貳、擬題的定義、特徵與型式 一、擬題的定義
國內學者（梁淑坤，民 83）對擬題（problem posing）所下的 定義是：「自己想出一個數學題目來」，在擬題的過程中，擬題者會 用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等 建立關係並組織起來，擬出一個數學題目；而國外學者 Silver
（1994）將擬題定義為：擬題是包括產生新的問題，給一個情境產 生問題和在解題的課程中形成問題；也有一些國外學者（Stoyanova
& Ellerton,1996）將擬題定義為：依據數學經驗的基礎，學生建 構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。而 Dillon
（1982）則認為擬題是解題之後，尋找題目的過程。綜合上述國內 外幾位學者對擬題所下的定義，在本研究中，我們可以將擬題界定 為學生根據教師所給定的條件，然後用自己的數學經驗，擬定一個 數學題目。
二、擬題的特徵
既然學生的擬題是從給定的情境或條件之下，自己想出一個新 的數學題目，那麼擬題行為的特徵可能含有個人化、猜想及可信推 理、解題之連接和題目粗糙性四項特徵（梁淑坤，民 83）。第一：
個人化的組織是擬題活動中最明顯的特徵，擬題者往往會根據自己 的生活經驗、文化背景、數學知識﹍等，呈現出個人的擬題特性。
第二：擬題過程不論是小組合作或是個人獨力完成可能都會充滿擬 題者的猜想與可信推理，擬題者會常常猜想所想出的題目是否合 理，是否符合給定的條件，並且可能也會嘗試去評估題目的答案。
第三：擬題是可能發生在解題前、解題中，以及解題之後的。第四：
擬題者（學生）由於經驗不足，其所想出來的題目可能是粗糙的、
不完整的，甚至是不可行或是欠缺足夠的解題資訊。瞭解以上四項
擬題者可能會出現的擬題特徵之後，在本研究中，擬題活動的進行 會經由老師和同儕彼此之間的審稿、修訂，以期能讓擬題者的題目 更臻於清楚、完整。
三、擬題的型式
擬題者的擬題型式有很多種的分類方式，不同的學者有不同的分 類，以下就各學者的分類方式加以敘述：
首先，Reitman 將題目分類成「已知」已定義清楚或未定義清 楚，以及「目標」已定義清楚或未定義清楚，總共有四種不同的型 式。Reitman 將題目分為結構題和非結構題，而（Leung,1997）以 訊息處理的觀點（已知、目標）並應用 Reitman 所提出的問題結構，
將擬題作分類，她指出所謂第一種結構題是指一個題目能夠具有清 楚的物件、運算元素以及目標，例如：一般數學課本、習作出現的 題目，大多是屬結構題，而其它三種情況都稱為非結構題。
日本教師平田耕山提出七種擬題類型：
第一種是模仿法或類題法：指學習某個問題後，擬出和此題同類型 的題目。第二種是算式法：先將公式列出來，在擬出適用此公式的 問題來。第三種是原理法：給予四則運和通分等原理，做出和此相 對應的題目來。第四種是訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要 的條件，或是給予其他不必要的條件，或做出矛盾而訂正的方法。
第五種是實驗法：實驗或以具體的東西操作，再以此實驗為基礎來 擬題。第六種是自由法：以自由的題材，做成自由形式的問題。第 七種是題材法：依據給定的主題來擬題。
Silver（1995）認為擬題可以分為兩種類型，第一種是由已給 定的題目中，再產生新的題目。第二種則由情境或經驗中創造一個 新的數學題目。
Stovanova ＆ Ellerton（1996）則將擬題分呈三種情境：第
一種結構的情境：擬題者可以利用現有的題目加以改變。第二種半 結構的情境：學生利用先前的數學知識、技巧、概念以及關係連結，
