國小二年級單步驟加減文字題解題表現-部分給分s-p表分析法

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修夜間班碩士論文指導教授：許天維教授. 國小二年級單步驟加減文字題解題表現 -部分給分 S-P 表分析法-. 研究生：陳緯玲. 中華民國. 撰. 一百零二年五月.

(2) 摘要. 本研究旨在編製一份國小二年級學童 20 種單步驟加減文字題題型之測驗，探討學生在試題上的作答反應和解題表現，再採用部分給分 S-P 表分析法，診斷試題並分析學童的學習狀況和學習類型，進而探究其對概念的理解情形。本研究以雲林縣某國小二年級學生為研究對象，研究結果如下：一、學生解題正確率學童在四大類型加減文字題的解題正確率由高至低為：合併、比較、改變和等化。研究發現學童在合併類型的解題正確率(86.41%)最高，在等化類型的解題正確率(67.25%)最低。二、部分給分 S-P 表分析結果與探討本研究測驗結果五個班級的差異係數 D * 介於 0~1 之間且接近 0.5，故教師授課與學習者反應間具密切性。透過五個班級的 S-P 表和學生注意係數顯示，三班學生在 A 區的比例為 61.9%，是表現最好的班級，顯示該班高等程度的學生不僅程度好且能細心學習。本研究發現，5 個班級低等程度學生人數所佔班級總人數的比例皆低，而四班學生較其他班級低等程度學生人數較為多。大體而言，5 個班級的學習狀況大致上成常態分布，學習情況的異質成分沒有太多，屬於學習良好的穩定狀態。三、學生錯誤類型的分析研究顯示，學生解題錯誤類型有以下幾點： (一)缺乏正確的語文和語意知識 (二)誤用關鍵字來判斷運算策略 (三)計算錯誤. 關鍵字：數學文字題、部分給分 S-P 表分析法、注意係數、錯誤類型。關鍵字 I.

(3) Abstract The purpose of this study is to 20 single steps of the preparation of a country second graders subtraction word ITEMS quiz, students answer on questions of reaction and problem-solving performance, and part to the Partial Credit S-P Chart Analysis, diagnostic questions and analyze students' learning conditions and types of learning, and then explore the circumstances of their understanding of the concept. This study to Yunlin County Elementary School sophomore as the research object, the results are as follows: 1.Students' mathematical problem solving Students in mathematical problem solving of the four major types of addition and subtraction word problems in descending order: combine, compare, change and equalize. The study can be found in children is highest in the combine types of problem-solving accuracy rate (86.41%). The lowest correct rate (67.25%) and equalize types of problem solving. 2.Partial Credit S-P Chart Analysis Results and Discussion The coefficient of variation of the test results of this study, five classes D* the range between 0 and 1, so the teachers teach and learners reaction with close. Display through the SP table of five classes and the students' attention factor, the three classes of students in the area of A ratio of 61.9%, the best performing class students not only in the class of higher degree and can carefully learn from the information found the number of students of the five classes and low degree of share of the proportion of the total number of classes are low, and four classes of students compared to other classes and low degree of the number of students more and more. Broadly speaking, the generally five classes learning situation into a normal distribution, the heterogeneous composition of the learning situation not much good learning steady state. 3.Students' analysis of the types of errors The study display that students' problem-solving type of error the following: (1)Lack of proper language and semantic knowledge. (2)Misuse of keywords to determine computing strategy. (3)Calculation error. Keywords：math word problems, Partial Credit S-P Chart Analysis, caution index, types of errors. II.

(4) 目次. 第一章. 第二章. 第三章. 第四章. 緒論.......................................... 1 第一節. 研究背景與動機.................................1. 第二節. 研究目的.......................................2. 第三節. 名詞釋義........................................3. 文獻探討.......................................5 5 第一節. 數學文字題的性質...............................5. 第二節. 數學解題理論...................................6. 第三節. 加減文字題題型之分類...........................11. 第四節. 部分給分 S-P 表分析理論.........................17. 第五節. 回顧國內外對加減文字題的相關研究...............25. 研究方法.......................................29 29 第一節. 研究架構.......................................29. 第二節. 研究設計與流程.................................30. 第三節. 研究對象.......................................31. 第四節. 研究工具.......................................32. 第五節. 資料處理與分析方法.............................34. 第六節. 研究範圍與限制.................................34. 研究結果.......................................35 35 第一節. 學生解題正確率.................................35. 第二節. 部分給分 S-P 表分析結果與探討...................36. 第三節. 學生錯誤類型的分析.............................55. III.

(5) 第五章. 結論與建議.....................................57 57 第一節. 結論...........................................57. 第二節. 建議...........................................60. 參考文獻................................................63 63 一、中文部分............................................63 二、英文部分............................................65. 附錄....................................................68 68 附錄一. Matlab 7.0 程式碼................................68. 附錄二. 20 種加減文字題試卷..............................72. IV.

(6) 表次. 表 2-2-1 Polya 解題的過程..........................................6 表 2-2-2 Schoenfeld 解題歷程.......................................7 表 2-2-3 Mayer 的數學解題成份和知識類型............................8 表 2-3-1 Fuson(1992)加減文字題題型分類............................14 表 2-3-2 三個版本整數加減法文字題出現類型.........................15 表 2-3-3 各版本加減法文字題相關之單元和內容.......................16 表 2-4-1 S-P 原表.................................................21 表 2-4-2 依學生總分高低由上往下排列...............................22 表 2-4-3 依試題答對人數積分之多寡，由左到右排列...................23 表 2-4-4 畫出 S 曲線(黑線)和 P 曲線(虛線) ..........................23 表 3-3-1 研究施測樣本人數分佈表...................................32 表 3-4-1 本研究自編「20 種加減文字題題型之測驗」試題示例與題號.....33 表 4-1-1 學生 20 種加減文字題解題正確率............................36 表 4-2-1 二年一班 S-P 表圖形.......................................37 表 4-2-2 二年二班 S-P 表圖形.......................................38 表 4-2-3 二年三班 S-P 表圖形.......................................39 表 4-2-4 二年四班 S-P 表圖形.......................................40 表 4-2-5 二年五班 S-P 表圖形.......................................41 表 4-2-6 五個班級差異係數表.......................................42 表 4-2-7 二年一班試題注意係數.....................................43 表 4-2-8 二年二班試題注意係數.....................................43 V.

(7) 表 4-2-9 二年三班試題注意係數.....................................43 表 4-2-10 二年四班試題注意係數....................................43 表 4-2-11 二年五班試題注意係數....................................44 表 4-2-12 五個班級試題係數表......................................47 表 4-2-13 二年一班學生注意係數....................................48 表 4-2-14 二年二班學生注意係數....................................48 表 4-2-15 二年三班學生注意係數....................................48 表 4-2-16 二年四班學生注意係數....................................49 表 4-2-17 二年五班學生注意係數....................................49 表 4-2-18 全體學生診斷分析表......................................53 表 4-2-19 全體學生學習類型分類....................................53 表 4-2-20 五個班級學生各區類型比較表..............................54. VI.

(8) 圖次. 圖 2-4-1 學生診斷分析圖..........................................20 圖 2-4-2 試題診斷分析圖..........................................20 圖 3-1-1 研究架構................................................29 圖 3-2-1 研究流程................................................31 圖 4-2-1 二年一班試題診斷分析圖..................................44 圖 4-2-2 二年二班試題診斷分析圖..................................45 圖 4-2-3 二年三班試題診斷分析圖..................................45 圖 4-2-4 二年四班試題診斷分析圖..................................46 圖 4-2-5 二年五班試題診斷分析圖..................................46 圖 4-2-6 二年一班學生診斷分析圖..................................50 圖 4-2-7 二年二班學生診斷分析圖..................................50 圖 4-2-8 二年三班學生診斷分析圖..................................51 圖 4-2-9 二年四班學生診斷分析圖..................................51 圖 4-2-10 二年五班學生診斷分析圖.................................52. VII.

(9) 第一章. 緒論. 本研究主要以部分給分 S-P 表分析法，來探討國小二年級學童對單步驟加減文字題的學習情形和學習類型，以及其對概念的理解情形。本章共分為三節，第一節為研究背景與動機；第二節為研究目的；第三節為對與本研究相關之特定名詞加以釋義。. 第一節. 研究背景與動機. 國民小學九年一貫數學學習領域課程綱要(教育部，2003)指出在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識和數學能力，已逐漸成為日常生活和就業職場上應具備的基本能力。同時，亦指出國民教育數學課程的理念為培養學生正向的數學態度，了解數學是推進人類文明的要素，並達成學習應用問題的解題方法之目標。基於以上認知，除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸，所謂數學能力，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。數學文字題係以日常生活背景當作材料，運用語文型態來描述數學問題的情境，比一般的計算題涉及更複雜的心智歷程(Cummins, 1991)。解題者在解數學文字題時，需先整理題意，把「語文理解」轉譯成「形式數學」，亦即按照問題題意列出算式，然後再進行運算的過程，最後求得解答(古明峰，1999)。而學生感到困難之處，在於如何將語文轉譯成算式(Lewis & Mayer, 1987)。在轉譯過程中，文字敘述的複雜程度，解題者的語文知識結構和擁有的數學概念，均扮演著重要的角色。 Mayer (1992) 從認知心理學的觀點，將解題歷程分為問題表徵和問題解決兩個階段。問題表徵又包含了問題轉譯和問題整合兩個步驟，問題轉譯是指將問題 1.

