國小學童分數之倍數運算的結構分析

國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系

在 職 進 修 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文

指 導 教 授 ： 許 天 維 博 士

國小學童分數之倍數運算的結構分析

研 究 生 ： 黃 靜 慧 撰

中華民國九十六年六月

國小學童分數之倍數運算的結構分析

論 文 摘 要

本研究之主要目的在於編製一套分數之整數倍試題，並藉由試題關聯結構分析法 （IRS）對施測結果加以進行分析形成結構圖，以探究學童在分數之整數倍概念的知識結 構。研究者參考國內外文獻及國小數學課程將分數之整數倍概念細分為三個子概念，分別 為：真分數乘以整數、假分數乘以整數、帶分數乘以整數；根據上述三個子概念，研究者 發展出分數整數倍的測驗工具。 本研究以台中縣某國小兩班五年級學童為研究對象，施測後，採用試題關聯結構理論 之 IRS 電腦程式進行筆測資料的分析，期能從中獲得兩個班級的學童在分數之整數倍概念 的試題關聯結構圖所呈現的訊息。根據結構圖所呈現的結果，本研究獲得以下結論： 研究者透過紙筆測驗及結構圖的分析之後，發現本次受測學童的分數之整數倍概念其 認知能力發展的先後次序，真分數乘以整數方面：（1）真分數乘以整數，其積分數不進位、 （2）真分數乘以整數，其積分數進位、（3）真分數的定義。 假分數乘以整數方面：（1）假分數乘以整數，其積分數進位、（2）假分數乘以整數，其積 分數不進位、（3）假分數的定義。帶分數乘以整數方面：（1）帶分數乘以整數，其積分數 不進位、（2）帶分數的定義、（3）帶分數乘以整數，其積分數進位；但是經由此次的施測， 本研究也發現，孩童在分數之整數倍的概念中，以帶分數乘以整數，其積進位，最為困難； 並且發現孩童對於分數的定義並不清楚；以及帶分數中整數和真分數之間的關係有所迷 失。 綜合以上結果，並根據此結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。 關鍵詞：分數乘以整數 試題關聯結構分析法 試題編製

The Structure Analysis of Multiples of Fractional

Operations for Elementary Students

Thesis abstract

The purpose of this research is to establish a set of test questions regarding integral multiples of fractions. Moreover, to develop a structural graph based on the resulting scores analyzed by the IRS method in order to further study the students’ knowledge structure of fractions’ integral multiples. Based on the researcher’s references from the Fractional Integral Multiples Concept is divided into three sub-concepts: Common Fraction Multiplied by Integer, Improper Fraction Multiplied by Integer, and Mixed Fraction Multiplied by Integer. According to the sub-concepts, the researcher developed a set of self-composed test questions of Integral Multiples of Fractions.

The subjects of this study are two classes of fifth grader students from a Taichung County elementary school. After taking the test, the IOSP computer program of Test Question Relationship Structure Analysis Method will be utilized to analyze the scoring data in order to obtain the resulting information from the structure graph of fractions multiplied by integers. According to the results of the structure graph, this research reached the following conclusion:

Through the researcher’s written examination and graph analysis, the cognition sequence of the tested students’ fractions multiplied by integers. Concept was discovered. With respect to the common fraction being multiplied by the integer: (1) common fraction is multiplied by the integer, its integral number does not carry over, (2) common fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over, (3) common fraction definition. With respect to the improper fraction being multiplied by the integer: (1) improper fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over, (2) improper fraction is multiplied by the integer, its integral number does not carry over, (3) improper fraction definition. With respect to the mixed fraction being multiplied by the integer: (1) mixed fraction is multiplied by the integer, its integral number does not carry over, (2) mixed fraction definition, (3) mixed fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over. This study also discovers that, within the fractions multiplied by integers, the mixed fraction is multiplied by the integer, its integral number carries over are the most difficult. It was also discovered that the students were not clear on the definition of fractions, as well as the relationship between the mixed fractions’ integers and common fractions

The above results are combined to propose several suggestions to serve as a source of reference for educators and further studies.

Key phrases: Fractions multiplied by integers

Test Question Relationship Structure Analysis Method

目 次

第一章 緒論………1

第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………3 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究範圍與限制………5

第二章 文獻探討………7

第一節 有理數概念之分析………..……….……7 第二節 認知心理學………....………..12 第三節 分數概念之分析………..14 第四節 歷年課程在分數教材上之比較……….…..………..21 第五節 分數的整數倍概念之發展層次………...………..32 第六節 試題關聯結構分析法………...………..33

第三章 研究設計與實施………..41

第一節 研究架構………..41 第二節 研究對象………..42 第三節 研究工具………..42 第四節 研究流程………..47 第五節 資料處理………..48

第四章 研究結果與分析………..49

第一節 試題性質分析………..49 第二節 試題關聯順序性係數之分析………..53 第三節 試題關聯結構圖的繪製………..57 第四節 試題關聯結構圖之分析與討論………..59

第五章 結論與建議………..83

第一節 結論………..83 第二節 建議………..…86

參考文獻………..……88

一、中文部分………..……88 二、外文部分………..……89

附錄………...91

附錄一 分數乘以整數自編試題………..…91 附錄二 試題檢核表……….…….…....96 附錄三 國小學童分數整數倍之概念評量專家效度調查問卷…….…...98

表 目 次

表 2-1 九年一貫暫行綱要和九年一貫課程正式綱要能力指標之比較..…....9 表 2-2 分數課程之比較………..………..21 表 2-3 分數乘以整數部分的先備知識之比較………25 表 4-1 測驗之 Cronbach’s α信度分析………..………..…...49 表 4-2 分數乘以整數相關概念命題雙向細目表………..50 表 4-3 試題之難易度及鑑別度……….………...52 表 4-4 試題關聯順序性係數一覽表……….….…54 表 4-5 順序性係數之 0-1 矩陣表……….……….…….………...56 表 4-6 試題關聯結構圖之橫斷層面分析………..………...59 表 4-7 真分數乘以整數之概念分析………...…………..….64 表 4-8 假分數乘以整數之概念分析……….….66 表 4-9 帶分數乘以整數之概念分析………..70 表 4-10 真分數乘以整數和假分數乘以整數概念分類………73 表 4-11 真分數乘以整數和帶分數乘以整數概念分類………77 表 4-12 假分數乘以整數和帶分數乘以整數概念分類………80

圖 目 次

圖 2-1 分數乘以整數先備知識………32 圖 3-1 研究架構圖………..…..……….…...41 圖 3-2 分數教材地位圖………..……….….……….…...43 圖 3-3 分數乘以整數概念圖………..……….….……….…...44 圖 3-4 分數乘以整數試題架構圖……….………..…...44 圖 3-5 研究流程圖……….…...47 圖 4-1 群體受試者之試題關聯結構圖……….……….……..62 圖 4-2 「分數乘以整數」其積進位與否分類試題關聯結構圖...……...63 圖 4-3 「真分數乘以整數」子概念之試題關聯結構………....65 圖 4-4 「假分數乘以整數」子概念之試題關聯結構圖………....68 圖 4-5 「帶分數乘以整數」子概念之試題關聯結構圖…..…….………71 圖 4-6 真分數乘以整數和假分數乘以整數之試題關聯結構圖……….……74 圖 4-7 真分數乘以整數和帶分數乘以整數之試題關聯結構圖…...………...78 圖 4-8 假分數乘以整數和帶分數乘以整數之試題關聯結構圖…….……...81

國小學童分數之倍數運算的結構分析

第一章 緒論

國民小學之課程理念應以生活化為教學中心，配合學童身心能力發展歷程； 尊重個性發展（九年一貫課程綱要），以培養學童帶著走的知識為依歸。而數學之 所以被納入基礎課程，因其為人類重要資產，也是一種不分國籍的共通語言，更 是人類天賦的本能延伸（九年一貫課程綱要），因此相較於個別的領域特性，更顯 得數學的重要性。除了讓學童認識重要的數學概念之外，如何提升其計算能力、 抽象能力及推理能力，也是教師在教學活動進行結束後，教師急需瞭解的課題。 為了讓教師瞭解學童在學習數學概念的發展情形，特別編製一套完善的試題，來 偵測學童的概念發展，以利教師了解學童概念迷失之情形，並進行補救教學。本 研究將針對「分數乘以整數」的運算，以專家知識結構為主來編製試題，再將測 驗結果以試題關聯結構（IRSP）進行分析，以瞭解學童的知識結構為目的，進而 作為日後從事「分數乘以整數」教學之參考。

