第二章 明末清初(1607-1722)
第二節 明末清初傳入的西方數學
遵循著利瑪竇科學傳教的策略，晚明耶穌會士進入中國後，便大量由歐洲 傳入各種自然科學及數學的著作。依其傳播方式與內容，可概分成修曆前後兩 個階段：(1)修曆之前：中國士人與傳教士的學術往來是私人閒暇的活動，間接 地提昇傳教士的社會地位。81此一階段所傳入的數學內容決定權在傳教士，主 要是利瑪竇。(2)修曆之後：有了曆局的官方任務，使得交流的對象(曆局的人員) 與場域(曆局)變得固定，傳入的數學內容以制曆為主，傳教士的角色愈來愈像 是科技顧問。
一 . 修曆之前：《幾何原本》與《同文算指》
此一階段與利瑪竇息息相關，最重要的著作是《幾何原本》與《同文算指》。 利瑪竇，字泰西，1552 年出生於義大利，1561 年進入耶穌會學校學習，
1571 年加入耶穌會，並進入耶穌會羅馬神學院學習俢辭學與哲學課程，在學期 間或許參加過某些由克拉維斯(Christopher Clavius, 1538-1612)開設的研究課 程。82至少，當他向中國學者介紹的第一部歐洲數學著作，就是以克拉維斯 1574
81 利瑪竇記錄他與徐光啟兩人合譯《幾何原本》的情景：「……可是葆祿博士(按：徐光啟，其 教名為葆祿，當時已是進士)後來覺得，譯書非他自己下手不可。大約別人也同他說了，譯書非 他的才筆不能成功。他便決意自己下工夫，每天到我們堂裏，坐三四點鐘功夫，無形中叫我們 的身價也增了。大家知道一位名聞京師的翰林到我們這裏來求學。」轉引自羅光，《徐光啟傳》
(台北：傳記文學社，1970)，頁 38-40。
82 當時克氏為該學院的數學教授，一直致力提昇當時處於低下的數學學科之地位，開設若干研 究課程。這些課程的特色是歐氏幾何為核心，重視製造與使用天文儀器。在利瑪竇〈譯《幾何 原本》引〉所稱的「丁先生」就是克拉維斯，可能是從 Clavius 的德語 Klau 而來的。田淼認為 克拉維茲是利瑪竇數學課程的老師，但安國風認為利瑪竇只是參加了研究課程。參見田淼，《中 國數學的西化歷程》，頁 15-20。安國風著，紀志剛、鄭誠、鄭方磊譯，《歐幾里得在中國》，頁
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年拉丁文《幾何原本》評注本(Euclidis Elementorum Libri XV)為底本。83
利瑪竇的中文譯者甚多，84數學著作均是與中國士人合作譯述，其中與徐 光啟合作的有《幾何原本》6 卷(1607)及《測量法義》1 卷(1608)；與李之藻合 作則有《圓容較義》1 卷(1608)和《同文算指》8 卷(1614)。這應是利瑪竇考量 的結果，如同稍後入華，精通數學的鄧玉函向王徵(1571-1644)所強調的：
蓋凡器用之微，須先有度有數，因度而生測量，因數而生計算，因測量 計算而有比例，因比例而後可以窮物之理，理得而後法可立也。不曉測 量計算則必不得比例，不得比例則此器圖說必不可通曉。測量另有專 書，算指具在《同文(算指)》，比例亦大都見《幾何原本》中。85
透過數學(度數之學)，才能通曉器械之理。經由測量、計算，掌握其中的比例 關係，方能窮盡其理。因此，最基本就是掌握計算與比例，計算的方法在《同 文算指》中可得；比例則見於《幾何原本》之中。至於測量的專書，應是《測 量法義》。
《幾何原本》的前六卷的內容大致如下：卷一有界說 36 則，介紹幾何概 念的定義、求作 4 則(即今日所言的公設)、公論 19 則(公理)，以及命題 48 題(包 括三角形、垂直、平行及不等、全等形種種幾何關係)；卷二則是利用幾何形式 敘述代數問題；卷三討論圓、弦、切線、圓周角、圓內接四邊形，以及與圓有 關的圖形；卷四為圓內接與外切三角形、正方形、正多邊形；卷五有關比例理 論的討論；卷六則是將比例論用於幾何圖形上，處理相似直線形中各種成比例 的線段問題。由此可知，前六卷主要為歐氏平面幾何學的範疇。