(10) 中旳每個句子轉譯成內在的心理表徵，須涉及到語文知識和語意知識之解題知識類型；問題整合是指將內在心理表徵整合成連貫一致的結構，須涉及到基模（schema）知識類型。問題解決是指將問題的心理表徵，轉換成解題計畫，並執行直到求得最後答案的過程，它包含了解題計畫與監控和解題執行兩個步驟，解題計畫與監控須涉及到策略性知識；解題執行涉及到程序性知識。本研究以自編 20 種加減文字題題型之測驗為研究工具，採用 Fuson (1992) 之分類方式，將單步驟加減文字題依語意結構分成改變、合併、比較、等化四類，再依數量運作方向與未知數在問題中的角色，進一步區分為 20 種加減文字題。本研究採用部分給分 S-P 表分析法，是擴展日本學者佐藤隆博於 1970 年代所創的 S-P 表分析法，以便於試題呈現部分給分時的運用，並以此法來分析國小二年級學童在單步驟加減文字題的答題資料，評判試題良窳及學生解題表現，進而了解國小二年級學童在加減文字題的學習情形和學習類型，並探究其迷思概念。. 第二節. 研究目的與待答問題. 一、研究目的本研究旨在自編一份 20 種單步驟加減文字題之測驗，探討國小二年級學童在加減文字題的解題表現，再採用部分給分 S-P 表分析法來診斷試題並分析學生的學習情形和學習類型，進而探究其對概念的理解情形。二、根據上述研究目的，本研究欲探討的問題如下： (一)探討國小二年級學童在不同題型的解題表現。 (二)應用部分給分 S-P 表分析法診斷試題與分析學生的學習情形和學習類型。 2.

(11) (三)探究國小二年級學童對加減文字題的錯誤類型。. 第三節. 名詞釋義. 一、國小二年級學童本研究指稱的二年級學童，是雲林縣某所國小五個班級的學童，合計有 123 位學童，該學校數學科教科書採用南一版本，施測時間為 101 學年度上學期，學生剛進行完第二單元二位數的加法和第四單元二位數的減法之教學活動，研究者安排 11 月進行「20 種單步驟加減法文字題題型測驗」的筆試，剔除無效樣本的 8 人，共得有效樣本 115 人，其中男生 58 人，女生 57 人。二、單步驟加減文字題數學文字題是以日常生活的活動為材料，且使用語文型態來描述數學問題情境，其主要特徵是藉由文字、數字的形式來敘述題目，偶而伴隨輔助圖表出現，以提供學生運用數學知識和計算能力於各種情境，並進一步解決實際生活中所遭遇的問題。本研究的文字題題目敘述方式只包含文字和數字，並不包含輔助圖表。本研究自編加減文字題題型之測驗，係採用 Fuson (1992) 之分類方式，依問題的語意結構將加減文字題分成改變、合併、比較、等化四類，再依數量運作方向與未知數的性質，進一步細分為 20 種加減文字題。三、部分給分 S-P 表分析法 S-P 表分析法(Student-Problem Chart Analysis)為日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代所創，是利用「表」的總分高低分割方法，形成學生曲線和試題曲線的「圖」，再透過差異係數(disparity coefficient)和注意係數(caution index) 3.

(12) 為指標的「數」，分析每個學生和每道試題的作答反應組型，最後進行診斷或偵測學生學習訊息的一種分析方法(佐藤隆博，1975)。但佐藤隆博的 S-P 表分析法，只針對答案正確得一分，答案錯誤得 0 分的二點計分，並沒有對部分給分的情況加以探討，因而影響部分知識訊息的診斷。故本研究擴展原有的理論，提出部分給分 S-P 表分析法(Partial Credit S-P Chart Analysis)，運用在本研究加減文字題測驗上，給分標準為列式正確，計算無誤得 1 分；列式正確，計算錯誤得 0.5 分；列式錯誤得 0 分，所得研究結果以提供教師了解學生學習情形並作為改進教學之參考。. 4.

(13) 第二章. 文獻探討. 本研究旨在編製一份國小二年級學童 20 種單步驟加減文字題題型測驗，探究學生在試題上的作答反應和解題表現，再採用部分給分 S-P 表分析法，診斷試題並分析學童的學習狀況和學習類型，進而探究其對概念的理解情形，以作為教師教學之參考。本章將對與主題相關之文獻進行分析探討，共分為五節，第一節為數學文字題的性質，第二節為數學解題理論，第三節為加減文字題題型之分類及課程教材分析，第四節為部分給分 S-P 表分析理論，第五節為與加減文字題相關研究之回顧，各節內容闡述如下。. 第一節. 數學文字題的性質. 數學文字題是以日常生活事件為材料，且用語文型態來描述數學問題情境，比一般的計算題涉及更複雜的心智歷程(Cummins, 1991)。舉例而言：文字題「花園裡有 5 朵紅花，紅花比黃花少 3 朵，問黃花有幾朵？」與算術列式題「5+3=？」兩者解法有差異，因為前者是以語言文字描述一個數學問題，解題者必須把對題目的「語文理解」轉譯成「數學形式」，亦即按照問題題意列出算式，才能求得答案，而後者只需直接計算即可求答。故解題者在解答數學文字題，除了計算能力之外，還涉及語文理解與解決問題的運作歷程(Kintsch & Greeno, 1985)。很多學生感到困難之處在於如何將語文轉譯成算式(Leuise & Mayer, 1987)。. 5.

(14) 第二節. 數學解題理論. 古明峰 (1999) 指出解答數學文字題是一種綜合能力，需要結合計算能力和理解能力，學生必須先了解問題的陳述，整理題意，列出算式，再透過運算，求得答案，從題目到答案之間，是一個複雜的心智運作歷程。以下將針對解題歷程理論加以探討。一、Polya 的數學解題歷程模式自 Dewey 提出問題解決之理論後，許多學者開始重視數學解題的研究(陳淑琳，2001)，波蘭數學家 Polya 是繼 Dewey 之後，對解題歷程做有系統介紹的學者。Polya 在 1945 年所著「怎樣解題」(How To Solve It)一書中，將解題的過程分為四個步驟：理解問題、擬定計畫、執行計畫、驗算與回顧，這四個步驟是要幫助啟發解題的方法，並非固定依循不變的標準法則。Polya 在每個步驟中提出一連串的問題，歸納出解題過程的捷思法(heuristic method)，以協助解題的進行，如表 2-2-1。表 2-2-1 Polya 解題的過程。資料來源：蔡坤憲(2006)。步驟. 捷思法. 1.理解問題. 已知條件是什麼？未知條件是什麼？不足條件？. (確認問題的重要概念). 能否用自己的話把問題重述一便？. 2.擬定計畫. 是否知道什麼相關題目？什麼定理可以派上用場？. 找出已知條件和未知條件間能否從已知條件中找到線索？的關係。確認問題的解題類可以怎麼改變已知條件或未知條件，讓他們更接型。最後能擬定解題計畫。) 近？ (. 3.執行計畫. 能否確定並證明每一個步驟都是正確的？. (依據解題計畫執行計畫) 4.驗算與回顧. 能驗算所得的答案嗎？能否用不同的方法得到相同. (檢查解答). 的答案？能否應用這個結果或方法到別的問題上？. 6.

(15) 二、Schoenfeld 的數學解題歷程模式 Schoenfeld (1985) 在所著的「數學解題」(Mathematical Problem Solving)一書中，強調數學解題的成敗，主要考慮四個因素： 1.資源(resource)：指解題者所擁有的相關數學知識。 2.捷思(heuristics)：指解題的技巧和策略，如畫圖、逆向思考、尋找組型等。 3.控制(control)：指如何採用策略及監控和評估解題結果，控制是後設認知部分，居於解題歷程之關鍵性地位。 4.信念系統(belief system)：指對數學的觀點，這些觀點將影響其對數學解題的看法。 Schoenfeld 在 Polya 的解題步驟中，加入後設認知和信念系統的概念，而控制因素即是屬於後設認知部分，且在解題歷程中居於主導之地位，故他以控制的觀點，將解題歷程分為六個步驟，並在每個步驟中提出相關問題，以協助解題的進行，如表 2-2-2。表 2-2-2 Schoenfeld 解題歷程. 步驟讀題(reading). 分析(analysis) 探索(exploration) 計畫(planning) 執行(implementation) 驗證(verification) 轉移(transition). 相關問題是否注意到問題的所有條件？是否正確注意目標狀態？是否對解題者現有知識與問題的關係做評估？選擇的觀點為何？是否根據問題條件採取行動？是否根據問題目標採取行動？是否考慮條件和目標間的關聯？是否連貫完整？問題是條件導向或目標導向？行動是否有目的性？是否對解題過程加以檢視？是否連貫完整？是否有明確計畫？計畫和問題解決是否有關？解題者是否評估計畫的相關性、適當性和結構品質？是否依計畫的結構執行？是否對局部或整體層次評估執行？是否重新檢查解題？是否有對歷程和結果的評估？是否評估解決當前狀態？是否評估採取新途徑所生短程或長程的影響？採取新途徑後是否評估其對短程或長程的影響？ 7.

