Brandstätter, Gigerenzer, & Hertwig, 2006)。
法國數學家 Pascal 與 Fermat 於 1654 年引導出預期效益理論 (expected value theory) 的數學模式 (Hacking, 1975)。他們假定人是理性的決策者，且能在面對
一項包含各種後果的賭局時，掌握各個後果的發生機率。在此情況下，衡量一個 賭局是否值得下注的公式如下：
EV = Σpi．xi (1)
EV 代表一個賭局的整體預期效益值，pi為該賭局中第 i 個後果的客觀發生機率，
xi則為第 i 個後果預期可得到的實際金錢數目，即第 i 個後果的客觀效益值。將 各個後果的客觀效益值以其客觀發生機率加以加權，再加總該賭局中可得到的加 權後效益值，即可計算出一個賭局的整體預期效益值，決策者就能依據此預期效 益值判斷該賭局是否值得下注。
按照期預期益理論，一個選項的整體預期效益值越高，選出該選項即做出好 的決策。可是 N. Bernoulli 於 1713 年提出聖彼德堡悖論 (St. Petersburg paradox)，
說明人即使面對一項有很高的整體預期效益值的選項，卻不一定會選擇它。聖彼 德堡悖論的題目如下：持續擲一枚硬幣，當第一次的後果為正面時，可以得到$1，
第二次的後果為正面時則可得$2，第三次出現正面時可得$4，第四次正面可得
$8，以此類推。請問你願意付多少錢參與這個賭局？依照公式 (1) 計算，該賭 局的整體預期效益值為：
EV = (1/2)‧1 + (1/4)‧2 + (1/8)‧4 + (1/16)‧8 + …
= (1/2) + (1/2) + (1/2) + (1/2) + …
= ∞
根據這個遊戲規則，一個人若持續參與此賭局，最後可得到無限大的利益。
Bernoulli 的分析指出，多數人只願意付$3 或$4 參與這個賭局，然後就不再下注 以獲得無限大的利益，此現象顯示預期效益理論的預測與人實際決策行為不符。
因此，D. Bernoulli (1738/1954) 對預期效益理論加以修訂，他以決策者本身 對金錢的主觀效用取代原先的客觀金錢價值。Bernoulli 對主觀效用的說明如下：
有一位窮人得到一張彩卷，他有一半的機會能贏二十萬元，也有一半的機會得不 到半毛錢。根據預期效益理論，這張彩卷的預期效益為十萬元，但窮人很有可能 無法評估他有贏十萬元的機會，甚至會以九萬元的價格將這張彩卷賣給別人。對 這位窮人而言，九萬元可能已是筆非常大的金額，即使得不到二十萬或十萬，九 萬元都能讓他不愁吃喝很多天，所以他會希望能儘快賣出彩卷。反之，若得到這 張彩卷的是一位富人，則他較有可能會拒絕以九萬元賣出彩卷。因為對這位富人 來說，九萬元並非是很大的金額，也比十萬或二十萬元少，所以他會希望這張彩 卷可多賣一些錢。此例子說明面對相同的客觀效用值，不同的人會有不同主觀的 價值評估。
數學家 von Neumann 與 Morgenstern (1947) 以期望效用理論來表示 D.