第一節 研究動機

綜觀人類對於「數」的發展概念，先有自然數、整數，然後有理數、實數、 複數，自然數和整數，對一般學童而言，常是利用具體且可見的活動加以表徵， 但有理數概念的形成，對學童的學習來說是一大邁進，尤其是分數的符號，外觀 看似整數，但在運算規則及涵義上，和整數有很大的差異，所以在國民小學五年 級的數學教材中，分數一直是數學課程中一個很重要的部分，而且也是一般學童 最容易有迷思的概念；一般學童較缺乏分數乘法的經驗，而且日常生活中的分數 乘法情境也比整數少，因此在分數的乘法上容易形成概念的迷思；尤其是有理數 的形式是學童首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的

精熟，另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤；甚至，有 理數的概念理解與形式程序的學習，有時會互相干擾，然而有理數數感的建立， 卻又依賴兩者在反覆應用練習中，彼此增強（九年一貫課程綱要）。而「分數乘以 整數」只佔國小分數課程中的一個單元，若能成功的學習分數乘以整數，不但是 有效學習分數量化所須具備的基本概念，甚至是學童進入有理數的概念，也有很 大的幫助，更為日後基本代數運算能力建立了基礎。由此可見，分數乘以整數在 國小數學教材中是個重要課題。 教師在進行教學活動時，往往會利用教師所認為的知識結構教材地位來進行 教學設計，也期望學童在知識結構上，可以依照教師所謂專家知識來建構自己的 概念；但是經過教學後，學童是否能夠按照教師所設計的路徑形成概念，則是不 得而知了。因此，為了達成瞭解並診斷一個班級學童的知識結構的目的，則應編 製一份「分數乘以整數」的試題並據以施測，以瞭解學童的知識結構並能知道學 童的迷思概念，以作為補教教學以及日後教學之參考。 一般而言，大部分的新測驗理論內容，所測驗的對象是一個大團體時，所使 用的方法是試題反應理論或試題層次分析法，以獲得學童學習成就情況之質方面 的訊息。而測驗的對象小如只有一個班級學童數的大小時，則其使用的方法是試 題關聯結構分析法（Item relational structure, IRSP），如此才能獲得學童學習概念能 力方面所呈現之形成性的結構圖，可與教師依專家知識結構所建構的結構圖比 較，亦可與教科書編者所製的教材地位分析圖比較，比較結果對於改善教學方法 與指導教材設計，都將有莫大的幫助。（許天維，1995）。 因此，本研究先以專家知識結構，編擬分數乘以整數試題作為工具來進行資 料的收集，再應用試題關聯結構分析法（IRSP），形成學童在分數乘以整數概念的 學習結構圖並進行分析，藉以瞭解學童分數乘以整數概念之知識結構的發展，進 而對於部分學童的概念迷失加以分析，探究其原因並進行補救教學。

第二節 研究目的

基於以上的動機，本研究之最主要目的是根據課程專家知識結構，編製一份 試題，藉由試題關聯結構分析法（IRSP）來分析受試學童的群體學習結構圖，進 而了解學童分數乘以整數概念的上下為關係，目的在 1.瞭解學童在分數乘以整數的知識結構。 2.探討學童在分數乘以整數所遇到之問題和迷失概念，以作為研究者以及從事 補救教學之參考。 根據上面研究目的，本研究將探討內容如下： 1.探討學童在分數乘以整數的知識結構為何？ 2.根據學童的錯誤類型，分析學童在分數乘以整數可能遇到之問題和迷思概 念，以及如何做補救教學？

第三節 名詞釋義

一、有理數 一般而言，分數的等價集稱為分數，在分數活動中能以分數作為測量單 位，處理單位分數的內容物是碎裂個物或為已知量的情境，在小學階段以分數 為其代表。（呂玉琴，1996） 二、分數 （一）數學辭典的定義 1.幼獅數學大辭典的定義 根據幼獅數學大辭典（1983）的定義，分數（fraction）表示 1 之若干等分的 名詞。此名詞係屬術語，而兼指僅有一分之一種。凡等分之一即稱為分數單位。

例如 4 3 ， 9 8

，

b a

，

.05 等等，均為分數，於第一例，其中含有所分 1 之等分為 3， 每分等於 4 1

；

而分數單位為 4 1 。在分數 b a 中，所分之等分各等於 b 1 ，而所取者有 a 個。於分數 .05 中，分數單位為 100 1 ，即 .01。 2.牛頓數學辭典的定義 根據牛頓數學辭典（1997）的定義，分數（fraction）表示一數除以另外一數 的商，表為 b a

（或 a/b），被除數 a 是分子（numerator）且除數 b 是分母（denominator）。 3.貓頭鷹出版社出版之數學辭典的定義 根據貓頭鷹出版社出版之數學辭典（1999）的定義，分數（fraction）有兩種 意義： （1）兩個整數之比，或任何可表示成 m/n 的數，這裡 m 不是 n 的倍數，n 不 是零或 1。 （2）任何一個量或表示式（分子，numerator）與另一個非零的量或表示式（分 母，denominator）之比。 （二）國小數學教學指引的定義 依據國民小學數學教學指引第九冊（2000）的定義，分數概念起源於 〝分〞，是用來解決不滿一個單位量之數值的問題。透過將原單位量（例如： 一公尺的繩子）加以等分割（例如：分成四等份），得到單位分量，再重複數 個單位分量（例如：三個四分之一公尺）加以合成，而得到與被測量量等價的 量，以等分割的份數（例如：四份）和重複的次數（例如：三次）的並置（例 如：四分之三）作為被測量量的指標。 三、試題分析 根據英漢教育辭典（1989）的定義，試題分析（item analysis）為改進測驗的

難度過高、容易的題目或學童一概回答很好的題目，不討論他們在測驗中總成績 如何。 四、專家知識結構 本研究中，編製診斷測驗試題所依據的專家知識結構，乃是由國小教師及學 者專家分析「分數乘以整數」單元之教材內容及教學目標，找出單元內重要概念， 再根據國小教師及學者專家認為學童學習歷程、概念發展順序及概念間的關係， 繪出「分數乘以整數」單元的之知識結構。專家知識結構中，最上層概念為此單 元之最難概念（知識），下層為各概念之下位概念（先備知識）。 五、學童知識結構 本研究中，所謂學童知識結構，乃是學童經過學習之後，經過教師所編製之 診斷測驗試題，進行測試，再根據學童作答情形，分析瞭解學童學習歷程、概念 發展順序及概念間的關係，繪出「分數乘以整數」單元的知識結構。學童知識結 構中，最上層概念為此單元對學童而言，上層為最難概念（知識），下層為各概念 之下位概念（先備知識）。

第四節 研究範圍與限制

本研究是以國民小學五年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法 （IRS），來探究學童在分數乘以整數方面之知識結構。所以將研究範圍與限制之 說明就研究內容、研究對象及設計，分述如下： 一、就研究內容而言 本研究之測驗其主要內容為國民小學數學科五年級上學期的「分數乘以整數」 教材，藉以瞭解學童在分數成以整數所遇到之問題、迷失概念和孩童的知識結構。 二、就研究對象及設計而言

本研究旨在透過試題關聯結構法（IRS）之分析，探究受測學童在分數乘以整 數的知識結構，且本研究受限於研究時間、人力與經費等客觀因素，係以台中縣 太平市，學區是工業區的某國民小學五年級兩個班級的學童為研究對象，因此所 研究之結果，只適合在條件和本研究相似的學區國小參考，不宜過度解釋，使其 驗證的價值性受分析對象材料真實性受到扭曲。

