第四章 研究結果與分析
第一節 試題性質分析
信度（Reliability）又稱為可靠性，係指測驗結果的穩定性而言。本研究採用 Cronbach’s α 係數來代表其測驗之內部一致性，經 SPSS/PC 分析得測驗整體之α係 數為0.924，即表示測驗之信度應可接受，其信度分析情形如表 4-1 所示：
題號 刪除此題後的α值 刪除情形 題號 刪除此題後的α值 刪除情形
1 .921 15 .923
2 .924 16 .920
3 .924 17 .920
4 .926 18 .922
5 .922 19 .918
6 .927 20 .921
7 .922 21 .921
8 .922 22 .922
9 .918 23 .920
10 .920 24 .922
11 .918 25 .925
12 .922 26 .925
13 .920 27 .918
14 .917
測驗整體α係數＝.924 表 4-1 測驗之 Cronbach’s α 信度分析
二、效度分析
本研究於編製試題時，其測驗乃依據分數的整數倍相關文獻及國小現行分數 的整數倍的教材所歸納出之子概念先編製分數整數倍測驗之雙向細目表來進行命 題，施測對象為國小五年級的學童，故以內容效度及專家效度的方式來進行分析。
本研究用來發展，以布魯姆的認知理論改編，編製分數乘以整數測驗之雙向 細目表，將作為考驗內容效度之依據，如表4-2 所示：
知識 理解 應用 判斷性思考
1.真分數的定義 1 25 1
2.假分數的定義 6
3.帶分數的定義 5,23 5 23
4.真分數乘以整數 2 2,24 7,8,9,16
17,18,22 17,22 5.假分數乘以整數 3 3 10,11,19,20
26,27
6.帶分數乘以整數 12,13,14,15
21 15,21
7.假分數和帶分數互換 4
8. 在具體情境中，真分數乘以整數，
其積為真分數或假分數。 24 7,8,16,17 17 9. 在具體情境中，真分數乘以整數，
其積為帶分數或整數。 9,18,22 22
10. 在具體情境中，假分數乘以整數，
其積為假分數。 10,26
11.在具體情境中，假分數乘以整數，
11,19,20,27 表 4-2 分數乘以整數相關概念命題雙向細目表
教材內容 教材目標
12.在具體情境中，帶分數乘以整數，
其積之分數部分不進位。 12,21 21
13.在具體情境中，帶分數乘以整數，
其積之分數 13,14,15 15
至於專家效度，在學科專家的部分，則在本測驗編製之初先請六位擔任國小 五、六年級已長達六年以上之資深的級任老師先校閱，修改試題中不適合學童的 詞句（審查表格請參閱附錄三）；另一方面，在測驗專家部分再與臺中教育大學的 測驗統計教授進行討論與修正，以作為專家效度之依據。
三、難易度與鑑別度分析
本研究根據古典測驗理論的觀點，就量的研究方面而言，必須對試題的難易 度及鑑別度進行分析。
在難易度方面，本研究採內部一致性（internal consistency）的方式，分別將 受試者之總分依高低排序，由最高分數向下取全體受試人數的 27%為高分組，再 從最低部分向上取 27%為低分組，再分別求出高分組及低分組在每個試題的答對 率；最後將高分組之答對率PH和低分組之答對率PL，求其平均即可得該試題之難 易度指數P
*
（item difficulty index）。而在鑑別度方面，則以高分組之答對率PH減掉低分組之答對率PL，即得該試 題之鑑別度指數D
*
（item discrimination index）。另外，試題鑑別力的分析，亦可 用每個試題得分反應與測驗總分的關聯性來表示（簡茂發，1987）。若試題得分與 總分的相關程度愈高，表示試題的得分高低與總分高低愈一致，亦即該試題鑑別 度就愈高。表 4-3 試題之難易度及鑑別度
第二節 試題關聯順序性係數之分析
由受試的答題原始資料，可以計算出兩測驗題目之間的順序性係數，然後利 用此順序性係數建立試題關聯結構圖。
假設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分別表示如下的意義：
Ａ：試題甲與試題乙均答對的人數 Ｂ：試題甲答對而試題乙答錯的人數 Ｃ：試題甲答錯而試題乙答對的人數 Ｄ：試題甲與試題乙均答錯的人數
