中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路

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(1)國立臺灣師範大學數學系博士論文指導教授：洪萬生博士左台益博士. 中國近代數學發展(1600-1905)：一個數學社會史的進路. 研究生：蘇俊鴻. 中華民國 102 年 7 月.

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(3) 摘要 1607 年，徐光啟(1562-1633)與利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)兩人合譯的《幾何原本》刻本問世，標幟著西方數學有系統引入的開始。1905 年，光緒決定廢除科舉制度，以利學堂的推廣，代表著中國的教育制度與現代教育制度的接軌，連帶著中國傳統數學邁向數學的現代化。回顧這近三百年的中國數學的發展，可說是在傳入的西算主導下，傳統中算被迫與之對話的曲折過程。當然也反映了在地脈絡如何發揮調適與吸納的功能，從數學社會史的研究進路正是為了突顯此一現象。基於此，我們才能更清楚乾嘉學派對於算學發展的重要性，也對於算學「專門之學」的學術傳統的形成有更具體的了解。同時，受到社會文化因素的影響，中國傳統數學(中算)與西方數學(西算)之間的互動與對話，彼此的會通很難有一種概括性的範例出現。本論文特別列舉「勾股 vs. 幾何」、「杜氏三術 vs. 割圓術」以及「借根方 vs. 天元和天元 vs. 代數」為例，說明各種不同的會通模式。經過這三百年的全面爬梳，我們發現算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術逐漸的上升的現象，並且鉤沉出清代算學發展如此蓬勃發展的真正原因：學術贊助的支持。正是因為這些學術贊助的支持，才使得算學的知識位階及算學家的社會地位在清代學術可以逐漸上升。進而，促使晚清出現具有數學專業意識的學者群體，迅速與現代數學接軌，完成了中國傳統數學西化的歷程。當然各個學術贊助對於算學的影響，以及學術贊助之間的相互比較，本論文只作了初步的描述與分析，更深入的討論是將來努力的方向。. 關鍵字：數學社會史、清代數學史、康熙與數學、乾嘉學派與數學、數學專業化、中西數學會通.

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(5) 致謝首先，這個博士論文之能完成，最需要感謝的人就是我的恩師洪萬生教授。在這漫長五年的論文撰寫過程，期間，經過多次的人生打擊，總在洪老師溫暖的問候關懷之中，得到身心的安頓，最後才能完成這個研究，圓滿自己最初的那個期盼。這個論文題目跨度甚長，其中精彩的人、事、物又著實龐雜。從開始的毫無頭緒，到最後爬梳出理路，也還是要感謝洪老師的耐心指引，在一次次的討論之中，論文的方向才慢慢浮現出來。當然，師大數學系上許多老師的鼓勵和關心，也是讓人點滴在心頭，就原諒我不一一細數。接著，當然是感謝我的家人。在這九年的求學過程中，妻子琇惠的默默支持包容，細心照顧兩位女兒的成長，讓我得以學業為先的安排家庭事務順序。此外，幸能讓父母親能看見自己獲得博士學位，算是了卻兩老的一樁心願。再來，也要感謝研究所就讀期間的同學、學長姐及學弟妹們，儘管大半都早我畢業許久，但大家相互研究討論，彼此打氣鼓勵的情景依然歷歷在目。同時，也必須感謝我的服務學校北一女中的諸位長官、同事及學生們，尤其在論文完成的最後階段，由於各位的包容與分擔，才能讓我在期限內完成論文。此外，也要感謝論文口試時五位委員的指導，由於您們的提問指正，讓粗疏的論文可讀性更為提高，也提供我進一步研究的可能方向。當然，論文仍有許多可待補充之處，尚祈方家不吝指正。最後，回首看望這些年的求學歷程，我也要謝謝選擇不放棄的自己！.

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(7) 目錄. 目錄第一章緒論............................................................................................................. 1 第一節研究動機 ............................................................................................. 1 第二節研究問題 ............................................................................................. 2 第三節研究回顧 ............................................................................................. 2 第四節研究方法與研究取向 ........................................................................ 12 第二章明末清初(1607-1722) ................................................................................ 15 第一節明末的數學與改曆 ............................................................................ 16 一 . 明代的數學 ..................................................................................... 16 二 . 明末的曆法改革 ...............................................................................20 第二節明末清初傳入的西方數學 .................................................................26 一 . 修曆之前：《幾何原本》與《同文算指》 ......................................26 二 . 修曆之後：《崇禎曆書》中的數學 ................................................. 33 第三節梅文鼎的曆算學工作 ........................................................................ 36 一 . 梅文鼎與梅瑴成 ...............................................................................37 二 . 李光地：梅文鼎的學術贊助人 ....................................................... 42 三 . 梅文鼎的曆算學著作 .......................................................................47 第四節清初的中西會通─以勾股術為例 ......................................................51 一 . 徐光啟的會通工作 ...........................................................................52 二 . 梅文鼎的會通工作 .......................................................................... 61 三 . 「西學中源」說 .............................................................................. 64 第五節康熙皇帝與數學 .................................................................................70 一 . 康熙朝「曆獄」 ...............................................................................70 二 . 西方數學的持續傳入 .......................................................................74 三 . 數學、知識與權力 ...........................................................................78 第三章清中葉前期(1723-1796) .............................................................................87 第一節《數理精蘊》(1723).......................................................................... 88 一 . 《數理精蘊》的結構與內容........................................................... 89 二 . 《數理精蘊》的流傳與影響........................................................... 94 三 . 《數理精蘊》的編者 ...................................................................... 99 第二節明安圖的創新工作─《割圓密率捷法》 ........................................104 一 . 明安圖的生平.................................................................................105 二 . 《數理精蘊》與《割圓密率捷法》 ..............................................108 三 . 三角幂級數展開式的研究 .............................................................115 第三節《四庫全書》...................................................................................120 一 . 戴震與《算經十書》 .....................................................................121 -I-.

(8) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 二 . 《四庫全書總目提要》子部天文算法類 ......................................130 三 . 梅瑴成與「天元一即借根方解」 ..................................................134 第四章清中葉後期(1797-1840) ...........................................................................141 第一節借根方與天元術的對話 ...................................................................142 一 . 1797 年之前的天元術與借根方 ......................................................143 二 . 1797 年到 1820 年的天元術與借根方 ............................................147 三 . 1820 年以後：四元術與西方代數 ..................................................163 第二節談天三友─焦循、汪萊和李銳........................................................168 一 . 焦循與《加減乘除釋》 .................................................................169 二 . 汪萊與《衡齋算學》 .....................................................................177 三 . 李銳與《開方說》 .........................................................................183 第三節乾嘉學派之算學的學統建立 ...........................................................194 一 . 阮元及其學圈.................................................................................195 二 . 《疇人傳》 ....................................................................................201 三 . 乾嘉學派的曆算學觀點 .................................................................208 四 . 西法派的回應.................................................................................216 第五章晚清時期(1841-1905) ...............................................................................225 第一節算學的專業化...................................................................................226 一 . 算學成為專門之學──以李善蘭為視角的觀察 ...........................227 二 . 張之洞的《書目答問》 .................................................................236 三 . 算學與自強運動 .............................................................................240 第二節算學的制度化基礎 ...........................................................................250 一 . 李善蘭與墨海書館 .........................................................................251 二 . 京師同文館的數學教育 .................................................................257 三 . 自強運動與華蘅芳的學術活動 ......................................................269 四 . 晚清數學教育的制度化 .................................................................280 第三節數學普及 ..........................................................................................285 一 . 丁取忠學圈與《白芙堂算學叢書》 ..............................................285 二 . 周達與「知新算社」 .....................................................................294 第六章結語..........................................................................................................299 一 . 這近三百年中國數學的發展..........................................................299 二 . 對中西數學會通的考察 .................................................................302 三 . 學術贊助對算學地位的提昇..........................................................305 四 . 晚清數學的專業化與制度化..........................................................309 參考書目...........................................................................................................................311. -II-.

(9) 目錄. 圖表目錄圖二-1 《勾股義》第十四題之圖(一) ................................................. 56 圖二-2 《勾股義》第十四題之圖(二) ..................................................57 圖二-3 《勾股義》第十四題之圖(三) ................................................. 58 圖二-4 《勾股舉隅》「勾弦較股弦較求諸數」條之圖 ....................... 59 圖二-5 句股差股弦差求句股弦之圖 (《九章算術》(武英殿聚珍版)) 60 圖二-6 《幾何原本》第三卷第八題之圖(其中 a, b 為筆者添加) .........62 圖二-7 《幾何通解》第三題之圖(其中 a, b 為筆者添加) .................... 63 圖三-1 明安圖在二分弧與全弧關係式第一種證法所用的圖形 ........112 圖三-2 明安圖在二分弧與全弧關係式第三種證法所用的圖形 .........113 圖三-3 ...................................................................................................114 圖三-4 《赤水遺珍》書影 ..................................................................136 圖四-1 左：《測圓海鏡》書影. 右：《數理精蘊》書影 ..........146. 圖五-1 《算學課藝》卷二第 19 題...................................................265. -III-.