第二章 文獻探討

第一節 有理數概念之分析

本研究的主題是研究學童的分數之倍數運算概念，然而學童是否能成功學習分 數之倍數運算概念則是將分數加以延伸的關鍵，分數又是有理數的表現形式之一 種，因此探討分數乘以整數運算概念之前，本節有必要先對有理數的起源、定義、 國民小學九年一貫課程綱要對有理數之省思及國內學者對於學童在學習有理數必 須注意問題作一說明。 一、有理數的起源 介於兩個整數之間，「連續性」的一般概念，由古希臘早期的思想家畢達哥拉 斯學派的追隨者於公元前六世紀發展出來的，巴比倫人及埃及人只使用其中幾 個，我們稱為分數（fraction）的數字，通常都小於 1，分數這個字來自於拉丁文 fractio，譯成阿拉伯是 kasr，意為「不連續」，這些分數都是不連續數。整數加上 分數成有理數集合，記作 Q ，不同於整數，有理數不必然是單位的複數量，數量 的概念因有理數而更拓寬複雜，從「記數」擴展為「衡量」。在 15 世紀，波斯數 學家兼天文家阿爾卡錫（Al-Kashi，1380-1429）所著之《數學之錀》（Miftah al-hisab）

中，大力推展數學以分數寫法來表示，他是薩馬爾罕天文觀測站的負責人。（雷淑 芬，2002） 二、數學辭典的定義 1.幼獅數學大辭典的定義 任取兩個整數 a，b(b≠0), 則形如 b a 之分數稱為有理數，整數為有理數之特 殊情形，即 b=1 時的有理數為整數，有理數表成小數時，一定是有限小數或無限 循環小數。 有理數在四則運算下仍為有理數，亦即有理數在四則運算下是封閉性的。 例如：一數可以表示為整數或整數之商，也及兩整數相除所得之數視為有理

數，如 2 1_、 4 3_、 2 10_。 2.牛頓數學辭典的定義 有理數為整數或是可寫成兩整數之商的實數，例如：1，7，540， 3 2_， 9 1 3.徐氏基金會出版社出版之圖解新數學辭典的定義 有理數是可以用一分數之形式來表示的數，如 a， b a ，b 之形式的數，其中 a、 b 為任意之整數，且 b≠0，有時有理數定義為一整數有序偶（a,b），其中 b≠0。 二個有理數相等意謂著（a,b）＝（c,d）,若且唯若 ad＝bc。實數的相加表示為（a,b） ＋（c,d）＝（ad＋bc,bd），實數（a,1）或 1 a_{寫成 a} 三、國民小學九年一貫課程綱要之有理數 在國民小學九年一貫課程綱之附錄上明白指示有理數是核心課程之一，也在 課程目標上明文規定，在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算，所以有關 有理數的部分，在國小各階段的能力指標，就九年一貫暫行綱要，和九年一貫課 程正式綱要做一比較分析：

表 2-1 九年一貫暫行綱要和九年一貫課程正式綱要能力指標之比較 階段一：具體操作（一到三年級）（前運思期） 九年一貫課程暫行綱要能力指標 九年一貫課程正式綱要能力指標 N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯出現 之具體生活情境中(包含連續 量、離散量)，能以真分數(分母 在 20 以內)描述內容物為單一 個物的幾份，並能延伸真分數 的意義，進行同分母真分數的 合成、分解活動(和<1)。 N-1-8 在一個整體 1 被明確十等分的 具體生活情境中(包含離散量、 連續量)，能以一位小數描述其 中的幾分，並能進行一位小數 的合成、分解活動(和及被減數 <1)。 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分 數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。 N-1-10 能認識一位小數，並作比較與 加減計算。

表 2-1（續） 九年一貫暫行綱要和九年一貫課程正式綱要能力指標之比較 階段二：具體表徵（四到五年級）（具體運思期） 九年一貫課程暫行綱要能力指標 九年一貫課程正式綱要能力指標 N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現 之具體情境中，能以真分數來 描述單位分數內容物為多個個 物的幾份，進行同分母真分數 的合成、分解活動，並理解等 值分數的意義。 N-2-6 在具體情境中，能以假分數或 帶分數描述具體的量，並能解 決分數的合成、分解以及簡單 整數倍的問題。 N-2-7 能以二位小數描述具體的量， 並解決二位小數的合成、分解 及簡單整數倍問題。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分 數，作同分母分數的比較、加 減與整數倍計算，並解決生活 中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分 的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解 決異分母分數的比較與加減 問題。 N-2-10 能認識多位小數，理解其比 較，及用直式處理加、減與整 數倍的計算，並解決生活中的 問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算 方法，並解決生活中的問題。 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計 算，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標 記在數線上。

表 2-1（續） 九年一貫暫行綱要和九年一貫課程正式綱要能力指標之比較 階段三：類化具體表徵（六到七年級）（形式運思期） 九年一貫課程暫行綱要能力指標 九年一貫課程正式綱要能力指標 N-3-3 在具體情境中，理解通分的意 義並運用通分解決異分母分數 的合成、分解問題。 N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分 數的問題，進而形成分數倍的概 念。 N-3-5 能延伸小數的認識到三位以上 (小數)，並解決生活中與小數 有關的加、減、乘、除問題。 N-3-6 在具體情境中，能用分數、小 數表示除的結果(除的結果為 有限小數)。 N-3-7 能用分數倍的概念，整合以分 數為除數的包含除和等分除的 運算格式。 A-3-8 能做分數的四則運算。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計 算方法，並解決生活中的問題。 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計 算，並解決生活中的問題。 四、國內學者研究對於學童在學習有理數必須注意問題 有理數教學的困難主要在於：常牽涉到兩種非常不同的表現形式─分數與小 數；應用課題很廣，包括平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體；學童較缺 乏有理數的前置經驗，也就是日常生活中的有理數情境也比整數少；分數的形式 是學童首次碰到兩整數並置的約定，一方面分數計算的熟練，仰賴整數的精熟， 另一方面整數計算的經驗，有時反而會造成有理數學習的錯誤；甚至，有理數的 概念理解與形式程序的學習，有時會互相干擾，然而有理數數感的建立，卻又依

賴兩者在反覆應用練習中，彼此增強。（九年一貫數學科課程附錄一）而且學童剛 開始接觸分數概念，是進行實物的分配時，遇到有餘量還需再分配的過程中所經 驗到的。例如：學童經驗過三分之一塊蛋糕、三分之一塊麵包、三分之一個蔥油 餅、....等實物的部分量，才察覺到每一次經驗都有個共通的不變性，即分量相對 於整體量的關係。有這層察覺之後，才可以逐步地拋棄實物單位。但是現在的教 材都太早拋棄實物單位，並且缺乏「拋棄過程」的設計，太快就將分量直接抽象 化為分數。（呂玉琴；1996）因此學童往往對分數有所迷失。

第二節 認知心理學

學習分數乘以整數最重要的除了個人認知發展之外，要有效的學習分數的整 數倍運算，則必須端看學童如何建構自己的思維，因此本節就皮亞傑的認知發展 理論和張靜嚳先生的建構理論加以說明。 皮亞傑最有名的就是他的四階段認知發展論，他認為每個人必然經過這四個 不會改變、秩序井然的過程。這四個階段包括感覺動作期（Sensorimotor Stage）、 前運思期（Peoperational Stage）、具體運思期（Concrete-operation Stage）、 形式運思期（Formal-operational Stage）。他認為在人類智力發展過程中會遇到 不同的事物，於是便會產生以相對應的方式去處理的「基模」（Schema），其中有 三種基本路徑：同化、順應與適應。我們的認知遇到不同的環境就會自動加以同 化，以順應改變的環境狀態，在這些過程的進行之中，人類自身可以得到平衡， 就是適應。「基礎」會隨著不同的階段去調整、改變。第一個階段有認知具體物件 的概念，第二階段可以使用符號認知，第三階段可以根據認知經驗思維，第四階 段可以做抽象的思維認知。分數的整數倍運算概念則是屬於第三階段，因此學童