(16) 三、Mayer 的數學解題歷程模式 Mayer (1992) 從認知心理學取向的觀點，將數學解題分為「問題表徵」和「問題解決」兩個階段。「問題表徵」包含「問題轉譯」及「問題整合」兩個步驟；「問題解決」包含「解題計畫及監控」及「解題執行」兩個步驟。如表 2-2-3，茲分述如下：表 2-2-3 Mayer 的數學解題成份和知識類型例題：人造草坪以每邊 20 公分的正方形出售。假如每塊人造草坪的價錢為 0.5 元，試問一個長 3.6 公尺寬 2.7 公尺的矩形花圃，鋪滿人造草坪要多少錢？兩個階段. 四個步驟. 五種知識類型. 例子. 問題表徵. 問題轉譯. 語文知識. 長 3.6 公尺寬 2.7 公尺的矩形花圃. 語意知識. 1 公尺=100 公分. 基模知識. 面積=長 × 寬. 問題整合. 用 3.6 公尺×2.7 公尺求花圃面積。後以問題解決. 解題計畫和監控. 0.2 公尺×0.2 公尺求人造草坪面積。再策略性知識. 用花圃面積除以人造草坪面積求出所需的人迼草坪個數。最後將人造草坪個數乘以 0.5 元來求出所需的價錢。 3.6 × 2.7=9.72. 解題執行. 0.2 × 0.2=0.04. 程序性知識. 9.72 ÷ 0.04=243 243 × 0.5=121.5. (一)問題轉譯問題轉譯指將問題的每一個陳述句轉化成內在的心理表徵，也就是必須了解句子的意義和數學事實，這個過程需要有語文知識和語意知識。 (二)問題整合問題整合指將問題的所有陳述整合成連貫一致的表徵，包含認識問題的類型，認識有關及無關的資料，決定解答問題所須要的資料，用圖示或圖畫表示問題等。這個過程需要有有關問題類型的知識，即基模知識。 8.

(17) (三)解題計畫及監控解題計畫及監控指能夠想出及監控解題計畫，包含用「數字語句」或「方程式」或「必須的運算列式」來表示問題、建立次目標、下結論等，這個過程需要用到策略性知識。 (四)解題執行解題執行指能夠準確和有效的執行解題計畫，也就是執行加減乘除的算術法則，包含進行單純計算和連續計畫等，這個過程需要有程序性知識。綜上所述，各學者關於解題理論之訮究，Polya 是以策略為研究重點， Schoenfeld 著重在後設認知，Mayer 則是認知心理學取向。四、Gagné 的問題解決 Gagné (1965)指出：「問題解決並不是簡單地運用先前習得的規則，也是一個產生新的學習的過程。學習者被置於一個問題情境中，他們回憶先前已掌握的規則並試圖找出一個答案。在這樣一個思維過程中，學習者會嘗試許多假設並檢驗其可能性。當學習者找到一個適合這種情境的規則之特定聯結時，他們不僅解決了問題，同時也學會了某些新東西。一個新學會的東西，實質上是一個高級規則，會使個體可以解決類型相似的其他問題。」這段話闡釋了，問題解題是一個學習過程，且通過問題解決學到了那些具體的知識，是故，問題解決的數學學習主要表現在兩個方面。 (一)鞏固和理解已學過的知識：學習者先透過聽課、閱讀等過程獲得一定知識，再透過問題解決促進知識的鞏固，加深其對知識的理解，進而使其能將知識靈活應用。 (二)習得新的知識：問題解決活動可促使學習者建立新圖式，形成新概念，發現新原理，獲得解決後繼問題的認知策略。 9.

(18) 五、建構主義學習觀建構主義者認為，學習活動不應由教師向學生傳遞知識，而應是學生建構自己的知識的過程，換言之，學習者不是被動地吸收信息，而是主動地建構信息的意義，且把社會性互動視為促進學習的泉源。以下提出幾位建構主義學者的看法。 (一) Spiro, Feltovich, Jacobsen, & Coulson (1992) 認為建構包含兩方面含義：1.對新信息的理解是透過運用已有的經驗，超越所提供的新信息而建構而成的。2. 從記憶系統中提取的信息本身要依具體的情況進行建構。換言之，建構是對新信息意義的建構，並包含對原有經驗的改造和重組。 (二) Shuell (1988)和 Simons (1993) 提出建構學習的特徴：1.積極的學習。2.建構性的學習。3.累積性學習。4.目標指引性學習。5.診斷性學習。6.反思性學習。綜上所述，解題的學習是一種知識的建構過程。這種知識建構在數學解題活動中有以下特徵： • 解答數學問題是一種高水準的思維活動，而高水準思維活動學習有助於知識的建構(張建偉，2000)。 • 認知結構的建構在解題活動中才能實現。 • 解題自我監控能力會伴隨著解題活動逐漸形成和發展。六、社會建構主義哲學觀 (一)以 Vygotsky 的理論為基礎的社會建構主義認為，世界是客觀存在的，對每個認識世界的個體而言是共通的。知識是在人類社會範圍內建構起來的，並持續不斷被改造，以達到可能與世界本來面目相一致。因此，社會建構主義把學習解釋為是個體建構和理解自己知識的過程，而社會對個體知識建構扮演著支撐和促進功用。社會建構主義強調個體高級心理發展是自然性和社會性相互作用內化的 10.

(19) 結果。 (二)Ernest (1991) 將數學知識視為一種社會建構，其依據如下： 1.數學知識的基礎是語言知識、約定和規則，而語言是一種社會交流。 2.個人主觀數學知識發表後需轉化成使人能接受的客觀數學知識，這需要社會性的交流。 3.客觀性本身應理解為社會性認同。綜上所述，社會建構主義哲學觀主張，問題解決的過程是一種主觀行為，解題者需要利用內化的主觀知識，依循邏輯和約定，進行推理、演算的主觀活動，在這過程中所創造的成果，如完成一道題目的解答或獲得一種新的解題經驗，要得到社會的承認，則是一個將主觀知識轉化成客觀知識的過程，因此，個人建構的數學知識被視為是個人意義和文化意義的融合。七、數學解題教學理論數學問題解答過程為：發現問題→解決問題→應用問題。解題的外部要素為：問題、理論、方法、語言和觀念，這些靜態要素在解題過程中表現出一種動態行為，形成解題認知的內部迴圈過程，學生的知識增長伴隨此動態過程持續不斷的發展，認知結構也不斷的完善。. 第三節. 加減法文字題題型之分類. 本節分兩部分，第一部分是探討加減法文字題之分類方式，第二部分是探究現行各版本教科書加減法文字題之相關課程和出現類型，茲分述如下。一、加減法文字題題型之分類數學文字題因研究者之不同觀點而有不同的分類方式，常見的分類方式有 11.

(20) (林碧珍，1991)，依解題步驟(step)多寡分為單步驟文字題、二步驟文字題和多步驟文字題；依解題過程中用到的運算(operation)符號多寡分為單一符號文字題和多種符號文字題；依問題情境(situation)分為時間、長度和面積文字題等；依語意結構(semantic structure)將加減文字題分為改變、合併、比較和等化四類，將乘除文字題分為比較、叉積、量數同構和多重比例四型。許多研究發現，兒童面對不同型態的問題，會運用不同的解題策略，且兒童所採用的解題策略是依據問題的語意結構和未知數位置，亦即在兒童的解題過程中，語意結構對問題難度扮演著重要的角色。按照語意結構為加減文字題之分類標準的研究眾多。例如：Greeno (1980) 將加減文字題分類為改變(change)、結合(combine)與比較(compare)三類。Carpenter & Moser (1983) 將加減文字題分類為加入(join)、分離(separate)、合併、比較與等化(equalize)五類。Marshall, Pribe & Smith (1987) 將加減文字題分類為改變、合併、比較、變異(vary)與轉換(transform)五類。Nesher & Hershkovitz (1994) 將加減文字題分為改變類、部分整體(part-whole)之合併類、與比較類三個類型。近年來，不同領域的研究者也都採納這樣的分類方式，如呂玉琴(1997)、古明峰 (1998)、謝慧齡(2004)。本研究採用 Fuson (1992) 以存在真實世界的加減文字題情境做為分析之焦點，依據加減法情境、動態或靜態情境及運算過程，將加減法文字題分類為改變、合併、比較與等化四類，再依數量運作方向及未知數在問題中的角色，進一步區分為次分類，如表 2-3-1，茲分別闡述如下。 (一)改變改變類問題包含行為造成數量的改變，是屬於動態的問題情境。其可再區分為兩種型態，一種是從一個給定集合，接著因一個直接或間接的行為，而引起集 12.