又設Ｎ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ，按照下表的試題關聯順序性係數公式，即可求得甲題 到乙題的
r *
值。r * ＝1－
) )(
(
C D A C CN
+ +
其中，試題甲與試題乙之間的關係如下表所示：
試 題 乙
對 錯 合計
對 Ａ Ｂ Ａ＋Ｂ
錯 Ｃ Ｄ Ｃ＋Ｄ
試題甲
合計 Ａ＋Ｃ Ｂ＋Ｄ Ｎ
研究者根據筆測資料中受試者答題反應的原始資料，利用IRSP 軟體求出試題 與試題之間的試題關聯順序性係數
r *
值，並將其整理如表4-4（注意：下表是從縱 座標的題號到橫座標題號的順序性係數一覽表）。其 次 ， 假 設 Ｈp 表 示 為 J. Loevinger 所 提 出 的 所 有 試 題 之 等 質 性 係 數
題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1 - 0.10 0.10 0.16 0.25 -2.94 0.07 0.08 0.71 0.36 0.17 0.15 0.48 0.32 0.41 0.17 0.38 0.13 0.43 0.14 0.20 0.12 0.07 0.37 0.53 0.36 0.21 2 1.00 - 0.49 0.33 0.33 -14.7 0.47 0.48 1.00 0.36 0.45 0.38 1.00 1.00 0.33 0.45 0.38 -0.17 1.00 1.00 -0.17 0.36 0.47 0.37 1.00 1.00 1.00 3 1.00 0.48 - -0.34 1.00 1.00 1.00 0.48 1.00 0.36 0.45 0.38 0.3 0.39 -0.34 0.45 0.38 -0.17 0.34 0.43 -0.17 -0.29 0.47 1.00 1.00 0.27 0.43 4 0.16 0.03 -0.03 - 0.25 -0.97 -0.01 0.02 0.42 0.36 0.10 -0.01 0.30 0.32 0.08 0.03 0.07 0.34 0.10 0.14 0.05 0.12 -0.01 0.06 -0.03 0.45 0.21 5 0.25 0.03 0.10 0.25 - -0.97 0.13 0.08 0.42 0.44 0.31 0.15 0.39 0.32 0.25 0.10 0.38 0.20 0.34 0.21 0.20 0.11 0.13 0.21 0.53 0.27 0.28 6 -0.03 -0.02 0.00 -0.01 -0.01 - 0.00 0.00 -0.01 -0.01 0.00 -0.01 -0.03 -0.01 -0.03 0.00 -0.01 -0.01 -0.03 -0.01 0.01 -0.01 0.00 -0.01 -0.03 -0.03 -0.01 7 0.33 0.23 0.49 -0.01 0.67 1.00 - 0.48 0.62 0.36 0.45 0.38 0.30 0.39 -0.01 0.45 0.38 0.13 0.34 0.43 0.13 0.04 0.47 0.37 0.63 0.27 0.43 8 0.55 0.31 0.31 0.11 0.55 1.00 0.64 - 0.49 0.57 0.63 1.00 5.33 0.60 0.55 0.63 0.59 0.22 0.56 0.62 0.61 0.14 0.64 0.16 0.50 1.00 0.62 9 0.45 0.06 0.06 0.27 0.27 -0.43 0.08 0.05 - 0.30 0.20 0.05 0.30 0.28 0.27 0.10 0.21 0.05 0.34 0.17 0.21 0.24 0.08 0.20 0.18 0.13 0.22 10 0.43 0.04 0.04 0.43 0.52 -1.25 0.09 0.1 0.56 - 0.21 0.29 0.50 0.48 0.14 0.21 0.29 0.33 0.44 0.26 0.25 0.08 0.16 0.37 0.36 0.48 0.26 11 0.55 0.14 0.14 0.33 1.00 1.00 