以有較的學習分數的整數倍運算概念。（黃湘武，2000） 建構主義基本上是在解釋「知識是什麼？」和「學習是什麼？」的一種理論 模式。張靜嚳先生根據建構主義三個基本原理接受的程度的淺，深，廣三種不同 層次的建構主義，區分成三種建構主義。第一種是傳統建構主義，此派建構主義 只接受建構主義的第一原理：「知識是認知個體主動的建構，不是被動的接受或吸 收」。對教師而言，單單接受第一原理其實對教學幫助不大，因為這樣教師還是不 知如何進行符合建構主義式的教學。這類教師基本上還是會採用傳統式的教學。 其中，有些教師或許會參雜採用一些建構主義式的教學策略，例如，問題中心教 學或合作學習，於其原有的教學之中。這些教師或許會以為自己的教學已經符合 建構主義了，其實，常常是沒有，基本上還會是傳統的教學內涵。我們稱這種建 構主義為明顯、或自明的建構主義(trivial constructivism) 。第二種是個人建 構主義，此一建構主義強調知識是個人主觀的建構，只反映個人經驗的現實，只 存在於每一個人的腦中，也只有對個人自己才有意義。此派建構主義的第二原理： 「 認知的功能在適應，認知是用來組織經驗的世界，不是用來發現本體的現實」。 個人建構主義不承認書中有知識，書中只有文字符號，符號本身並無意義，符號 本身並無知識。因此，語言也只是聲音符號而已，教師口中也無知識。教師講解 時，所傳輸的只是聲音和訊號，並無意義，若有意義也是學童賦予的。Von Glasersfeld 認為只有同時接受第一和第二原理的建構主義才能深入，才能根本 的解釋知識與學習的本質。因此，他把這種建構主義稱根本建構主義 (radical constructivism)。因為根本建構主義只強調個人主觀知識的部分，故又稱為個人 建構主義。第三種是社會建構主義，此建構主義的第三原理是：「知識是個人與別 人經由磋商與和解的社會建構」。該原理主要在強調個人建構知識是在社會文化的 環境之下建構的，因此所建構之知識與社會文化脫不了關係。所建構之知識的意 義雖然是相當主觀，但也不是隨意的任意建構，而是需要與別人磋商和和解來不 斷的加以調整和修整，而且會受到當時文化與社會的影響。所以，知識的主觀部

分是不會一樣的，但在客觀部分或相互主觀的共識部分，或在某種範圍和程度上 是可以相通或相容的。例如，蝴蝶，在主觀部分每一個人所謂的蝴蝶不盡相同， 例如，當談及蝴蝶時瞬間在每人心中飛舞並非同一隻蝴蝶，也非相同的時空和背 景。但在客觀部分，我們卻有某種程度的共識，即當我們說「蝴蝶」時我們指的 會是我們所共識的某一特定類的昆蟲，但絕對不會是蜻蜓。我們對「蝴蝶」主觀 意義的建構是取自個人經驗中要素，但我們是在與別人語意的互動中視其管用程 度不斷的在嘗試錯誤中來改編這些意義。（張靜嚳，1995） 學童在學會分數整數倍的概念，除了必須經過皮亞傑所謂的前運思期，也就 是在二年級時，先在具體情境中，利用符號，建立對分數的瞭解，以及同儕之間 互相磋商，對分數的加減產生概念；經過同化、順應或適應產生新的基模，因而 進入皮亞傑所謂的具體運思期，此時對分數已經有初步瞭解，再根據之前所建構 的分數基模，在加以理解、比較，藉此來解決日常生活的分數整數倍問題。

第三節 分數概念之分析

本研究的主題是學童的分數乘以整數概念，然而學童能否成功學習分數乘以 整數概念則有賴分數概念是否完備，固在探討分數乘以整數概念之前，本節有必 要先對分數的起源、意義、符號表徵及學童對分數詞意作說明。 一、 分數的起源 世界上最早的分數，見於的阿默斯紙草卷。在阿默斯紙草卷中，我們見到了 四千年以前分數的記法和運算法。當時，埃及人已經掌握了單位分數──分子為 １的分數的一般記法。但是世界上最早對分數進行系統敘述的著作，是我國九章 算術中的「方田章」中有分數的約分(約分術)、通分、加、減、乘、除法算則。化 帶分數為假做 「通分內子」，求幾個分母的最大公約數叫做「更相減損」。

有分數線。12、13 世紀義大利的數學家斐波那契是最早使用分數線的，但是當時 還沒有被普及化。在拉丁文裡，分數一詞來源於 frangere，是打破、斷裂的意思， 因此分數也曾被人叫做是「破碎數」。在數的歷史上，分數幾乎與自然數同樣古老， 在各個民族最古老的文獻裡，都能找到有關分數的記載。 二、分數的意義 Dickson et al.(1984)對分數提出的解釋是：整個區域的子區域、子集合和全體 集合間的比較、數線上兩個整數之間的一點、兩數相除所得的商、兩組集合或兩 個度量的大小比較方法。 Kieren(1976)提出對分數解釋是：部分－整體（part-whole）、比值(ratio)、商 (quotient)、操作(operator)、運算元 (measure)。

Behr et al. (1988)、Behr ＆ Post (1988) 將分數解釋成：部分－全部

（part-whole）、比例（ratio）、比值（rate）、商（quotient）、操作（operate）、線性 座標（linear coodinate）、數線上的一點。 呂玉琴（1996b）也認為分數概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量 的量的數值的問題。例如，將一個麵包要平分給三個人，每一個人可以得到 3 1 _個 麵包。 分數的意義，會隨其應用的情境而有不同的解釋，綜合以上國內外學者，歸 納如下： 1.是一種「部分－整體關係」的描述。 2.子集合/集合(離散量)。 3.乘法運算元。

4.

等值分數。 5.平均(含速率、密度)。

6.是一個「商」。 7.是一種「比值」「比例」。 8.是「除法」的運作。 9.把分數當成運算符號。 10.分數還有「小數」「位值」等意義。 三、分數的符號表徵 表徵的型式，Bruner (1966) 由運思方式的觀點，區分三種被運思的材料（表 徵）：動作的運思、圖像的運思、符號的運思。所謂動作的運思，是指接受到刺激 後，所引發的外在行動反映，透過這個反映，來學習概念或事物。一旦這個物件 或動作消失，則物件的意義或概念就會不存在；圖像的運思，是用心像（image） 來掌握概念。所以即使物件消失，在腦中仍留有該物件的心像，運思的活動是以 心像為材料，進行內在活動；符號的運思，是用符號來掌握概念（而符號和心像 不同，它和具體物是沒有任何類似），用符號進行運思。 Lesh(1979)則由溝通的觀點，來重新描述表徵的類別：實物情境（real-world situatuons）、操作具體物（manipulative aids）、圖像（pictures）、口語符號 spoken symbols、以及書寫符號（written symbols）。Lesh 認為學童能否在不同的表徵方式 中自由轉譯（translation），表示其對概念意義的掌握。 表徵(representation)在活動中可以具備兩種功能（蔣治邦，民 83）：溝通工具 和運思活動的材料。所謂的溝通工具，就是用特定的表徵符號，來描述活動的經 驗。所謂運思活動的材料，就是用表徵來代表物化的數學概念或內蘊化的活動類 型，而對表徵所代表的意義，進行活動。 從數學的定義來看，Russell 認為「將定義分數m_{為當 xn=ym 時存在於 x 與 y}

之間的關係；這個定義使我們能證明，在 m 與 n 皆不為 0 的情況下， n m_是一對一 的關係。」（劉秋木，1996）。 若把分數視為關係，則更能了解分數的多種面相以及分數在生活應用中的各 種意義。m/n 可以表示兩個量數之間除法的結果，m÷n 的商是 n m_{；在這樣的除法關} 係裡，我們也可以說 n m_{表示有 m 個} n 1_，此時 n 1_{可以看成為一個單位，} n m_{則可表成有} m 個單位。 四、學童分數詞的意義 學者甯自強（Ning, 1992）則是依據學童在不同階段的運思方式所呈現的數概 念與分割活動基準，利用分數詞作為區分，而將學童的分數概念分為五個層次（李 端明，1997），茲說明如下： 所謂「分數詞」是一種口語上的特定類型，即只是一群信號而非符號。信號 與符號的差異在於信號只是一種圖像或語音，而符號則有特定的意義，因此必須 是指向特定意義的信號才能構成符號的要件。 1.分數概念的前身 此時的學童雖具有數概念與分割活動，但對於數概念只是序列性合成運思， 而分割活動並未能將子分割單位數值化，因此，此層次的學童並未具有分數概念， 故稱為分數概念的前身。 當學童僅能用序列性合成運思處理有關整數問題時，其分數詞所指向的數學 物件多為「並置類型」。所謂「並置類型」（ 甯自強，1993）是指由兩個使用子分 割單位形成的集聚單位被並置所形成的物件，此時所涉及的活動多為離散量的子 分割活動，也就是學童只能看到數字部分，對其涵義一概不知。以分數詞 4 1_來說， 其意義為「1 和 4」或是「4 和 1」。給予一學童 8 個積木，並要求其取出其中的 4 1_來， 如果學童的分數詞意義是「並置類型」的話，則他所提供的解答不是「一個」積