(21) 合的增加，稱為改變/合併問題。另一種是從一個給定集合中取走一部分，而引起集合的減少，稱為改變/分開問題。倘若將甲設為起始量，乙設為改變量，丙設為結果量，再根據未知量為甲、乙或丙，可將合併類和分開類的問題，各自再細分成三種型態，第一種是給定乙、丙，求甲；第二種是給定甲、丙，求乙；第三種是給定甲、乙，求丙。 (二)合併合併類問題不包含直接或間接的行為，只伴隨著靜態的關係，主要是探討一個總量集合甲和它的二個互補的子集合乙、丙之間的關係。依據未知數的不同，可再區分成二種型態，一種是給定乙、丙，求甲的元素個數；另一種是給定甲、丙，求乙的元素個數。 (三)比較比較類問題類似合併類，不包含直接或間接的行為，只伴隨著靜態的關係，主要是探討二個互斥集合甲、乙之間的關係。倘若設甲為參考集合，設乙為比較集合，並以 n(甲)表示集合甲的元素個數，n(乙)表示集合乙的元素個數，依據 n(甲)>n(乙)或 n(乙)>n(甲)，以及 n(甲)，n(乙)或|n(甲)-n(乙)|是未知數，可將比較類問題再細分成六種型態。 (四)等化等化類問題是改變類和比較類問題的混合，它結合改變類描述行為的動態情境特色和比較類描述關係的靜態情境特色。等化類問題是在比較二個互斥集合的大小，含有行為。和比較類問題一樣，依據 n(甲)，n(乙)或|n(甲)-n(乙)|是未知數，可再細分成六種型態。綜上可知，學生學習加減法文字題應以理解語意中各數量之關係為主，而非只是作「加」或「減」二選一之活動。 13.

(22) 表 2-3-1 Fuson (1992) 加減文字題題型分類類型起始量未知改變改變量未知結果量未知合併. 範. 合併型分開型合併型分開型合併型分開型. 全體量未知部分量未知參照量未知. 比較比較量未知差異量未知參照量未知等化比較量未知差異量未知. 比多型比少型比多型比少型比多型比少型合併型分開型合併型分開型合併型分開型. 例. 小美有一些錢，小麗給她 4 元，小美現在有 9 元，問小美原有幾元？小美有一些錢，她給小麗 4 元，小美現在有 5 元，問小美原有幾元？小美有 5 元，小麗給她一些錢，小美現在有 9 元，問小麗給她幾元？小美有 9 元，她給小麗一些錢，小美現在有 5 元，問她給小麗幾元？小美有 5 元，小麗給她 4 元，問小美現在有幾元？小美有 9 元，她給小麗 4 元，問小美現在有幾元？小美有 5 元，小麗有 4 元，問小美和小麗共有幾元？小美和小麗共有 9 元，小美有 5 元，問小麗有幾元？小美有 9 元，小美比小麗多 4 元，問小麗有幾元？小美有 5 元，小美比小麗少 4 元，問小麗有幾元？小美有 5 元，小麗比小美多 4 元，問小麗有幾元？小美有 9 元，小麗比小美少 4 元，問小麗有幾元？小美有 9 元，小麗有 5 元，問小美比小麗多幾元？小美有 9 元，小麗有 5 元，問小麗比小美少幾元？小美有 5 元，她再存 4 元，就會和小麗的錢一樣多，問小麗有幾元？小美有 9 元，她花掉 4 元，就會和小麗的錢一樣多，問小麗有幾元？小美有 9 元，小麗再存 4 元，就會和小美的錢一樣多，問小麗有幾元？小美有 5 元，小麗花掉 4 元，就會和小美的錢一樣多，問小麗有幾元？小美有 9 元，小麗有 5 元，問小麗再存幾元，才會和小美的錢一樣多？小美有 9 元，小麗有 5 元，問小美要花掉幾元，才會和小麗的錢一樣多？. 二、現行數學領域課程綱要整數加減法文字題相關能力指標和分年細目「N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題」「1-n-04 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用+、-、=做橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題」「1-n-05 能熟練基本加減法」「1-n-06 能做一位數之連加、連減與加減混合計算」「2-n-11 能在具體情境中，做簡單的二位數加法估算」「N-1-03 能理解加、減直式計算」. 14.

(23) 「2-n-04 能熟練二位數加減直式計算」「2-n-05 能理解三位數加減直式計算(不含兩次退位)」三、各版本教科書加減法文字題之相關課程和出現類型現行數學課程採用一綱多本，各版本的編輯理念不盡相同，各校教學亦因版本不同，而有不同的教材規畫和教學順序。研究者收集康軒、南一和翰林三個版本，100 年學度一年級上下學期和 101 學年度二年級上學期之課本和習作，探究三個版本中和加減法文字題相關之單元，並探討各版本出現加減文字題之題型類型和出現時間，分別列於表 2-3-2 和表 2-3-3，茲將內容比較分述如下：表 2-3-2 三個版本整數加減法文字題出現類型. 題型改變合併比較. 等化. 起始量未知合併型分開型改變量未知合併型分開型結果量未知合併型分開型全體量未知部分量未知參照量未知比多型比少型比較量未知比多型比少型差異量未知比多型比少型參照量未知合併型分開型比較量未知合併型分開型差異量未知合併型分開型. 一上一下二上康軒南一翰林康軒南一翰林康軒南一翰林 ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. ˇ. 15. ˇ.

(24) 表 2-3-3 各版本加減法文字題相關之單元和內容版本一上. 第一單元數到 10 第四單元分與合 (10 以內的合成與分解) 康軒第六單元數到 30 第八單元加和減 (18 以內一次進位的加法) (18 以內一次退位的減法). 第一單元數到 10 第三單元分與合 (10 以內的合成與分解) 第五單元數到 30 南一第六單元加一加 (10 以內的加法) 第八單元減一減 (10 以內的減法). 第一單元 10 以內的數第四單元分與合 (10 以內的合成與分解) 第五單元 10 以內的加法第七單元 10 以內的減法翰林第八單元 20 以內的數第九單元加和減 (一位數不進位的連加) (一位數不退位的連減) (一位數的加減混合). 一下. 第一單元數到 50 第三單元加法和減法 (一次進位的加法) (一次退位的減法) 第四單元數到 100 (100 以內錢幣的化聚) 第六單元加減應用 (一次進位的連加) (一次退位的連減) 第八單元二位數的加減 (一次進位的加法) (加法的直式紀錄) (一次退位的減法) (減法的直式紀錄) 第一單元數到 50 (50 以內錢幣的化聚) 第四單元 18 以內的加減 (一位數一次進位的連加) (一次進位的加法) 第五單元 18 以內的減法 (一次退位的連減) (一次退位的減法) 第七單元數到 100 (100 以內錢幣的化聚) 第八單元二位數的加減 (一次進位加法) (加法直式紀錄) (一次退位的減法) (減法的直式紀錄) 第一單元 100 以內的數 (100 以內錢幣的化聚) 第二單元 20 以內的加減 (一次進位的加法) (一次退位的減法) 第四單元二位數的加法 (一次進位加法) (加法直式紀錄) 第五單元二位數的減法 (一次退位的減法) (減法的直式紀錄) 第八單元加減應用 (一次進位的連加) (一次退位的連減). 16. 二上. 第一單元 200 以內的數 (200 以內錢幣的化聚) 第二單元二位數的直式加減 (二次進位的加法) (加法直式計算) (一次退位的減法) (減法直式計算) 第四單元加減應用第六單元兩步驟的加減與估算. 第一單元數到 300 (300 以內錢幣的化聚) 第二單元二位數的加法 (不大於 200 二次進位的加法) (加法的直式計算) 第四單元二位數的減法 (一次退位的減法) (減法的直式計算). 第一單元 200 以內的數 (200 以內錢幣的化聚) 第二單元二位數的直式加法 (一次進位加法) 第三單元二位數的直式減法 (一次退位減法) 第五單元兩步驟問題.

