和數學事實，這個過程需要有語文知識和語意知識。

(二)問題整合

問題整合指將問題的所有陳述整合成連貫一致的表徵，包含認識問題的類型，

認識有關及無關的資料，決定解答問題所須要的資料，用圖示或圖畫表示問題等。

這個過程需要有有關問題類型的知識，即基模知識。

(三)解題計畫及監控

解題計畫及監控指能夠想出及監控解題計畫，包含用「數字語句」或「方程 式」或「必須的運算列式」來表示問題、建立次目標、下結論等，這個過程需要 用到策略性知識。

(四)解題執行

解題執行指能夠準確和有效的執行解題計畫，也就是執行加減乘除的算術法 則，包含進行單純計算和連續計畫等，這個過程需要有程序性知識。

綜上所述，各學者關於解題理論之訮究，Polya 是以策略為研究重點，

Schoenfeld 著重在後設認知，Mayer 則是認知心理學取向。

四、Gagné 的問題解決

Gagné (1965)指出：「問題解決並不是簡單地運用先前習得的規則，也是一個 產生新的學習的過程。學習者被置於一個問題情境中，他們回憶先前已掌握的規 則並試圖找出一個答案。在這樣一個思維過程中，學習者會嘗試許多假設並檢驗 其可能性。當學習者找到一個適合這種情境的規則之特定聯結時，他們不僅解決 了問題，同時也學會了某些新東西。一個新學會的東西，實質上是一個高級規則，

會使個體可以解決類型相似的其他問題。」這段話闡釋了，問題解題是一個學習 過程，且通過問題解決學到了那些具體的知識，是故，問題解決的數學學習主要 表現在兩個方面。

(一)鞏固和理解已學過的知識：學習者先透過聽課、閱讀等過程獲得一定知識，

再透過問題解決促進知識的鞏固，加深其對知識的理解，進而使其能將知識靈活 應用。

(二)習得新的知識：問題解決活動可促使學習者建立新圖式，形成新概念，發現 新原理，獲得解決後繼問題的認知策略。

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五、建構主義學習觀

建構主義者認為，學習活動不應由教師向學生傳遞知識，而應是學生建構自 己的知識的過程，換言之，學習者不是被動地吸收信息，而是主動地建構信息的 意義，且把社會性互動視為促進學習的泉源。以下提出幾位建構主義學者的看 法。

(一) Spiro, Feltovich, Jacobsen, & Coulson (1992) 認為建構包含兩方面含義：1.對 新信息的理解是透過運用已有的經驗，超越所提供的新信息而建構而成的。2.

從記憶系統中提取的信息本身要依具體的情況進行建構。換言之，建構是對新信 息意義的建構，並包含對原有經驗的改造和重組。

(二) Shuell (1988)和 Simons (1993) 提出建構學習的特徴：1.積極的學習。2.建構 性的學習。3.累積性學習。4.目標指引性學習。5.診斷性學習。6.反思性學習。

綜上所述，解題的學習是一種知識的建構過程。這種知識建構在數學解題活 動中有以下特徵：

• 解答數學問題是一種高水準的思維活動，而高水準思維活動學習有助於知 識的建構(張建偉，2000)。

• 認知結構的建構在解題活動中才能實現。

• 解題自我監控能力會伴隨著解題活動逐漸形成和發展。

六、社會建構主義哲學觀

(一)以 Vygotsky 的理論為基礎的社會建構主義認為，世界是客觀存在的，對每 個認識世界的個體而言是共通的。知識是在人類社會範圍內建構起來的，並持續 不斷被改造，以達到可能與世界本來面目相一致。因此，社會建構主義把學習解 釋為是個體建構和理解自己知識的過程，而社會對個體知識建構扮演著支撐和促 進功用。社會建構主義強調個體高級心理發展是自然性和社會性相互作用內化的

結果。

(二)Ernest (1991) 將數學知識視為一種社會建構，其依據如下：

1.數學知識的基礎是語言知識、約定和規則，而語言是一種社會交流。

2.個人主觀數學知識發表後需轉化成使人能接受的客觀數學知識，這需要社會 性的交流。

3.客觀性本身應理解為社會性認同。

綜上所述，社會建構主義哲學觀主張，問題解決的過程是一種主觀行為，解 題者需要利用內化的主觀知識，依循邏輯和約定，進行推理、演算的主觀活動，

在這過程中所創造的成果，如完成一道題目的解答或獲得一種新的解題經驗，要 得到社會的承認，則是一個將主觀知識轉化成客觀知識的過程，因此，個人建構 的數學知識被視為是個人意義和文化意義的融合。

七、數學解題教學理論

數學問題解答過程為：發現問題→解決問題→應用問題。解題的外部要素為：問 題、理論、方法、語言和觀念，這些靜態要素在解題過程中表現出一種動態行為，

形成解題認知的內部迴圈過程，學生的知識增長伴隨此動態過程持續不斷的發展，

認知結構也不斷的完善。

第三節 加減法文字題題型之分類

本節分兩部分，第一部分是探討加減法文字題之分類方式，第二部分是探究 現行各版本教科書加減法文字題之相關課程和出現類型，茲分述如下。

一、加減法文字題題型之分類

數學文字題因研究者之不同觀點而有不同的分類方式，常見的分類方式有

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(林碧珍，1991)，依解題步驟(step)多寡分為單步驟文字題、二步驟文字題和多步 驟文字題；依解題過程中用到的運算(operation)符號多寡分為單一符號文字題和

(林碧珍，1991)，依解題步驟(step)多寡分為單步驟文字題、二步驟文字題和多步 驟文字題；依解題過程中用到的運算(operation)符號多寡分為單一符號文字題和