Bernoulli 的想法，此理論仍假定決策者是理性的，在面對賽局的決策情境時，人 按照下列公式即能估計出一個決策所能帶來的整體效用：
EU = Σpi．u(xi) (2)
EU 代表一個賽局的整體期望效用值，pi和 xi分別代表該賽局中，第 i 個後果的
客觀發生機率和客觀效益，u 則為對 xi作主觀效用評估的加權函數。由聖彼德堡
悖論的例子發現，即使人知道持續賭下去就可獲得無限大的利益，但卻在中途就 停止下注，顯示客觀效益越高，人對客觀效益所產生的主觀效用 (u) 評估會隨 之遞減。
根據公式 (2)，判斷一個賽局是否值得下注，人需要先將每個後果的主觀效 用以其客觀發生機率加以加權，再加總該賽局中可得到的加權後效用值，即可計 算出此賽局的整體期望效用值，最後再據此期望效用值做下注或在不同的賽局中 選擇期望效用最高的那一個下注。公式 (1) 和公式 (2) 的差異在於效用的判 定，公式 (1) 裡的效用判定（xi）來自於後果的實際價值，屬於客觀效益；而公 式 (2) 的效用判定（u(xi)）則是依據決策者對該價值的感受，屬於主觀效用。
按照期望效用理論的公式 (2)，一個選項整體的期望效用值越高，則越能達 成決策者的目標；若兩個選項的期望效用相同，則人對這兩個選項的喜好就應該 相同。但是 Allais 於 1953 年提出阿萊悖論 (Allais paradox)，說明人面對金錢的 決策問題時，其判斷會受到問題形式的影響，若兩個期望效用相同的選項被放在 不同的背景下，人的選擇會出現截然不同的現象。Allais 所提出的假設情境如表 2.1 所示。表 2.1 中有兩個選擇情境，決策者要在情境 X 中做一個選擇，在情境 Y 中也要選出一個選項。根據期望效用理論，人應該會選擇整體期望效用值最大 的選項，亦即選出情境 X 中的選項 2 和情境 Y 中的選項 4，但實際上大多數人 在情境 X 中會選擇選項 1，在情境 Y 中選擇選項 4，違反了期望效用理論的預測。
表 2.1 阿萊悖論 (Allais paradox) 的問題形式
情境 X 情境 Y
選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 獲得金額 $1000 $0 $5000 $1000 $0 $1000 $0 $5000 獲得機率 1 .01 .10 .89 .89 .11 .90 .10
預期效益 1000 0 500 890 0 110 0 500
（資料來源：Allais, M. (1953). Le comportement de l’homme rationnel devant le
risque: critique des postulats et axiomes de l’école Américaine, Econometrica, 21, 503-546.）
由於獲得 $5000 的機率在情境 X 和 Y 中是相同的，其預期效益也相同，根據數 學的獨立原則 (axiom of independence)，人對這個選項的效用評估應該相同，但 卻出現因情境 X、Y 的差異，而有了截然不同的現象，人會認為情境 X 的 $5000 之效用較小，而情境 Y 中的 $5000 之效用較大，違反獨立原則。
Savage (1954) 將上述題目改成摸彩的形式，且金額獲得機率保持不變，如 表 2.2。表 2.2 的選項 2 和選項 4 仍是期望效用最高的選項。在 Savage 的研究中，
多數人在情境 X 和 Y 中分別會選擇預期效用較高的選項 2 和 4，只有少數人會 選擇選項 1 和 4。造成正確選擇上升的主要理由，是因為表 2.2 的呈現方式讓人 注意到在情境 X 中，選項 1 和 2 的差異僅由 1 號球、2 號至 11 號球的金錢數目 決定。同理，情境 Y 中，選項 3 和 4 的效用差異也是由 1 號球、2 號至 11 號球
表 2.2 阿萊悖論 (Allais paradox) 的摸彩問題形式
情境 X 情境 Y
選項 1 選項 2 選項 3 選項 4
1 號球 $1000 $0 $1000 $0
2 號至 11 號球 $1000 $5000 $1000 $5000
12 號至 100 號球 $1000 $1000 $0 $0
（資料來源：Savage, L. J. (1954). The foundations of statistics. New York: Wiley.）
的金額決定，所以選項 2 和選項 4 中的效用優勢：$5000 (11%)，很容易就可以 看出來。