(25) 第四節. 部分給分 S-P 表分析理論. 日本學者佐藤隆博(Takahiro Sato)於 1970 年代創 S-P 表分析，是利用「表」的總分高低分割方法，形成學生曲線和試題曲線的「圖」，再透過差異係數(disparity coefficient)和注意係數(caution index)為指標的「數」，分析每個學生和每道試題的作答反應組型，最後進行診斷或偵測學生學習訊息的一種分析方法(佐藤隆博，1975)。但佐藤隆博的 S-P 表分析法，只針對答案正確得一分，答案錯誤得 0 分的二點計分，並沒有探討部分給分的情況，實為可惜，故本研究擴展原有的理論，提出部分給分 S-P 表分析法，茲說明如下。一、部分給分 S-P 表分析理論假設對 N 名學生 n 個試題進行施測，收集學生作答狀況，會得到一個未經任何處理的原始得分矩陣，為 X=( x ij ) N ×n ；i=1,2,…,N；j=1,2,…,n，稱為 S-P 原表。當 x ij ∈ {0,1}時，稱 X 為二元計分矩陣資料；當 x ij ∈ [0,1]時，稱 X 為部分給分矩陣資料。 n. N. 若令第 i 位學生的總分為 x i. = ∑ x ij ，第 j 題全體學生的積分為 x. j = ∑ xij ，再將 i =1. j =1. S-P 原表重新排序，使得 x1. ≧ x 2 . ≧…≧ x N . 且 x.1 ≧ x.2 ≧…≧ x.n 得到 S-P 新表。. 根據佐藤隆博 S-P 表加總計分方式的分析理論，及 S 曲線和 P 曲線的乖離程度， N. n. N. n. ∑ xi. + ∑ x.j − 2∑∑ aij bij 可得差異係數為 D * =. i =1. j =1. i =1 j =1. 4 Nn P(1 − P) DB ( M ) 17.

(26) 其中 a ij =max{min{1, xi. -j+1},0} bij =max{min{1, x. j -i+1},0}. P=. 1 N 1 n x = x. j ∑ i. Nn ∑ Nn i =1 j =1. M=[ Nn + 0.5 ]，[‧]是指 Gauss 整數值符號，表示假設 m 為整數 m≦x≦m+1，. 則[x]=m。本研究考慮部分給分的情形，即直接考慮 xij ∈ [0,1]。則第 k 位學生的注意係數， n. ∑x. x − xk . x. kj . j. j =1. 公式為 CS k = 1 −. m. ∑x. .j. + x.( m +1) ( xk . − m ) − xk . x. j =1. 其中 x =. n. 1 ∑ x. j ， m=[ xk . ] n j =1. 同理可得第 k 道試題的注意係數為 N. ∑x. ik. CPk = 1 −. xi. − x.k x. i =1 m. ∑x. i.. + x( m +1). ( x.k − m ) − x.k x. i =1. 其中 x =. 1 N. N. ∑x. i.. ， m=[ x.k ]. i =1. 二、差異係數判斷標準差異係數是指 S 曲線和 P 曲線所圍成的面積部分，大部分的反應組型皆是不完美量尺，即 S 曲線和 P 曲線呈現分開的情形，而我們可用一個量化指標來表示兩曲線的乖離程度，亦即「差異係數」。佐藤隆博提出，在正常情況下，差異係數 D * 會介於 0~1 之間。形成情測驗以 D * =0.4，而標準學力測驗以 D * =0.5 左右為標準值；當 D * <0.4 時，表示授課者和學習者反應間具有高密切性；當形成情測驗或標準學力 18.

(27) 測驗之 D * >0.6，而非形成性測驗之 D * >0.5，表示學習者對測驗之表徵含有異質成份，應檢討過程並做適當的修改(佐藤隆博，1985；勘久保広一，1988)。三、注意係數判斷標準 S-P 表是對個別學生和試題所使用的係數，可分為學生注意係數(caution index for students)和試題注意係數(caution index for items)，做為判斷學生或試題之反應組. 型有否異質的指標，分別闡述如下。 (一)學生注意係數. 我們以學生注意係數為橫軸，學生得分百分比為縱軸，再依每個學生的此二項數值，將其標示在座標圖中，得到學生診斷分析圖，進而幫助診斷學生的學習類型。學生診斷分析圖將學生的學習類型分成六類，如圖 2-4-1 之六個區堿，各個區域的特性如下。 A 學習穩定型：表示學生學習狀況十分穩定、良好，穩定性高。 A'粗心大意型：表示學生學習狀況稍微不穩定，學力足夠但常因粗心大意造成. 失誤。 B 努力不足型：表示學生學習狀況尚稱穩定，但努力不足須再多用功。 B'缺乏充分型：表示學生學習狀況漸趨不穩定，準備不足，努力不夠且會粗心. 犯錯。 C 學力不足型：表示學生基本學力不足，學習不充分，努力亦不足，過去沒有. 奠定良好的基礎，須更加努力。 C'學習異常型：表示學生學習狀況極不穩定，隨興讀書，對考試沒有充分準備。. 19.

(28) 100%. A 學習穩定型. A'粗心大意型. 75%. B 努力不足型. B'缺乏充分型. 50%. C 學力不足型. C'學習異常型. 0. 0.5. 1.0. 圖 2-4-1 學生診斷分析圖 (余民寧，2002) (二)試題注意係數. 我們以試題注意係數為橫軸，試題答對人數百分比為縱軸，繪製成一個座標圖，稱為試題診斷分析圖，可用來診斷試題的良窳，篩選優良試題，刪除不良試題。試題診斷分析圖將試題屬性分成六類，如圖 2-4-2 之六個區域。. 100%. 75%. 50%. A 試題難度低差異性小，. A'試題難度低差異性大，試題. 適合用來區別低成就者. 含異質成份，須做局部修正. B 試題難度適中差異性小， B'試題難度適中差異性大，試. 適合用來區別高成就者. 題拙劣，含相當異質成份. C 試題難度高差異性小，. C'試題難度高異質性大，應檢. 適合用來區別高成就者. 討命題內容，加以修改. 0. 0.5. 圖 2-4-2 試題診斷分析圖 (余民寧，2002). 20. 1.0.

(29) 四、部分給分 S-P 表範例假設收集一門科目的 N=10 名學生，n=10 個試題的作答狀況，經過部分給分評分後，會得到一個未經任何處理的 N×n 的原始得分矩陣，稱為「S-P 原表」，如圖 2-4-3 所示。. 表 2-4-1 S-P 原表試題學生 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 總分. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0.5. 6. 2. 0.5. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 7. 3. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 8. 4. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 0. 1. 0.5. 0. 6.5. 5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 8.5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 7. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 9. 8. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0.5. 4.5. 9. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 6.5. 10. 0.5. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 7.5. 10. 6. 9. 10. 6. 8. 6.5. 6.5. 5.5. 積分 6. 將原表依照每名學生得分總分高低，由上往下依序排列，若有總分相同時，則可依座號由小到大順序排列，如圖 2-4-4。. 21.

(30) 表 2-4-2 依學生總分高低，由上往下排列試題學生. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 總分. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 7. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 9. 5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 8.5. 3. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 1. 8. 10. 0.5. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 7.5. 2. 0.5. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 7. 4. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 0. 1. 0.5. 0. 6.5. 9. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 6.5. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0.5. 6. 8. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0.5. 4.5. 積分. 6. 10. 6. 9. 10. 6. 8. 6.5. 6.5. 5.5. 接下來，依照試題答對人數積分多寡，由左到右依序排列，若有積分相同時，則可依題號由小到大順序排列，如圖 2-4-5。最後，根據每名學生答對題數之總分，由左向右數出與總分相同之試題個數，並在右邊畫上一條分界線，從高分往低分畫出每名學生總分所對應的分界線，再將這些分界線的下方利用直線連接，則形成一階梯形狀之曲線，稱為「S 曲線」，如圖 2-4-6 之黑線。同理根據每個試題答對人數的積分，由上往下數出與積分相同之學生個數，並在其下邊畫上一條分界線，從左端往右端畫出每個試題答對人數積分所對應的分界線，則形成一階梯形狀之曲線，稱為「P 曲線」，如圖 2-4-6 之虛線。在部分給分 S-P 表分析理論，S 曲線和 P 曲線是經小數點的無條件捨去法畫 22.

(31) 分界線。表 2-4-3 依試題答對人數積分之多寡，由左到右排列試題學生 2. 5. 4. 7. 8. 9. 1. 3. 6. 10. 總分. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 7. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 1. 9. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 8.5. 3. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 8. 10. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 0.5. 1. 7.5. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 1. 0. 7. 4. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 0.5. 0.5. 0. 6.5. 9. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0.5. 1. 0. 6.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0.5. 0. 0.5. 6. 8. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.5. 4.5. 10. 9. 8. 6.5. 6.5. 6. 6. 6. 5.5. 積分 10. 表 2-4-4 畫出 S 曲線(黑線)和 P 曲線(虛線) 試題學生 2. 5. 4. 7. 8. 9. 1. 3. 6. 10. 總分. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 7. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 1. 9. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 8.5. 3. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 8. 10. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 0.5. 1. 7.5. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 1. 0. 7. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 0.5. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0.5. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0.5. 0. 0.5. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.5. 10. 9. 8. 6.5. 6.5. 6. 6. 6. 5.5. 4 9 1 8. 積分 10. 23. 6.5 6.5 6 4.5.