0.29 0.30 1.0 0.57 - 0.38 1.0 0.80 0.78 0.45 0.79 0.42 1.00 0.43 0.61 0.57 0.47 0.37 0.50 0.51 0.81 12 0.22 0.05 0.05 -0.01 0.22 -1.63 0.11 0.21 0.10 0.36 0.17 - 0.53 0.29 0.22 0.36 0.28 0.13 0.23 0.33 0.22 0.14 0.20 0.27 0.25 0.15 0.24 13 0.40 0.08 0.03 0.26 0.33 -2.5 0.05 0.07 0.40 0.36 0.26 0.31 - 0.46 0.33 0.26 0.45 0.29 0.42 0.24 0.22 0.21 0.11 0.16 0.33 0.43 0.30 14 0.51 0.16 0.06 0.51 0.51 -1.86 0.13 0.14 0.72 0.65 0.40 0.33 0.87 - 0.51 0.40 0.44 0.47 0.64 0.38 0.47 0.42 0.22 0.31 0.46 0.73 0.58 15 0.41 0.03 -0.03 0.08 0.25 -2.94 -.00 0.08 0.42 0.11 0.24 0.15 0.39 0.32 - 0.10 0.38 0.20 0.43 0.07 0.34 0.36 0.07 0.13 0.34 0.45 0.21 16 0.55 0.14 0.14 0.11 0.33 1.00 0.29 0.30 0.49 0.57 0.45 0.79 1.00 0.80 0.33 - 0.79 0.42 0.56 0.62 0.42 0.36 0.47 0.37 0.50 0.51 0.43 17 0.55 0.05 0.05 0.11 0.55 -1.63 0.11 0.13 0.49 0.36 0.36 0.28 0.77 0.39 0.55 0.36 - 0.32 0.56 0.24 0.22 0.25 0.20 0.27 0.63 0.39 0.24 18 0.26 -0.03 -0.03 0.70 0.40 -2.5 0.05 0.07 0.15 0.57 0.26 0.18 0.69 0.60 0.40 0.26 0.45 - 0.56 -0.02 0.22 0.14 0.05 0.16 0.17 0.84 0.24 19 0.46 0.11 0.04 0.11 0.37 -3.2 0.08 0.09 0.59 0.40 0.34 0.18 0.53 0.44 0.46 0.19 0.42 0.30 - 0.24 0.38 0.31 0.22 0.41 0.50 0.51 0.39 20 0.33 0.23 0.10 0.33 0.50 -2.94 0.20 0.21 0.62 0.52 0.31 0.54 0.65 0.55 0.16 0.45 0.38 -0.02 0.51 - 0.42 0.52 0.47 0.21 0.63 0.45 0.71 21 0.40 -0.03 -0.03 0.11 0.40 1.00 0.05 1.83 0.66 0.43 0.39 0.31 0.53 0.60 0.70 0.26 0.31 0.22 0.71 0.36 - 0.71 0.29 0.16 0.17 0.51 0.49 22 0.14 0.04 -0.03 0.14 0.14 -1.25 0.01 0.03 0.45 0.08 0.21 0.12 0.30 0.31 0.43 0.13 0.21 0.08 0.34 0.26 0.42 - 0.16 -0.08 0.14 0.16 0.35 23 0.33 0.23 0.23 -0.01 0.67 1.00 0.47 0.48 0.62 0.68 0.73 0.69 0.65 0.70 0.33 0.72 0.69 0.13 1.00 1.00 0.71 0.68 - 0.69 1.00 0.63 1.00 24 0.48 0.04 0.13 0.07 0.28 -1.42 0.10 0.03 0.41 0.41 0.15 0.24 0.25 0.25 0.18 0.15 