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(11) 第一章緒論. 第一章緒論第一節研究動機 1607 年，徐光啟(1562-1633)與利瑪竇(Matteo Ricci, 1552-1610)兩人合譯的《幾何原本》刻本問世，標幟著西方數學有系統引入的開始。1905 年，張之洞 (1837-1909)、袁世凱(1859-1916)、趙爾巽(1844-1927)等各省督撫聯銜會奏，促使清廷決定廢除實行 1300 年的科舉制度，以利學堂的推廣。這個舉措代表中國的教育制度與現代教育制度的接軌，連帶著中國傳統數學邁向數學的現代化。就發展結果來看，這近三百年中國數學(中算)的發展趨勢，顯然是納入了西方現代數學的主流。並且，晚清時期形成了具有數學專業意識的學者群體，迅速與現代數學接軌。換言之，這三百年的中國數學發展，傳入的西方數學(西算)與中國傳統數學(中算)彼此間如何互動與對話？其中，內在的知識因素、外在的社會因素發揮了什麼樣的作用？選擇這個「大歷史」的研究主題，當然與筆者的受業恩師洪萬生教授有關。 1995 年到 1996 年之間，筆者就讀碩士班時，就在洪老師的建議下，選擇以乾嘉學派「談天三友」中的焦循(1763-1820)為研究對象，分析他的算學著作中的《加減乘除釋》，試圖釐清焦循受到西算與中算的影響。事實上，焦循當時運用符號代數來表達他所探求的「算理」，可說是中算史上的創舉，然而身後卻是無人聞問，當時筆者就深刻體會到當時焦循身處的乾嘉學派環境的影響之巨大。1 同時，洪萬生老師在清代數學社會史這個領域的研究，尤其是對於晚清數學的專業化和制度化，如何受到當時社會思潮、傳教士及傳入西學等諸多因素的影響，有著深入辟理的洞見，是筆者的重要參考。此外，這十多年來，洪萬生老師持續帶領著研究生們將明清兩代的主要的數學文本逐一解讀分析，成果非常. 1. 蘇俊鴻，《焦循《加減乘除釋》內容分析》（國立台灣師範大學數學系碩士論文，1995）。 -1-.

(12) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 豐碩。2對於本研究有著莫大的助益，也讓筆者能與以往「通史」有著不同的敘事角度完成此篇論文，有著很大的信心。. 第二節研究問題本論文關注的問題是： (1)這三百年的中國數學發展，傳入的西方數學(西算)與中國傳統數學(中算)彼此間如何互動與對話？ (2)同時，外在的社會文化因素發揮了什麼樣的作用？ (2)晚清數學的專業化與制度化是否形成？又如何形成？因此，本論文的預期目標是希望能對於這三百年中國數學的發展，以及對於晚清數學的專業化與制度化，提供一個數學社會史面向的考察。. 第三節研究回顧關於明末到清末這三百年的數學史相關研究，就筆者所及，大致上可分成二大類：一、視為中國數學史的一部份，以通史的方式記述；二、以明清為背景進行單一數學主題的研究。首先，就從對筆者啟蒙甚大的梁啟超《中國近三百年學術史》談起。梁氏談論清代的學術變遷時，便強調西方天文與數學知識傳入的影響：「明末有一場大公案，為中國學術史上應該大筆特筆者，曰：歐洲曆算學之輸入。」「要而言之，中國智識線和外國智識線相接觸，晉、唐間的佛學為第一次，明末的曆算學便是第二次。在這種新環境之下，學界空氣當然變換。此後清朝一代學者，. 2. 據筆者所搜集到有關明清數學家或是數學文本研究的碩士論文，出自洪萬生教授指導至少有近 40 本。 -2-.

(13) 第一章緒論. 對於曆算學都有興味，而且最喜歡談經世致用之學。」3正是歐洲曆算學之輸入，使得清代學者普遍對於曆算學抱持著興趣。4同時，梁啟超也認為這時期中國數學的發展，雖然開端是「曆與算本相倚也」，但最後「假途於曆而歸宿於算。」這樣的觀點，落實在梁氏對於這三百年數學知識的發展的分期：第一期，明萬曆中葉迄清順治初葉約三十年間。耶穌會士齎歐州新法東來，中國少數學者以極懇摯、極虛心的態度歡迎之，極忠實以從事翻譯。同時舊派反抗頗烈，新派以不屈不撓之精神戰勝之。其代表人物則為李涼庵(之藻)、徐元扈(光啟)等。第二期，清順治中葉迄乾隆初葉約八十年間。將所輸入之新法盡量消化，徹底理會，更進一步，融會貫通，以求本國斯學之獨立。其代表人物為王寅旭(錫闡)、梅定九(文鼎)等。第三期，乾隆中葉預後迄嘉慶末約三、四十年間。因求學問獨立之結果，許多重要古算皆復活，好古有識之學者，為之悉心整理校注，其代表人物則戴東原(震)、錢竹汀(大昕)、焦里堂(循)等。第四期，嘉慶、道光、咸豐三朝約四、五十年間。因古算整理就緒之結果，引起許多創造發明，完成學問獨立之業。其代表人物則汪孝嬰(萊)、李四香(銳)、董立方(祐誠)、羅茗香(士琳)等。第五期，同治初迄光緒中葉約三十年間。近代的新法再輸入，忠實翻譯之業不讓晚明，其代表人物為李壬叔(善蘭)、華若汀(蘅芳)等。5 儘管是近百年前所提出的觀察，對於數學家的速寫大致正確，但分期也掌握清代數學發展的起承轉合。不過，他對於推動清代數學發展的這股驅動力，就沒. 3. 梁啟超，《中國近三百年學術史》（臺北：里仁書局，1995），頁 10-11。例如曾國藩(1811-1872)在晚年寫給兒子的信中表示，自己生平有三恥，第一恥就是「獨天文算學，毫無所知，雖恒星五緯亦不認識。」曾國藩，〈咸豐八年八月二十日致曾紀澤〉，《曾國藩教子書》(岳麓書社，1986)，頁 12。轉引自江曉原，〈歐洲天文學在清代社會中的影響〉，收入黃愛平、黃興濤編，《西學與清代文化》(北京：中華書局，2008)，頁 469。 4. 5. 梁啟超，《中國近三百年學術史》，頁 471-472。 -3-.

(14) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 有太多表示。同時，算學只是他整個清代學術的一部份，受限於篇幅之故，梁啟超對於每個時期的描述無法深入。此外，對於關鍵人物的判斷也有出入，比如說，沒有考慮康熙皇帝對於西方數學在中國傳播的重要性；阮元的角色遠比錢大昕重要的多。事實上，16 世紀末到 19 世紀末的中國數學史，一直是許多數學史家關注的領域，相關的研究也非常多。它原本就是中國數學史的一部份，許多先輩史家如李儼、錢寶琮、杜石然等人，對這一時期的傳入的西方數學，以及中國數學家的研究成果都有具體的書寫。6由數學史學史的觀點來看待他們對於這段時期數學史的描述，頗有研究方法論上的興味。以錢寶琮(1892-1974)的《中國數學史》為例，7他將明末到清末視為整個時期，定為第四編，其確切起迄年代為明萬曆二十八年(1600)到清代末年(1911)。8同時，整編細分成七章(第十三到十九章)來論述，其章名分別是：第十三章明清之際西方數學的傳入第十四章梅文鼎的數學著述第十五章《數理精蘊》第十六章傳統數學的整理和發展第十七章三角函數展開式的研究第十八章戴煦、李善蘭等的數學研究第十九章清代末期的數學研究與翻譯工作. 6. 此處略舉筆者曾見的有李儼的《中國算學小史》、《中國算學史》及《中國數學大綱》，分別收入《李儼錢寶琮科學史全集》第一卷及第三卷；杜石然，《中國數學簡史》(原為 1964 年版)，收入《數學．歷史．社會》(瀋陽：遼寧教育出版社，2003)。不過，可以看到都是 1970 年代以前的著作。 7. 錢寶琮的《中國數學史》完成於 1963 年，於 1980 年由自然科學史研究所數學史組再修訂重新出版，但篇章結構仍維持不變。亦收入《李儼錢寶琮科學史全集》第五卷。 8. 前三編依序為：一、秦統一以前的中國數學；二、秦統一以後到唐代中期的中國數學；三、唐代中期到明末時期的中國數學。對於分期，錢寶琮認為最好的方法是：「既不脫離一般社會歷史條件，又能從數學本身出發，反映這種在發展過程中的階段性。」至於為何將 1600 年定為開始呢？可能是這一年利瑪竇「由太監馬堂引進北京，見到萬曆皇帝，得到國家供養，並准許他自由傳教。」，見錢寶琮，《中國數學史》，頁 256-257。 -4-.