(32) S 曲線是指學生得分的累加分佈曲線，用來區分學生答對和答錯的分界線。P. 曲線是指試題答對人數的累加分佈曲線，用來區分試題答對和答錯人數的分界線。排列在 S-P 表左上方者，代表的是能力較好的學生和較簡單的試題，大多是被期望答對之試題，故這個區域應出現大多數的 1，相反的，在 S-P 表右下方者，應出現大多數的 0。我們以學生 10 為例， x10. = 7.5 ，m=[ x10. ]= [7.5]=7，依公式得學生注意係數為. 10. ∑x. x -x10. x. 10j .j. j=1. CS10 = 1-. 7. ∑ (x ) + x .j. .8. (7.5-7)-x10. x. j=1. 其中 x =. 10 + 10 + 9 + 8 + 6.5 + 6.5 + 6 + 6 + 6 + 5.5 = 7.35 10. 10 + 10 + 9 × 0 + 8 + 6.5 + 6.5 × 0.5 + 6 × 0.5 + 6 + 6 × 0.5 + 5.5 - 7.5 × 7.35 10 + 10 + 9 + 8 + 6.5 + 6.5 + 6 + 6 × 0.5 - 7.5 × 7.35 55.25 - 55.125 = 1= 1 - 0.032 = 0.068 59 - 55.125. 故得 CS 10 = 1 -. 又以試題 10 為例， x.10 = 5.5 ，m=[ x.10 ]= [5.5]=5，依公式得試題注意係數為 10. ∑x. x − x .10 x. i10 i .. i =1. CP10 = 1 −. 5. ∑x. i.. + x6. (5.5 − 5) − x.10 x. i =1. 其中. χ=. 10 + 9 + 8.5 + 8 + 7.5 + 7 + 6.5 + 6.5 + 6 + 4.5 = 7.35 10. 10 + 9 + 8.5 + 8 × 0.5 + 7.5 + 7 × 0 + 6.5 × 0 + 6.5 × 0 + 6 × 0.5 + 4.5 × 0.5 − 5 × 7.35 10 + 9 + 8.5 + 8 + 7.5 + 7 × 0.5 - 5 × 7.35 44.25 - 36.75 7.5 = 1= 1= 1 - 0.769 = 0.231 46.5 - 36.75 9.75. 故得 CP10 = 1 −. 24.

(33) 五、S-P 表分析法使用特性 S-P 表分析法具有以下五項使用特性(陳騰祥，1986)： (一)適合用於形成性評量之資料的診斷與分析。 (二)適合用於班級人數 30-40 人，試題數 20-30 題評量之資料的診斷與分析。 (三)適合用於使用視覺模式來判斷的分析法。 (四)適合用於只具有初等統計學的教師。 (五)適合用於了解學生的學習狀況及學習類型。. 本研究利用 S-P 表的使用特點，擴展佐藤隆博的 S-P 表分析理論，採用雲林縣某所國小的二年級五個班級，進行 20 題單步驟加減文字題的數學測驗，透過部分給分 S-P 表分析法，診斷學生的學習狀況及學習類型，發現學生的學習困難，結果可供教師教學改進的參考，以提升學習成效。. 第五節. 加減文字題相關研究之回顧. 蔣治邦 (1991) 探討一到三年級學童在加減法文字題的發展，其研究發現，學生較易掌握的題型是改變/結果量未知/添加型、改變/改變量未知/添加型、改變/結果量未知/拿走型和合併/全體量未知；其次則是比較/差異量未知/比多型和比較/差異量未知/比少型；學生較難掌握的題型是比較/比較量未知/比多型、比較/比較量未知/ 比少型和合併/部分量未知。簡敏娥 (2006) 以屏東縣和臺東縣國小二年級學童漢族 25 人、原住民 29 人為研究對象，進行加減運算施測，其研究發現，漢族和原住民學生分別在改變/結果量未知/拿走型和合併/全體量未知表現最好；兩族學生均在改變/改變量未知/拿走型最不理想；漢族學生的學習表現明顯優於原住民學生。兩族學生在加減運算之錯誤類 25.

(34) 型和成因方面為：1.因缺乏耐心而粗心大意或隨便作答。2.因粗心大意而使用不正確的條件、顛倒被減數和減數之位置、看錯運算符號、某位數計算錯誤、忘記十位數已借 1、答案寫錯。3.因概念不足而缺乏表徵題意或單位轉換的能力、自創計算規則而胡亂計算。4.因閱讀能力不足而不了解題意或使用錯誤的決策。吳秀美 (2011) 以臺南市某國小一年級一個班，十位學童為研究對象，採質旳研究，以自編 14 種加減文字題「解題歷程分析學習單」為研究工具，以教學錄影、錄音、學習單、學習日記、個別訪談等方式，收集資料進行轉錄和分析，探討學童在加減文字題的解題表現。研究結果發現，國小一年級學童解題情形為改變/結果量未知/添加型和改變/結果量未知/拿走型相對難度最低；比較/參照量未知/比少型相對難度最高；題目數字愈大，愈易計算錯誤。學童解題的錯誤類型及迷思概念方面，問題轉譯階段正確性受題目敍述方式影響，問題整合階段因誤用關鍵字而選擇錯誤策略，解題計畫及監控階段因策略性知識無法前後連貫，解題執行階段出自計算的錯誤。劉順興 (2008) 以圖畫語詞測驗、因果式語句理解測驗、數學文字題測驗共三部分，編製出一份「數學語文能力」的測驗工具，探討數學語文理解與數學文字題解題的相關性，並進一步探討男、女生在數學語文理解能力和數學文字題解題的表現上是否有顯著差異。研究以中部三縣市 9 所國小 261 名一年級學童為施測對象，發現學童在數學語文理解能力與解題表現之間有顯著正相關；男、女生在數學語文理解能力的表現有顯著差異，女生優於男生；男、女生在數學文字題解題表現沒有顯著差異。王彩芝 (2010) 透過閱讀理解和數學診斷測驗，篩選出有數學解題困難的三位二年級學生，進行個案研究，觀察學生解文字題的過程，再統整現行二上教科書教材，將加減法文字題分成 11 種算式填充題題型，設計教學計畫，實施八週補救教學。 26.

(35) 研究結果發現，學童解題困難原因是基模、陳述和程序知識的缺乏；產生解題錯誤的個別原因複雜；改變/改變量未知/添加型、比較/差異量未知、比較/較多量未知和比較/比少量未知是主要學習困難的題型；學生解題策略由原來方式直接以直式加減法計算答案，經解題五步驟策略教學後，提升解題的正確性；學生口頭敍述 11 種類型的文字題解題過程成效顯著。謝佳珍 (2011) 以國小一年級學生為研究對象，將加減文字題類型細分為：「合」、「分」、「比先後」、「比多少」和「位移」五大型式，其研究發現，學童在加減文字題解題表現以「合」概念最精熟，「位移」概念較不精熟；「合」和「分」適合列算式解題，「比先後」和「比多少」適合不限使用算式之作答方式解題。綜上所述，從相關研究可看出各種影響文字題解題正確率的因素，本研究採用改變、合併、比較和等化四大類型，編製一份國小二年級學童 20 種單步驟加減文字題題型之測驗，探究學生在試題上的作答反應和解題表現，再採用部分給分 S-P 表分析法，診斷試題並分析學童的學習狀況和學習類型，進而探究其對概念的理解情形，以作為教師教學之參考。. 27.

(36) 28.

(37) 第三章. 研究方法. 本研究主要分三個部分，第一部分以自編測驗之筆試的方式收集學生解題表現之資料，第二部分以部分給分 S-P 表分析法進行試題和學生學習狀況之診斷，了解試題良窳和學生的學習類型，第三部分探討學生對加減文字題的錯誤類型。本章主要說明研究設計與實施方式，內容分成六節，各節主題依序為研究架構、研究設計與流程、研究對象、研究工具、資料處理與分析方法、研究範圍與限制。. 第一節. 研究架構. 本研究依據研究目的、待答問題與文獻探討，提出研究架構，以呈現研究之過程，如圖 3-1-1。國小二年級學童加減文字題之學習. 閱讀加減文字題之相關文獻. 編製一份國小二年級 20 種加減文字題題型之測驗進行施測. 資料分析. 探討學童在不同題型的解題表現. 以部分給分 S-P 表分析法診斷試題與分析學生的學習狀況和學習類型. 撰寫研究結果圖 3-1-1 研究架構 29. 探討學童對加減文字題的錯誤類型.