木，就是「四個」積木。 2.起始單位分數 學童被引入累進性合成運思於分數的情境；學童開始有如在整數情境中連絡 兩整數一樣，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」（embedded patterns）。舉 例來說，1/4 是指由 1 所指涉的集聚單位，而此集聚單位內嵌於由 4 所指涉的集聚 單位之中，即 1/4 是指「4 中間的 1」。值得注意的是，由於分子內嵌於分母之中， 將分子移出分母，會導致分母的摧毀，「內嵌並置類型」的並置關係，並不是明顯 的部份全體關係，而是隱約（implicit）的部份全體關係；此種部份和全體關係可 稱之為部份在全體之中（part-in-whole），也就是此階段學童對於部分和全體能未 清楚分割。因此，此時的學童所顯現的特徵為：還無法進行單位分數的累積活動。 3.加法性分數 由於部份全體運思的引入子分割活動中，造成子分割單位的質變。此時子分 割活動的結果，不但是可被集聚的計數單位，同時也是用子分割單位集聚而成的 集聚單位中的獨立部份單位，因此該階段學童以學會分數的累加；例如，會運思 3 1₊ 3 1_是 3 2_{。換句話說，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位，經過部份全體運思的} 運作，已經自集聚單位中脫嵌（disembedding）而出。子分割單位自此開始成為所 謂的單位分數單位（unit fraction unit）。

縱然此時學童具有子分割運思，但只是單向的部份－全體運思時的分數概 念，但此層次的學童仍然無法聯絡兩個以上的子分割活動。

4.巢狀分數

所謂巢狀分數是指學童具有雙向的部份－全體運思，與具有子分割單位數值 化的分數概念。由於此時學童能同時運思兩個分數，因此稱為巢狀分數。而巢狀

在巢狀分數時，學童具有雙向的部份－全體運思，因此可以理解分數的整數 倍與假分數和帶分數互換。所以能力指標的規劃，著重於理解分數的整數倍和帶 分數互換。此外，藉由等價的關係引導學童能以假分數或帶分數描述具體的量， 並能解決分數合成和分解的問題。由於學童具有「加法性分數」，因此也能解決分 數的簡單整數倍等問題。 5.有理數數概念 所謂有理數是巢狀分數的重組，即兩個部份全體的重組，學童不僅具有部份 －全體雙向運思下的巢狀分數，更能以分數做為測量單位，如以 24 1 _{為測量單位比} 較 6 3_與 8 4_{，學童知二者皆是} 24 12_，所以 6 3_等於 8 4_{。由於能同時思考二個分數，學童有} 等比例運思（共變）的概念，此概念即為密度的觀念，因此稱為有理數數概念。 本研究欲量測學童的分數乘以整數概念，在現今國小數學的教材中，分數乘 以整數單元出現在五年級，而五年級學童其數概念發展的運思期正好剛要由「部 份－全體運思」進入「測量運思」的階段，也就是由只能掌握單向的部份－全體 關係轉變成能掌握兩階層的部份－全體關係；表現在分數詞上則是由「加法性分 數」進到「巢狀分數」的一個階段，即本研究中的學童可能具備「加法性分數」 或「巢狀分數」數概念，但尚未理解「有理數數概念」。（陳雅芬；2003） 五、學童對分數和分數的整數倍有關迷思概念 分數的概念是一個在問題情境中兼具多重意義的數學概念，在日常生活中呈 現不同意義，造成學童在學習的困擾很大，如果沒有對於分數加以瞭解，只是機 械式的解題，是會造成更多的錯誤概念和迷思。以下是國內外有關分數整數倍概 念的研究報告或教學經驗中，容易犯錯的情形及各種錯誤加以整理如下： 1. Painter(1989)的研究中指出，學童常見的分數四則運算部分的錯誤，有關 分數的整數倍的情形有下列幾種：

帶分數化成假分數時，整數直接乘以分子，例如 7 3 3 = 7 3 3x =7 9 。 分母不變，分子為原帶分數的整數、分子即分母之和，例如 7 3 3 = 7 7 3 3+ + = 7 13 。 2. Lankford(1972)的研究中，分數乘法的錯誤類型有關分數的整數倍的有： 帶分數乘以整數時，只有整數部分相乘，例如 7 3 3 ×2=(3×2)7 3 =67 3 。 帶分數乘以整數時，只有將帶分數中的分數部分相乘，例如 7 3 3 ×2=3 7 2 3x =37 6 。 3. 圖形或東西超過 1 單位，也就是辨認帶分數有困難。（Kerslake, 1987） 4. 指認單位量會有困難，例如：學童無法了解在不同的單位量中，較小分 數所佔的量可能比較大分數所佔的量多。（Hart, 1981；楊壬孝，1988） 5. 忽略單位量，其常見的迷失有下三種：忽略給定單位量，Figueras（1989） 發現學童解題時，如果題目較複雜一些，學童比較無法順利找出單位量； 受分子的控制，解題時只考慮分子，教學上常發生有 20 個一樣大小的正 方形，請著色出 3/10 時，有一些學童會只塗其中的 3 塊；受分母的控制， 解題時只考慮分母，（楊壬孝，1988）提出學童解決從 8 朵花中，捐出其 中的 3/4 時，有一些學童會只有塗 4 朵。 6. 11 歲的學童對分數是數線上的一個數值的概念很薄弱（Booth, 1987） 7. 學童在做分數乘以整數時，對於分數的意義，有所迷失，所以容易將整 數乘以分母。

第四節 歷年課程在分數教材上之比較

在從事分數乘以整數的研究之前，我們可以就六十四年版、八十二年版、九 年一貫課程暫行綱要（簡稱暫綱）和九年一貫課程正式綱要（簡稱正綱）（95.8.1 實施），就分數的課程標準安排上做一個比較，藉此瞭解學童在學習分數所學習的 知識做一比較。 表 2-2 分數課程之比較 64 年版數學科課 程標準 82 年版數學科課 程標準 九年一貫課程暫行綱要 (草案) 九年一貫課程正綱 （95.8.1 實施） 一 無 無 無 二 • 分數的初步概 念（1/2、1/4 的意義）。 • 分數概念的的 初步認識。（註 1） • 分數的讀法轉 換成計法。 2-n-10 能在平分的情境 中，認識分母在 12 以內 的單位分數，並比較不 同單位分數的大小 三 • 分母為一百以 內的真分數的 認識 • 分母為 20 以 內的真分數的 認識。（註 2） • 分母為 10 的 真分數。（註 3） N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體生活 情境中(包含連續量、離 散量)，能以真分數(分 母在 20 以內)描述內容 物為單一個物的幾份， 並 能 延 伸 真 分 數 的 意 義，進行同分母真分數 的 合 成、 分解 活 動 (和 <1)。 3-n-09 能在具體情境 中，初步認識分數，並 解決同分母分數的比較 與加減問題。 課 程 年 級

表 2-2 分數課程之比較（續） 四 • 分數的種類。 • 同分母分數的 加減。 • 分數的種類。 （註 4） • 真分數的概 念。 • 假分數的認 識。（註 5） • 小數與分數 （分母為十、 一百、一千） 的雙向連結。 同分母分數的加 減。 4-n-06 能在平分情境 中，理解分數之「整 數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分 數、假分數與帶分 數，熟練假分數與帶 分數的互換，進行同 分母分數的比較、 加、減與非帶分數的 整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分 數，進行簡單異分母 分數的比較，並用來 做簡單分數與小數的 互換。 五 • 分數和整數、 小數的相互關 係。 • 分數的約分、 擴分及大小比 較。 • 異分母分數的 加減。 • 分數乘以整 數。 • 等值分數。（註 6） • 分數的數線。 （註 7） • 把分數是為整 數除法的結 果。（註 8） • 分數成以整數 的乘法。 N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境 中，能以真分數來描述單 位分數內容物為多個個 物的幾份，進行同分母真 分數的合成、分解活動， 並理解等值分數的意義。 N-2-6 在具體情境中，能 以假分數或帶分數描述 具體的量，並能解決分數 的合成、分解以及簡單整 數倍的問題。 N-2-19 能利用等分好的 數段上，做出一條簡單的 整數數線，並能進一步延 伸至簡單的分數和小數 的數線。 5-n-05 能用通分作簡 單異分母分數的比較 與加減。 5-n-07 能理解乘數為 分數的意義及計算方 法，並解決生活中的 問題。 5-n-11 能將分數、小 數標記在數線上。