(15) 第一章緒論. 對比於 2000 年出版的《中國數學史大系》第七卷(明末到清中期，主編是李迪) 與第八卷(清中期到清末，主編是李兆華)，9我們可以看見這段時期的數學發展，隨著研究成果的增加，添補更多的內容，也增加西方數學的部份。編次如下：第七卷(1600-1760)：第一編西方數學的第一次系統傳入(傳入的背景與經過 / 西方初等數學進入中國 / 中國對西方數學的最初研究) 第二編中國數學家的會通中西工作(清初幾位數學家及其工作 / 「會通中西」的天算家梅文鼎 / 與梅文鼎同時代的幾位數學家及其成就) 第三編康熙帝與數學(酷愛數學的康熙帝 / 《數理精蘊》的內容 / 《數理精蘊》資料的來源) 第四編對傳統數學與西方數學的研究(康熙末期到乾隆前期的某些工作 / 梅文鼎、年希堯對畫法幾何的研究 / 明安圖的數學成就). 第八卷(1760-1911)：第一編傳統數學著作的整理與研究(傳統數學著作的整理 / 焦循、汪萊、李銳的研究工作) 第二編冪級數展開式的研究(董祐誠、項名達、戴煦的研究工作 / 李善蘭等人的研究工作) 第三編西方近代數學的傳入(李善蘭的翻譯工作 / 華蘅芳的翻譯工作 / 西方近代高等數學在中國的影響) 第四編清末的數學研究與數學教育(夏鸞翔等人的研究工作 / 數學教育與傳播). 9. 《中國數學史大系》共十卷，分成正卷八卷及附卷二卷，由北京師範大學出版社於 1998 至 2000 間出版。 -5-.

(16) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 其中第七卷明末到清中葉，起迄時間約為 1600 年到 1760 年之間，其特色是「西方初等數學比較系統地傳入了中國，使中國開始向西方數學過渡。其中徐光啟、梅文鼎和明安圖等工作頗有影響。」第八卷清中葉到清末則是約 1760 到 1911 年，其特點是「復興古算和西方近代高等數學的系統傳入中國，主要的數學家有戴震、李銳、汪萊、董祐誠、項名達、戴煦、徐有壬、李善蘭、華蘅芳、黃宗憲等。中國傳統數學已逐漸被西方數學所取代。」10 可以看到撰寫主題上強化了西方數學對於這個時期中國數學發展的影響，以及數學家在西方數學影響下的研究工作。但具體內容仍然是文獻史料的呈現，時間縱向上的連結仍嫌不足。例如，在第七卷第三編〈康熙帝與數學〉中，就能沒有論及康熙在曆算學的喜好，讓他將對梅文鼎(1633-1721)算學才能的讚賞，轉化成對梅瑴成(1681-1763)的庇蔭。而梅瑴成在康、雍、乾三朝參與曆算書籍的編纂，將梅文鼎的數學著作及思想傳播出去，尤其是他最重要的「西學中源」說，對有清一代的算學家產生巨大的影響。此外，晚清數學教育的制度化基礎，以及數學家社群呈現出的專業化完全沒有提及。或許是看到不足之處，所以田淼在 2005 年撰寫了《中國數學的西化歷程》一書。全書分成兩個部份，第一部份討論西方數學在中國傳播的情況，分成四個階段討論；第二部份則是採個案研究的呈現，選取代數學、三角學及垛積術等主題，探討「中西數學的交匯、西方數學的傳播及中國數學的消融過程。」首先，作者認為西方數學在不同的歷史時期中，都有其「能夠在中國存在的特定理由和不同的授受群體。」，因此，便將西方數學在中國的傳播，分成四個階段：一、16 世紀末到 17 世紀 40 年代：在明末學者對空疏的學術風氣已產生反動的文化背景下及王朝將傾的特殊歷史關頭，歐洲數學知識被引入中國。. 10. 見《中國數學史大系》第一卷，頁 8。 -6-.

(17) 第一章緒論. 二、17 世紀 40 年代到 18 世紀 40 年代：清代帝王出於統治需要及個人興趣給予傳教士更大的自由，西方數學被較為系統地介紹到中國。三、18 世紀 40 年代到 19 世紀 60 年代：中國學者在復興古學及進一步思考和理解已經傳入的歐洲知識的基礎上，深化了對傳統數學和泊來的歐洲數學知識的研究，這個時期的工作成為中國傳統數學發展史上的最後一個亮點。四、19 世紀 60 年代到 19 世紀末：鴉片戰爭之後，近代數學乘著船堅利砲捲土重來，中國傳統數學終於抵禦不住這一強猛的近代化趨勢而退出歷史舞台。11 同時，作者認為在這個知識傳播的歷程中，從傳播者的角度，想要回答是：「什麼的歷史環境，使得歐洲數學傳入中國？」而當時「在中國傳播數學科學的究竟是一些什麼的人？」為何這些傳教士要「分神費力地在中國傳播數學？」從接受者的角度，則是：「哪些中國學者熱衷於接受歐洲數學知識？他們是以什麼心態來接受歐洲數學的？」「清順治帝和康熙帝為何對西方數學和天文學感到興趣？清代帝王對傳教士的優遇是否真的使傳教士引入的知識在中國得到更為廣泛的流傳並扎下根來？」「伴隨西方知識傳播而出現的“西學中源”說是在什麼樣的背景下產生的？」從傳播的資訊來說，想了解「傳入中國的究竟是些什麼樣的數學知識？」而雍正下達禁教令後，「西方數學知識的傳入中斷後，中國數學的西化是否亦隨之中斷了呢？」最後，「西方數學是以什麼樣的方式最終取代中國傳統數學的？」就筆者看來，作者全書的論述大致達到其預定的目標，回答了所提出的問題，但仍有幾點不足之處，例如，對於影響整個清代算學家最重要的「西學中源」說，交待仍嫌不夠完整。儘管作者提到「西學中源」說對康熙而言，是「賦. 11. 田淼，〈前言〉，《中國數學的西化歷程》(濟南：山東教育出版社，2005)，頁 2-3。必須提的是，筆者曾蒙作者惠賜本書，藉此致謝。 -7-.

(18) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 予了來自西方的科學知識以合法的地位，使之成為中國學術的一個組成部份。同時，也為他自已學習歐洲數學科學知識提供了一個藉口。」對梅文鼎來說，則是「提倡西學」。12但作者沒有進一步說明「西學中源」的說法為何能持續到晚清，成為算學家比較中算與西算優劣的關鍵「口號」？這個問題其實引發出全書另一個更大的問題：西方數學在中國的傳播歷程中，「傳播」不會只有單向發生，這些傳入中國的西方數學知識(西算)如何與中國傳統數學(中算)「互動對話」呢？這正是本研究想要釐清的部份。另外，書中問題的焦點在於西方數學知識的傳播，作者在意的是傳播者、接受者及數學知識之間的關係，論述上多以「內史」為主，環繞在傳播者、接受者及數學知識的外在社會文化的因素著墨不多。以借根方與天元術為例，作者就對乾嘉學派的影響太過輕描淡寫。事實上，借根方與天元術的勢力的消長需要置放在乾嘉學派的學術環境下才能理解其中關係。 1723-1840 年間的學術風氣上，正是乾嘉學派抑西揚中與西學中源說盛行。這樣的外在環境如何影響著西算(借根方)和中算(天元一)的發展，以及兩者如何互動呢？由於「西學中源」說的觀點，使得梅瑴成提出「天元一即借根方解」。借根方從天元術得到合法性，四庫館員、戴震與孔廣森等人就是依著借根方來進行校注算書，解天元術的工作。此時的算學家所理解的天元術「是帶著借根方知識內涵的天元術」。同時，借根方得到相當程度的重視(儘管是西算)。13到了 1797 年李銳(1769-1817)重新校算李冶(1192-1279)的《測圓海鏡》、《益古演段》二書時，重現天元術的原貌。更重要的是，經過比較，他認為中算天元術優於西算借根方，當下天元術成為乾嘉學派抑西揚中的重要工具。因此，天元術得以彰顯，借根方漸之沒落。有趣的是，同樣的學術風氣，竟是借根方興起和沒落的原因(見論文第四章第一節)。. 12. 田淼，《中國數學的西化歷程》，頁 122-123。. 13. 事實上，這對乾嘉學派並非特例，像明安圖的《割圓密率捷法》就是典型的西法，但羅士琳稱之為「明氏新法」。 -8-.

