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第二章 文獻回顧
在評價合成型抵押擔保債券憑證時，需考慮多個標的資產間之違約相關性。
最早描述違約相關性的模型，出現在 Li (2000)的關聯結構模型(Copula model)，
此後更進一步延伸為單因子關聯結構模型(one factor copula model)，本文也將以 此模型進行模擬實證並分析結果。本章節將針對單因子關聯結構模型，一一詳述 相關文獻的模型觀念及應用方法。
第一節 關聯結構模型(Copula Model)
Li (2000)首先介紹一個隨機變數「time-until-default」，或稱作各個標的資產 自合約開始至違約事件發生時的總存活時間，並定義各個標的資產之間具有違約 相關性(default correlation)。Li 使用關聯結構函數(Copula function)連結數個邊際 密度函數而成聯合密度函數，即為資產組合違約時間的聯合密度函數。Sklar (1959)提出定理，獲得資產組合違約時間的聯合密度函數如下:
F(t1, t2, … , tn) = C(F1(t1), F2(t2), … , Fn(tn))，
Fi(ti) 為第 i 個資產的邊際違約機率，Li 更進一步透過高斯關聯結構函數 (Gaussian Copula)改寫為:
F(t1, t2, … , tn) = Φn(Φ−1(F1(t1)), Φ−1(F2(t2)), … , Φ−1(Fn(tn)); Σ)，
Φ𝑛(∙; Σ) 為 n 維度的多變量常態分配，Σ 為其相關係數矩陣。Φ−1(F1(t1)) , Φ−1(F2(t2)) , …, Φ−1(Fn(tn)) 為此模型的資產報酬，經由此設定，就能以各個 標的資產報酬的相關性取代各個標的資產的違約時間之相關性。因此能以蒙地卡 羅模擬方法模擬各資產的違約時間。然而，蒙地卡羅方法必須透過大量模擬來取 得各資產的違約時間，在大樣本的標的資產組合下會提高運算過程中的困難度。
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第二節 單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)
即使關聯結構模型能以各標的資產報酬的相關性取代違約時間之相關性，但 如前一小節所提及，關聯結構模型需要以蒙地卡羅方法模擬各資產的違約時間，
在大樣本的資產組合情況下會提高運算過程中的困難度以及計算過程較為費時。
為了解決此一問題，單因子關聯結構模型因此而興起，其想法為多個標的資產給 定相同的因子(市場因子)情形下，各個標的資產報酬會相互獨立。此方法不僅能 夠簡單且迅速地計算不同時間下的違約損失分配，而且可以改善蒙地卡羅模擬方 法計算費時的缺點。
單因子關聯結構模型概念最早由 O’Kane and Schlögl (2001)提出，主要是介 紹多個標的資產如何建立信用風險模型(credit model)，能夠在資產違約的同時，
即時洞察發現，並在無套利(arbitrage-free)之下保持評價的一致性，而本文主要介 紹單因子高斯關聯結構模型(one factor Gaussian copula model)，此一模型因為其 簡單好計算的特性目前被廣泛使用。O’Kane and Schlögl (2001)首次提及單因子 結構模型，假設標的資產組合具有共同的市場因子X(t)，則各標的資產從契約開 始至時間 t 的資產報酬Ai(t)為:
Ai(t) = √ρiX(t) + √1 − ρiεi(t)， i = 1, … , N，
其中X(t)為共同市場因子，εi(t)為資產本身因子，X(t)與εi(t)為獨立且相同的隨 機變數，並假設X(t)與εi(t)皆服從標準常態分配，此即單因子高斯關聯結構模型。
由於Ai(t)為X(t)與εi(t)的線性組合，由常態分配性質可知，Ai(t)仍然服從標準常 態分配。如此假設的優點是給定共同市場因子X(t)條件下，各資產報酬Ai(t)相互 獨立，增加大樣本一致性資產組合(Large Homogeneous Portfolio)假設下，各個資 產視為同質性資產(homogeneous assets)，在增加此一假設後，能夠快速且容易計
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算不同違約時間下的資產損失函數，且避免蒙地卡羅方法的耗時性。有了以上的 優點，單因子結構模型遂成為目前市場上廣泛使用的主要方法，之後更有許多文 獻延伸出不同的單因子關聯結構模型。