對照 Heath 版的《幾何原本》，卷一有 23 個定義、5 個公設、5 個公理及 48 個命題。可知徐利版《幾何原本》在定義、公設與公理的安排上有些差異：
51-61。
83 參見安國風《歐幾里得在中國》第四章，有詳盡的考證。
84 可參考朱維錚主編，《利瑪竇中文著譯集》(香港：香港城市大學，2001)。
85 〔明〕王徵，〈遠西奇器圖說錄最序〉，鄧玉函口授，王徵譯繪，《遠西奇器圖說錄最》，收入 王雲五主編，《叢書集成》初編(上海：商務印書館，1936)，頁 9。
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定義的部份，徐利版將 Heath 版的定義更為細分，增加 2 個與平行四邊形有關 的定義。而公設的部份，Heath 版的第四與第五公設，被移至徐利版的公理，
而徐利版增加 1 個新的公設。至於公理的部份，徐利版則添加許多額外的公理。
卷五則是徐利版多了 9 個命題，至於其他各卷則是差異甚微。86
1607 年刊行的《幾何原本》六卷本，應是最早有系統傳入中國的歐洲數學。
87書名中「幾何」並非幾何學(geometry)的音譯，88而是泛指數學所有領域的意 思。不同於傳統中算的九章分類，利瑪竇在〈譯《幾何原本》引〉將數學「二 分」為「數」與「度」：
幾何家者，專察物之分限者也，其分者若截以為數，則顯物幾何聚也；
若完以為度，則指物幾何大也。89
事實上，「度數」一詞出自《周髀算經》卷下，這樣的稱呼，讓傳入的西方數學 與中國傳統數學有了連結，產生合法性的基礎。90同時，這樣的分類方式，也 巧妙地開拓出邏輯推理的歐氏幾何發展之空間。不過，也使得「幾何傳入中國 的方式，不是作為某種研究領域，而是作為實用的數學工具。」91無論如何，
這種「數」與「度」的分類法被中國的算學家用來重新分類、理解傳統中算。
譬如，梅文鼎在《方程論》(1672)〈方程論發凡〉對傳統數學的看法：
夫數學一也，分之則有度有數，度者量法，數者算術，是兩者皆由淺入 深。是故量法最淺者方田，稍進為少廣，為商功，而極於勾股；算術最 淺者粟米，稍進為衰分，為均輸，為盈朒，而極於方程。方程於算術，
86 據安國風的研究，徐利版的調整與底本克拉維斯的版本完全相同。見安國風《歐幾里得在中 國》，頁 166-192。
87 原本徐光啟一鼓作氣地想將 15 卷全部譯出，但被利瑪竇阻止。1852 年，李善蘭(1811-1882) 與偉烈亞力(Alexander Wylie, 1815-1887)兩人合作進行後九卷翻譯。一直到 1865 年，曾國藩出 資在金陵刋行《幾何原本》15 卷本，此書的出版才告完成。不過，後九卷的部分內容徐李等人 也應熟知，例如徐光啟的門生孫元化(1582-1632)所著《西法神機》就引用《幾何原本》九卷四 節的命題。
88李之藻與傅泛際(Francisco Furtado, 1589-1653)兩人合譯《名理探》(1631)，一本介紹亞里斯多 德邏輯學的著作，其中將 geomertria 譯為「日阿默第亞」。
89 利瑪竇，〈譯《幾何原本》引〉，頁 1151。
90 這個用法廣泛被學習西方數學的中國士人及傳教士所採用。
91 安國風，《歐幾里得在中國》，頁 486。
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猶勾股之於量法，皆最精之事不易明也。92
接著，利瑪竇暢談數學的各種應用，結合晚明的實學風潮，期以吸引那些心憂 天下，關懷務實之學的知識分子。93無疑地，這正是徐光啟對於西學重視的原 因。
因為參與《幾何原本》的翻譯工作，徐光啟理解到西方數學立論的基礎 ─
「明」(確定性)的特性，以及此書邏輯結構的特色。正如他在〈刻幾何原本雜 議〉中所言：