(19) 第一章緒論. 也因此，清代考據學的算學認識論對曆算學發展的影響，作者就無從考慮了。這正是洪萬生在〈談天三友焦循、汪萊和李銳─清代經學與算學關係試論〉最重要的論點。14作者試圖由乾嘉學派的「論述結構」(discourse)如何影響當時的算學研究的討論，問答下列的問題：汪萊晚年何以孤立？焦循和李銳的算學創新何以後繼乏人？透過算學知識發展的外在因素，討論了談天三友的算學成果何以未受到重視。同時，作者在文中也點出了乾嘉學派對晚清數學專業化貢獻的歷史性角色，由談天三友的例子，可以追溯算學如何從依附經學，進而逐漸取得自主發展的歷程。同樣的原因，當田淼最後以「清末數學家的職業化及其研究的專業化」為題作為中國數學西化歷程的最後一節時，這個結束筆者認為非常的好，這正是說明了這三百年數學發展的歷史，中算與西算互動的結果是培養出具有數學專業的群體，因此傳統中算與現代數學才能無痛接軌。不過，就內容上就讓人覺得少了那麼一點。作者認為清末陡興的數學教育使得以數學為專業的士人們獲得經濟上獨立，逐步成為一個具有獨立社會角色的群體。但筆者認為這些有志於數學的士人群體不會憑空出現。早在他們還是經學家的助手或是官僚幕友(如協助校注算書、著述)的階段，數學的專業化的想法，或是自我身份的認同，怎麼樣萌發？如何得到支持？就是值得我們好好考察的問題。15此外，若能夠找一個士人當成個案來說明他如何達成數學研究的專業化，或是數學的制度化所造成的影響那就更好了，筆者認為李善蘭(1811-1882)是一個適當的例子(見論文第五章第一節)。至於單一數學主題以清代為探討的論文，以李儼的用力最深。計有〈明清之際西算輸入中國年表〉、〈對數的發明和東來〉、〈三角術和三角函數表的東. 14. 收入洪萬生主編，《談天三友》(台北：明文書局，1993)，頁 43-124。. 15. 事實上，梁啟超最早就注意到乾、嘉之後治算的人可分成三類：第一類，臺官。臺官者，奉職於欽天監者也。第二類，經師。經師，初非欲以算學名家，因治經或治史有待於學算，因以算為其副業者也。第三類，專門算學家。見梁啟超，《中國近三百年學術史》，頁 481-485。 -9-.

(20) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 來〉、〈明清算家的割圓術研究〉及〈中算家的圓錐曲線說〉及〈清代數學教育制度〉等篇。16其中〈明清之際西算輸入中國年表〉列舉明萬曆九年(1581)到道光六年(1826)與輸入西算的相關記錄，〈對數的發明和東來〉略論訥白爾(Napier) 發明對數的緣由與過程，列出了對數由穆尼閣傳入中國後的中文著作共 29 種，且每一種都附有概略說明。〈三角術和三角函數表的東來〉則是先列舉出討論平面三角術的算書 39 種、球面三角術的算書 37 種及三角函數表 26 種。接著則是分述平面三角和球面三角明末第一次和清末第二次傳入中國後，那些算家進行研究、成果介紹及傳播歷程。最後則是三角函數表傳入中國的傳播歷程及後來算家進行計算修訂。〈明清算家的割圓術研究〉一文則是討論割圓術，對明清算家而言，割圓術恰好是可以和三角八線作一會通的工具，頗受重視。此文共分四部份：首先，由割圓求弧矢談起，接著則是割圓求圓周率及西洋傳入割圓法的說明。第三部份則是杜德美的杜氏三術的傳入，在明安圖完成《割圓密率捷法》後，引起清中葉三角函數展開式的研究熱潮。此處李儼對於明安圖的《割圓密率捷法》、董祐誠的《割圓連比例圖解》、項名達的《象原一數》、戴煦的《求表捷術》及《割圓八線綴術》做了詳盡的解讀與推導。最後部份是三角函數表計算法的說明。至於〈中算家的圓錐曲線說〉則是解說戴煦與項名達兩人在求橢圓周長上的工作。〈清代數學教育制度〉則是記述清初與清末的數學教育制度、教會學校的數學教育制度及數學應用書籍。綜言之，上述各篇論文，主要在文本資料的蒐集與解讀，可供參考的方向，更進一步深入研究。但由於其年代稍早，有些論述或有謬誤，需要注意。17. 16. 上述論文前五篇收入《李儼錢寶琮科學史全集》第七卷，最後一篇收入《李儼錢寶琮科學史全集》第八卷。 17. 例如，在〈清代數學教育制度〉中，李儼認為光緒二十五年出版之《東西學書錄》(1899 年徐維則出版，蔡元培序)中所載的算學類西書是當時學校採用之教科書。但筆者實際查閱《增版東西學書錄》(1902 年徐維則出版，蔡元培序)時，發現徐維則是因當時西學書籍翻譯正值高峰，仿《四庫全書簡明目錄》之例以為書錄，供人買書之參考，李儼似有過度解讀之嫌。收入熊月之編，《晚清新學書目提要》(上海：上海書店出版社，2007) -10-.

(21) 第一章緒論. 再來，梅榮照主編的《明清數學史論文集》，其中所收的論文，都是明清為時代背景，針對某個數學主題、數學家或數學文本而論，可供參考之用。18因篇幅之故，此處僅提梅榮照、王渝生與劉鈍三人合寫的〈歐幾里得《原本》的傳入和我們明清數學的影響〉為例，此文主要討論《原本》(包括 1607 年徐光啟與利瑪竇合譯的前六卷及 1857 年李善蘭與偉烈亞力合譯的後九卷)傳入中國的經過以及它對後世學者的影響。事實上，關於《幾何原本》的研究，荷蘭漢學家 Engelfriet 的 Euclid in China : the genesis of the first Chinese translation of Euclid's Elements, books I-VI (Jihe yuanben, Beijing, 1607) and its reception up to 1723 一書非常值得一讀。19主要是介紹 1607 年版的《幾何原本》之內容分析、底本問題、傳播與對清前期的影響。但可惜的是，它只談到 1723 年為止。至於前述田淼書中第二部份的每個主題拆分出來，也都是針對某個數學主題的研究。不過，此處就不再贅述了。此外，筆者也必須說明這三百年數學發展的各個階段，都有數學史家努力深入研究的成果。像是劉鈍等人對梅文鼎的研究。韓琦、Jami(詹嘉玲)對於耶穌會士(特別是法國耶穌會士)與康熙對西方數學在中國傳播的研究，包括傳入的知識內容與採取的方法。韓琦對《數理精蘊》的研究，以及羅見今等人對冪級數的研究。洪萬生對乾嘉學派經學與算學關係開展性的研究，以及對晚清數學的專業化與制度化的研究。李兆華等人對晚清數學教育制度的研究。當然，還有天主教傳華史、西學東漸及清代社會與文化發展的研究等等。限於篇幅之故，筆者論文中會說明交待，此處就不一一細數。. 18. 例如劉鈍的〈梅文鼎在幾何學領域中的若干貢獻〉、朱家生的〈李銳《開方說》方程理論初探〉及傅祚華的〈《疇人傳》研究〉等。見梅榮照主編，《明清數學史論文集》(南京：江蘇教育出版社，1990。) 19. 中譯本為安國風，紀志剛、鄭誠、鄭方磊譯，《歐幾里得在中國》(南京：江蘇人民出版社， 2008) -11-.

(22) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 第四節研究方法與研究取向本論文的核心問題是：這三百年的中國數學發展，傳入的西方數學(西算)與中國傳統數學(中算) 彼此間如何互動與對話，而外在的社會因素發揮了什麼樣的作用？特別地，兩者又如何共同營造出晚清數學的專業化與制度化？從問題出發，這個研究最好的敘事主軸便是傳入的西方數學與傳統中算的如何融匯。由文獻分析看來，不難發現這三百年的中國數學發展，應該是傳入的西方數學(西法)主導，同時傳統中算被迫與之對話的曲折過程。同時，外在社會因素在這對話過程中，發揮了調適和吸納的影響作用。由於事實知識的形成是一個社會過程，是人們對於外在世界的認知，並透過語言表達彼此的認知。因此，事實知識構成群體所認知的外在世界秩序，群體的個人透過對「事實知識」的認知，取得和他人對外在世界一致的看法。一個陌生的觀念的入侵，可能顛覆群體所認知的外在世界秩序，進而造成社會秩序的變動。因此，許多對於事實知識的爭辦，都隱含著對社會秩序問題的關切。這因為如此，所以本論文研究的取向將是採取數學社會史的研究進路。當然，三百年的時間太長，同時各時期發展有各自的特點，需要分期便於論述。筆者參考上述文獻的各種分期，考慮影響中算與西算兩者互動最重要的人、事、物，筆者擬將這三百年的時間分成下列四個時期： (一)明末清初(1600-1722)：西方數學第一次的傳入及康熙對西學的影響 1607 年，徐光啟與利瑪竇合譯的《幾何原本》前六卷刊刻印行，代表著西方數學傳入中國的開始，藉著曆法的制定與討論傳播開來，對於清代的學術發展，起了重大的影響。然而，這個時期驅動這股學習曆算風潮的最重要因素就是康熙皇帝，在他特意公開展示數學的結果下，引起儒臣學人的注意，進而投其所好。統治後期更拔擢具有曆算才能的士人，參與《律曆淵源》(包括《曆象考成》、《律呂正義》及《數理精藴》)的編纂工作，都對士人曆算的學習有著正 -12-.