Hull and White (2004)提出了兩種評價合成型抵押擔保債券與直至第n個資 產違約的信用違約交換(Credit Default Swap)的方法，此兩種方法都建立單子關聯 結構模型，並且取代 Laurent, J-P and J.Gregory (2003)所提出的快速傅立葉轉換法 (fast Fourier transforms)。第一種方法利用遞迴關係去計算在時間t之前，K個違約 資產的損失分配。第二種方法利用機率杓斗法(probability bucketing method)，此 方法允許各個標的資產擁有不同的名目本金與回覆率 ，去計算在時間t之前的總 損失分配。本文末評價 iTraxx 及 CDX 指數的市場分券資料，顯示單因子常態關 聯結構及雙 t 分配關聯結構(Double t distribution)兩者之中，具有厚尾(heavy tails) 性質的雙 t 分配關聯結構會得到較佳的配適結果。相反地，單因子常態關聯結構 模型因為缺乏厚尾性質，在計算各分券的隱含相關(implied correlations)及基底隱 含相關(base implied correlations)時，會有相關性微笑曲線與隱含相關偏斜(implied correlation skew)的現象。雖然雙 t 分配關聯結構擁有改善此現象的優點，但是 t 分配不如常態分配具有封閉性，必須透過數值積分的方式計算損失分配，因此計 算過程相當耗時。
Andersen and Sidenius (2005)本文提出了新的單因子高斯關聯結構，具有回 復率隨機化(randomized recovery)以及因子負荷項隨機化(randomized factor loadi- ngs)，前者假設共同市場因子及資產本身因子兩因子和回復率相關，後者假設因 子負荷項只和共同市場因子相關，後者模型擁有因子負荷項隨機化的性質，使得 計算總資產損失分配時，不同於單因子關聯結構模型，具有厚尾性質，在實證分 析結果時，有較佳的評價結果，但會有和高斯關聯結構類似的相關偏斜現象。
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Dezhong et al. (2006) 則提供了二種單因子關聯結構延伸模型，希望藉由具 有厚尾性質的函數來改善舊有的單因子關聯結構模型:第一種是 t 與高斯分配混 合的關聯結構(a double mixture distribution of t and Gaussian distributions copula);
第二種是自由度為非整數的雙 t 分配關聯結構(a double t distribution with fraction- al degrees of freedom copula)，與 Hull and White (2004)提出的自由度為整數的雙 t 分配關聯結構比較，上述兩種關聯結構在實證分析上得到較好的評價結果。但是，
t 與高斯分配混合的關聯結構和自由度為非整數的雙 t 分配關聯結構仍然有雙 t 分配關聯結構的缺點，t 分配沒有穩定的摺積性，必須使用數值積分的方式求解 違約門檻值，會增加計算所需的時間。
Kalemanova et al. (2007) 在大樣本一致性資產組合假設下，提出以 NIG 分配 取代 t 分配作為擔保債券憑證分券的評價。NIG 分配擁有許多良好的性質。首先，
相較單因子高斯關聯結構，NIG 分配具有尾點相依性(tail dependence)的性質;其 次，NIG 分配具有穩定的摺積性;再者，單因子 NIG 關聯結構模型能夠簡單且快 速地計算各資產的違約門檻值;並且，因為其擁有多個參數可以在建立投資組合 的相關性結構上有更多的彈性。文末進行實證分析，和雙 t 分配關聯結構類似，
兩者皆在前兩個分券 0~3%及 3~6%得到好的配適結果，但卻高估了 6~9%以上的 分券。
邱嬿燁(2007)使用 CSN 分配(Closed Skew Normal)來做抵押擔保債權憑證分券 的評價，其動機在於 CSN 分配具有常態分配的性質且具有封閉性，同時具有較 多的參數可控制分配的峰態與偏態。但與單因子常態關聯結構模型相同，單因子 CSN 關聯結構模型仍無法估計的很準確，只有在最高等級分券的評價上有明顯 的改進。
林聖航(2012)使用如同 Dezhong(2006)的混合分配方法，給定期望值為零且
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變異數為一之 NIG 及 CSN 分配，將兩者混合成新分配 MIX，以此關聯結構模型 評價抵押擔保債券憑證，在單因子混合關聯結構模型中，資產因子和市場因子的 厚尾度會由 NIG 及 CSN 分配的參數及兩者的權重 p 決定。作者建議兩種 MIX 模型參數估計方式使其絕對誤差極小化：先固定 NIG 分配參數，再估計比例 p 及 相關係數 ρ ；另一種方法，固定比例 p ，估計 NIG 分配參數，以兩種方法交互 運作計算最適參數估計值使絕對誤差極小化。整體而言，MIX 的評價結果介在 NIG 與 CSN 之間，比 CSN 關聯結構模型評價結果準確，但比 NIG 關聯結構模 型不準確。
第三節 Normal Inverse Gaussian Distribution (NIG)
Ole Barndorff-Nielsen (1977)最早提出 NIG 分配，NIG 分配為廣義雙曲分配 (generalized hyperbolic distribution)的一個特殊例子，由於其擁有的性質，目前漸 漸應用在金融及經濟方面。NIG 分配之所以能夠廣泛應用在金融及經濟方面，
最主要的性質是其為擁有四個參數的分配，能夠在同時間產生厚尾性質及偏斜性 質，以及能夠穩定摺積的特性。而且，NIG 分配之機率密度函數、分配函數、反 函數也可以快速地計算得到。