此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試，不必改。有四不可得：欲脫 之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。有三 至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，
故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易。故能以易易他物之至難。
易生於簡，簡生於明，綜其妙在明而已！94
除了演繹推理的知識體系異於傳統中算，《幾何原本》也有著迥異的著述風格：
卷首先有界說；每個命題下還細分「法」曰(方法、作法)、「解」曰(解釋、分析) 及「論」曰(證明)的作法。95同時，圖形本身標上字母或是圖形的端點標注字母，
用以指稱圖形或證明論述。對於圖形標示的好處，杜知耕說的最好：「數非圖不 明，圖非手指不明。圖用甲乙等字作誌者，代指也，作誌必用甲乙等字者，取
92 〔清〕梅文鼎，〈方程論發凡〉，《方程論》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數 學卷四，頁 324-325。
93 事實上，實學思潮做為晚明文化的一大特徵，對於引進西方科學至關重要。由許多迹象看來，
大批實用書籍(如農學、地理、實用數學)，確實見證了日漸增長的務實精神。像李時珍(1518-1593) 的《本草綱目》；音韵訓詁之學的發展成為後來考據學的利器；朱載堉的改曆活動，也體現批 判傳統，重視實驗的精神。參見安國風著，紀志剛、鄭誠、鄭方磊譯，《歐幾里得在中國》，頁 99-103。
94 〔明〕徐光啟，〈刻幾何原本雜議〉，收入王重民輯校，《徐光啟集》(台北：明文，1986)，頁 77-78。史家李儼也指出徐光啟「他把全書之妙，總結為一個『明』字，就是指的邏輯推理這 一特點。因此他認為『幾何之學，通即全通，蔽即全蔽』。」見李儼，《中國古代數學簡史》(台 北：九章出版社)，頁 229。
95 據安國風的研究指出，這個分法是克拉維斯書中所沒有的，而與普羅克洛斯(Proclus)分法相 近。安國風，《歐幾里得在中國》，頁 161-162。這令人好奇是否徐利是否另有參考的出處。此 外，徐、利二人所譯的《幾何原本》也刪去克拉維斯書中用來說明命題的算例，這使得此書的 理解並不容易，楊廷筠在〈《同文算指．通編》序〉中就提及利瑪竇認為只有李之藻及徐光啟 看得懂《幾何原本》。
-30- 籍，下載自 http://archive.org/details/06071536.cn。
97 安國風，《歐幾里得在中國》，頁 487。事實上，我們在徐光啟的著作《句股義》也能看見類
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異。100同時，這些刪節本的出現，說明中算家「自學」《幾何原本》的不易，
梅文鼎曾說：
《幾何原本》爲西算之根本，其法以點綫面體疏三角測量之理，以比例 大小分合疏算法異乘同除之理，由淺入深善於曉譬，但取徑縈紆行文古 奥峭險，學者多不能終卷。101
鑒於此，為推廣《幾何原本》，徐光啟與利瑪竇又合譯《測量法義》1 卷(1608)，
自撰《測量異同》1 卷(1608)與《句股義》1 卷(1609)，展現了《幾何原本》為
「度數之宗，所以窮方圓平直之情，盡規矩準繩之用也。」102也就是說，想要 了解中國傳統數學，以及適切地使用測量工具，《幾何原本》是不可或缺的。更 重要的是，形塑《幾何原本》為「西學之條約也」，103同時，徐光啟也作了中 西數學「會通」的嘗試。在第四節我將有更進一步的說明。
至於利瑪竇授、李之藻演的《同文算指》(1613)，104則是系統地介紹西方
至於利瑪竇授、李之藻演的《同文算指》(1613)，104則是系統地介紹西方