(23) 第一章緒論. 面的鼓勵作用。1722 年，愛好西學的康熙逝世，加上禁教政策的確實執行，西方數學的傳入停滯下來，表示著這個時期的結束。 (二)清初到清中葉前期(1723-1796)：《數理精蘊》和中西數學會通儘管康熙去世，但在他親自主導下的《數理精蘊》於 1723 年出版，這部以傳入中國的西方數學為主體，融合當時所知的傳統數學(主要是梅文鼎的研究成果)，總結而成的百科全書式之數學著作。這個時期西方數學已經無法再傳入中國，使得《數理精蘊》成為 1850 年代西方數學再度傳入中國之前，士人學習西方數學的主要文本，可見其影響清代數學發展的重要性。 (三)清中葉後期(1797-1840)：傳統中算的復興和數學專業化的開始李銳在 1797 年校注李冶算書《測圓海鏡》與《益古演段》，重新理解佚失的天元術，成為乾嘉學派抗衡西法的重要武器，促使數學研究焦點的重大轉向：傳統中算的復興。1840 年，羅士琳完成《續疇人傳》，不過，乾嘉學派所主導的算學研究此時已經開始衰微，《續疇人傳》為乾嘉學者的曆算成就留下紀錄，卻也宣告這個學派即將結束。然而，算學就在乾嘉學派有意識的推動各種學術活動下，建立起算學「專門之學」的學術傳統，使得算學家的角色逐漸從經學家分化出來，這樣的學術風氣，成為晚清數學家數學專業化的重要養份。 (四)晚清時期(1841-1905)：數學專業化與制度化的建立乾嘉學者基於治學的需求，算學由治學工具翻身成為一種專門之學。於是，算學專門名家輩出，締造了清中葉中國數學的一個繁榮時期。這股熱潮在鴉片戰爭之後，「一切西學皆從算學出」，算學成了自強運動重要的符號，加上自強運動事業的開辦，促使算學制度化的基礎之建立，都為這些算學專門名家如李善蘭、華蘅芳等人找到安身立命之道，在十九世紀結束以前，中國數學家的專業自主意識已經成熟。因此，1905 年清廷決定廢除科舉制度，以利學堂的推廣，代表中國的教育制度與現代教育制度的接軌，連帶著數學(教育)的現代化也因之底定。. -13-.

(24) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 本研究時間跨度很長，資料相當龐雜，所幸在洪萬生教授的引領下，筆者大致掌握了這三百年主要的數學文本，以及相關的數學知識活動。筆者將研讀一手文獻分析內容，並輔以二手文獻的參考，予以綜合論述。. -14-.

(25) 第二章明末清初(1607-1722). 第二章明末清初 ( 1 6 0 7 -1 7 2 2 ) 1607 年，徐光啟與利瑪竇兩人合譯之《幾何原本》前六卷刊刻印行，20標幟著西方數學傳入中國的開端。21此次西方天文及數學知識的傳入，對於有清一代的學術發展，起了重大的影響。梁啟超在《中國近三百年學術史》中有著精闢的觀察：明末有一場大公案，為中國學術史上應該大筆特筆者，曰：歐洲曆算學之輸入。……要而言之，中國智識線和外國智識線相接觸，晉、唐間的佛學為第一次，明末的曆算學便是第二次。在這種新環境之下，學界空氣當然變換。後此清朝一代學者，對於曆算學都有興味，而且最喜歡談經世致用之學，大概受到利徐諸人影響不小。22 然而，使得清朝學者對於曆算學保持高度的興趣，除了西方天文學與數學的傳入，也和清廷對於天文曆算的重視，以及一般士人(非從事天文相關工作)學習天文曆算採取開放的態度有關。23正是西方天文與數學傳入，成為此一現象萌發的開端。1722 年，愛好西學的康熙死後，繼位的雍正採取激烈的禁教手段，西方科學知識的傳入便停滯下來，表示著這個階段的結束。這個階段的西方數學，在什麼脈絡下傳入中國？傳入什麼內容？什麼人對它感到興趣？又對中國傳統算學造成什麼影響？而曆算學者如何面對？上述問題正是此章所要論述的主旨。首先，筆者將從明末的數學發展與曆法改革的背. 20. 當時中國士人與西方傳教士的譯書模式均是由傳教士口傳，再由中國士人動筆撰寫，此種模式一直沿用到清末。 21 1600 年，徐光啟客居南京時，就結識利瑪竇，彼此留下深刻印象。梁家勉，《徐光啟年譜》 (上海：上海古籍出版社，1981)，頁 64。 22 梁啟超，《中國近三百年學術史》，頁 10-11。 23 據江曉原的研究，以阮元 1799 年《疇人傳》初編的傳主作初步統計，清代參與天文曆算活動的算學家中，非官方身份約八成左右。所謂非官方係指未擔任欽天監等官方天文機構的工作，同時也未參與官方天文學活動的人。見江曉原，〈17、18 世紀中國天文學的三個特點〉，收入江曉原、鈕衛星，《歐洲天文學東漸發微》(上海：上海書店，2009)，頁 425-435。此外，江曉原也指出 17、18 世紀的中國天文學的三個特點分別是天文學研究空前時髦、研究重心轉移到非官方士人，以及西方天文學引入所造成的激烈衝擊。 -15-.

(26) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 景談起，說明傳教士何以能將西方天文學與數學成功地傳入中國，徐光啟等士人為何接受西學，這是第一節的內容。而傳教士把握明清迭替，成功在欽天監建立據點，掌控制訂曆法的權力，得以傳播西法，至於傳入那些數學知識，則是第二節的內容。隨著西方曆算學的傳播，中國曆算學者如何消納、吸收這些西方數學知識？被譽為算學名家的梅文鼎當然是觀察的最佳範例。同時，梅文鼎如何建立起學術影響力，讓數學得以從天文學獨立出來，這是第三節所要探討的。至於梅文鼎和徐光啟兩人在中西數學會通，各自作出那些貢獻，這是第四節要說明的重點。最後，驅動曆算學研究這股學術風氣最主要的動力，正是康熙皇帝，為何他會如此，在第五小節中會詳加說明。. 第一節明末的數學與改曆一 . 明代的數學對比於宋、元數學的極致發展，中國傳統數學在明朝的急遽衰落，是不爭的事實。24宋、元到明朝數學知識傳承何以「斷裂」？迄今仍未有具決定性的研究足供定論；另外，宋元算學著作的大量失傳也是另一個待解的問題。25然而，明代的數學並未因此就停滯不前，據史家李儼的統計，明代算書作品就有. 24. 具體來說可分成如下幾點：(1)宋、元時期得到廣泛應用的增乘開方法(高次一元代數方程的數值解法)，在明代已經無人知曉。(2)宋、元算學家創立的天元術，明代算學家根本不理解。(3) 四元術(高次多元方程組的解法)在明代數學著作中已不復存在。至於線性方程組，程大位《算法統宗》的表示法已遜於《九章算術》的方程術。(4)宋代秦九韶的「大衍總數術」已經將一次同餘式組的解法一般化，明代數學家無從繼承。(5)明代算學家程大位說明「徑一周三」與「方五斜七」是「勢之不得已也」，無法繼承劉徽精密逼近的進路。(6)唐、宋時期的算家已經廣泛運用現代小數的方法，但明代卻以增加小數名稱的單位來表徵。見洪萬生，〈明代數學與社會： 1368-1607〉。收入祝平一主編，《中國史新論科技與中國分冊》(台北：聯經，2010)，頁 353-421。特別是洪萬生的論文是筆者在處理明代數學的重要參考。正是將明末數學的發展釐清，才能更了解明清之際的算學家吸收消納西方數學的策略。也可參照梅榮照，〈明清數學概論〉，梅榮照主編，《明清數學史論文集》(南京：江蘇教育出版社，1990)，頁 3-4。 25 據一份 1441 年記錄明朝遷都北京後皇家藏書的目錄，算法類的藏書只有 22 種，其中已經沒有朱世傑的算學啟蒙(1299)和《四元玉鑑》(1303)；1408 年所編寫的《永樂大典》所收的數學書籍大致也是如此。若皇家已是如此，那麼民間可見的數學書就更稀少。參見郭世榮，〈明代數學與天文學知識的失傳問題〉，收入《法國漢學》第六輯（北京：中華書局，2002），頁 320-335。這篇文章對於明代數學與天文學的失傳做了概略却全面性的討論。 -16-.