0.24 0.10 0.50 0.12 0.10 -0.09 0.18 - 0.54 0.21 0.21 25 0.36 0.07 0.07 -0.02 0.36 -2.0 0.09 0.05 0.20 0.20 0.11 0.12 0.27 0.19 0.23 0.11 0.29 0.06 0.31 0.18 0.06 0.08 0.14 0.28 - 0.16 0.18 26 0.26 0.07 0.02 0.33 0.20 -2.15 0.04 0.11 0.16 0.29 0..12 0.07 0.37 0.33 0.33 0.12 0.20 0.30 0.34 0.14 0.18 0.10 0.09 0.12 0.18 - 0.20 27 0.50 0.23 0.10 0.50 0.67 -2.94 0.20 0.21 0.81 0.52 0.59 0.39 0.83 0.85 0.50 0.31 0.38 0.27 0.84 0.71 0.56 0.68 0.47 0.37 0.63 0.63 -
表 4-4 試題關聯順序性係數一覽表
試題間順序指向的煩雜程度是以Ｈp值為尺度，而且當全部試題間均具全順序指向 構造，即上下位關聯弱推移性時，表示Ｈp接近μ*；當全部試題間均呈現彼此獨立 而無任何順序指向時，表示Ｈp＜2μ*－1；當全部試題間有半數具順序指向現象 時，表示Ｈp接近μ*。因此當選擇順序性係數閥值為μ*＝0.5 時，則可整理出：（引 自許天維，1995）
（１）若全部試題間無順序指向，即全部試題間呈現彼此獨立，則表示Ｈp
接近0。
（２）若全部試題間有半數具順序指向，則表示Ｈp接近μ*＝0.5。
（３）若全部試題間均具順序指向，則表示Ｈp接近1。
另一方面，因全部試題間具順序指向的個數佔總試題間兩兩成對的個數比值 是閥值μ*的線性函數，所以本研究為使試題間具有順序指向個數不過半，以免造 成順序指向過於煩雜，而先選擇最常用的順序性係數閥值以進行分析，亦即將其 閥值設為μ*＝0.5。值得注意的是若順序指向過少，可以減小閥值；若順序指向過 多，可以加大閥值；一般所取閥值是介於0.4 與 0.6 之間。根據第二章第六節所示，
當 r*jk≧μ*＝0.5 時，就會有第ｊ試題到第ｋ試題的順序存在，在此情況下，以 1 來表示此種順序的指向存在；反之，則以 0 來表示無第ｊ試題到第ｋ試題的順序 性指向存在。於是在此方式的處理原則下，把前頁表4-4 順序性係數一覽表中之大 於0.5 的係數改寫為 1，而小於 0.5 的係數改寫為 0，因此可修改表 4-4 的順序性係 數表成為簡便的0-1 表，此表亦稱為 0-1 矩陣表，非常有益於畫出指出指向結構圖，
其結果呈現如表4-5 所示：
題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 3 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 8 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 17 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 18 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 19 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 21 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 23 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 27 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0
表 4-5 順序性係數之 0-1 矩陣表
第三節 試題關聯結構圖的繪製
由上一節的順序性係數之0-1 矩陣表，經 IRSP 軟體的處理後，可以在電腦螢 幕上顯示出試題關聯結構圖，其處理方式重點如下所述（引自許天維，1995）：
（１）以縱座標表示通過率，上方座標表示通過率低，下方座標表示通過率 高，將試題依通過率高低加以標示試題題號於座標上。