(38) 第二節. 研究設計與流程. 研究者根據研究目的，確定研究主題與分析方法後，安排研究設計與流程，如下所述。一、編製研究工具 1. 蒐集參考與研究主題相關之加減文字題題型文獻後，編製「20 種單步驟加. 減文字題題型測驗」。 2. 諮詢指導教授、5 位現職擔任國小二年級之教師及二位學者，檢視測驗試題. 的適切性，並提供修改建議。 3. 選擇雲林縣一所國小二年級五個班級，合計 123 位學童，於民國 101 年 11. 月進行施測。二、撰寫研究結果 1. 將施測後之資料，探討學童在不同題型之解題表現。 2. 使用部分給分 S-P 表分析法診斷試題與分析學生的學習狀況和學習類型。 3. 探究學童對加減法文字題的錯誤類型。 4. 最後撰寫研究結果，完成研究報告。. 茲以圖 3-2-1 所示說明研究流程如下。. 30.

(39) 確定研究主題與研究目的. 蒐集參考相關文獻. 編製一份國小二年級 20 種加減法文字題題型之測驗. 諮詢專家修正試題. 進行 20 種加減文字題測驗正式施測. 回收、整理與分析資料. 撰寫研究報告. 圖 3-2-1 研究流程. 第三節. 研究對象. 本研究以國小二年級學童為對象，選擇雲林縣一所國小五個班級，合計 123 位學童，施行「20 種單步驟加減法文字題題型之測驗」筆試，剔除無效樣本 8 人，共得有效樣本 115 人，其中男生 58 人，女生 57 人，茲將研究之施測樣本人數整理如表 3-3-1。. 31.

(40) 表 3-3-1 研究施測樣本人數分佈表班級. 二年一班二年二班二年三班二年四班二年五班. 合計. 男生. 11. 11. 11. 14. 11. 58. 女生. 12. 10. 10. 12. 13. 57. 小計. 23. 21. 21. 26. 24. 115. 第四節. 研究工具. 本研究以研究者自編之「20 種單步驟加減法文字題題型之測驗」為研究工具，本節將說明編製依據與施測工具的信度和效度。一、編製依據研究者因研究目的之不同，對加減法有不同之分類方式。本研究採用 Fuson (1992)之分類方式，將加減文字題依語意結構分成改變、合併、比較、等化四類，. 再依數量運作方向與未知數在問題中的角色，進一步區分，共 20 種加減法文字題，如表 3-4-1。考量研究者施測之學校使用南一版教科書，學生於二年級第一學期中剛完成不大於 200 的二次進位加法和不大於 100 的一次退位減法之算式填充題教學，故施測試題以此為編製依據之參考。二、信度和效度分析 (一)信度分析. 本研究採用 Cronbach’s α 係數來求試題的內部一致性，正式施測得到的 α 值為 0.961，代表本測驗試題具有相當高的信度。 (二)效度分析. 本研究採用「內容效度」及「專家效度」，分述如下。 32.

(41) 1.內容效度：本研究以加減法文字題為主軸，題目與九年一貫數學領域課程綱. 要能力指標「N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題」「N-1-03 能理解加、減直式計算」相對應，故此測驗具內容效度。 2.專家效度：本研究採用 Fuson (1992)之分類方式，將加減文字題依語意結構. 分成改變、合併、比較、等化四類，再依數量運作方向與未知數在問題中的角色，進一步區分，共 20 種加減法文字題，測驗編製過程，諮詢指導教授、5 位現任國小二年級之教師和二位學者，檢視試題之適切性，建立專家效度。表 3-4-1 本研究自編「20 種單步驟加減文字題題型之測驗」試題示例與題號題型題號示例合併型. 19. 分開型. 3. 合併型. 1. 分開型. 8. 合併型. 16. 分開型. 12. 起始量未知改變. 改變量未知結果量未知全體量未知. 6. 部分量未知. 15. 合併比多型比少型比多型比較量未知比較比少型比多型差異量未知比少型. 5 2 18 11 9. 合併型. 20. 分開型. 4. 合併型. 7. 分開型. 17. 合併型. 13. 分開型. 10. 參照量未知. 14. 參照量未知. 等化比較量未知. 差異量未知. 樹上有一些小鳥，又飛來了 26 隻，現在樹上共有 74 隻小鳥，請問樹上原有幾隻小鳥？冰箱裡有一些年糕，小華吃掉 6 塊後，冰箱裡剩下 98 塊年糕，請問冰箱裡原有幾塊年糕？電梯從 25 樓向上到 34 樓，請問中間經過了幾樓？學校舉辦運動會，老師準備 50 罐舒跑，分給小朋友一人一罐，剩下 9 罐，請問有幾個小朋友？班上同學排隊升旗，小凱排在第 36 個，小建排在小凱後面 68 個，請問小建排在第幾個？池塘裡有 64 隻青蛙，38 隻跳上岸，請問池塘裡還剩幾隻青蛙？積木盒裡有兩種積木，其中三角形積木有 56 個，圓型積木有 68 個，請問積木盒裡共有幾個積木？一條長 82 公分的彩帶分成兩段，一段長 24 公分，請問另一段長幾公分？動物園裡有 55 隻企鵝，企鵝比猩猩多 18 隻，請問猩猩有幾隻？小安有 75 元，小安比小妡少 63 元，請問小妡有幾元？小杰有 75 張貼紙，國仁比小杰多 29 張，請問國仁有幾張貼紙？瑄瑄有 46 顆蘋果，小文比瑄瑄少 27 顆，請問小文有幾顆蘋果？二年甲班有 23 個男生，19 個女生，請問男生比女生多幾個？社區舉辦跳繩比賽，小姿跳了 77 下，小仲跳了 81 下，請問小姿比小仲少跳了幾下？叔叔養了 97 隻金魚，他再養 15 隻金魚，就會和黑魚一樣多，請問叔叔有幾隻黑魚？飲料店有 63 杯珍珠奶茶，賣掉 16 杯，就會和布丁奶茶一樣多，請問布丁奶茶有幾杯？郵差先生下午送 75 封信，上午再多送 8 封信，就會和下午送的信一樣多，請問上午送了幾封信？書店裡有 56 本童話故事書和一些歷史故事書，賣掉 17 本歷史故事書，就會和童話故事書一樣多，請問歷史故事書有幾本？小佳收集了 52 張榮譽卡，小蜜收集了 13 張榮譽卡，請問小蜜再收集幾張，就會和小佳一樣多？弟弟有 68 根巧克力糖，妹妹有 49 根巧克力糖，請問弟弟再吃掉幾根，就會和妹妹一樣多？ 33.

(42) 第五節. 資料處理與分析方法. 一、20 種單步驟加減文字題題型之測驗筆試資料處理及分析研究者在正式施測後，將試卷回收，逐一批改，評分方式為列式正確且計算無誤得 1 分，列式正確但計算錯誤得 0.5 分，列式錯誤得 0 分。二、部分給分 S-P 表分析法根據學童在「20 種單步驟加減文字題題型之測驗」的解題表現，收集學生的作答情形，利用「表」的總分高低分割方式，形成學生曲線和試題曲線的「圖」，並透過差異係數和注意係數指標的「數」，分析每個學生和每道試題的作答反應組型，並診斷或偵測學習訊息，探究學生對加減文字題的迷思概念。. 第六節. 研究範圍與限制. 本研究限於時間、人力、物力之因素，只在雲林縣一所國小二年級五個班級的學生為對象取樣，故其對所有二年級學童是否有共通性，可進一步探討，且其是否有推廣性也持保留的看法。. 34.

(43) 第四章. 研究結果. 本研究旨在編製一份國小二年級學童 20 種單步驟加減文字題題型之測驗，探討學生在試題上的作答反應和解題表現，再採用部分給分 S-P 表分析法，診斷試題並分析學童的學習狀況和學習類型，進而探究其對概念的理解情形。本章依據研究所蒐集之資料，分析結果並加以討論，內容共分成三節，第一節為學生解題正確率，第二節為部分給分 S-P 表分析結果與探討，第三節為學生錯誤類型的分析。. 第一節. 學生解題正確率. 研究者依據學生施測後之結果，探討學生在二十種單步驟加減文字題的解題正確率，茲說明如表 4-1-1。由表中可發現，學童在四大類型加減文字題的解題正確率由高至低為：合併、比較、改變和等化。研究中可以發現學童在合併類型的解題正確率(86.41%)最高，在等化類型的解題正確率(67.25%)最低。. 35.