(27) 第二章明末清初(1607-1722). 70 多種。26史家洪萬生認為從吳敬以降，明代數學在士商合流的程大位的手上，成功發展出一套具有學術「正當性」的商業數學。從 1450 年吳敬初版《九章算法比類大全》到 1592 年程大位(1533-1606)初版《算法統宗》的 150 年之間，明代數學的發展主軸，絕對是數學知識的商業化與世俗化，其中特別伴隨著士、商合流的社會文化運動，堪稱是數學史上「在地數學」 (mathematics in context)的最佳例證之一。」27 也就是說，順著數學知識的商業化與世俗化的脈胳下，才能理解吳敬的算書在明代數學的傳承與發展上所佔有的地位。28以及吳敬之後的算學家，29如王文素、30顧應祥(1483-1565)、31周述學、32以及程大位等人如何共同形塑出明末數學的樣貌。33限於篇幅，此處僅列出與本論文相關的重點：34. 26. 此處係指不受西方數學影響的數學著作。李儼，〈明代算學書志〉，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第六卷(瀋陽：遼寧教育出版社，1998)，頁 473-493。 27 參見洪萬生，〈明代數學與社會：1368-1607〉，頁 412-417。事實上，史家錢寶琮也注意到明代數學與商業的關係：「明朝的商業較宋元時期有更進一步的發展，反映在吳敬的《九章算法比類大全》裡，就有不少與商業資本有關的應用問題。」參見錢寶琮，《中國數學史》，(北京：科學出版社，1992)，頁 135-136。另外，武田楠雄也指出萬曆年間(1573-1619)的算書最大特色便是商業算術，這是明代中葉之前未見的現象。最顯明的特徵，則是《算法統宗》與《指明算法》的「差分」計算。轉引自洪萬生，〈明代數學與社會：1368-1607〉，頁 363。 28 洪萬生認為就明代數學知識的傳承而言，吳敬的著作算是一個典範(paradigm)。洪萬生，〈明代數學與社會：1368-1607〉，頁 418。 29 吳敬，字信民，號主一翁，明代杭州府仁和縣人。其生平史料甚少，也不見載於《明史》。僅知他在田疇、糧稅與戶口等數字管理的幕僚工作上表現出色，贏得藩臬重臣的禮遇，撰有《九章算法比類大全》刊行。 30 王文素，字尚彬，山西汾城人，明朝中葉出生(約 1465 到 1524 以後)，出身商賈，著有《算學寶鑑》(全稱為《新集通證古今算學寶鑑》)(1524)一書，被數學史家認為是相當出色的著作，但未有刊本。 31 顧應祥，字惟賢，號箬溪或箬溪道人，湖州長興人。明孝宗弘治十八年(1505)登進士第，後以南京刑部尚書致仕。共有四部算學著作，分別是《勾股算術》2 卷(1533)、《測圓海鏡分類釋術》10 卷(1550)、《弧矢算術》1 卷(1552)及《測圓算術》4 卷(1553)。 32 周述學，字繼志，號雲淵子，浙江會稽人，生卒年不詳，精通易學及曆學，著有《神道大編曆宗算會》(1558)，黃宗羲對其評價甚高。此外，他在曆學方面的成就，雖然以布衣而終，卻能在《明史》中與唐順之（1507—1560）等人並列。〔清〕黃宗羲，〈周雲淵先生傳〉，收入沈善洪主編，《黃宗羲全集》第 10 冊(杭州：浙江古籍出版社，1992)，頁 546-548。見〔清〕張廷玉《明史》卷 31〈志第七．歷一〉，頁 544。 33 程大位，字汝思，號賓渠，安徽休寧人。他幼而慧，尤長於算數。二十歲以後，在長江中、下游地區經商，其間廣泛收集古今算書，博訪聞人達士。四十歲之後返回家鄉，致力於數學研究，於是乎參會諸家之法，附以一得之愚，纂集成編。六十歲那年，完成《算法統宗》17 卷(1592) 刊刻印行。全書解題所需的計算，採用珠算盤操作，對於珠算的普及化，有著極大的貢獻。 34 像不定方程、一次同餘方程組及縱橫圖等問題，在此便不討論。 -17-.

(28) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. (1) 吳敬《九章算法比類大全》是按《九章算術》的名目方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈朒、方程和勾股分卷。各卷內容均是將基本算法放在卷首，然後分成「古問」、「比類」及「詩詞」三類列置該章的應用問題及解法。「古問」是指《九章算術》中的問題，其來源應是楊輝的《詳解九章算法》；「比類」則是類似「古問」的應用問題；「詩詞」則是詩詞歌謠形式提問的應用問題。其中，「比類」保留若干佚失數學文本的問題，許多佚失宋元算書的算題也由於吳敬的採輯而得以流傳。35而大量的數學內容歌訣化之形式則利於數學知識的普及，此一著述體例對於後來的商業數學著作的編寫起了規範作用。36不過，這樣的歌謠形式並未出現在精英士人顧應祥的算學著作上。 (2) 程大位《算法統宗》的內容絕大部份都是傳抄自其他算書，其中《九章算法比類大全》最為重要。後者的重要內容，都能在前者找到。37因此，楊輝的《詳解九章算法》通過吳敬等人的著作，間接地影響了《算法統宗》。同時，《九章算術》的分類標準也得以延續。38但是《九章算法比類大全》和《算學寶鑑》(王文素著)中籌算與珠算口訣交雜出現的情形，程大位將珠算口訣進一步系統化，並反映到運指技法上，. 35. 例如，卷九〈勾股〉中有些問題就是取材自劉徽《海島算經》與朱世傑《算學啟蒙》。朱世傑撰成《算學啟蒙》三卷，於 1299 年由趙元鎮刊於揚州。隨即在中國便已失傳，連《永樂大典》亦未收此書。但它對朝鮮和日本均產生重大的影響，目前所見版本是 1839 年羅士琳將訪獲的朝鮮刊本校勘，重新刊刻印行。不過，《算學啟蒙》中有關天元術的問題未被吳敬引述，同時李冶《測圓海鏡》與《益古演段》也未被引用。 36 郭書春主編，《中國科學技術史．數學卷》(北京：科學出版社，2010)，頁 562-568。錢寶琮，《中國數學史》，頁 135-136。事實上，我們可以在吳敬的算題歌謠中看到當時商業社會的城市生活樣態。例如卷九〈勾股〉有：「平地秋千未起，板繩離地一尺。送行二步恰杆齊，五尺板高離地。仕女佳人爭蹴，終朝語笑歡戲，良工高士請言知，借問索長有幾？」見吳敬，《九章算法比類大全》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷二，頁 282。 37 郭世榮，《算法統宗導讀》，頁 81-85。 38 郭世榮，〈論《算法統宗》的資料來源〉，收入李迪主編，《數學史研究文集》第四輯(呼和浩特：內蒙古師範大學出版社；台北：九章出版社，1993)，頁 165-170。值得注意的是，宋元的算學著作已經不以九章的名目作分類，但吳敬編撰的《九章算法比類大全》是個關鍵點，在他的提倡下，中國傳統數學再次回歸到九章的分類方式， -18-.

