明末的數學與改曆

一 . 明代的數學

對比於宋、元數學的極致發展，中國傳統數學在明朝的急遽衰落，是不爭 的事實。²⁴宋、元到明朝數學知識傳承何以「斷裂」？迄今仍未有具決定性的 研究足供定論；另外，宋元算學著作的大量失傳也是另一個待解的問題。²⁵然 而，明代的數學並未因此就停滯不前，據史家李儼的統計，明代算書作品就有

24 具體來說可分成如下幾點：(1)宋、元時期得到廣泛應用的增乘開方法(高次一元代數方程的 數值解法)，在明代已經無人知曉。(2)宋、元算學家創立的天元術，明代算學家根本不理解。(3) 四元術(高次多元方程組的解法)在明代數學著作中已不復存在。至於線性方程組，程大位《算 法統宗》的表示法已遜於《九章算術》的方程術。(4)宋代秦九韶的「大衍總數術」已經將一次 同餘式組的解法一般化，明代數學家無從繼承。(5)明代算學家程大位說明「徑一周三」與「方 五斜七」是「勢之不得已也」，無法繼承劉徽精密逼近的進路。(6)唐、宋時期的算家已經廣泛 運用現代小數的方法，但明代卻以增加小數名稱的單位來表徵。見洪萬生，〈明代數學與社會：

1368-1607〉。收入祝平一主編，《中國史新論 科技與中國分冊》(台北：聯經，2010)，頁 353-421。

特別是洪萬生的論文是筆者在處理明代數學的重要參考。正是將明末數學的發展釐清，才能更 了解明清之際的算學家吸收消納西方數學的策略。也可參照梅榮照，〈明清數學概論〉，梅榮照 主編，《明清數學史論文集》(南京：江蘇教育出版社，1990)，頁 3-4。

25 據一份 1441 年記錄明朝遷都北京後皇家藏書的目錄，算法類的藏書只有 22 種，其中已經沒 有朱世傑的算學啟蒙(1299)和《四元玉鑑》(1303)；1408 年所編寫的《永樂大典》所收的數學 書籍大致也是如此。若皇家已是如此，那麼民間可見的數學書就更稀少。參見郭世榮，〈明代 數學與天文學知識的失傳問題〉，收入《法國漢學》第六輯（北京：中華書局，2002），頁 320-335。

這篇文章對於明代數學與天文學的失傳做了概略却全面性的討論。

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(mathematics in context)的最佳例證之一。」²⁷

也就是說，順著數學知識的商業化與世俗化的脈胳下，才能理解吳敬的算 史全集》第六卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998)，頁 473-493。

27 參見洪萬生，〈明代數學與社會：1368-1607〉，頁 412-417。事實上，史家錢寶琮也注意到明 代數學與商業的關係：「明朝的商業較宋元時期有更進一步的發展，反映在吳敬的《九章算法 比類大全》裡，就有不少與商業資本有關的應用問題。」參見錢寶琮，《中國數學史》，(北京：

科學出版社，1992)，頁 135-136。另外，武田楠雄也指出萬曆年間(1573-1619)的算書最大特色 便是商業算術，這是明代中葉之前未見的現象。最顯明的特徵，則是《算法統宗》與《指明算 法》的「差分」計算。轉引自洪萬生，〈明代數學與社會：1368-1607〉，頁 363。

28 洪萬生認為就明代數學知識的傳承而言，吳敬的著作算是一個典範(paradigm)。洪萬生，〈明 代數學與社會：1368-1607〉，頁 418。

29 吳敬，字信民，號主一翁，明代杭州府仁和縣人。其生平史料甚少，也不見載於《明史》。 術》10 卷(1550)、《弧矢算術》1 卷(1552)及《測圓算術》4 卷(1553)。

32 周述學，字繼志，號雲淵子，浙江會稽人，生卒年不詳，精通易學及曆學，著有《神道大編

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(1) 吳敬《九章算法比類大全》是按《九章算術》的名目方田、栗米、衰 分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程和勾股分卷。各卷內容均是將基 本算法放在卷首，然後分成「古問」、「比類」及「詩詞」三類列置該 章的應用問題及解法。「古問」是指《九章算術》中的問題，其來源 應是楊輝的《詳解九章算法》；「比類」則是類似「古問」的應用問題；