完成一個完整結構的問題。第三種自由的情境：讓學生在一個給定 的自然情境下自由發揮。
國內學者梁淑坤（民 88）將擬題類型分為六種，包括算式類：
就是教師給定一個算式，學生依據這個算式而擬出題目。文字類：
先呈現一段文字的敘述，然後由學生依據文字敘述所給定的條件擬 出一個題目。圖表類：給一個圖表，請學生依據圖表擬出題目。解 法類：規定一種擬題的運算方式，由學生依規定條件擬出文字題。
答案類：給定一個答案或一組計算過程，要求學生擬出題目。題目 類：給定一個題目，要求學生先解出此題目，然後再擬出另外一個 題目來。
以上是國內外學者對擬題活動型式的分類，從以上所述得知不 同的擬題作業型式對學生提供的要求也相對不同。
參、擬題與解題
擬題與解題是數學教育中最密不可分的關係，匈牙利的數學家 波利亞（G.Polya,1945）在她的「怎樣解題」（How to solve it）一 書中談到解題的四個階段：
了解題意 Æ 擬訂計畫 Æ 執行計畫 Æ 回顧答案 （Understand） (Plan) (Carry out) (Look Back)
首先，解題者必須先知道題目的意思並找出未知和已知，接著擬定解 題計畫加以執行，最後回顧答案。然而在這樣的解題四階段中，解題 者只需負責把答案解出來，並不理會題目是否有誤。然而我們知道解 題和擬題的關係是非常重要的，況且 Silver（1993）認為擬題活動可 能發生於解題前、解題中、解題後，於是學者 Leung（1993）根據 Polya
所提出的解題四階段，修正之後改成擬題四階段：
擬 題 Æ 策 畫 Æ 執 行 Æ 回 顧
（Problem Posing） (Plan) (Carry out) (Look Back) 再者，國內學者梁淑坤（1993）也曾以「15 枝火柴」來探討師範 生的擬題和解題行為，題目是利用火柴枝依序排出正方形，其中每兩 個相連的正方形共用一枝火柴，依序一直排列下去。受試者透過這個 題目進行擬題與解題，結果發現當受試者在擬題之後，在解題時仍會 擬題，而在解題後再擬題時會想到剛解過的題，可見擬題和解題兩種 活動是相連的。
綜上所述，在解題與擬題的模式中，如果解題者亦是擬題者，
便可以清楚的知道題目的意思與內容，就可以不用再了解題意，直接 進行策劃解題活動，而擬題者在解題過程中，或許只會激發創造出更 新更好的題目來，經過擬題四個步驟不斷循環之下，擬題者會思考自 己所想出來的題目是否合宜，透過執行、回顧再修改題目、重新擬題，
於是解題、擬題的活動彼此相輔相成，使得學生能透過這樣的過程增 加對數學概念的深層認識與釐清。
第二節 擬題教學的相關研究
本節包括兩個部分，首先描述一些國內外學者在擬題方面的相關研 究，其次說明國內外學者對擬題教學與評量的觀點。
壹、擬題的相關研究
擬題教學活動在數學課堂中的應用漸漸受到國內外學者、教育工 作者的重視與運用，以下針對幾位研究者在實際教學方面的研究 加以敘述：
一、 在澳洲：
澳大利亞教育學會（Australian Education Council）認為教 師鼓勵學生擬題是非常重要的，他們應該學習如何擬題與解 題。
Penny Skinner 在 1995-1997 任教時，曾使用擬題取向 的方式教學，並且將自己的教學經驗和學生作品整理在她的著 作中〝What’s your problem？〞(1990)與大家分享教師在課 堂中和學生的互動以及進行擬題活動過程的點滴。
English（1997）研究五年級和七年級的學童，不同能力 的組別在課程中對於擬題的表現，其研究結果是：1.擬題能力 強的學童，他們平常的數字計算能力並不是很好，但是針對特 殊題目的解題，能力卻不錯。2.學童擬出的題目具有複雜性，
由此可知，學童具有豐富的創造思考力。