表 2-2 分數課程之比較（續） 六 • 整數、小數、 分數的統整。 • 比例的認識。 • 用比例的關係 實測長度。 • 乘數、除數是 分數的乘除。 • 分數乘除混 合。 • 分數、小數的 混合計算。 • 比與比值。 • 正比與反比的 實例。 • 約分和擴分。 • 通分。（註 9） • 分數除以整數 的除法。 • 比、比值、比 例。 • N-3-3 在具體情境中，理 解通分的意義並運用通 分解決異分母分數的合 成、分解問題。 N-3-4 在具體情境中，解 決分數乘以分數的問 題，進而形成分數倍的概 念。 N-3-6 在具體情境中，能 用分數、小數表示除的結 果(除的結果為有限小 數)。 N-3-7 能用分數倍的概 念，整合以分數為除數的 包含除和等分除的運算 格式。 N-3-9 能理解同類量中 不同單位間的關係，並作 畫具活動（可以有分數、 小數）。 N-3-15 能在情境中理解 比、比例（包括正比例、 反比例）、比值、率（百 分率、ppm）的意義 A-3-8 能做分數的四則 運算。 6-n-03 能理解除數為 分數的意義及其計算 方法，並解決生活中 的問題。 6-n-05 能作分數的兩 步驟四則混合計算。

註 1：分數概念的初步認識： 1.安排適當的情境結合兒童既有的分數概念。 2.安排在連續量和分離量情境的分數意義。 3.在具體物與圖像中進行分的活動。 4.重視具體物與分數表徵的雙向連結。 5.在分數教學進行的過程中，讓學生便是整體量。 6.配合個別差異，讓學生有類推其他單位分數的經驗。 註 2： 在真分數的認識中，不教分數是累積單位分數後的結果；只教分數的分割 後結果。 註 3：此部分的目的作為 0.1 的前置經驗，期望學生由 1/10 的量化，延伸到數化。 註 4：指認識真分數和假分數，不介紹帶分數的名詞和傳統的記法。 註 5：1.由真分數的加法結果無法用真分數表示而引入假分數。 2.8 個 1/7 是 8/7 3.安排假分數的整體量辨認。 註 6：此階段的等值分數教學，應在相同的整體量辨認，不宜在抽象的符號上辨認 兩分數相等。 註 7：我門以 1/3 為例來說明。在數段圖中，我們將一個單位長的線段分成三等分， 取其中的一等分，然後把他放在數線上，當原點和單位長確定之後，1/3 的 位置也就確定。 註 8：我們以 2/3 為例。2/3 有兩種意義：一個是 3 等分中的 2 等分；另一個是 2 ÷3=2/3。在第二種中表示一個活動的結果，恰好和 2/3 的結果相同，等號 並不是運算的結果，而是表示二邊結果相等的平衡。 註 9：利用公倍數通分。 我們就 64 年版、82 年版的數學科課程標準分數部分、教育部發行之九年一貫 暫行綱要和九年一貫正式綱要之能力指標及說明，就分數乘以整數部分的先備知 識做一個說明。

表 2-3 分數乘以整數部分的先備知識之比較 一 二 三 四 五 六 64 ○ 82 ○ 92 ○ 分數的初 步概念 95 分母為 12 以內 ○ 64 82 ○ 92 分數的讀 法轉換成 記法 95 64 分母為 100 以內 ○ 82 分母為 20 以內 ○ 92 分母為 20 以內 ○ 真分數的 認識 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 ○ 假分數的 認識 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 ○ 帶分數的 認識 95 ○ 64 ○ 同分母分 數的合 成、分解 82 ○ 年 級 先備知識

表 2-3 分數乘以整數部分的先備知識之比較（續） 92 數值小於 1，且分母為 20 以內的分數加減 ○ 95 ○ 64 ○ 82 92 ○ 異分母分 數 的 合 成、分解 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 ○ 分數乘以 整數 _{95 ○} （帶分數乘以整 數除外） 64 82 ○ 92 ○ 等值分數 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 約分 95 64 ○ 82 ○ 92 擴分

表 2-3 分數乘以整數部分的先備知識之比較（續） 64 82 ○ 92 ○ 通分 95 ○ 64 ○ 82 92 分數大小 比較 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 ○ 分數是兩 數相除的 結果 95 ○ 64 ○ 82 ○ 92 ○ 比值 95 64 ○ 82 ○ 92 分數除以 整數 95 64 ○ 分數乘以 分數 ₈₂

表 2-3 分數乘以整數部分的先備知識之比較（續） 92 ○ 95 ○ 64 ○ 82 92 分數除以 分數 95 ○ 64 ○ 82 92 ○ 分數四則 混合計算 95 ○ 註：○表示實施 92：表示民國 92 年教育部公佈之九年一貫課程綱要 95：表示民國 95 年教育部公佈之九年一貫正式課程綱要 以上表格加以說明： 1.分數的初步認識：64 年版在二年級只對 1/2、1/4 的意義加以認識；84 年版也是 在二年級，學到在連續量和分離量的分數意義，著重於具體物和分數表徵的雙 向結合，並且在活動的進行中讓學童體驗整體量；暫綱第一階段（也就是 1 到 3 年級）具體生活情境中，能以真分數描述內容物為單一個物的幾份；95 正綱 二年級時，在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單 位分數的大小，三年級能在具體情境中，初步認識分數。 四種版本都在二年級引入分數的初步認識，沒有太大的不同；只是著重的點 不同，64 年版和暫綱純粹認識，84 年版和 95 正綱已經對分數有所著墨。

的讀法轉換成記法；剩下三種版本課程標準都沒有提到這個概念。 3.真分數的認識：64 年版要學童在三年級學會分母為 100 以內的真分數；82 年 版在三年級學會分母為 20 以內和分母為 10 的真分數（為了和小數連接）；暫 綱在第一階段學會分母為 20 以內的真分數；95 正綱沒有分段學習，在四年級 直接認識真分數。 在真分數引入，82 年版和暫綱範圍比 64 年版還要小，82 年版為了和小數相 結合特別介紹分母為 10，但它們都有一個特色是分段式的； 95 正綱四年級 引入。 4.假分數的認識：64 年版、82 年版和 95 正綱在四年級介紹假分數；暫綱也是在 第二階段引入。 5.帶分數的認識：64 年版、82 年版和 95 正綱在四年級介紹假分數；暫綱在第二 階段引入。 6.同分母分數的合成、分解：64 年版和 82 年版出現的年級都是四年級；但是暫 綱是在第一階段進行 20 以內同分母真分數的加減（和＜1）；95 正綱是在三年 級安排真分數的合成和分解，和 95 正綱不同的是和並沒有規定小於 1。 95 正綱和暫綱似乎將同分母分數合成、分解，比 64 年版和 82 年版提前學習， 尤其是 95 正綱更將範圍拉大，沒有規定和的大小。 7.異分母分數的合成、分解：64 年版在 5 年級提到；82 年版並沒有特別安排此 一課程；暫綱安排在 6 年級；95 正綱安排在 5 年級學習異分母分數的比較與加 減。 8.分數乘以整數：64 年版和 82 年版都是安排在 5 年級；暫綱安排在第二階段； 95 正綱安排在 4 年級；值得一提的事，正綱分數乘以整數中，帶分數乘以整數 在這裡並強調不加以介紹。根據專家解答，是將帶分數乘以整數利用乘法交換 率學習。 10.等值分數：64 年版並沒有提到；82 年版在 5 年級提到；暫綱在第二階段提到；