「詩詞」則是詩詞歌謠形式提問的應用問題。其中，「比類」保留若 干佚失數學文本的問題，許多佚失宋元算書的算題也由於吳敬的採輯 而得以流傳。³⁵而大量的數學內容歌訣化之形式則利於數學知識的普 及，此一著述體例對於後來的商業數學著作的編寫起了規範作用。³⁶不 過，這樣的歌謠形式並未出現在精英士人顧應祥的算學著作上。

(2) 程大位《算法統宗》的內容絕大部份都是傳抄自其他算書，其中《九 章算法比類大全》最為重要。後者的重要內容，都能在前者找到。³⁷因 此，楊輝的《詳解九章算法》通過吳敬等人的著作，間接地影響了《算 法統宗》。同時，《九章算術》的分類標準也得以延續。³⁸但是《九章 算法比類大全》和《算學寶鑑》(王文素著)中籌算與珠算口訣交雜出 現的情形，程大位將珠算口訣進一步系統化，並反映到運指技法上，

35 例如，卷九〈勾股〉中有些問題就是取材自劉徽《海島算經》與朱世傑《算學啟蒙》。朱世 傑撰成《算學啟蒙》三卷，於 1299 年由趙元鎮刊於揚州。隨即在中國便已失傳，連《永樂大 典》亦未收此書。但它對朝鮮和日本均產生重大的影響，目前所見版本是 1839 年羅士琳將訪 獲的朝鮮刊本校勘，重新刊刻印行。不過，《算學啟蒙》中有關天元術的問題未被吳敬引述，

同時李冶《測圓海鏡》與《益古演段》也未被引用。

36 郭書春主編，《中國科學技術史．數學卷》(北京：科學出版社，2010)，頁 562-568。錢寶琮，

《中國數學史》，頁 135-136。事實上，我們可以在吳敬的算題歌謠中看到當時商業社會的城市 生活樣態。例如卷九〈勾股〉有：「平地秋千未起，板繩離地一尺。送行二步恰杆齊，五尺板 高離地。仕女佳人爭蹴，終朝語笑歡戲，良工高士請言知，借問索長有幾？」見吳敬，《九章 算法比類大全》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷二，頁 282。

37 郭世榮，《算法統宗導讀》，頁 81-85。

38 郭世榮，〈論《算法統宗》的資料來源〉，收入李迪主編，《數學史研究文集》第四輯(呼和浩 特：內蒙古師範大學出版社；台北：九章出版社，1993)，頁 165-170。值得注意的是，宋元的 算學著作已經不以九章的名目作分類，但吳敬編撰的《九章算法比類大全》是個關鍵點，在他 的提倡下，中國傳統數學再次回歸到九章的分類方式，

-19- 研究》18 卷第二期(2000)，頁 197-221。

43 王連發，《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》（國立台灣師範大學數學系碩士論文，2002）

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因此，1613 年徐光啟為利瑪竇、李之藻所編譯《同文算指》寫序時，提到：

算數之學特廢於近世數百年間爾。廢之緣有二：其一為名理之儒，土苴 天下之實事；其二為妖妄之術，謬言數有神理，能知來藏往，靡所不效。

卒於神者無一效滿而實者亡一存。⁴⁷

以西方數學的標準，徐光啟「回眸」所知的明代算學，顯然一無可取。他並將 明代數學衰敗的重要原因歸究於「名理之儒」對於實際問題的鄙棄，以及「妖 妄之術，謬言數有神理。」這樣的態度，或許與其試圖將西方數學引入中國的 立場有很大的關係。事實上，有清一代，《算法統宗》廣泛流傳，雖是「胥史商 賈之書」，⁴⁸但「服官者人挾一册其書」，⁴⁹成為許多人學習中國傳統數學的來源。

50李之藻、利瑪竇譯編《同文算指》(1614)時，直接取用不少《算法統宗》的題 目，用來突顯西法的長處。⁵¹然而，西方數學在中國得以傳播開來，卻是修訂 曆法的緣故。⁵²