Ellerton(1986)則用測驗將學生分成高低能力組再研究 高低組擬題擬題的差異，他發現高能力組的學生會在出題目時 有系統地策劃，例如：當他出到有分數數據的題目時會考慮解 題過程中是否可約分）。
二、 在日本：
日本的數學教育非常注重學生的創造力培養，所以在解題活動 中建議教師要盡量使用開放性的問題。
Tsubota（1987）對小學一到六年級學生已開放性的問題 進行教學，鼓勵學生以解過的問題為基礎，從原本的問題再想 出其它的題目。
三、 在荷蘭：
Van den Brink（1987）曾要求國小一年級學生擬故事題，
學生在整個學年中進行許多擬題的活動，並且呈現出一些富有
創意的擬題作品。
Van den Brink（1995）則以百分比的教材讓學生進行擬 題，請學生擬出兩個有關百分比的題目，一題是簡單的另一題 是困難的，透過這樣的方式瞭解學生的擬題能力。
四、 在美國：
美國數學教師學會（NCTM,1989）在數學課程與評鑑標準中
（ The Curriculum and Evaluation Standard for School Mathematics）提出應讓學生在數學課程中經驗、察覺和形成 他們的問題，並以此作為數學的重心，透過擬題活動提升學生 的解題興趣。
Keil(1965)研究八百多位六年級的學生，將學生分成實 驗組與控制組，實驗組每週有一堂擬題教學活動，由老師提供 與數學課本類似的情境，讓學生進行擬題；而控制組只解課本 題目。經過十六週的實驗之後，研究者發現實驗組學生的解題 能力表現高於控制組的學生，因此，擬題教學活動對於解題能 力有正面的影響。
Stover(1982)教導國小六年級學生將已知的故事題以圖 形或增加其它訊息、編排訊息來改寫故事題。在此研究中，寫 作變成數學課程的一部份，最後發現學生經過這樣的訓練，在 解題上有明顯的進步。
Brown & Walter(1983)的研究則是較為深入討論擬題的 定義、內涵與認知情意方面，並且讓學生練習如何出一個題 目，透過擬題瞭解學生的創意，最後整理學生擬出來的題目，
將這些題目編輯成書。
Winograd(1990)的研究對象是國小五年級學童，讓他們 嘗試擬題、解題，並在小組中分享整個過程，以這樣的方式去 瞭解擬題課程中的數學信念，以及學童的擬題行為表現和困 難，並且瞭解小組共同解題的行為。一年之後，發現學童在擬 題過程中表現出多樣化的型態，小組合作學習時，學童多以任 務導向完成學習，並且在擬題寫作過程中表現出數學的信念，
此研究結果建議學生的擬題可以成為教師佈題以及教材的來 源。
Schloemer(1994)將擬題教學策略〝What-if not〞以認 知學徒制的教學方式來教導大學生學習高等代數，她將學生分 為實驗組和控制組，實驗組進行擬題教學，而控制組則不進 行，結果發現兩組在數學成就中並無顯著差異。在擬題能力方 面，實驗組表現比控制組好；在數學態度的表現方面，兩組的 前、後測均下降。根據研究者的結論，他認為實驗組可能已經 習慣原來的教材，當老師進行擬題的教學方式他們在數學態度 上會產生負面的影響。
Silver, Leung & Cai(1995)以數彈珠的題目探討美國小 學生的解題策略，題目是以 25 顆彈珠排列成 5×5 的正方形，
然後要求所有的受試者，以計算或畫圖的方式數數看有幾顆彈 珠，最後將受試者的解題策略進行歸類，包括計數法、分類法、
重組法、視覺法、混合法等。
五、 在國內
梁淑坤（民 84）以 65 位職前教師和 127 位在職教師為 對象，研究他們的擬題行為以及三種實驗形式（包括數值、文 字、序數、包含符號）對擬題的影響。研究發現職前教師與在 職教師在擬題的數量上並無差異，在三種形式中，有數值的形