（２）在順序性係數0-1 表中，若有 1 則繪出從「縱座標的試題題號」至「橫 座標的試題題號」的指向箭頭。
（３）為避免指向箭頭過多，影響分析工作進行，故需簡化圖形，例如儘量 將通過率相差懸殊的指向或遞移性指向加以簡略，或依圖形理論將順 序性0-1 表，經由矩陣運算化為最簡，再行標示。
試舉竹谷誠的一個例子，若其順序性0-1 表的兩試題間的關係如下：
試題 1 試題 2 試題 3 試題 4 試題 5 試題 6
試題 1 0 0 0 0 0
試題 2 1 0 0 0 0
試題 3 1 1 0 0 0
試題 4 1 0 0 0 0
試題 5 1 0 0 1 1
試題 6 1 0 0 1 1
此時以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，並依下列程序形成 完整的試題關聯結構圖，如下所示：
答對率 試題關聯結構圖 答對率 試題關聯結構圖
第四節 試題關聯結構圖之分析與討論
本研究的主要目的是要獲得受測學童目前的學習結構以便進行分析，因而利 用「知識結構分析」來形成試題，以誘導學童外顯其為人所難知的學習結構。為 了進一步呈現試題關聯結構圖所顯示的訊息，研究者將分別以個別子概念為中心 的關聯結構圖及系列試題的關聯結構圖來作探討。
一、整體試題關聯結構圖方面
（一）就橫斷層面來看
依答對率的高低約可分成三類別，如表4-6 所示：
表 4-6 試題關聯結構圖之橫斷層面分析
答對率 試 題 特 性 題號 真分數乘以整數，其積為真分數或假分數。 2，7，8，16 假分數乘以整數，其積為假分數。 3 假分數乘以整數，其積為帶分數或整數。 11，20 0.88~1
帶分數的定義 23 真分數乘以整數，其積為真分數或假分數。 17， 24
真分數乘以整數，其積為帶分數或整數。 18，22 假分數乘以整數，其積為假分數。 10
假分數乘以整數，其積為帶分數或整數。 19，27 帶分數乘以整數，其積之分數部分不進位。 12， 21 0.77~0.87
帶分數乘以整數，其積之分數部分進位。 14
真分數的定義 1，25 假分數的定義 6 0.03~0.74 帶分數的定義 5
真分數乘以整數，其積為帶分數或整數。 9
假分數乘以整數，其積為假分數。 26 帶分數乘以整數，其積之分數部分進位。 13，15
假分數和帶分數互換 4
依據表 4-6 題關聯結構圖之橫斷層面分析，將試題分成三部分，從上面的資 料可以得知，施測的學童對於「分數的定義」普遍來說，概念上有所迷思，「分數 的定義」的概念，普遍來說答對率較低；假分數的數值，全部施測的對象對於假 分數的數值概念迷思，全部施測學童只有二位低分組的學童答對，經晤談結果，
該學童全部是猜測得到；帶分數中整數和分數之間的關係，也有部份的學童認為 是相乘，因此可能在從事分數乘以整數教學之前，先就分數的定義先作澄清；從 本表可以看出，以分數的種類而言，真分數乘以整數的答對率最高，假分數乘以 整數的答對率次之，帶分數乘以整數的答對率最低；以其積之分數是否進位而言，
不進位的答對率比進位的答對率要高。在「真分數乘以整數，其積為真分數或假 分數」方面，答對率普遍都相當高，其中 4 題（2，7，8，16）學童的答對率都大 於或等於 0.9；但有 2 題（17，24）的答對率都只有 0.81，因第17，24 題，則包 含和分數乘以整數不相關的舊概念，尤其第24 題的周長，學童選擇 3 的選項高達 14.5﹪可見孩童對周長的意義有所迷思；就「真分數乘以整數，其積為帶分數或整 數」而言，因為必須再一次的利用假分數與帶分數互換的觀念，因此答對率普遍 比「真分數乘以整數，其積為真分數或假分數」來的低；就「假分數乘以整數，
其積為假分數」而言，本試卷一共有 3 題（3，10，26），這三題的答對率分別為 0.97、0.77、0.69，差異性非常大，綜觀這三題，其中第 3 題純粹只是假分數乘以 整數，其積為假分數的計算，第 10、26 題則是以情境題出現，學童的答對率就下 降一些，反而「假分數乘以整數，其積為帶分數或整數」的答對率比較高，可見
率皆不高，學童普遍的答對率比真分數乘以整數和假分數乘以整數來的低。
率皆不高，學童普遍的答對率比真分數乘以整數和假分數乘以整數來的低。