表 2.1 和表 2.2 為同質異型的問題，亦即問題結構完全一樣，只有表面陳述 不同。而結構相同的問題的解應相同，但實際上，人在表 2.1 與表 2.2 的選擇偏 好則不一致。Allais 因此認為期望效用理論並不是適合用來描述人的決策行為的 描述理論 (descriptive theory)。之後，心理學家 Kahneman 與 Tversky (1979) 根 據他們的研究提出展望理論 (prospect theory)，用以描述人在不確定、有風險的 情況下如何做決策，並以此理論解釋阿萊悖論的現象。他們以大學生和教職員作 為參與者，請他們回答有不同機率的賭局問題。Kahneman 與 Tversky 根據實驗 結果而修訂了 D. Bernoulli 的公式：
V = Σπ(pi)．v(xi) (3)
V 代表整體展望值，pi與 xi分別代表第 i 個事件發生的客觀機率與客觀價值，π
和 v 則分別代表對 pi與 xi作主觀加權評估的函數。
Kahneman 與 Tversky (1979) 由下面賭局的研究結果說明人會對接近 1 或 0 的機率做出過度的加權，並以 π 函數表示之：
問題 1 A：(4000, .80) 或 B：(3000) 會選 A 還是選 B？
問題 2 C：(5000, .001) 或 D：(5) 會選 C 還是選 D？
在問題 1 中，95 人裡有 80%選擇 B，顯示即使 A 的預期效益 (3200) 比 B (3000) 高，多數人仍偏好確定而效用較低的選項 B，出現過度加權接近 1 的機率之現象。
在問題 2 中，C 與 D 的預期效益均相同 (5)，72 人裡有 72%選擇 C，即偏好不確 定的選項 C，顯示過度加權機率接近 0 的選項。
公式 (3) 中的 v 函數顯示人需要根據一個參考點 (reference point) 才能對客 觀效益做加權，此參考點可能是決策者目前的狀態，也可能是對未來的期望狀 態，而人要將一選項所呈現的狀態與參考點做比較才能判定效用為獲益或損失。
例如人要判斷自己是否有錢，可能會將一般家庭的收入設為參考點而與自己的收 入做比較，或是根據未來期望自己的收入能達到的數字而判斷目前的財富狀況。
另外，v 函數也指出人對損失效用的加權會比獲益效用的加權更劇烈。例 如，當利益由$100 上升為$200 時，人的心理感受與由$1100 上升至$1200 的感受 不同，雖然客觀上的利益差距均為$100，大部分的人卻會覺得前者的增加量大於 後者，產生了隨所得上升而低估淨所得效益的現象。可能的解釋為，因為$100 上升為$200 是原本$100 的 100%上升，相對上，$1100 上升至$1200 只是
100/1100，約為 10%的利益上升。同理，從損失$100 變成損失$200，與損失$1100 變成損失$1200，大部分的人也會覺得前者損失的量大於後者，而產生了隨損失 加大，對損失的客觀效益之感受下降的情形。可能的解釋為，從$100 的損失變 成$200 的損失是倍數的效果，而$1100 的損失增為$1200 的損失，卻只有約 10%
的效果。此例說明客觀效用會隨參考點不同而產生主觀效用變化的現象，且即使 有相同的客觀效用變化量，人對效用損失的感受會比獲益效用的感受還要強烈。
然而，Kahneman 與 Tversky (1979) 的展望理論雖說明，人的決策會偏離期 望效用理論的原因是人會對事件的客觀機率做出主觀加權，也會根據一個參考點 來判斷效用的獲益或損失狀態，但他們並未解釋產生這些參數背後的認知機制。
決策問題的描述與框架效應 決策問題的描述與框架效應 決策問題的描述與框架效應 決策問題的描述與框架效應
決策的規範理論基本上假定人是理性的決策者，目標為極大化期望效用，但 是從聖彼德堡悖論的例子可發現，在賭局中，人的決策並不是持續下注以獲得無 限大利益。在人常犯的錯誤決策裡，其中一種為違反描述不變性 (description
invariance) 的規範原則。同一個問題即使以不同的方式描述，決策仍應相同。但 在阿萊悖論的例子中，表 2.1 和表 2.2 所描述的是結構相同的問題，但人卻會因 問題表面的描述不同而做出不一致的選擇，Tversky 與 Kahneman (1981) 稱這種 錯誤為框架效應 (framing effects)，與理性決策者的假設不符。Simon (1976) 以 有限理性的觀點來說明人在決策上的特徵，他主張由於人的認知能力有限，所以 無法設想一個選項之後所有可能發生的結果。同理，礙於時間與空間的限制，一