95 正綱安排 4 年級。 95 正綱在此將能力提前到四年級學習。 11.約分：64 年版安排在 5 年級；82 年版則安排在 6 年級；暫綱和 95 正綱並未 提到。 12.擴分：64 年版安排在 5 年級；82 年版則安排在 6 年級；暫綱和 95 正綱並未 提到。 13.通分：64 年版並未提到；82 年版則安排在 6 年級；暫綱安排在第三階段；95 正綱安排在 5 年級。 95 正綱在此將能力提前到五年級學習 14.分數大小比較：64 年版安排在 5 年級；82 年版安排在 6 年級；暫綱安排在第 三階段；95 正綱則安排在 4 年級。 95 正綱在此將能力提前到四年級學習 15.分數是兩數相除的結果：64 年版和 82 年版都是安排在 5 年級；暫綱安排在 6 年級；95 正綱安排在 4 年級。 95 正綱在此將能力提前到四年級學習 16.比值：64 年版和 82 年版則安排在 6 年級；暫綱安排在第三階段；95 正綱並 沒有提到。 17.分數除以整數：64 年版的課程標準安排在 5 年級；82 年版安排在 6 年級；暫 綱和 95 正綱並未提到。 18.分數乘以分數：64 年版安排在 6 年級；82 年版則未安排；暫綱安排在第三階 段；95 正綱是安排在 5 年級。 95 正綱在此將能力提前到 5 年級學習 19.分數除以分數：64 年版課程標準安排在 6 年級；82 年版和暫綱都未安排；95 正綱安排在 6 年級讓學童學到。

95 正綱安排在 6 年級。 結論：95 正綱在分數的概念上和 64 年版同時安排學習的有：分數的初步概念、真 分數的認識、假分數的認識、帶分數的認識、異分母分數的合成、分解、 分數除以分數、分數的四則運算。 95 正綱在分數的概念上比 64 年版提前學習的有：同分母分數的合成、分解、 分數乘以整數、分數大小比較、分數是兩數相除的結果、分數乘以分數。 64 年版在分數的概念上未提到，但 95 正綱提到的概念有：等值分數、通分。 64 年版在分數的概念有提到的概念，但 95 正綱尚未提到：約分、擴分、比 值。 64 年版在分數的概念上比 95 正綱提前學習：沒有。 95 正綱在分數的概念上和 82 年版同時安排學習的有：分數的初步概念、真 分數的認識、假分數的認識、帶分數的認識。 95 正綱在分數的概念上比 82 年版提前學習的：同分母分數的合成、分解、 分數乘以整數、等值分數、通分、分數是兩數相除的結果、分數乘以分數。 82 年版在分數的概念上未提到，但 95 正綱有提到的概念：異分母分數的合 成、分解、分數大小比較、分數除以分數、分數的四則運算。 82 年版在分數提到的概念，但 95 正綱尚未提到：分數的初步概念、約分、 擴分、比值、分數除以整數。 82 年版在分數的概念上比 95 正綱提前學習：沒有。 95 正綱在分數的概念上和暫綱同時安排學習的有：分數的初步概念、真分 數的認識、假分數的認識、帶分數的認識、分數的四則運算。 95 正綱在分數的概念上比暫綱提前學習的有：同分母分數的合成、分解、 異分母分數的合成、分解、分數乘以整數、等值分數、通分、分數是兩數 相除的結果、分數乘以分數。 暫綱在分數的概念上未提到，但 95 正綱有提到的概念有：分數大小比較、

分數除以分數。 暫綱在分數的概念有提到的概念，但 95 正綱尚未提到：比值。暫綱在分數 的概念上比 95 正綱提前學習：沒有。

第五節 分數的整數倍概念之發展層次

在分數乘以整數運算概念的研究中，通常較少針對這個主題單獨進行探 究，大多是包含在分數概念發展的架構中。以下，研究者根據各各年版之課程 標準將由分數概念的發展層次中，找出分數乘以整數概念的發展。 圖 2-1 分數乘以整數概念發展圖 分數概念的初步認識 分數的讀法轉換成記法 分母為 20 以內的 真分數的認識 假分數及帶分數的認識 同分母分數的合成、分解 分數乘以整數的乘法

第六節 試題關聯結構分析法

在教師實施教學活動後，對於班上學童之概念能力在結構上的情形，是教師 極欲得知的訊息，但考驗的方法，長久以來古典的測驗方法一直無法給予滿意的 答案。在 1980 年代，日本學者竹谷誠提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應 所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱 之為試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法；有 了此種方法，學習情況與教學成果的分析才獲得解決（許天維，1995）。

一、試題關聯結構法的構想由來

美國學者 Airasian P.W.＆Bart W.M.於 1973 年首先揭開「次序理論」（Ordering theory）在教育工學的應用，（Airasian & Bart, 1973）。1977 年日本學者竹谷誠參加 美國威斯康辛大學的研討會，因 Baker, F.B.的介紹，在返回日本後，便致力於改良 「次序理論」的缺點，於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」，又於 1980 年完成 試題關聯結構分析法的理論，並在教育現瑒實驗使用，前後有七、八年之久，證 明是一個有效的分析工具。 二、試題關聯結構法理論 在此，略用篇幅詳細說明理論上直觀的意義，假設有 A、B 兩組學童各有八位， 均參加試題共為六題的同一種測驗，若假設答對者得一分，答錯者得零分，其得 分情況如下表所示： A 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學童 1 1 1 1 1 1 1 學童 2 1 1 1 1 1 1 學童 3 0 1 1 0 0 0 學童 4 0 1 1 0 0 0 學童 5 0 0 1 0 1 1 學童 6 0 1 1 0 1 1 學童 7 0 0 1 1 1 1 學童 8 0 0 0 1 1 1 答對者數 2 5 7 4 6 6 B 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學童 1 1 1 1 1 1 1 學童 2 1 1 1 1 1 1 學童 3 0 0 1 0 1 1 學童 4 0 0 0 0 0 0 學童 5 0 1 1 1 1 1 學童 6 0 1 1 0 1 1 學童 7 0 1 1 1 1 1 學童 8 0 0 1 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6

由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以 改成下表 其次，依照每位學童試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表： 接著，以學童在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表 由上表知兩組學童的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組之 試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結構圖，依下 列方法細加分析，就會有顯著的不同。 A 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 5 0 0 1 0 1 1 8 0 0 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 學 生 4 0 1 1 0 0 0 答對者 2 5 7 4 6 6 高分 低分 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 3 0 0 1 0 1 1 8 0 0 1 0 0 0 學 生 4 0 0 0 0 0 0 答對者 2 5 7 4 6 6 高分 低分 A 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 5 1 1 1 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 0 學 生 4 1 0 0 1 0 0 答對者 7 6 6 5 4 2 多 少 B 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 1 0 0 3 1 1 1 0 0 0 8 1 0 0 0 0 0 學 生 4 0 0 0 0 0 0 答對者 7 6 6 5 4 2 多 少

對試題 1 的學童亦答對試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；同 理，答對試題 4 的學童是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們亦同時答對了試題 5、6， 所以分別有 5→4、6→4；另一方面，答對試題 1 的學童是 1 號及 2 號，他們亦同 時答對了試題 2，答對試題 2 的學童是 1 號、2 號、3 號、4 號及 6 號，他們亦同 時答對了試題 3，所以分別有 2→1、3→2；此外，答對試題 4 的學童有 7 號沒答 對試題 2，故沒有試題 2 到試題 4 的箭頭，其餘均依此類推。 同法，在 B 組中，答對試題 1 的學童是 1 號及 2 號亦答對了試題 4，亦即答對 試題 1 的學童亦答對試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；答對 試題 4 的學童是 1 號、2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 2，所以有 2→4；答對試題 2 的學童是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試題 5、6，所以分別有 5→2、 6→2；答對試題 5、6 的學童有 1 號、2 號、3 號、5 號、6 號及 7 號亦答對了試題 8，故有 8→5、8→6；其餘均依此類推。 從以上分析，如果定義答對率為 試題答對率＝────────── 則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題關聯 結構圖，如下所示： 受試學童答對人數 受試全體學童的人數

答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 在此值得注意的是上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題其 答對率雖然相同，然而兩組學童的理解結構卻不相同。左圖顯示 A 組有兩個系列 存在，即試題 1、2、3 的系列以及試題 1、4、5、6 系列，而右圖顯示 B 組的試題 形成一個單純的一元化系列。故試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀察不到的各 試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。 三、試題關聯結構順序性係數 以上所述只為闡明試題關聯結構分析法而設計的特殊實例，現在以數理推導 理論來製造指向，為達到此目的，首先考慮令： Ｘ＝（ｘij）N×_n i＝1,2,…,N; j＝1,2,…,N. 其中ｘij＝1 表第ｉ個學童答對試題 Ij，ｘij＝0 表第ｉ個學童答錯試題 Ij。 又設： P（Ij）表試題 Ij答對率。 P（Ik）表試題 Ik答對率。 P（Ij）表試題 Ij答錯率。 3 2 1 4 6 5 _{5 6} 8 2 4 1