(44) 表 4-1-1 學生 20 種加減文字題解題正確率類型. 正確率合併型. 69.30%. 分開型. 83.77%. 合併型. 73.25%. 分開型. 88.60%. 合併型. 46.93%. 分開型. 90.35%. 起始量未知. 改變. 76.54%. 改變量未知. 80.93%. 結果量未知. 68.64%. 全體量未知. 89.04%. 部分量未知. 83.77%. 合併. 86.41%. 比多型. 71.49%. 比少型. 59.65%. 比多型. 84.97%. 比少型. 86.40%. 比多型. 63.60%. 比少型. 85.96%. 合併型. 57.46%. 分開型. 89.91%. 合併型. 86.84%. 分開型. 94.30%. 合併型. 45.18%. 分開型. 29.82%. 參考量未知. 比較. 65.57%. 差異量未知. 87.94%. 比較量未知. 73.69%. 差異量未知. 90.57%. 比較量未知. 第二節. 76.10%. 74.78%. 參考量未知. 等化. 75.37%. 67.25%. 37.50%. 部分給分 S-P 表分析結果與探討. 一、部分給分 S-P 表圖形分析研究者依據學生施測結果，予以分析後繪製成五個班級之 S-P 表圖形，如表 36.

(45) 4-2-1、4-2-2、4-2-3、4-2-4. 表 4-2-1 二年一班 S-P 表圖形. 試. 題. 學生. 1. 11. 10. 14. 3. 4. 8. 12. 13. 6. 9. 15. 5. 7. 19. 2. 18. 20. 16. 17. 總分. 12. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 20. 13. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 20. 14. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 19.5. 21. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 19.5. 23. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 19.5. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 19. 10. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 19. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 18.5. 19. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 18.5. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 0.5. 1. 18. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 18. 20. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 17.5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 0.5. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 17. 8. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 17. 17. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 0. 17. 24. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 15. 18. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 14.5. 3. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 14. 16. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 14. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 13.5. 15. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 13. 22. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 13. 11. 1. 0.5. 0.5. 0. 0.5. 0. 0. 0. 0. 0.5. 0. 0. 0. 0. 0. 0.5. 0. 1. 0.5. 0.5. 5.5. 積分. 22.5. 22.5. 22. 22. 21. 21. 21. 21. 21. 20.5. 20.5. 20.5. 19. 18. 18. 16. 15. 15. 12.5. 11.5. 37.

(46) 表 4-2-2 二年二班 S-P 表圖形. 試. 題. 學生. 9. 4. 11. 10. 13. 3. 6. 12. 8. 14. 1. 5. 15. 19. 2. 18. 16. 7. 20. 17. 總分. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 18.5. 18. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 18.5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 17. 22. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 17. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 16.5. 11. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 16.5. 24. 0. 0. 0.5. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 16.5. 2. 0. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 15. 12. 0. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 14.5. 15. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 0.5. 0.5. 1. 0.5. 14. 17. 0. 0. 0.5. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 14. 21. 0. 0. 1. 1. 0. 0.5. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 13.5. 4. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 12.5. 20. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 12.5. 10. 1. 0.5. 0.5. 0. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 0.5. 1. 0. 10.5. 16. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0. 1. 1. 1. 10.5. 3. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 0. 0. 0. 1. 0. 10. 7. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 0. 0. 1. 1. 10. 23. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 10. 13. 0.5. 0. 1. 1. 0. 0.5. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0.5. 0. 1. 0. 0. 4.5. 14. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0.5. 1. 0. 4.5. 積分. 19.5. 19. 18.5. 17.5. 17.5. 17. 17. 17. 16.5. 16. 14.5. 14.5. 13. 13. 11.5. 10.5. 8. 6. 6. 4. 38.

(47) 表 4-2-3 二年三班 S-P 表圖形. 試. 題. 學生. 6. 8. 9. 10. 12. 15. 3. 4. 11. 13. 14. 1. 19. 5. 18. 2. 20. 16. 7. 17. 總分. 8. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0.5. 0. 1. 1. 0. 20. 3. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 19. 23. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 19. 21. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 18.5. 17. 1. 0.5. 1. 0.5. 0. 0.5. 0. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 18. 10. 0. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 0.5. 0. 0.5. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 17.5. 14. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 17.5. 19. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 17. 20. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 1. 1. 17. 4. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 0.5. 16.5. 22. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0.5. 1. 0.5. 16. 15. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 15.5. 18. 1. 1. 0. 0. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 15.5. 5. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 15. 12. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 15. 11. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 14.5. 16. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 14.5. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 1. 1. 14. 2. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 13.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 12.5. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 11. 積分. 20. 20. 20. 20. 20. 20. 19.5. 19. 19. 19. 19. 18. 18. 17. 16.5. 14.5. 14. 11.5. 8.5. 3.5. 39.

(48) 表 4-2-4 二年四班 S-P 表圖形. 試. 題. 學生. 8. 10. 12. 14. 15. 6. 9. 13. 11. 14. 1. 3. 5. 18. 2. 20. 7. 19. 16. 17. 總分. 13. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 20. 10. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 19.5. 8. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0. 0.5. 0.5. 0. 0. 19. 16. 1. 0. 1. 1. 0. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0.5. 19. 6. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 18.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 18. 2. 0. 0. 0. 0.5. 1. 0. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 18. 26. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 16.5. 5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0.5. 0. 0. 0. 16. 18. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 15.5. 20. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0.5. 0. 0.5. 0.5. 1. 0.5. 15. 12. 1. 1. 0. 0.5. 0. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 0.5. 1. 0. 14.5. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 14. 11. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 13.5. 23. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0.5. 13.5. 3. 0. 0. 0.5. 0. 0. 0.5. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 13. 22. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 11.5. 24. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0.5. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 11.5. 21. 1. 0. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 11. 7. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 10. 14. 0.5. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 10. 19. 0.5. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 10. 17. 0. 0. 0.5. 1. 0. 1. 0. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 9. 25. 1. 0. 0. 1. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.5. 9. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0.5. 8.5. 27. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 8.5. 積分. 24.5. 24.5. 23.5. 21.5. 21.5. 21. 21. 21. 20. 20. 19.5. 18. 16.5. 16.5. 14. 14. 13.5. 13. 11. 8. 40.

(49) 表 4-2-5 二年五班 S-P 表圖形. 試. 題. 學生. 10. 6. 4. 12. 14. 9. 13. 15. 3. 1. 8. 11. 19. 20. 5. 18. 2. 16. 17. 7. 總分. 10. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 18. 15. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 18. 4. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 17.5. 6. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 17.5. 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 17. 18. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 17. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 0.5. 0. 1. 16.5. 2. 0.5. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0.5. 1. 16. 20. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 16. 21. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 16. 7. 1. 0. 0.5. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0.5. 1. 0. 15.5. 9. 1. 0. 1. 0.5. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 0. 0. 1. 0. 15. 16. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 15. 24. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 14.5. 27. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 14.5. 19. 1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 14. 23. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 13.5. 26. 1. 1. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0.5. 1. 0.5. 1. 0.5. 13. 14. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 0.5. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 12.5. 13. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0.5. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 12. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 0. 1. 0.5. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0.5. 0.5. 1. 11. 8. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 0.5. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0.5. 11. 25. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 10. 22. 1. 0.5. 1. 1. 0. 1. 1. 0.5. 1. 1. 0.5. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 5.5. 積分. 23.5. 23. 22. 21.5. 21.5. 21. 20.5. 20.5. 20. 19. 19. 18. 17. 16.5. 14.5. 14. 12. 11.5. 6. 5.5. 41.

(50) 二、差異係數探討佐藤隆博提出，在正常情況下，差異係數 D ∗ 會介於 0~1 之間。形成情測驗以 D ∗ =0.4，而標準學力測驗以 D ∗ =0.5 左右為標準值；當 D ∗ <0.4 時，表示授課者和學習者反應間具有高密切性；當形成性測驗或標準學力測驗之 D ∗ >0.6，而非形成性測驗之 D ∗ >0.5，表示學習者對測驗之表徵含有異質成份，應檢討過程並做適當的修改(佐藤隆博，1985；勘久保広一，1988)。本研究測驗結果五個班級的差異係數 D ∗ 介於 0~1 之間且接近 0.5，故教師授課與學習者反應間具有密切性，如表 4-2-6。表 4-2-6 五個班級差異係數表班級. 一年一班. 一年二班. 一年三班. 一年四班. 一年五班. 差異係數 D ∗. 0.426. 0.402. 0.478. 0.493. 0.466. 三、試題和學生注意係數探討研究者利用 Matlab 7.0 程式碼，如附錄一所示。分別算出試題的注意係數和學生的注意係數。當注意係數小於 0.5 時，表示試題或學生之反應組型異質情形不嚴重，屬於可接受的範圍，當注意係數大於 0.5 時，表示試題或學生反應組型異質情形較嚴重，須加以注意。研究者利用 Matlab 7.0 程式碼，算出五個班級試題的注意係數，如表 4-2-7、 4-2-8、4-2-9、4-2-10 及 4-2-11 所示。. 42.