(29) 第二章明末清初(1607-1722). 《算法統宗》說明了珠算取代籌算，成為主流計算工具的過程。39到了清初，許多數學家已經不會籌算。方中通(1633-1698)曾提到：「古法用竹，……後世有珠算，而古法亡矣。」40 (3) 吳敬對「勾股術」的興趣，開啟明清算家勾股術的研究風氣，41王文素則提出演段法說明公式的正確性。42據王連發的比對，顧應祥的《勾股算術》(1533)算題來源主要是《九章算法比類大全》。43但卷首的〈勾股論說〉，整理給出 36 個有關勾股形三邊與三邊和與差(五和、五較) 之間的各種關係及互求公式，是認識勾股形及其解法的總綱。44此文相繼轉載於周述學《神道大編曆宗算會》(1558)及程大位《算法統宗》中，說明顧氏此書在勾股算術上扮演著承先啟後的作用。45另一方面，顧應祥更以勾股算術為基礎，統整其他的算學知識，例如對弧矢割圓法的認識或是《測圓海鏡分類釋術》的分類標準。事實上，顧應祥算學著作的重要性，需要重新被評價。46. 39. 郭書春主編，《中國科學技術史．數學卷》，頁 569-572。〔清〕阮元，《疇人傳》，收入楊家駱主編，《《疇人傳》彙編上》(台北：世界書局，1982 再版)，頁 453。 41 最早注意到這個主題，應是黃清揚，見黃清揚，《中國 1368-1806 年間的勾股術發展之研究》（台北：國立台灣師範大學數學系碩士論文，2002） 42 演段法係指利用圖形出入相補的幾何方式來論證列式的正確與否，此一進路未見於明代其他算書中。可惜的是，王文素的《算學寶鑑》只有抄本傳世，其影響為何，很難估計。據黃清揚的分析，王文素主要是整理前人的算法。與吳敬的《九章算法比類大全》對比，很難看出兩者的關連。王文素某些算題，吳敬未曾提及，反之亦然。郭書春也持相同論點，認為他只從許榮《九章詳注算法》間接引用了吳敬的材料。參見黃清揚，《中國 1368-1806 年間的勾股術發展之研究》，頁 31-36。郭書春，〈從面積問題看《算學寶鑑》在中國傳統數學中的地位〉，《漢學研究》18 卷第二期(2000)，頁 197-221。 43 王連發，《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》（國立台灣師範大學數學系碩士論文，2002）顧應祥對於吳敬的算學著作應是熟悉的，在給唐順之的信中提到：「所謂如積求之者，蓋止用成數而不言立算古筭法，如孫子算經，摘其演算法皆然。唯近日錢唐胡氏九章，則備言之。」見顧應祥，〈復唐荊川內翰書〉。 44 各個公式的進一步內容，請參見王連發，《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》，頁 30-33。 45 此外，書中弦和和、弦和較、弦較和、弦較較等三事和較入題的創新類型，在清代得到完整的研究，豐富了勾股算術的成果。 46 〔明〕顧應祥，〈弧矢論說〉，《弧矢筭術》，收入郭書春主編《中國科學技術典籍通彙》數學卷二，頁 1081。。〈《測圓海鏡分類釋術》序〉，轉引自王連發，《勾股算學家—明顧應祥及其著作研究》，頁 107。原件影自中央研究院傅斯年圖書館藏明朝嘉靖刊本之微縮膠捲。另外，基於改曆需求完成的《弧矢算術》(1552)，其中的〈方圓論說〉及部份算題也被程大位引錄；乾嘉時期的數學家李銳也曾以天元術加以注釋，補成《弧矢算術細草》。 -1940.

(30) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 因此，1613 年徐光啟為利瑪竇、李之藻所編譯《同文算指》寫序時，提到：算數之學特廢於近世數百年間爾。廢之緣有二：其一為名理之儒，土苴天下之實事；其二為妖妄之術，謬言數有神理，能知來藏往，靡所不效。卒於神者無一效滿而實者亡一存。47 以西方數學的標準，徐光啟「回眸」所知的明代算學，顯然一無可取。他並將明代數學衰敗的重要原因歸究於「名理之儒」對於實際問題的鄙棄，以及「妖妄之術，謬言數有神理。」這樣的態度，或許與其試圖將西方數學引入中國的立場有很大的關係。事實上，有清一代，《算法統宗》廣泛流傳，雖是「胥史商賈之書」，48但「服官者人挾一册其書」，49成為許多人學習中國傳統數學的來源。 50. 李之藻、利瑪竇譯編《同文算指》(1614)時，直接取用不少《算法統宗》的題. 目，用來突顯西法的長處。51然而，西方數學在中國得以傳播開來，卻是修訂曆法的緣故。52. 二 . 明末的曆法改革與數學發展相似，天文學到了明末也面臨著典籍失傳，制曆方法無人通曉，天象推算預測屢屢出錯的狀況。對古代中國人而言，天上的日月星辰會與地上. 47. 〔明〕徐光啟，〈刻《同文算指》序〉，《同文算指》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷四，頁 77-78。 48 凌廷堪，〈書程賓渠《算法統宗》後〉，《校禮堂文集》卷三十二，收入《續修四庫全書》集部別集類 1480 冊(上海：上海古籍出版社，2002)，頁 326。 49 語出何夢瑶〈《□(按：菊)芳園集》自序〉，引自〔清〕阮元《（道光）廣東通志》卷 194。資料來源：《中國基本古籍庫》線上版，頁 2473。(2012 / 03 / 05 瀏覽)。 50 李銳就是一個很好的例子：「從書塾中檢得《算法統宗》，心通其義，遂為九章八線之學。」，見羅士琳，《續疇人傳》卷 50，頁 657。此外，梅文鼎、焦循、汪萊等人多有著述討論《算法統宗》書中問題。甚至到了清末仍被當成學習算學的基礎：「如欲學算學則須由《算學啟蒙》、《算法統宗》、《算式集要》，以及《數學理》、《勾方表》、《代數術》、《對數表》、《三角數理》、《微積溯原》等華文之書始，然後再就西文之書籍以廣之。」參見〔清〕楊毓煇，〈中西書法異同論〉，收入陳忠倚《清經世文三編》卷 42。資料來源：《中國基本古籍庫》線上版，頁 828。 (2012 / 03 / 05 瀏覽)。 51 據陳敏晧的比對與研究，承繼《算法統宗》至少有 22 題之多。見陳敏皓，《《同文算指》之內容分析》第五章（國立台灣師範大學數學系碩士論文，2002）。另外，據潘亦寧的研究，李之藻在二次方程的部份可能引用了周述學的《神道大編曆宗算會》。見潘亦寧，〈中西數學的會通─以《同文算指》(1614)的編纂為例〉，《自然科學史研究》25(3)：頁 215-226。 52 田淼，《中國數學的西化歷程》，頁 9。 -20-.

(31) 第二章明末清初(1607-1722). 的人、事、物變化產生連結，天象的觀測能預知事物發展的可能趨勢。儒家進一步將「天」與統治者的「為政之道」用天人感應的說法關連起來。53因此，「觀象–授時頒曆–施政–統治權」就成為中國古代天文學與政治關係的顯著特徵之一。54 十三世紀宋、元數學高度發展，使得郭守敬等人有良好的數學工具得以改進曆法，制定《授時曆》這部中國史上相當進步的曆法。55可惜的是，明朝建國之初，「元朝所有典章散失，止存授時成法數卷。元統等因之為《大統曆》，僅能依法布算，而不能言其所以然之故。」56加上明初對於曆禁的規定執行相當嚴格，57到了明中葉通曆學者已經難尋。雖然，洪武年間引進阿拉伯天文學，翻譯阿拉伯天文書，並在欽天監中設立回回科，回回科官員須以阿拉伯天文學推算天象進呈。然而，回回科的設立對於《大統曆》的改進卻沒有實質的幫助。到了明末，使用 260 多年的《大統曆》未曾修改，58早以推算失據，奏請改曆之聲四起。崇禎二年(1629)五月，日食時刻推算預測再次失誤，崇禎皇帝. 53. 清末的皮錫瑞對於漢儒天人之學給了一個很好的說明：「當時儒者以為人主至尊，無所畏憚，借天象以示儆，庶使其君有失德者猶知恐懼修省。此《春秋》以元統天，以天統君主之義，亦《易》神道設教之旨。漢儒藉此以匡正其主，其時人主方崇經術，重儒臣，故遇日食地震必下罪詔己，或責免三公。雖未必能如周宣之遇災而懼，側身修行，尚有君臣交儆遺意。此亦漢時實行孔教之一證。後世不明此義，謂漢儒不應言災異，引讖緯，於是天變不足畏之說出矣。」見〔清〕皮錫瑞，《經學歷史》(北京：中華書局，1981 三刷)，頁 106。不過，皮錫瑞也趁此批評當時的西法派：「近西法入中國，日食、星變皆可豫測，信之者認為不應附會災祥。然則，孔子《春秋》所言日蝕、星變，此無意乎？言非一端，義各有當，不得以今人之所見輕議古人也。」 54 陳美東，《中國古代天文學思想》，頁 1-20。 55 錢寶琮認為，《授時曆》中有五項新的推算方法：(1)求出太陽每日黃道上運行的速度；(2)求出月球每日繞地球運行的速度；(3)由太陽的黃道經度推算赤道經度；(4)由太陽的黃道經度推算赤道緯度；(5)求月道與赤道的交點。其中(1)(2)項用招差法推算；(3)(4)(5)項則使用弧矢割圓法推算。錢寶琮，《授時曆法略論》，收入《李儼、錢寶琮科學史全集》第九卷，頁 399-425。 56 〔明〕徐光啟，〈禮部為奉旨修改曆法開列事宜乞裁疏〉，收入王重民輯校，《徐光啟集》卷七(台北：明文，1986)，頁 324-329。 57 明代沈節甫《紀錄匯編》卷 125 就摘錄王鏊《震澤長語》中一個發生在明仁宗(1424-1425 在位)的例子，可知明初曆禁的影響：「仁廟一日語楊士奇(1365-1444)等云：見夜來星象否？士奇等對不知。上曰：通天、地、人之謂儒，卿等何以不知天？對曰：國朝私習天文，律有禁，故臣等不敢習。」轉引自江曉原，《天學真原》，頁 66-67。 58 當然《大統曆》長時間未修改還有其他的因素，例如倡議修曆、改曆的官員或士人常被禮部或欽天監用各種理由擱置或反擊。例如成化十九年(1483)，天文生張陞上言改曆，欽天監謂祖制不可變，遂罷。見〔清〕阮元，《疇人傳》卷 29，頁 354-355。 -21-.