P（Ij，Ik）表試題 Ij與試題 Ik均答對率。 P（ Ij，Ik）表試題 Ij答錯且試題 Ik答對率。 P（Ij， Ik）表試題 Ij答對且試題 Ik答錯率。 P（ Ij， Ik）表試題 Ij與試題 Ik均答錯率。 則可知下面答對率的四分割表： 試 題 Ik 對(1) 錯(0) 合計

對(1) P（Ij，Ik） P（Ij， Ik） P（Ij）

錯(0) P（ Ij，Ik） P（ Ij， Ik） P（ Ij） 試 題 合計 P（Ik） P（ Ik） 1 依上所述，竹谷誠（1992）提出順序性係數，其定義如下：

r

*jk

＝

1

－

P（ Ij，Ik）/ P（ Ij）P（Ik） 四、試題關聯結構分析法的功能 許天維（1995）指出試題關聯結構分析法有下列五種功能： 1.可作為教學設計之參考： 在單元活動之前，教師可以將所要進行的課程內容的先備知識，做一知識結 構分析，再依照結構所對應的知識概念分別出題，並在未從事教學之前，先給與 施測，所得的結果再以「試題關聯結構法」進行分析，如此一來便可以得知先備 知識不足之處，以便從事教學時，可以多加考慮。 2.形成性評量（formative evaluation）： 在單元教學活動後，預先知道班上學習結果，可以利用知識結構分析出題， 編製形成性評量，在活動結束之後一星期內加以施測，所得的結果再以「試題關

聯結構法」進行分析，就可以知道學童學習後的知識結構，以便對學童的迷思概 念作補救教學。本研究即採用此種方式。 3.認知學習結構 形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，從而偵測出異 質性的學童，此類學童並非是低成就學童，再將其知識結構圖與班上的結構圖互 相比較，即可知道此類學童異質的原因，從而加強輔導教學。 4.概念形成過程： 對縱貫研究（longitudinal study）而言，學童概念的形成過程有層次之分，例 如山田完對教師進行評定學童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、言 語抽象層次、因果論理層次，如果以此四層次來評定各年級班上學童的形成過程， 並建立各年級的結構圖，即可知學童的概念形成過程的發展。對橫斷研究而言， 亦可知班上學童的概念形成過程的分布。 5.課程教材構造： 由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過「試題關聯結構分析法」進行構圖， 可得一般學童的學習構造，對教科書編者而言，是貴重的資料，而且對於分析典 範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。 值得提醒注意的是，此種「試題關聯結構圖」與「詮釋結構圖」（Interpretative structural modeling, 簡稱 ISM）是不能混為一談，因為詮釋結構圖並沒有透過成就 測驗或是形成性評量，而是使用經過設計的兩兩關係概念問卷來找出受試者概念 間的指向，或是藉由受試者自行建構的兩兩關係概念指向，再運用圖形理論來統 合所有被製造出來的指向，並加以畫出構圖，這是一種屬於知識結構分析的特殊 方法。但由於國小學童對知識架構不夠成熟，使用此法通常無法獲得真正可靠的 結果，所以此種方法僅適宜分析專家（expert）或是知識較為成熟的受試者的知識 結構。

本教育學者坂元昂的授業改造技法一書中，所注重的教材構造分析與學習結構圖 的編製，亦可解決美國著名的教育學者 Scandura J.M.所倡導的結構式學習理論 （Structural learning theory, 簡稱 SLT）的不足之處，（湯維玲，1994）。因為結構式 學習理論，必須尋找理想化教師（idealized teacher），藉其專業能力，對教材內容 的結構，進行有系統的分析。理想化教師依據教材的問題型式著手，並將知識化 約成一套由領域（domain）、範圍（range）和運作（operation）三部份所組成的「規 則」（rule），再以此「規則」為基礎，細分成許多原子要素，然後確認學習者已知 或未精熟（nonmastery）之處，理想教師便從學習者失敗的路徑（path）要素，開 始執行教學設計與活動。此時，在教學過程中可用「詮釋結構分析法」形成「規 則」的結構路徑，而「確認學習者已知或未精熟的路徑」可用「試題關聯結構分 析法」，來補足理想教師分析上實務的困難。根據 Scandura 的研究，以結構分析的 方式，處理幾何作圖問題、計算技巧、代數證明、小學數學課程以及 Piaget 保留 概念問題等，都有極豐碩的實證性研究成果。（陳雅芬；2003） 綜上所述，本研究中所編製之分數乘以整數試題主要是為了得知一個班級學 童的知識結構，因此是為形成性評量，透過評量結果所建立的結構圖，可以用來 瞭解學童知識結構不穩固的地方，而據以實施補救教學或改進教學設計，以更符 合學童知識結構的發展。

第三章 研究設計與實施

本章主要分為五部分。以下依序說明本研究的研究架構、研究對象、研究工 具、本研究的研究流程及資料處理。 第一節 研究架構 本研究根據研究目的與文獻資料，提出以下簡化圖示之研究架構，如圖 3-1 所示，以利於描述整個研究過程： 學童分數概念 分數乘以整數 概念圖 布魯姆的雙 向細目表 編製分數乘以 整數試題 抽樣班級 試題關聯結構圖 1. 各子概念結構圖 2. 系列試題結構圖 IRS 分析 國小分數乘整數教材 解釋概念結構圖 圖 3-1 研究架構圖

第二節 研究對象

本研究的施測對象是國小五年級剛接受過分數乘以整數教學的學童。 由於研究者任教於台中縣未滿 18 班的學校，因為學校目前最高年級為四年 級，所以必須借助相鄰學校的五年級班級，所借助的學校，每個年級約有七班， 基於個人交情和不太麻煩人家等各方面因素，故選取三班為受測對象，其中一班 為前測，再依照前測知結果，經以Cronbach’s α 係數，求得信度，再將試題稍作修 改，於另兩班進行正式施測。施測地點在該班教室，由該班導師進行監考；施測 前，研究者先和該班導師研商，施測時注意事項，並要導師向學童說明筆測的目 的與答題的方式，為了讓試題達到最佳信度，除了多次和教授討論出題之題意表 達之外，最後定讞之後，再給二班導師過目，是否合宜。

第三節 研究工具

本研究使用的工具包括分數的倍數計算試題，以及相關的統計軟體等，茲說 明如下： 一、編製試題 （一）試題內容的概念架構 本試題的編製係由研究者參考現行國民小學五年級數學科教材以及教師手冊 內容，編製如圖3-2 之分數的教材地位圖；然後，再參酌分數乘以整數運算概念的 相關研究文獻，配合學童的認知發展，架構出如圖3-3 之分數乘以整數概念圖，再 據以編製如圖3-4 之分數乘以整數試題架構圖，最後形成分數乘以整數試題，題目 共有27 題，題型皆為選擇題。詳細試題內容請參閱附錄一。

分數的讀法轉換成記法 分母為20 以內的 真分數的認識 假分數及帶分數的認識 同分母分數的合成、分解 分數乘以整數的乘法 分數的數線 把分數視為整數除 法的結果 分數概念的初步認識 等值分數 最簡分數 約分和擴分 整數乘以分數的乘法 通分 分數乘以分數的乘法 分數除法問題 圖 3-2 分數教材地位圖 五年級的學童其數概念發展的運思期正好剛要由「部份－全體運思」進入「測 量運思」的階段；表現在分數詞上則是由「加法性分數」進到「巢狀分數」的一 個階段，當學童具有子分割運思與單向的「部分—全體」運思時的分數概念，子 分割活動的結果不但是可被集聚的計數單位，同時也是用子分割單位集聚而成的 集聚單位中的獨立部份單位；換句話說，原先內嵌於集聚單位中的子分割單位經 過部份全體運思的運作，已經自集聚單位中脫嵌而出，子分割單位自此開始成為 所謂的單位分數單位。此外，藉由等值的具體量的關係引導學童能以假分數或帶