二 . 明末的曆法改革

與數學發展相似，天文學到了明末也面臨著典籍失傳，制曆方法無人通曉，

天象推算預測屢屢出錯的狀況。對古代中國人而言，天上的日月星辰會與地上

47〔明〕徐光啟，〈刻《同文算指》序〉，《同文算指》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通 彙》數學卷四，頁 77-78。

48 凌廷堪，〈書程賓渠《算法統宗》後〉，《校禮堂文集》卷三十二，收入《續修四庫全書》集 部別集類 1480 冊(上海：上海古籍出版社，2002)，頁 326。

49 語出何夢瑶〈《□(按：菊)芳園集》自序〉，引自〔清〕阮元《（道光）廣東通志》卷 194。資 料來源：《中國基本古籍庫》線上版，頁 2473。(2012 / 03 / 05 瀏覽)。

50 李銳就是一個很好的例子：「從書塾中檢得《算法統宗》，心通其義，遂為九章八線之學。」，

見羅士琳，《續疇人傳》卷 50，頁 657。此外，梅文鼎、焦循、汪萊等人多有著述討論《算法 統宗》書中問題。甚至到了清末仍被當成學習算學的基礎：「如欲學算學則須由《算學啟蒙》、

《算法統宗》、《算式集要》，以及《數學理》、《勾方表》、《代數術》、《對數表》、《三角數理》、

《微積溯原》等華文之書始，然後再就西文之書籍以廣之。」參見〔清〕楊毓煇，〈中西書法 異同論〉，收入陳忠倚《清經世文三編》卷 42。資料來源：《中國基本古籍庫》線上版，頁 828。

(2012 / 03 / 05 瀏覽)。

51 據陳敏晧的比對與研究，承繼《算法統宗》至少有 22 題之多。見陳敏皓，《《同文算指》之 內容分析》第五章（國立台灣師範大學數學系碩士論文，2002）。另外，據潘亦寧的研究，李 之藻在二次方程的部份可能引用了周述學的《神道大編曆宗算會》。見潘亦寧，〈中西數學的會 通─以《同文算指》(1614)的編纂為例〉，《自然科學史研究》25(3)：頁 215-226。

52 田淼，《中國數學的西化歷程》，頁 9。

-21- 七(台北：明文，1986)，頁 324-329。

57 明代沈節甫《紀錄匯編》卷 125 就摘錄王鏊《震澤長語》中一個發生在明仁宗(1424-1425 在

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震怒，身為禮部侍郎的徐光啟藉機上疏重提修改曆法，並用西洋新法推算日食，

驗之果合，⁵⁹獲得皇帝的支持，展開修曆的工作。徐光啟認為修曆一事

欲求超勝，必須會通；會通之前，先須翻譯……然後令甄明大統，深知 法意者，參詳考定，熔彼方之材質，入大統之型模。⁶⁰

並擬定翻譯的內容分為節次六目：日躔曆、恆星曆、月離曆、日月交會曆、五 緯星曆及五星交會曆。另有基本五目：法原、法數、法算、法器及會通。其中

「法原」是立法之原理；「法器」是測量之儀器；「法數」則是立成表，各依七 政本曆附載；「會通」即《通率表》二卷；「法算」則是計算的方法。⁶¹從 1629 年開曆局修曆，到 1633 年徐光啟病逝，由李天經(1579-1659)接手曆局工作，⁶² 於 1635 年第五次進呈書籍為止，前後共完成 137 卷，並刊刻出版，合稱《崇 禎曆書》。不過，當時官方言曆者有《大統曆》、《回回曆》、西洋曆局以及魏文 魁的東局等四家，言人人殊，聚訟紛紜。這部曆書雖屢次測驗交食皆密，但在 保守勢力的阻擾下，終未能在明代實行。

明清革鼎之際，湯若望在《崇禎曆書》的基礎上，加以整理改編重新刊印，

改名為《西洋新法曆書》100 卷，進呈清廷。⁶³同時，進一步向清廷舉證西法的 優越性。1645 年，湯若望成功掌權，被任命為欽天監監正，並頒行依《西洋新

改名為《西洋新法曆書》100 卷，進呈清廷。⁶³同時，進一步向清廷舉證西法的 優越性。1645 年，湯若望成功掌權，被任命為欽天監監正，並頒行依《西洋新