(32) 中國近代數學發展(1607-1905)：一個數學社會史的進路. 震怒，身為禮部侍郎的徐光啟藉機上疏重提修改曆法，並用西洋新法推算日食，驗之果合，59獲得皇帝的支持，展開修曆的工作。徐光啟認為修曆一事欲求超勝，必須會通；會通之前，先須翻譯……然後令甄明大統，深知法意者，參詳考定，熔彼方之材質，入大統之型模。60 並擬定翻譯的內容分為節次六目：日躔曆、恆星曆、月離曆、日月交會曆、五緯星曆及五星交會曆。另有基本五目：法原、法數、法算、法器及會通。其中「法原」是立法之原理；「法器」是測量之儀器；「法數」則是立成表，各依七政本曆附載；「會通」即《通率表》二卷；「法算」則是計算的方法。61從 1629 年開曆局修曆，到 1633 年徐光啟病逝，由李天經(1579-1659)接手曆局工作，62 於 1635 年第五次進呈書籍為止，前後共完成 137 卷，並刊刻出版，合稱《崇禎曆書》。不過，當時官方言曆者有《大統曆》、《回回曆》、西洋曆局以及魏文魁的東局等四家，言人人殊，聚訟紛紜。這部曆書雖屢次測驗交食皆密，但在保守勢力的阻擾下，終未能在明代實行。明清革鼎之際，湯若望在《崇禎曆書》的基礎上，加以整理改編重新刊印，改名為《西洋新法曆書》100 卷，進呈清廷。63同時，進一步向清廷舉證西法的優越性。1645 年，湯若望成功掌權，被任命為欽天監監正，並頒行依《西洋新法曆書》編制的《時憲曆》。傳教士也在此後近兩百年間，得以西法接續擔任欽天監監正或監附等要職。64 徐光啟此次開局修曆，採行的諸多措施，以及創造的成果，對於清代學術. 59. 徐光啟對於西洋的天文曆法相當熟悉，他在翰林院學習時(約 1604 年到 1607 年)就已經接觸。〈致友書〉中曾提到：「西泰諸書，致多奇妙，如天文一節，是其最精者，而翻譯之功，計非歲月不可。」，收入王重民輯校，《徐光啟集》卷十一，頁 504。 60 〔明〕徐光啟，〈曆書總目表〉，收入王重民輯校，《徐光啟集》，頁 373-378。 61 〔明〕徐光啟，〈奉旨續進曆書疏〉，收入王重民輯校，《徐光啟集》，頁 385-386。不過，《崇禎曆書》的架構是由鄧玉函所擬定。 62 據黃一農研究，李天經此時已入教，是被徐光啟選定為治曆接班人的因素之一。參閱黃一農，《兩頭蛇：明末清初的第一代天主教徒》(新竹：國立清華大學出版社，2007)，頁 97-98。 63 乾隆時修《四庫全書》，將此書收入，更名為《新法算書》100 卷。 64 除楊光先發動曆獄的期間外，常由傳教士擔任欽天監監正或監附，最後一位任職的教士高守謙在道光六年(1826)因疾告假回歐。黃一農，〈湯若望與清初西曆之正統化〉，收入吳嘉麗、葉鴻灑主編《新編中國科技史》下冊(台北：銀禾文化事業公司，1990)，頁 465-490。 -22-.

(33) 第二章明末清初(1607-1722). 發展影響的深遠。首先，他強化引進西法的正當性。在〈條議曆法修正歲差疏〉中，特陳要事四款，分別為「曆法修正十事」、「修曆用人三事」、「急用儀象十事」及「度數旁通十事」，共三十三條。65其中，「修曆用人三事」款中，特別提到洪武年間引進西法的事例，「其測天之道，甚是精詳，豈非禮失而求之野也乎？」66入華耶穌會士鄧玉函(Johann Terrenz, 1576-1630)、67湯若望(Jean Adam Schall von Bell, 1592-1668)與羅雅谷(Giaoamo Rho, 1590-1638)等人得以參與曆法改制的工作，使得欽天監成為十七世紀中、西文化交流的主要接觸點之一。68這對擬定以科學傳教作為傳教策略的利瑪竇以降之耶穌會士們，無疑是一個重大突破。69傳教士的勢力得以進入欽天監，建立起在華揚教的官方據點，這是非常重要的一個開端。70. 65. 徐光啟，〈條議曆法修正歲差疏〉，收入王重民輯校，《徐光啟集》卷七，頁 332-339。「禮失求野」之說，源自班固的《漢書》卷 30〈藝文志〉：「仲尼有言：禮失而求諸野。方今去聖久遠，道術缺廢，無所更索彼九家者，不猶愈於野乎？」在明末士人常引用聖人或典籍的說法，來正當化西法的學習。據韓琦的研究，這些說法到了清初，被梅文鼎作了進一步的推廣，為西學如何傳入西方，設計了一條路徑。後來經由梅瑴成，收入《明史·曆志》。使得明末學者所發端的「禮失求野」、「心同理同」之說，發展為「西學中源」說，並使之成為清代的官方言論。參見韓琦，〈明清之際「禮失求野」論之源與流〉，《自然科學史研究》，26 卷 3 期(2007)，頁 303-311。 67 鄧玉函，字涵璞，瑞士人。精通多國語言，是著名的林采學社(Academia dei Lincei)的成員之一(最為人知的是伽利略)。他擬定《崇禎曆書》的架構，並用不到一年的時間，完成《測天約說》2 卷、《大測》2 卷，以及各種算表 10 卷。同時，還指導曆局人員製造七政象限大儀兩座，測星紀限大儀一座。 68 黃一農認為欽天監之所以成為傳教士發展的重點機構，除了是官方傳統對於天文曆算的重視外，欽天監的世襲制度或許也是考量的主因之一。藉由世襲為主的傳承制度，奉教的天文家的信仰易於在家族內傳揚開來。同時，也得以在欽天監內長期取得主控權。見黃一農，〈湯若望與清初西曆之正統化〉，收入吳嘉麗、葉鴻灑主編《新編中國科技史》下冊，頁 465-490。 69 早在 1601 年，利瑪竇排除萬難抵京，進貢方物，便曾嘗試以其天文知識作為留居北京的藉口，但未果。見〔明〕利瑪竇，〈貢獻方物疏〉，收入韓琦、吳旻校注，《熙朝崇正集、熙朝定案(外三種)》(北京：中華書局，2006)，頁 19-20。亦可見〈上明皇帝貢獻土物奏〉，朱維錚主編，《利瑪竇中文著譯集》(香港：香港城市大學，2001)，頁 282-284。此外，鐘鳴旦與孫尚揚也認為，利瑪竇為代表的傳教士以科學作為傳教工具的作法，不僅滿足了部份士大夫對西方科學的興趣與需要，就是在此種需要與被需要的關係下，使得以傳教士與士大夫為中介的中西文明之間的對話才成為可能，也使得當時天主教得以在中國自由傳教成為可能。當然，這樣的傳教路線在耶穌會內部也是引發爭議。至少在 1610 年利瑪竇過世後，傳教士們對於科學傳播的熱情就有所減退。例如明末的大儒方以智(1611-1671)與畢方濟交往時，就曾抱怨：「詣之，問曆算奇器，不肯詳言，問天事則答。」參見孫尚揚、鐘鳴旦，《一八四○年以前的中國基督教》 (北京：學苑出版社，2004)，頁 111-136。 70 事實上，徐光啟為了讓傳教士能得以安身養瞻，煞費苦心。在其臨終前夕，特別進奏〈治曆已有成模懇祈恩敘疏〉，將所有曆局有功人員共 27 人全提了一遍。特別地，他提及羅雅谷與湯若望等，「譔譯書表，製造儀器，算測交食躔度，講教監局官生，數年嘔心瀝血，幾於穎禿唇 -2366.